Трансферни функции на системата. За да определим общата трансферна функция, пишем израз за изходната променлива на системата

След прости трансформации получаваме

(3.54)

правило:предавателна функция на системата с отрицателенобратната връзка е равна на дроб, чийто числител е предавателната функция на предния канал, а знаменателят е сумата от единица и произведението на предавателните функции на предния и обратния канал на системата.

Кога положителенформулата за обратна връзка (3.54) приема формата

(3.55)

В практиката обикновено се срещат системи с отрицателна обратна връзка, за които предавателната функция се намира по отношение (3.54).

3.3.4. Правило за прехвърляне

В някои случаи, за да се получи общата трансферна функция на системата чрез структурни трансформации, би било по-удобно да се премести точката на прилагане на сигнала през връзка по-близо до изхода или входа. При такава трансформация на структурната диаграма трябва да се придържаме към правила:предавателната функция на системата трябва да остане непроменена.

Нека разгледаме ситуацията, когато точката на приложение на сигнала се прехвърля през връзка, по-близо до изхода. Първоначалната структура на системата е показана на фиг. 3.31. Нека определим получената трансферна функция за него

Нека преместим точката на приложение на сигнала през връзката с предавателната функция, като добавим някаква предавателна функция към този канал.Получаваме блокова схема на трансформираната система (фиг. 3 32).

Ориз. 3.32. Блокова схема на трансформираната система.

За него предавателната функция има формата

Тъй като при трансформиране на структурата на системата нейната предавателна функция не трябва да се променя, чрез приравняване на десните части на изразите (3.56) и (3.57), ние определяме необходимата трансферна функция

По този начин, при преместване на точката на приложение на сигнала по-близо до изхода на системата, към канала трябва да се добави трансферната функция на връзката, през която се предава сигналът.

Подобен правиломоже да се формулира, за да премести точката на приложение на сигнала по-близо до входа на системата: обратната трансферна функция на връзката, през която се предава сигналът, трябва да се добави към съответния канал.

Пример 3.1

Определете общата предавателна функция на системата, чиято блокова диаграма е показана на фиг. 3.33.

Нека първо определим функциите на предаване на типичните връзки на връзката: функция на предаване на връзките на паралелна връзка

и предавателната функция на последователно свързани връзки

Ориз. 3.33.Блокова схема на системата

Като се вземат предвид въведените обозначения, структурата на системата може да се сведе до формата, показан на фиг. 3.34.

Използвайки структурни трансформации, записваме общата трансферна функция на системата

Замествайки техните стойности вместо и, най-накрая получаваме

Пример 3.2

Определете предавателната функция на системата за автоматично проследяване на целта на радарната станция, чиято блок-схема е показана на фиг. 3.35.

Ориз. 3.35.Блокова схема на системата за автоматично проследяване на целта

Тук е предавателната функция на системния приемник; - предавателна функция на фазовия детектор; - предавателна функция на усилвателя на мощността; - предавателна функция на двигателя; - предавателна функция на скоростната кутия; - трансферна функция на сензора за скорост на въртене на антената; - предавателна функция на коригиращото устройство.

Използвайки правилата за структурни трансформации, ние пишем

трансферна функция

Нека определим предавателната функция на вътрешния контур

и директна канална система

Нека определим пълната предавателна функция на системата

Замествайки първоначалните стойности вместо междинни трансферни функции, най-накрая получаваме

3.4. Блокови диаграми, съответстващи на диференциални уравнения

Вторият метод за съставяне на блокова диаграма се основава на използването на диференциални уравнения. Нека първо го разгледаме за обект, чието поведение се описва от векторно-матрични уравнения (2.1), (2.2):

(3.59)

Нека интегрираме уравнението на състоянието в (3.59) във времето и дефинираме състоянието и изходните променливи във формата

(3.60)

Уравненията (3.60) са основни за съставянето на диаграмата.

Ориз. 3.36.Блокова диаграма, съответстваща на уравненията
състояние на обекта

По-удобно е да се изобрази блоковата диаграма, съответстваща на уравнения (3.60), като се започне с изходните променливи г, като е препоръчително да поставите входните и изходните променливи на обекта на една и съща хоризонтална линия (фиг. 3.36).

За едноканален обект може да се изготви структурна диаграма, като се използва уравнение (2.3), като се разрешава по отношение на най-високата производна

След интегриране (3.61) нведнъж, получаваме

(3.62)

Системата от уравнения (3.62) съответства на блоковата диаграма, показана на фиг. 3.37.

Ориз. 3.37.Блокова диаграма, съответстваща на уравнение (3.61)

Както виждаме, едноканален обект на управление, чието поведение е описано от уравнение (3.61), винаги може да бъде структурно представен като верига от нпоследователно свързани интегратори с обратна връзка.

