Природна стойност. Естествени числа – основи

Числата са абстрактно понятие. Те са количествена характеристика на обектите и могат да бъдат реални, рационални, отрицателни, цели и дробни, както и натурални.

Естественият ред обикновено се използва при броене, в който естествено възникват количествени обозначения. Запознаването с броенето започва в ранна детска възраст. Кое дете избягва забавни рими, които използват елементи на естествено броене? „Едно, две, три, четири, пет... Зайчето излезе на разходка!“ или "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, кралят реши да ме обеси..."

За всяко естествено число можете да намерите друго, по-голямо от него. Това множество обикновено се обозначава с буквата N и трябва да се счита за безкрайно в посока на нарастване. Но този комплект има начало – той е един. Въпреки че има френски естествени числа, наборът от които също включва нула. Но основните отличителни черти и на двата набора е фактът, че те не включват нито дробни, нито отрицателни числа.

Необходимостта от броене на различни предмети е възникнала в праисторически времена. Тогава се предполага, че се формира понятието „естествени числа“. Неговото формиране се случи през целия процес на промяна на мирогледа на човек и развитието на науката и технологиите.

Все още обаче не можеха да мислят абстрактно. За тях беше трудно да разберат каква е общността на понятията „трима ловци“ или „три дървета“. Следователно при посочване на броя на хората е използвано едно определение, а при посочване на същия брой обекти от различен вид е използвано съвсем различно определение.

И беше изключително кратък. Той съдържаше само числата 1 и 2, а броенето завършваше с понятията „много“, „стадо“, „тълпа“, „купчина“.

По-късно се формира по-прогресивен и по-широк разказ. Интересен факт е, че числата са били само две – 1 и 2, като следващите числа са се получавали чрез събиране.

Пример за това е достигналата до нас информация за числовите редове на австралийското племе.Те имаха 1 за думата “Enza” и 2 за думата “petcheval”. Следователно числото 3 звучеше като „petcheval-Enza“, а 4 звучеше като „petcheval-petcheval“.

Повечето хора признават пръстите като стандарт за броене. По-нататъшното развитие на абстрактната концепция за „естествени числа“ следва пътя на използването на резки върху пръчка. И тогава стана необходимо да обозначим дузина с друг знак. Древните хора намериха нашия изход - започнаха да използват друга пръчка, върху която бяха направени резки, за да обозначат десетици.

Способността за възпроизвеждане на числа се разшири неимоверно с появата на писмеността. Първоначално числата се изобразяват като линии върху глинени плочки или папирус, но постепенно започват да се използват и други икони за писане.Така се появяват римските цифри.

Много по-късно се появиха те, които отвориха възможността за писане на числа със сравнително малък набор от знаци. Днес не е трудно да се запишат такива огромни числа като разстоянието между планетите и броя на звездите. Просто трябва да се научите да използвате степени.

Евклид през 3 век пр. н. е. в книгата „Елементи” установява безкрайността на численото множество, а Архимед в „Псамита” разкрива принципите за конструиране на имената на произволно големи числа. Почти до средата на 19 век хората не са се сблъсквали с необходимостта от ясна формулировка на понятието „естествени числа“. Дефиницията беше необходима с появата на аксиоматичния математически метод.

А през 70-те години на 19 век той формулира ясна дефиниция на естествените числа, основана на понятието за множество. И днес вече знаем, че всички естествени числа са цели числа, като се започне от 1 до безкрайност. Малките деца, правейки първата си крачка в запознаването с царицата на всички науки – математиката – започват да изучават именно тези числа.

1.1.Определение

Извикват се числата, които хората използват, когато броят естествено(например едно, две, три,..., сто, сто едно,..., три хиляди двеста двадесет и едно,...) За записване на естествени числа се използват специални знаци (символи), Наречен в числа.

В наши дни е прието десетична бройна система. Десетичната система (или метод) за записване на числа използва арабски цифри. Това са десет различни цифрови знака: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Най-малкоестественото число е число едно, тонаписано с десетично число - 1. Следващото естествено число се получава от предишното (с изключение на едно) чрез добавяне на 1 (едно). Това добавяне може да се направи много пъти (безкраен брой пъти). Означава, че Не най-великияестествено число. Затова казват, че поредицата от естествени числа е неограничена или безкрайна, тъй като няма край. Естествените числа се записват с десетични цифри.

1.2. Число "нула"

За да посочите липсата на нещо, използвайте числото " нула" или " нула". Пише се с помощта на цифри 0 (нула). Например в една кутия всички топки са червени. Колко от тях са зелени? - Отговор: нула . Това означава, че в кутията няма зелени топки! Числото 0 може да означава, че нещо е приключило. Например Маша имаше 3 ябълки. Тя сподели две с приятели и изяде една сама. Значи тя си е тръгнала 0 (нула) ябълки, т.е. не е останал нито един. Числото 0 може да означава, че нещо не се е случило. Например хокейният мач отбор Русия - отбор Канада завърши с резултат 3:0 (четем „три - нула“) в полза на руския отбор. Това означава, че руският отбор отбеляза 3 гола, а отборът на Канада отбеляза 0 гола и не можа да отбележи нито един гол. Трябва да помним че числото нула не е естествено число.