Пример 3.3

Начертайте блокова схема на обект, чийто модел е даден от следната система от диференциални уравнения:

Нека първо интегрираме уравненията на състоянието

Ориз. 3.38.Илюстрация на изготвяне на блокова схема
чрез уравнения на състоянието

В съответствие с интегралните уравнения на фиг. 3.38 изобразяваме блокова схема на системата.

3.5. Преход от трансферна функция към канонично описание

Нека обсъдим най-известните методи за трансформиране на математически модел на обект под формата на произволна трансферна функция към описание в променливи на състоянието. За тази цел използваме подходящи структурни диаграми. Имайте предвид, че тази задача е двусмислена, тъй като променливите на състоянието за даден обект могат да бъдат избрани по различни начини (вижте раздел 2.2).

Нека разгледаме два варианта за преход към описание в променливи на състоянието от трансферната функция на обекта

(3.63)

където Нека първо представим (3.63) като произведение на две трансферни функции:

Всяко от тези представяния (3.63) съответства на свой собствен прост модел в променливи на състоянието, който се нарича канонична форма.

3.5.1. Първа канонична форма

Нека разгледаме трансформацията на математическия модел на системата с предавателната функция (3.64). Неговата блокова схема може да бъде представена като две връзки, свързани последователно
(фиг. 3.39).

Ориз. 3.39.Структурно представяне на системата (3.64)

За всяко звено на системата пишем съответното операторно уравнение

(3.66)

Нека определим от първото уравнение (3.66) най-голямата производна на променливата z, което съответства на стойността в операторна форма

Полученият израз ни позволява да представим първото уравнение (3.66) като верига от нинтегратори с обратна връзка (вижте раздел 3.5) и изходната променлива гсе формира в съответствие с второто уравнение (3.66) като сбор от променливата zи тя мпроизводни (фиг. 3.40).

Ориз. 3.40.Схема, съответстваща на уравнения (3.66)

Използвайки структурни трансформации, получаваме блокова диаграма на системата, показана на фиг. 3.41.

Ориз. 3.41.Структурна диаграма, съответстваща на каноничната форма

Обърнете внимание, че блоковата диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.64), се състои от верига нинтегратори, където н- ред на системата. Освен това в обратна връзка са коефициентите на знаменателя на оригиналната трансферна функция (коефициенти на характеристичния полином), а в пряка връзка са коефициентите на полинома на нейния числител.

От получената блокова диаграма е лесно да се премине към модел на системата в променливи на състоянието. За тази цел ние приемаме изхода на всеки интегратор като променлива на състоянието

което ни позволява да запишем диференциалните уравнения на състоянието и изходното уравнение на системата (3.63) във формата

(3.67)

Системата от уравнения (3.67) може да бъде представена във векторно-матрична форма (2.1) със следните матрици:

Ще бъде извикан моделът на системата в променливи на състоянието (3.67). първата канонична форма.

3.5.2. Втора канонична форма

Нека разгледаме втория метод за преход от трансферната функция (3.63) към описанието в променливи на състоянието, за които схематично представяме структурата на системата (3.65) на фиг. 3.42.

Ориз. 3.42.Структурно представяне на трансферната функция (3.65)

Неговите операторни уравнения имат формата

(3.68)

Подобно на предишния случай, нека представим първото уравнение (3.68) като верига от нинтегратори с обратна връзка и влиянието на входа zформираме в съответствие с второто уравнение (3.68) под формата на контролна сума uИ мнеговите производни (фиг. 3.43).

В резултат на структурни трансформации получаваме блокова диаграма на системата, показана на фиг. 3.44. Както виждаме, в този случай блоковата диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.65), се състои от верига нинтегратори. Обратната връзка също съдържа коефициентите на характеристичния полином, а директната връзка съдържа коефициентите на полинома на неговия числител.

Ориз. 3.43.Схема, съответстваща на уравнения (3.68)

Ориз. 3.44.Блокова диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.65)

Отново избираме изходните стойности на интеграторите като променливи на състоянието и записваме диференциалните уравнения на състоянието и изходното уравнение за тях

(3.69)

Използвайки уравнения (3.69), определяме матриците

Ще бъде извикан моделът на системата в променливи на състоянието от тип (3.69). втора канонична форма.

Имайте предвид, че матрицата Ае непроменена за първата или втората канонична форма и съдържа коефициентите на знаменателя на оригиналната трансферна функция (3.63). Коефициентите на числителя на предавателната функция (3.63) съдържат матрицата ° С(в случая на първата канонична форма) или матрица б(в случая на втората канонична форма). Следователно уравненията на състоянието, съответстващи на двете канонични представяния на системата, могат да бъдат записани директно с помощта на трансферната функция (3.63), без да се преминава към блоковите диаграми, показани на фиг. 3.40 и 3.43.

Както виждаме, преходът от трансферната функция към описанието в променливи на състоянието е двусмислена задача. Разгледахме варианти за преход към канонично описание, които най-често се използват в теорията на автоматичното управление.

Пример 3.4

Получете две версии на каноничното описание и съответните блокови диаграми за система, чийто модел има формата

Използваме представянето на предавателната функция във формата (3.64) и записваме операторните уравнения за нея

от което преминаваме към блоковата схема, показана на фиг. 3.45.

Ориз. 3.45.Структурна диаграма, съответстваща на първата канонична форма

Въз основа на тази блокова диаграма записваме уравненията на първата канонична форма във формуляра

За да преминем към втората канонична форма, нека представим предавателната функция на системата във формата (3.65) и напишем следните операторни уравнения за нея:

което съответства на блоковата схема, показана на фиг. 3.46.

Ориз. 3.46.Структурна диаграма, съответстваща на втората канонична форма

Нека сега запишем модела на системата под формата на втората канонична форма

3.6. Обхват на приложение на структурния метод

Структурният метод е удобен за изчисляване на линейни автоматични системи, но има своите ограничения. Методът включва използването на трансферни функции, така че може да се използва като правило при нулеви начални условия.

Когато използвате структурния метод, трябва да се придържате към следното правила: по време на всяка трансформация на системата нейният ред не трябва да намалява, т.е. намаляването на еднакви фактори в числителя и знаменателя на трансферната функция е неприемливо. Чрез намаляване на идентични фактори, ние изхвърляме действително съществуващи връзки от системата. Нека илюстрираме това твърдение с пример.

Пример 3.5

Нека разгледаме система, състояща се от интегриращи и диференциращи връзки, които са свързани последователно.

Първата опция за свързване на връзки е показана на фиг. 3.47.

Използвайки структурни трансформации, намираме общата трансферна функция

От това следва, че такова свързване на връзки е еквивалентно на връзка без инерция, т.е. сигналът на изхода на системата повтаря сигнала на нейния вход. Ще покажем това, като разгледаме уравненията на отделните връзки. Изходният сигнал на интегриращата връзка се определя от отношението

където е началното условие на интегратора. Сигналът на изхода на диференциалната връзка и следователно на цялата система има формата

което съответства на заключението, направено въз основа на анализа на общата предавателна функция на връзките.

Вторият вариант за свързване на връзките е показан на фиг. 3.48, т.е. връзките са разменени. Трансферната функция на системата е същата като в първия случай,

Сега обаче изходът на системата не следва входния сигнал. Това може да се провери чрез разглеждане на уравненията на връзката. Сигналът на изхода на диференциращия елемент съответства на уравнението

а на изхода на системата се определя от отношението

Както виждаме, във втория случай изходният сигнал се различава от сигнала на изхода на първата система със стойността на първоначалната стойност, въпреки факта, че и двете системи имат една и съща трансферна функция.

Заключение

Този раздел обсъжда динамичните характеристики на типичните връзки, които съставляват системи за управление с произволна конфигурация. Обсъждат се особеностите на структурните диаграми, изградени на базата на предавателни функции и диференциални уравнения. Дадени са два метода за преход от предавателната функция на система през структурни диаграми към нейните модели под формата на променливи на състоянието, съответстващи на различни канонични форми.

Трябва да се отбележи, че представянето на система под формата на структурна диаграма позволява в някои случаи да се оцени нейната статика и динамика и по същество дава структурен портрет на системата.

3.1. Начертайте блокова диаграма на система, чието диференциално уравнение има формата:

а)

V)

3.2. Начертайте блокова схема на системата, чийто модел е представен в променливи на състоянието:

а) б)

V) G)

3.3. Определете предавателните функции на системите, ако техните структурни диаграми имат формата, показана на фиг. 3.49.

Ориз. 3.49.Блокови схеми към задача 3.3

3.4. Блоковите схеми на системата са известни (фиг. 3.50). Запишете техните модели в променливи на състоянието.

Ориз. 3.50.Блокови схеми към задача 3.4

3.5. Блоковата схема на системата е известна (фиг. 3.51).

Ориз. 3.51.

1. Определете предавателната функция при предположението, че

2. Определете предавателната функция, приемайки

3. Запишете модела на системата в променливи на състоянието.

4. Повторете параграфи. 1 и 2 за системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 3.52.