1.3. Писане на естествени числа

При десетичния начин на записване на естествено число всяка цифра може да представлява различно число. Зависи от мястото на тази цифра в записа на числото. Определено място в записа на естествено число се нарича позиция.Следователно десетичната бройна система се нарича позиционен.Помислете за десетичния запис на 7777 седем хиляди седемстотин седемдесет и седем.Този запис съдържа седем хиляди, седемстотин, седем десетици и седем единици.

Всяко от местата (позициите) в десетичния запис на число се нарича освобождаване от отговорност. Всеки три цифри се комбинират в Клас.Това сливане се извършва отдясно наляво (от края на записа на номера). Различните категории и класове имат свои имена. Обхватът на естествените числа е неограничен. Следователно броят на ранговете и класовете също не е ограничен ( безкрайно). Нека да разгледаме имената на цифрите и класовете, използвайки примера на число с десетична нотация

38 001 102 987 000 128 425:

Класове и звания
квинтилиони		стотици квинтилиони
		десетки квинтилиони
		квинтилиони
квадрилиони		стотици квадрилиони
		десетки квадрилиони
		квадрилиони
трилиони		стотици трилиони
		десетки трилиони
		трилиони
милиарди		стотици милиарди
		десетки милиарди
		милиарди
милиони		стотици милиони
		десетки милиони
		милиони
		стотици хиляди
		десетки хиляди

И така, класовете, започвайки с най-младите, имат имена: единици, хиляди, милиони, милиарди, трилиони, квадрилиони, квинтилиони.

1.4. Битови единици

Всеки от класовете в записа на естествените числа се състои от три цифри. Всеки ранг има цифрови единици. Следните числа се наричат ​​цифрови единици:

1 - цифра единица от единици цифра,

10-цифрена единица от десетици,

100 - стотици цифрена единица,

1 000 - хиляда цифрена единица,

10 000 е единица за десетки хиляди,

100 000 е единица за стотици хиляди,

1 000 000 е милионната цифрена единица и т.н.

Число във всяка от цифрите показва броя на единиците от тази цифра. По този начин числото 9, на мястото на стотиците милиарди, означава, че числото 38 001 102 987 000 128 425 включва девет милиарда (т.е. 9 пъти по 1 000 000 000 или 9-цифрени единици на мястото на милиардите). Празно място от стотици квинтилиони означава, че в даденото число няма стотици квинтилиони или броят им е нула. В този случай номерът 38 001 102 987 000 128 425 може да се изпише по следния начин: 038 001 102 987 000 128 425.

Можете да го запишете по различен начин: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нулите в началото на числото означават празни цифри от висок ред. Обикновено те не се записват, за разлика от нулите в десетичния запис, които задължително отбелязват празни цифри. Така три нули в класа милиони означават, че стотиците милиони, десетките милиони и единиците милиони са празни.

1.5. Съкращения за изписване на числа

При изписване на естествени числа се използват съкращения. Ето няколко примера:

1000 = 1 хиляда (хиляда)

23 000 000 = 23 милиона (двадесет и три милиона)

5 000 000 000 = 5 милиарда (пет милиарда)

203 000 000 000 000 = 203 трилиона. (двеста и три трилиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квадратни метра. (сто седем квадрилиона)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 kwt. (един квинтилион)

Блок 1.1. Речник

Съставете речник на новите термини и определения от §1. За да направите това, напишете думи от списъка с термини по-долу в празните клетки. В таблицата (в края на блока) посочете за всяка дефиниция номера на термина от списъка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В света на големите числа

Икономика .

1. Бюджетът на Русия за следващата година ще бъде: 6328251684128 рубли.
2. Планираните разходи за тази година са: 5124983252134 рубли.
3. Доходите на страната превишават разходите с 1203268431094 рубли.

Въпроси и задачи

1. Прочетете и трите дадени числа
2. Напишете цифрите в класа милиони за всяко от трите числа.

1. Към кой раздел във всяко от числата принадлежи цифрата, намираща се на седма позиция от края на записа на числото?
2. Какъв брой разрядни единици се обозначава с цифрата 2 в записа на първото число?... в записа на второто и третото число?
3. Назовете цифровата единица за осма позиция от края в записа на три числа.

География (дължина)

1. Екваториален радиус на Земята: 6378245 m
2. Обиколка на екватора: 40075696 m
3. Най-голямата дълбочина на световния океан (Марианската падина в Тихия океан) 11500 m

Въпроси и задачи

1. Преобразувайте и трите стойности в сантиметри и прочетете получените числа.
2. За първото число (в см) запишете числата в секциите:

стотици хиляди _______

десетки милиони _______

хиляди _______

милиарди _______

стотици милиони _______

1. За второто число (в см) запишете цифровите единици, съответстващи на числата 4, 7, 5, 9 в записа на числата

1. Преобразувайте третата стойност в милиметри и прочетете полученото число.
2. За всички позиции в записа на третото число (в mm) посочете цифрите и разрядните единици в таблицата:

География (квадрат)

1. Площта на цялата повърхност на Земята е 510 083 хиляди квадратни километра.
2. Площта на сумите на Земята е 148 628 хиляди квадратни километра.
3. Площта на водната повърхност на Земята е 361 455 хиляди квадратни километра.