Ориз. 3.52.Блокова схема за задача 3.5

3.6 .

3.7. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на първата канонична форма на описание на система с предавателна функция

1. Запишете първата канонична форма.

2. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на втората канонична форма на описание на системата.

3. Запишете втората канонична форма.

3.8. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на първата канонична форма на описание на система с предавателна функция

1. Запишете първата канонична форма.

2. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на втората канонична форма на описание на системата.

3. Запишете втората канонична форма.

Литература

1. Андреев Ю.Н.Управление на крайномерни линейни обекти. - М.: Наука, 1978.

2. Бесекерски В.А..,Попов Е.П.. Теория на автоматичното регулиране. - М.: Наука, 1974.

3. Ерофеев А. А.Теория на автоматичното управление. - Санкт Петербург: Политехника, 1998.

4. Иващенко Н.Н.Автоматично регулиране. - М.: Машиностроение, 1978.

5. Первозвански А.А.Курс по теория на автоматичното управление. - М.: Висше. училище, 1986г.

6. Попов Е.П.Теория на линейните системи за автоматично регулиране и управление. - М.: Висше. училище, 1989г.

7. Коновалов Г.Ф.Радиоавтоматика. - М.: Висше. училище, 1990г.

8. Филипс Х.,Харбър Р.Системи за управление с обратна връзка. - М .: Лаборатория за основни знания, 2001.

Можете да трансформирате, като извадите X(s) и Y(s) извън скобите и ги разделите един на друг:

Полученият израз се нарича трансфер

(2.4)

Трансферна функция се нарича отношението на изображението на изходния ефект Y(s) към изображението на входа X(s) при нулеви начални условия.

Трансферната функция е дробна рационална функция на комплексна променлива:

Трансферната функция има ред, който се определя от реда на полинома на знаменателя (n).

От (2.4) следва, че изображението на изходния сигнал може да се намери като

Y(s) = W(s)*X(s).

Тъй като предавателната функция на системата напълно определя нейните динамични свойства, първоначалната задача за изчисляване на ASR се свежда до определяне на нейната трансферна функция.

Примери за типични връзки

Връзка на система е елемент от система, който има определени динамични свойства. Връзките на системите за управление могат да имат различно физическо естество (електрически, пневматични, механични и др. връзки), но се описват от едно и също дистанционно управление, а съотношението на входните и изходните сигнали в връзките се описва от същите трансферни функции . В TAU се разграничава група от най-прости единици, които обикновено се наричат ​​типични. Статичните и динамичните характеристики на типичните връзки са проучени доста пълно. Стандартните връзки се използват широко при определяне на динамичните характеристики на обектите за управление. Например, знаейки преходния отговор, конструиран с помощта на записващо устройство, често е възможно да се определи към какъв тип връзки принадлежи контролният обект и следователно неговата трансферна функция, диференциално уравнение и т.н., т.е. обектен модел. Типични връзки. Всяка сложна връзка може да бъде представена като връзка от по-прости връзки.

Най-простите типични връзки включват:

· засилване,

· инерционни (апериодични от 1-ви ред),

интегриране (реално и идеално),

диференциране (реално и идеално),

· апериодичен 2-ри ред,

· колебателен,

· забавено.

1) Подсилваща връзка.

Връзката усилва входния сигнал с K пъти. Уравнението на връзката y = K*x, предавателна функция W(s) = K. Параметърът K се извиква коефициент на усилване.

Изходният сигнал на такава връзка точно повтаря входния сигнал, усилен с K пъти (фиг. 1.18). y = Kx.

Със стъпаловидно въздействие h(t) = К.

Примери за такива връзки са: механични трансмисии, сензори, безинерционни усилватели и др.

2) Интегриране.

2.1) Идеално интегриране.

Изходната стойност на идеалната интегрираща връзка е пропорционална на интеграла на входната стойност:

Когато към входа се приложи стъпково действие x(t) = 1, изходният сигнал постоянно се увеличава (фиг. 1.19):

h(t) = Kt.

Тази връзка е астатична, т.е. няма стабилно състояние.

Пример за такава връзка е контейнер, пълен с течност. Входният параметър е дебитът на входящата течност, изходният параметър е нивото. Първоначално контейнерът е празен и при липса на поток нивото е нула, но ако включите подаването на течност, нивото започва да се увеличава равномерно.

2.2) Истинско интегриране.

Трансферната функция на тази връзка има формата (фиг. 1.20)

Реакцията на прехода, за разлика от идеалната връзка, е крива

Пример за интегрираща връзка е постояннотоков двигател с независимо възбуждане, ако захранващото напрежение на статора се приема като входен ефект, а ъгълът на въртене на ротора се приема като изходен ефект. Ако към двигателя не се подава напрежение, тогава роторът не се движи и ъгълът му на въртене може да се приеме равен на нула. Когато се приложи напрежение, роторът започва да се върти и неговият ъгъл на въртене е първо бавно поради инерция, а след това се увеличава по-бързо, докато се достигне определена скорост на въртене.

3) Диференциране.

3.1) Идеално диференциране.

Изходното количество е пропорционално на времевата производна на входа:

При стъпков входен сигнал изходният сигнал е импулс (d-функция): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реално диференциране.

Идеалните диференциращи връзки не са физически осъществими. Повечето обекти, които представляват диференциращи връзки, принадлежат към реални диференциращи връзки, чиито трансферни функции имат формата

Реакция на преход (фиг. 1.21):

Пример за връзка: електрически генератор. Входният параметър е ъгълът на въртене на ротора, изходният параметър е напрежението. Ако роторът се завърти под определен ъгъл, на клемите ще се появи напрежение, но ако роторът не се завърти повече, напрежението ще падне до нула. Не може да падне рязко поради наличието на индуктивност в намотката.

4) Апериодични (инерционни).

Изображение на стъпковия ефект: X(s) = Xo / s След това изображение на изходната стойност:

Нека разделим дробта на прости:

Оригинал на първата дроб според таблицата:

Константата Т се нарича времева константа. Повечето топлинни обекти са апериодични връзки. Например, когато се приложи напрежение към входа на електрическа пещ, температурата му ще се промени по подобен закон (фиг. 1.22).

5) Връзки от втори ред (фиг. 1.23)

Връзките имат типове DU и PF.

Когато към входа се приложи поетапен ефект на амплитудата Xo, кривата на прехода ще има един от двата вида: апериодична (за T1 ≥ 2T2) или осцилаторна (за T1< 2Т2).

В тази връзка се разграничават връзки от втори ред:

· апериодичен 2-ри ред (T1 ≥ 2T2),

· инерционен (Т1< 2Т2),

· консервативен (Т1 = 0).

6) Закъснение.

Ако, когато определен сигнал бъде приложен към входа на обект, той не реагира веднага на този сигнал, а след известно време, тогава се казва, че обектът има забавяне.

Закъснение– това е интервалът от време от момента на промяна на входния сигнал до момента, в който изходният сигнал започне да се променя.

Изоставаща връзка- това е връзка, в която изходната стойност y точно повтаря входната стойност x с известно забавяне t.

ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНО УПРАВЛЕНИЕ

Издателство Омски държавен технически университет

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Държавно учебно заведение

висше професионално образование

"Омски държавен технически университет"

ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНО УПРАВЛЕНИЕ

Насоки за практическа работа

Издателство Омски държавен технически университет

Съставен от Е. В. Шендалева, Доцент доктор. техн. науки

Изданието съдържа методически указания за провеждане на практическа работа по теория на автоматичното управление.

Предназначен за студенти от специалност 200503, „Стандартизация и сертификация“, изучаващи дисциплината „Основи на автоматичното управление“.

Публикува се по решение на редакционно-издателския съвет

Омски държавен технически университет

© GOU VPO "Omsk State

Технически университет”, 2011г

Необходимостта от използване на методологията на теорията на управлението за специалисти по стандартизация и сертификация възниква при определяне на:

1) количествени и (или) качествени характеристики на свойствата на изпитвания обект в резултат на въздействието върху него по време на неговата работа, при моделиране на обекта и (или) влияния, чийто закон за промяна трябва да се осигури с помощта на автоматичен контролна система;

2) динамични свойства на обекта за измерване и изпитване;

3) влиянието на динамичните свойства на измервателните уреди върху резултатите от измерванията и изпитванията на обекта.

Методите за изследване на обекти се обсъждат в практическите работи.

Практическа работа 1

Динамични функции

Упражнение 1.1

Намерете тегловната функция w(T) според известната преходна функция

ч(T) = 2(1–e –0,2 T).

Решение

w(T)=ч¢( T), следователно, когато диференцирате оригиналния израз

w(T)=0,4e –0,2 T .

Упражнение 1.2

Намерете предавателната функция на системата, като използвате диференциално уравнение 4 г¢¢( T) + 2г¢( T) + 10г(T) = 5х(T). Началните условия са нула.

Решение

Диференциалното уравнение се преобразува в стандартна форма чрез разделяне на коефициента на члена г(T)

0,4г¢¢( T) + 0,2г¢( T) + г(T) = 0,5х(T).