Въпроси и задачи

1. Преобразувайте и трите стойности в квадратни метри и прочетете получените числа.
2. Назовете класовете и категориите, съответстващи на ненулеви цифри в записа на тези числа (в кв. м).
3. При изписване на третото число (в кв. м) назовете разредните единици, съответстващи на числата 1, 3, 4, 6.
4. В два записа на втората стойност (в кв. км. и кв. м) посочете към кои цифри принадлежи числото 2.
5. Напишете стойностните единици за цифра 2 във вторите обозначения на количеството.

Блок 1.3. Диалог с компютъра.

Известно е, че в астрономията често се използват големи числа. Да дадем примери. Средното разстояние на Луната от Земята е 384 хиляди километра. Разстоянието на Земята от Слънцето (средно) е 149 504 хиляди км, Земята от Марс е 55 милиона км. На компютър, използвайки текстовия редактор на Word, създайте таблици, така че всяка цифра в записа на посочените числа да е в отделна клетка (клетка). За да направите това, изпълнете командите от лентата с инструменти: таблица → добавяне на таблица → брой редове (използвайте курсора, за да зададете „1“) → брой колони (изчислете сами). Създайте таблици за други числа (в блока „Самоподготовка“).

Блок 1.4. Щафета с големи числа

Първият ред на таблицата съдържа голямо число. Прочети го. След това изпълнете задачите: като преместите числата в записа на числата надясно или наляво, вземете следващите числа и ги прочетете. (Не местете нулите в края на числото!). В класната стая щафетата може да се изпълнява, като я предавате един на друг.

Ред 2 . Преместете всички цифри на числото в първия ред вляво през две клетки. Заменете числата 5 със следващото число. Попълнете празните клетки с нули. Прочетете номера.

Ред 3 . Преместете всички цифри на числото във втория ред вдясно през три клетки. Заменете числата 3 и 4 в числото със следните числа. Попълнете празните клетки с нули. Прочетете номера.

Ред 4. Преместете всички цифри на числото в ред 3 една клетка наляво. Заменете числото 6 в класа на трилионите с предишното, а в класа на милиардите със следващото число. Попълнете празните клетки с нули. Прочетете полученото число.

Ред 5 . Преместете всички цифри на числото в ред 4 една клетка надясно. Заменете числото 7 в категорията „десетки хиляди“ с предишното, а в категорията „десетки милиони“ със следващото. Прочетете полученото число.

Ред 6 . Преместете всички цифри на числото в ред 5 наляво през 3 клетки. Заменете числото 8 на мястото на стотици милиарди с предишното, а числото 6 на мястото на стотиците милиони със следващото число. Попълнете празните клетки с нули. Изчислете полученото число.

Ред 7 . Преместете всички цифри на числото в ред 6 в една клетка вдясно. Разменете числата на десетки квадрилиони и десетки милиарди места. Прочетете полученото число.

Ред 8 . Преместете всички цифри на числото в ред 7 наляво през една клетка. Разменете числата на квинтилион и квадрилион места. Попълнете празните клетки с нули. Прочетете полученото число.

Ред 9 . Преместете всички цифри на числото в ред 8 надясно през три клетки. Разменете две съседни цифри от класовете милиони и трилиони в числова линия. Прочетете полученото число.

Ред 10 . Преместете всички цифри на числото в ред 9 една клетка надясно. Прочетете полученото число. Изберете числата, показващи годината на Московската олимпиада.

Блок 1.5. Хайде да играем

Запалете пламъка

Игралното поле е рисунка на коледно дърво. Има 24 крушки. Но само 12 от тях са свързани към електрическата мрежа. За да изберете свързани лампи, трябва да отговорите правилно на въпросите с „Да” или „Не”. Същата игра може да се играе на компютър; правилният отговор „свети“ електрическата крушка.

1. Вярно ли е, че числата са специални знаци за записване на естествени числа? (1 - да, 2 - не)
2. Вярно ли е, че 0 е най-малкото естествено число? (3 - да, 4 - не)
3. Вярно ли е, че в позиционната бройна система една и съща цифра може да представлява различни числа? (5 - да, 6 - не)
4. Вярно ли е, че определено място в десетичния запис на числата се нарича място? (7 - да, 8 - не)
5. Дадено е числото 543 384. Вярно ли е, че броят на най-високите разрядни единици в него е 543, а най-малките са 384? (9 - да, 10 - не)
6. Вярно ли е, че в класа на милиардите най-високата разрядна единица е сто милиарда, а най-ниската е един милиард? (11 - да, 12 - не)
7. Дадено е числото 458 121. Вярно ли е, че сборът от броя на най-високите разрядни единици и броя на най-малките е 5? (13 - да, 14 - не)
8. Вярно ли е, че единицата с най-висока цифра в класа трилиони е милион пъти по-голяма от единицата с най-висока цифра в класа милиони? (15 - да, 16 - не)
9. Дадени са две числа 637,508 и 831. Вярно ли е, че най-високата разрядна единица на първото число е 1000 пъти по-голяма от най-високата разрядна единица на второто число? (17 - да, 18 - не)
10. Дадено е числото 432. Вярно ли е, че най-високата разрядна единица на това число е 2 пъти по-голяма от най-малката? (19 - да, 20 - не)
11. Дадено е числото 100 000 000. Вярно ли е, че броят на разрядните единици в него, съставляващи 10 000, е равен на 1000? (21 - да, 22 - не)
12. Вярно ли е, че преди класа на трилионите има клас на квадрилионите, а преди този клас има клас на квинтилионите? (23 - да, 24 - не)

1.6. Из историята на числата

От древни времена хората са се сблъсквали с необходимостта да преброяват нещата, да сравняват количествата на предмети (например пет ябълки, седем стрели...; в едно племе има 20 мъже и тридесет жени,... ). Имаше нужда и от установяване на ред в определен брой обекти. Например при лов водачът на племето е първи, най-силният воин от племето е втори и т.н. За тези цели са използвани числа. За тях са измислени специални имена. В речта те се наричат ​​числителни: едно, две, три и т.н. са бройни числителни, а първи, втори, трети са редни числителни. Числата се записват с помощта на специални знаци - числа.

С течение на времето се появи бройни системи.Това са системи, които включват начини за писане на числа и извършване на различни операции с тях. Най-древните известни бройни системи са египетската, вавилонската и римската бройни системи. В древни времена в Русия буквите от азбуката със специален знак ~ (заглавие) са били използвани за записване на числа. В момента най-широко използвана е десетичната бройна система. Двоичните, осмичните и шестнадесетичните бройни системи са широко използвани, особено в компютърния свят.

Така че, за да напишете едно и също число, можете да използвате различни знаци - цифри. И така, числото четиристотин двадесет и пет може да бъде написано с египетски цифри - йероглифи:

Това е египетският начин за писане на числа. Това е същото число с римски цифри: CDXXV(римски начин за писане на числа) или десетични цифри 425 (десетична бройна система). В двоична нотация изглежда така: 110101001 (двоична или двоична бройна система), а в осмична - 651 (осмична бройна система). В шестнадесетичната бройна система ще бъде записано: 1A9(шестнадесетична бройна система). Можете да го направите съвсем просто: направете, като Робинзон Крузо, четиристотин двадесет и пет резки (или щрихи) върху дървен стълб - IIIIIIIII…... III. Това са първите изображения на естествени числа.

И така, в десетичната система за писане на числа (при десетичен начин на писане на числа) се използват арабски цифри. Това са десет различни символа - числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . В двоичен - две двоични цифри: 0, 1; в осмично - осем осмични цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадесетичен - шестнадесет различни шестнадесетични цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестдесетичен (вавилонски) - шестдесет различни знака - числа и т.н.)

Десетичните числа дойдоха в европейските страни от Близкия изток и арабските страни. Оттук и името - арабски цифри. Но те дойдоха при арабите от Индия, където бяха изобретени около средата на първото хилядолетие.

1.7. Римска бройна система

Една от древните бройни системи, която се използва днес, е римската система. Представяме в таблицата основните числа от римската бройна система и съответните числа от десетичната система.

Римска цифра					° С
				50 петдесет		500 петстотин	1000 хиляди

Римската бройна система е система за добавяне.В него, за разлика от позиционните системи (например десетичната), всяка цифра представлява едно и също число. Да, запис II- обозначава числото две (1 + 1 = 2), означение III- число три (1 + 1 + 1 = 3), нотация XXX- числото тридесет (10 + 10 + 10 = 30) и т.н. При писане на числа се прилагат следните правила.

1. Ако по-ниското число е следпо-голямо, тогава се добавя към по-голямото: VII- числото седем (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- число седемнадесет (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- числото хиляда сто и петдесет (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Ако по-ниското число е предипо-голямо, тогава се изважда от по-голямото: IX- номер девет (9 = 10 - 1), Л.М.- число деветстотин и петдесет (1000 - 50 = 950).

За да напишете големи числа, трябва да използвате (измислите) нови символи - числа. В същото време записването на числа се оказва тромаво и е много трудно да се извършват изчисления с римски цифри. По този начин годината на изстрелване на първия изкуствен спътник на Земята (1957) в римските записи има формата MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Четене на естествени числа

Тези задачи се проверяват с помощта на карта с кръгчета. Нека обясним приложението му. След като изпълните всички задачи и намерите правилните отговори (те са обозначени с буквите A, B, C и т.н.), поставете лист прозрачна хартия върху картата. Използвайте знаците „X“, за да маркирате правилните отговори върху него, както и съвпадащия знак „+“. След това поставете прозрачния лист върху страницата, така че маркерите за регистрация да се подредят. Ако всички знаци „X“ са в сивите кръгове на тази страница, тогава задачите са изпълнени правилно.