Полученото уравнение се трансформира според Лаплас

0,4с 2 г(с) + 0,2sy(с) + г(с) = 0,5х(с)

и след това написан като трансферна функция:

Където с= а + аз w е операторът на Лаплас.

Упражнение 1.3

Намерете предавателната функция У(с) системи, използващи известна тегловна функция w(T)=5–T.

Решение

Преобразуване на Лаплас

. (1.1)

Използване на връзката между трансферната функция и тегловната функция У(с) = w(с), получаваме

.

Трансформацията на Лаплас може да бъде получена чрез изчисление (1.1), като се използват таблици за трансформация на Лаплас или чрез софтуерния пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.

syms s t

х=5-t% времева функция

y=лаплас(x)% Преобразувана функция на Лаплас.

Упражнение 1.4

Използвайки трансферната функция на системата, намерете нейния отговор на едностъпково действие (преходна функция)

.

Решение

Обратно преобразуване на Лаплас

, (1.2)

където c е абсцисата на конвергенция х(с).

Според принципа на суперпозицията, валиден за линейни системи

ч(T)=ч 1 (T)+ч 2 (T),

Където ч(T) – преходна функция на цялата система;

ч 1 (T) – преходна функция на интегриращата връзка

;

ч 2 (T) – преходна функция на усилвателната секция

.

Известно е, че ч 1 (T)=к 1× T, ч 2 (T)=к 2 ×δ( T), Тогава ч(T)=к 1× T+к 2 ×δ( T).

Обратното преобразуване на Лаплас може да се получи чрез изчисление (1.2), като се използват таблици за преобразуване на Лаплас или се използва софтуерният пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.

syms s k1 k2% символично обозначение на променливата

y=k1/s+k2% Преобразувана функция на Лаплас

x=ilaplace(y)% времева функция.

Упражнение 1.5

Намерете характеристиките амплитуда-честота и фаза-честота, като използвате известната предавателна функция на системата

.

Решение

За да се определят амплитудно-честотните (AFC) и фазово-честотните характеристики (PFC), е необходимо да се премине от трансферната функция към амплитудно-фазовата характеристика У(аз w), защо да променяте аргумента с → аз w

.

След това представете AFC във формуляра У(аз w)= П(w)+ iQ(w), където П(w) – реална част, Q(w) е въображаемата част от AFC. За да се получат реалните и въображаемите части на AFC, е необходимо да се умножат числителят и знаменателят по комплексното число, спрегнато към израза в знаменателя:

Честотната характеристика и фазовата характеристика се определят съответно по формулите

, ;

,

Амплитудно-фазова характеристика У(й w) могат да бъдат представени във формата

.

Упражнение 1.6

Определете сигнал г(T) на изхода на системата въз основа на известен входен сигнал и предавателната функция на системата

х(T)=2sin10 T; .

Известно е, че при излагане на входен сигнал х(T)=б sinw Tизходен сигнал към системата г(T) също ще бъде хармоничен, но ще се различава от входната амплитуда и фаза

г(T) = б× А(w) грях

Където А(w) – честотна характеристика на системата; j(w) – фазова характеристика на системата.

С помощта на трансферната функция определяме честотната характеристика и фазовата характеристика

j(w)=–arctg0.1w.

При честота w = 10s –1 А(10) = 4/ = 2 и j(10) = –arctg1=–0,25p.

Тогава г(T) = 2×2 sin(10 T–0,25p) = 4 sin(10 T–0,25p).

Контролни въпроси:

1. Дефинирайте понятието тегловна функция.

2. Дефинирайте понятието преходна функция.

3. За каква цел се използва трансформацията на Лаплас при описване на динамични връзки?

4. Какви уравнения се наричат ​​линейни диференциални?

5. За каква цел, когато се преминава към уравнение в операторна форма, първоначалното диференциално уравнение се трансформира в стандартна форма?

6. Как се елиминира изразът с имагинерно число от знаменателя на амплитудно-фазовата характеристика?

7. Задайте командата за директно преобразуване на Лаплас в софтуерния пакет Matlab.

8. Задайте командата за обратна трансформация на Лаплас в софтуерния пакет Matlab.

Практическа работа 2

Трансферни функции

Упражнение 2.1

Намерете предавателната функция на системата въз основа на нейната структурна диаграма.

Решение

Основните методи за свързване на връзки в блокови схеми са: паралелни, последователни и свързващи връзки с обратна връзка (типични участъци от връзки).

Предавателната функция на система от паралелно свързани връзки е равна на сумата от предавателните функции на отделните връзки (фиг. 2.1)

. (2.1)

Ориз. 2.1. Паралелно свързване на връзки

Трансферната функция на система от последователно свързани връзки е равна на произведението на трансферните функции на отделните връзки (фиг. 2.2)

(2.2)

Ориз. 2.2. Серийно свързване на връзки

Обратната връзка е прехвърлянето на сигнал от изхода на връзката към нейния вход, където сигналът за обратна връзка се сумира алгебрично с външен сигнал (фиг. 2.3).