1.9. Ред на четене на естествените числа

Когато четете естествено число, процедирайте по следния начин.

1. Мислено разделете числото на тройки (класове) отдясно наляво, от края на числото.

1. Започвайки от младши клас, от дясно на ляво (от края на номера) запишете имената на класовете: единици, хиляди, милиони, милиарди, трилиони, квадрилиони, квинтилиони.
2. Те четат числото, започвайки от гимназията. В този случай се извикват броя на битовите единици и името на класа.
3. Ако битът съдържа нула (битът е празен), тогава той не се извиква. Ако и трите цифри на посочения клас са нули (цифрите са празни), тогава този клас не се извиква.

Нека прочетем (именуваме) числото, записано в таблицата (виж §1), съгласно стъпки 1 - 4. Мислено разделяме числото 38001102987000128425 на класове от дясно на ляво: 038 001 102 987 000 128 425. Посочваме имената на класове в това число, започвайки от края на неговите записи: единици, хиляди, милиони, милиарди, трилиони, квадрилиони, квинтилиони. Сега можете да прочетете номера, като започнете от старшия клас. Назоваваме трицифрени, двуцифрени и едноцифрени числа, като добавяме името на съответния клас. Ние не наименуваме празни класове. Получаваме следното число:

• 038 - тридесет и осем квинтилиона
• 001 - един квадрилион
• 102 - сто и две трилиона
• 987 - деветстотин осемдесет и седем милиарда
• 000 - ние не назоваваме (не четете)
• 128 - сто двадесет и осем хиляди
• 425 - четиристотин двадесет и пет

В резултат на това четем естественото число 38 001 102 987 000 128 425 по следния начин: "тридесет и осем квинтилиона един квадрилион сто два трилиона деветстотин осемдесет и седем милиарда сто двадесет и осем хиляди четиристотин двадесет и пет."

1.9. Редът на записване на естествените числа

Естествените числа се записват в следния ред.

1. Запишете три цифри от всеки клас, като започнете от най-високия клас до единиците. В този случай за старши клас може да има две или една цифра.
2. Ако класът или категорията не са назовани, тогава в съответните категории се записват нули.

Например число двадесет и пет милиона триста и двезаписано във вида: 25 000 302 (класът на хилядите не е наименуван, така че всички цифри на класа на хилядите се записват с нули).

1.10. Представяне на естествени числа като сбор от разрядни членове

Нека дадем пример: 7 563 429 е десетичният запис на число седем милиона петстотин шестдесет и три хиляди четиристотин двадесет и девет.Това число съдържа седем милиона, петстотин хиляди, шест десет хиляди, три хиляди, четиристотин, две десетици и девет единици. Може да се представи като сбор: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Тази нотация се нарича представяне на естествено число като сума от цифрови членове.

Блок 1.11. Хайде да играем

Dungeon Treasures

На игралното поле има рисунка от приказката на Киплинг "Маугли". Пет сандъка имат катинари. За да ги отворите, трябва да решите проблеми. В същото време, като отворите дървен сандък, получавате една точка. Отварянето на калаен сандък ви дава две точки, меден сандък получава три точки, сребърен сандък получава четири точки, а златен сандък получава пет точки. Този, който отвори всички сандъци най-бързо, печели. Същата игра може да се играе и на компютър.

1. Дървена ракла

Намерете колко пари (в хиляди рубли) има в този сандък. За да направите това, трябва да намерите общия брой на най-малките разрядни единици от милионния клас за числото: 125308453231.

1. Тенекиен сандък

Намерете колко пари (в хиляди рубли) има в този сандък. За да направите това, в числото 12530845323 намерете броя на единиците с най-ниска цифра от класа единици и броя на единиците с най-малка цифра от класа милиони. След това намерете сбора на тези числа и добавете числото на мястото на десетките милиони вдясно.

1. Меден сандък

За да намерите парите в този сандък (в хиляди рубли), трябва да намерите в числото 751305432198203 броя на единиците с най-малката цифра в класа на трилионите и броя на единиците с най-малката цифра в класа на милиардите. След това намерете сбора на тези числа и отдясно напишете естествените числа от класа единици на това число по реда на тяхното разположение.

1. Сребърен сандък

Парите в този сандък (в милиони рубли) ще бъдат показани чрез сумата от две числа: броя на единиците с най-ниска цифра от класа хиляди и единиците със средна цифра от класа милиарди за числото 481534185491502.

1. Златен сандък

Дадено е числото 800123456789123456789. Ако умножим числата в най-високите цифри на всички класове на това число, получаваме парите на този сандък в милион рубли.

Блок 1.12. Съвпада

Писане на естествени числа. Представяне на естествени числа като сбор от разрядни членове

За всяка задача в лявата колона изберете решение от дясната колона. Запишете отговора във формата: 1а; 2g; 3б…

	Напишете числото с цифри:пет милиона двадесет и пет хиляди
	Напишете числото с цифри:пет милиарда двадесет и пет милиона
	Напишете числото с цифри:пет трилиона двадесет и пет
	Напишете числото с цифри:седемдесет и седем милиона седемдесет и седем хиляди седемстотин седемдесет и седем
	Напишете числото с цифри:седемдесет и седем трилиона седемстотин седемдесет и седем хиляди седем
	Напишете числото с цифри:седемдесет и седем милиона седемстотин седемдесет и седем хиляди седем
	Напишете числото с цифри:сто двадесет и три милиарда четиристотин петдесет и шест милиона седемстотин осемдесет и девет хиляди
	Напишете числото с цифри:сто двадесет и три милиона четиристотин петдесет и шест хиляди седемстотин осемдесет и девет
	Напишете числото с цифри:три милиарда единадесет
	Напишете числото с цифри:три милиарда единадесет милиона

Вариант 2

	тридесет и два милиарда сто седемдесет и пет милиона двеста деветдесет и осем хиляди триста четиридесет и едно		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Представете числото като сбор от цифри:триста двадесет и един милиона четиридесет и едно		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Представете числото като сбор от цифри: 321000175298341
	Представете числото като сбор от цифри: 101010101
	Представете числото като сбор от цифри: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Запишете в десетична система числото, представено като сбор от цифри: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Запишете в десетична система числото, представено като сбор от цифри: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Запишете в десетична система числото, представено като сбор от цифри: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Запишете в десетична система числото, представено като сбор от цифри: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетен тест

Името на теста идва от думата „око на насекомото“. Това е сложно око, състоящо се от отделни "оцели". Фасетните тестови задачи се формират от отделни елементи, обозначени с цифри. Обикновено фасетните тестове съдържат голям брой задачи. Но в този тест има само четири задачи, но те са съставени от голям брой елементи. Това е предназначено да ви научи как да „сглобявате“ тестови задачи. Ако можете да ги създадете, можете лесно да се справите с други аспектни тестове.

Нека обясним как се съставят задачите на примера на третата задача. Състои се от тестови елементи, номерирани: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Ако» 1) вземете числа (цифра) от таблицата; 4) 7; 7) поставете го в категория; 11) милиарди; 1) вземете число от таблицата; 5) 8; 7) поставете го в категории; 9) десетки милиони; 10) стотици милиони; 16) стотици хиляди; 17) десетки хиляди; 22) Поставете числата 9 и 6 на хилядни и стотни места. 21) попълнете останалите битове с нули; " ЧЕ» 26) получаваме число, равно на времето (периода) на въртене на планетата Плутон около Слънцето в секунди (s); " Това число е равно на": 7880889600 стр. В отговорите се обозначава с буквата "V".

Когато решавате задачи, използвайте молив, за да записвате числата в клетките на таблицата.

Фасетен тест. Измислете число

Таблицата съдържа числата:

Ако

1) вземете числото(ата) от таблицата:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) поставете тази(ите) цифра(и) в цифрата(ите);

8) стотици квадрилиони и десетки квадрилиони;

9) десетки милиони;

10) стотици милиони;

11) милиарди;

12) квинтилиони;

13) десетки квинтилиони;

14) стотици квинтилиони;

15) трилион;

16) стотици хиляди;

17) десетки хиляди;

18) попълнете класа(ите) с него(тях);

19) квинтилиони;

20) милиард;

21) попълнете останалите битове с нули;

22) поставете числата 9 и 6 на хилядни и стотни места;

23) получаваме число, равно на масата на Земята в десетки тонове;

24) получаваме число, приблизително равно на обема на Земята в кубични метри;

25) получаваме число, равно на разстоянието (в метри) от Слънцето до най-отдалечената планета на Слънчевата система, Плутон;

26) получаваме число, равно на времето (периода) на революция на планетата Плутон около Слънцето в секунди (s);

Това число е равно на:

а) 5929000000000

б) 9999900000000000000000

г) 598000000000000000000

Решавам проблеми:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Отговори

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - в

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

В математиката има няколко различни набора от числа: реални, комплексни, цели, рационални, ирационални, ... В нашата ЕжедневиетоНай-често използваме естествени числа, тъй като ги срещаме при броене и при търсене, обозначавайки броя на обектите.

Във връзка с

Кои числа се наричат ​​естествени?

От десет цифри можете да напишете абсолютно всяка съществуваща сума от класове и рангове. За природни ценности се считат тези които се използват:

• При броене на всякакви предмети (първи, втори, трети, ... пети, ... десети).
• При посочване на броя на елементите (един, два, три...)

N стойностите винаги са цели и положителни. Няма най-голямо N, тъй като наборът от цели числа е неограничен.

внимание!Естествените числа се получават при броене на предмети или при посочване на тяхното количество.