Ориз. 2.3 Връзка с обратна връзка: а) положителна, б) отрицателна

Предавателна функция на положителна обратна връзка

, (2.3)

предавателна функция на връзка с отрицателна обратна връзка

. (2.4)

Предавателната функция на сложна система за управление се определя на етапи. За да направите това, се идентифицират секции, съдържащи последователни, паралелни връзки и връзки с обратна връзка (типични секции на връзки) (фиг. 2.4)

У 34 (с)=У 3 (с)+У 4 (с); .

Ориз. 2.4. Блокова схема на системата за управление

След това избраният типичен участък от връзки се заменя с една връзка с изчислената предавателна функция и процедурата за изчисление се повтаря (фиг. 2.5 - 2.7).

Ориз. 2.5. Замяна на паралелни и затворени връзки с една връзка

Ориз. 2.6. Замяна на обратна връзка с една връзка

Ориз. 2.7. Замяна на серийна връзка с една връзка

(2.5)

Упражнение 2.2

Определете предавателната функция, ако предавателните функции на нейните съставни части са:

Решение

При заместване в (2.5) на предавателните функции на връзките

Преобразуването на блоковата диаграма спрямо входното управляващо действие (фиг. 2.7, 2.11) може да се получи чрез изчисление (2.5) или с помощта на софтуерния пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.

W1=tf(,)% Функция на предаване У 1

W2=tf(,)% Функция на предаване У 2

W3=tf(,)% Функция на предаване У 3

W4=tf(,)% Функция на предаване У 4

W5=tf(,)% Функция на предаване У 5

W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка ( У 3 + У 4)

W25=обратна връзка (W2,W5)

W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение

W12345=серия (W134,W25)% серийна връзка ( У 134× У 25)

W=обратна връзка (W12345,1)

Упражнение 2.3.

Намерете предавателната функция на система със затворен контур въз основа на смущения

Решение

За да се определи преносната функция на сложна система от смущаващо влияние, е необходимо тя да се опрости и да се разгледа спрямо смущаващото входно влияние (фиг. 2.8 - 2.12).

Фиг.2.8. Първоначална блокова схема на автоматичната система

Ориз. 2.9. Опростяване на блоковата схема

Ориз. 2.10. Опростена блокова схема

Ориз. 2.11. Блокова диаграма спрямо действието за управление на входа

Ориз. 2.12. Блокова схема на системата спрямо смущаващото влияние

След привеждане на структурната схема към едноконтурна, предавателната функция за смущаващото влияние f(T)

(2.6)

Трансформацията на структурната диаграма по отношение на смущаващото влияние (фиг. 2.12) може да се получи чрез изчисление (2.6) или с помощта на програмния пакет Matlab.

W1=tf(,)% Функция на предаване У 1

W2=tf(,)% Функция на предаване У 2

W3=tf(,)% Функция на предаване У 3

W4=tf(,)% Функция на предаване У 4

W5=tf(,)% Функция на предаване У 5

W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка

W25=обратна връзка (W2,W5)% негативно мнение

W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение

Wf=обратна връзка (W25,W134)% негативно мнение.

Упражнение 2. 4

Определете предавателната функция на затворената система за грешката.

Решение

Блокова схема за определяне на предавателната функция на система със затворен контур за грешка в управлението е показана на фиг. 2.13.

Ориз. 2.13. Блокова схема на системата относно грешката на управление

Функция за предаване на затворена верига за грешка

(2.7)

При заместване на числови стойности

Преобразуването на блоковата диаграма спрямо сигнала за контролна грешка (фиг. 2.13) може да се получи чрез изчисление (2.7) или с помощта на софтуерния пакет Matlab.

W1=tf(,)% Функция на предаване У 1

W2=tf(,)% Функция на предаване У 2

W3=tf(,)% Функция на предаване У 3

W4=tf(,)% Функция на предаване У 4

W5=tf(,)% Функция на предаване У 5

W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка)

W25=обратна връзка (W2,W5)% негативно мнение

W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение

Ние=обратна връзка (1,W134*W25)% негативно мнение

Контролни въпроси:

1. Избройте основните начини за свързване на връзки в блокови диаграми.

2. Определете предавателната функция на система от паралелно свързани връзки.

3. Определете предавателната функция на система от последователно свързани връзки.

4. Дефинирайте предавателната функция на положителната обратна връзка.