Абсолютно всяко число може да бъде разложено и представено под формата на цифри, например: 8.346.809=8 милиона+346 хиляди+809 единици.

Комплект N

Множеството N е в множеството реални, цели и положителни. На диаграмата на множествата те биха били разположени едно в друго, тъй като множеството от естествени е част от тях.

Множеството от естествени числа се обозначава с буквата N. Това множество има начало, но няма край.

Има и разширено множество N, където е включена нула.

Най-малкото естествено число

В повечето математически училища най-малката стойност на N се счита за единица, тъй като липсата на обекти се счита за празнота.

Но в чуждите математически школи, например във френската, се смята за естествено. Наличието на нула в серията прави доказателството по-лесно някои теореми.

Серия от стойности N, която включва нула, се нарича разширена и се обозначава със символа N0 (нулев индекс).

Редица от естествени числа

N серия е поредица от всички N комплекта цифри. Тази поредица няма край.

Особеността на естествената серия е, че следващото число ще се различава с единица от предишното, тоест ще се увеличава. Но значенията не може да бъде отрицателен.

внимание!За по-лесно преброяване има класове и категории:

• Единици (1, 2, 3),
• Десетки (10, 20, 30),
• Стотици (100, 200, 300),
• Хиляди (1000, 2000, 3000),
• Десетки хиляди (30 000),
• Стотици хиляди (800 000),
• Милиони (4000000) и т.н.

Всички Н

Всички N са в множеството от реални, цели числа, неотрицателни стойности. Техни са интегрална част.

Тези стойности отиват до безкрайност, те могат да принадлежат към класовете милиони, милиарди, квинтилиони и т.н.

Например:

• Пет ябълки, три котенца,
• Десет рубли, тридесет молива,
• Сто килограма, триста книги,
• Милион звезди, три милиона души и т.н.

Последователност в N

В различни математически школи можете да намерите два интервала, към които принадлежи редицата N:

от нула до плюс безкрайност, включително краищата, и от едно до плюс безкрайност, включително краищата, тоест всичко цели положителни отговори.

N набора от цифри могат да бъдат четни или нечетни. Нека разгледаме концепцията за странност.

Нечетни (всяко нечетно число завършва с числата 1, 3, 5, 7, 9.) с две имат остатък. Например 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Какво означава дори N?

Всички четни суми от класове завършват с числа: 0, 2, 4, 6, 8. Когато четното N се раздели на 2, няма да има остатък, тоест резултатът е целият отговор. Например 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

важно!Числова серия от N не може да се състои само от четни или нечетни стойности, тъй като те трябва да се редуват: четното винаги е последвано от нечетно, последвано от четно отново и т.н.

Имоти N

Както всички други множества, N има свои собствени специални свойства. Нека разгледаме свойствата на серията N (неразширена).

• Стойността, която е най-малка и не следва никоя друга, е единица.
• N представлява последователност, тоест една естествена стойност следва друг(с изключение на един - той е първият).
• Когато извършваме изчислителни операции върху N суми от цифри и класове (събиране, умножение), тогава отговорът винаги се оказва естественозначение.
• Пермутацията и комбинацията могат да се използват в изчисленията.
• Всяка следваща стойност не може да бъде по-малка от предишната. Също така в серията N ще важи следният закон: ако числото A е по-малко от B, тогава в числовата серия винаги ще има C, за което е валидно равенството: A+C=B.
• Ако вземем два естествени израза, например A и B, тогава един от изразите ще бъде верен за тях: A = B, A е по-голямо от B, A е по-малко от B.
• Ако A е по-малко от B и B е по-малко от C, тогава следва, че че А е по-малко от С.
• Ако A е по-малко от B, тогава следва, че: ако добавим същия израз (C) към тях, тогава A + C е по-малко от B + C. Също така е вярно, че ако тези стойности се умножат по C, тогава AC е по-малко от AB.
• Ако B е по-голямо от A, но по-малко от C, тогава е вярно: B-A е по-малко от C-A.

внимание!Всички горни неравенства са валидни и в обратна посока.

Как се наричат ​​компонентите на умножението?

В много прости и дори сложни проблеми намирането на отговор зависи от уменията на учениците.

За да умножавате бързо и правилно и да можете да решавате обратни задачи, трябва да знаете компонентите на умножението.

15. 10=150. В този израз има 15 и 10 са множители, а 150 е продукт.

Умножението има свойства, които са необходими при решаване на задачи, уравнения и неравенства:

• Пренареждането на факторите няма да промени крайния продукт.
• За да намерите неизвестен фактор, трябва да разделите продукта на известен фактор (вярно за всички фактори).

Например: 15 . X=150. Нека разделим продукта на известен фактор. 150:15=10. Да направим проверка. 15 . 10=150. По този принцип дори решават сложни линейни уравнения(за да ги опростя).

важно!Един продукт може да се състои от повече от два фактора. Например: 840=2 . 5. 7. 3. 4

Какво представляват естествените числа в математиката?