5. Дефинирайте предавателната функция на отрицателната обратна връзка.

6. Определете предавателната функция на комуникационната линия.

7. Коя команда на Matlab се използва за определяне на предавателната функция на две паралелно свързани връзки?

8. Коя команда на Matlab се използва за определяне на предавателната функция на две последователно свързани връзки?

9. Коя команда на Matlab се използва за определяне на трансферната функция на връзка, покрита от обратна връзка?

10. Начертайте блокова схема на системата, за да определите предавателната функция за управляващото действие.

11. Напишете предавателната функция за управляващото действие.

12. Начертайте блокова схема на системата, за да определите предавателната функция въз основа на смущаващия параметър.

13. Напишете предавателната функция за смущаващия параметър.

14. Начертайте блокова схема на системата за определяне на предавателната функция за грешката на управление.

15. Напишете предавателната функция за грешката на управление.

Практическа работа 3

Разлагане на сложна предавателна функция

Типичните връзки на линейните системи могат да бъдат определени по различни еквивалентни начини, по-специално с помощта на така наречената трансферна функция, която като правило има дробно-рационална форма, т.е. което е отношението на два полинома:

където b i и a j са коефициентите на полиномите. Това е т.нар параметри на трансферната функция или връзката.

Трансферната функция свързва изображението Y(p) на изходния сигнал y(t) на връзка с изображението X(p) на неговия входен сигнал x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

тези. ви позволява да намерите изхода y(t) от всеки известен входен сигнал x(t). Това означава, че от гледна точка на TAU, предавателната функция напълно характеризира системата за управление или нейната връзка. Същото може да се каже и по отношение на набора от коефициенти на полиномите на числителя и знаменателя на предавателната функция.

Функция за прехвърляне на връзкаУ(стр) е отношението на преобразуването на Лаплас на изходното количество към преобразуването на Лаплас на входното количество

2. Кратка информация за позиционните връзки

Позиционните връзки включват следните типични динамични връзки:

Безинерционна връзка,

Апериодична връзка от първи ред,

Апериодична връзка от втори ред,

Осцилаторна връзка

Консервативна връзка.

Времевите характеристики на позиционните връзки са обобщени в табл. 1. Тук също са посочени функциите за прехвърляне на връзките.

А).Безинерционна връзка.

Тази връзка се описва не само в статика, но и в динамика от алгебричното уравнение

х навън = k х вход (2.1)

Предавателната функция на връзката е равна на постоянна стойност

W(p) = x навън (p)/x вход (p) = k (2.2)

Пример за такава връзка е: механична скоростна кутия (без да се отчита явлението усукване и луфт), безинерционен (широколентов) електронен усилвател, делител на напрежение и др. Много сигнални сензори, като потенциометрични сензори, индукционни сензори, въртящи се трансформатори и синхронизатори, фотоклетки и т.н., също могат да се считат за безинерционни връзки.

Като цяло връзката без инерция е известна идеализация на реалните връзки. Всъщност всички връзки се характеризират с известна инерция, така че нито една връзка не е в състояние равномерно да премине всички честоти от 0 до . Обикновено една от реалните връзки, обсъдени по-долу, например апериодична или осцилаторна, се свежда до този тип връзка, ако влиянието на динамичните процеси в тази връзка (т.е. времеви константи) може да бъде пренебрегнато.

б)Апериодична връзка от 1-ви ред

Тази връзка се описва от диференциалното уравнение

, (2.3)

Където T- времева константа, s,

к-коефициент на предаване на връзката.

Функцията за прехвърляне на връзка има формата

(2.4)

Апериодичната връзка е най-простата от онези връзки, които имат инерция. Всъщност тази връзка не реагира веднага, първо бързо, а след това все повече и повече постепенно реагира на поетапно влияние. Това се случва, защото във физическия оригинал на апериодичната връзка има един акумулиращ елемент (както и един или повече енергоемки елементи), съхраняваната енергия в които не може да се промени рязко във времето - това би изисквало безкрайна мощност.

Примери за апериодични връзки от 1-ви ред включват: двигател от всякакъв тип (електрически, хидравличен, пневматичен), генератор на постоянен ток, електрически R.C.- И LR- схеми, магнитен усилвател, газов резервоар, нагревателна пещ. Работните процеси в тези агрегати се описват с общото уравнение (2.3).

V)Апериодична връзка от 2-ри ред

Диференциалното уравнение на връзката има формата:

(2.5)

В този случай корените на характеристичното уравнение

стр 2 + T 1  стр+1=0 (2.6)

трябва да е реално, което ще бъде удовлетворено при условието

T 1  2  T 2 (2.7)