Места и класове на естествените числа

Заключение

Нека да обобщим. N се използва при броене или посочване на броя на елементите. Поредицата от естествени набори от числа е безкрайна, но включва само цели числа и положителни суми от цифри и класове. Умножението също е необходимо, за да да брои предмети, както и за решаване на задачи, уравнения и различни неравенства.

Математиката възниква от общата философия около шести век пр.н.е. д., и от този момент започва нейното победно шествие по света. Всеки етап от развитието въвежда нещо ново - елементарното броене се развива, трансформира се в диференциално и интегрално смятане, минават векове, формулите стават все по-объркващи и настъпва моментът, в който "започна най-сложната математика - всички числа изчезнаха от нея." Но каква беше основата?

Началото на времето

Естествените числа се появяват заедно с първите математически операции. Един гръб, два гръбнака, три гръбнака... Появиха се благодарение на индийски учени, които разработиха първия позиционен

Думата "позиционност" означава, че местоположението на всяка цифра в числото е строго определено и съответства на неговия ранг. Например, числата 784 и 487 са едни и същи числа, но числата не са еквивалентни, тъй като първото включва 7 стотици, а второто само 4. Индийското нововъведение е подхванато от арабите, които довеждат числата до формата което знаем сега.

В древността на числата е придавано мистично значение; Питагор вярва, че числото е в основата на създаването на света заедно с основните елементи - огън, вода, земя, въздух. Ако разгледаме всичко само от математическата страна, тогава какво е естествено число? Полето от естествени числа се означава като N и представлява безкрайна поредица от числа, които са цели и положителни: 1, 2, 3, … + ∞. Нулата е изключена. Използва се основно за преброяване на елементи и указване на реда.

Какво е в математиката? Аксиомите на Пеано

Поле N е основното, на което се основава елементарната математика. С течение на времето полетата от цели числа, рационални,

Работата на италианския математик Джузепе Пеано направи възможно по-нататъшното структуриране на аритметиката, постигна нейната формалност и подготви пътя за по-нататъшни заключения, които надхвърлиха областта N.

Какво е естествено число беше изяснено по-рано на прост език; по-долу ще разгледаме математическата дефиниция, базирана на аксиомите на Пеано.

• Едно се счита за естествено число.
• Числото, което следва естествено число, е естествено число.
• Няма естествено число пред едно.
• Ако числото b следва както числото c, така и числото d, тогава c=d.
• Аксиома на индукцията, която от своя страна показва какво е естествено число: ако някое твърдение, което зависи от параметър, е вярно за числото 1, тогава приемаме, че то работи и за числото n от полето на естествените числа N. Тогава твърдението е вярно и за n =1 от полето на естествените числа N.

Основни операции за полето на естествените числа

Тъй като поле N беше първото за математически изчисления, към него принадлежат както областите на дефиниция, така и диапазоните от стойности на редица операции по-долу. Те са затворени и не. Основната разлика е, че затворените операции гарантирано оставят резултата в рамките на набора N, независимо от това какви числа са включени. Достатъчно е да са естествени. Резултатът от други числени взаимодействия вече не е толкова ясен и пряко зависи от вида на числата, включени в израза, тъй като може да противоречи на основната дефиниция. И така, затворени операции:

• събиране - x + y = z, където x, y, z са включени в полето N;
• умножение - x * y = z, където x, y, z са включени в полето N;
• степенуване - x y, където x, y са включени в полето N.

Останалите операции, резултатът от които може да не съществува в контекста на определението „какво е естествено число“, са следните:

Свойства на числата, принадлежащи на полето N

Всички по-нататъшни математически разсъждения ще се основават на следните свойства, най-тривиалните, но не по-малко важни.

• Комутативното свойство на събирането е x + y = y + x, където числата x, y са включени в полето N. Или добре познатото „сумата не се променя при смяна на местата на членовете“.
• Комутативното свойство на умножението е x * y = y * x, където числата x, y са включени в полето N.
• Комбинативното свойство на събирането е (x + y) + z = x + (y + z), където x, y, z са включени в полето N.
• Свойството за съвпадение на умножението е (x * y) * z = x * (y * z), където числата x, y, z са включени в полето N.
• разпределително свойство - x (y + z) = x * y + x * z, където числата x, y, z са включени в полето N.

Таблица на Питагор

Една от първите стъпки в познанието на учениците за цялата структура на елементарната математика, след като сами са разбрали кои числа се наричат ​​естествени числа, е таблицата на Питагор. Може да се разглежда не само от научна гледна точка, но и като най-ценен научен паметник.

Тази таблица за умножение е претърпяла редица промени във времето: нулата е премахната от нея, а числата от 1 до 10 се представляват сами, без да се вземат предвид редовете (стотици, хиляди...). Това е таблица, в която заглавията на редовете и колоните са числа, а съдържанието на клетките, където се пресичат, е равно на техния продукт.

В практиката на преподаване през последните десетилетия имаше необходимост от запомняне на таблицата на Питагор „по ред“, тоест запаметяването беше на първо място. Умножението по 1 беше изключено, тъй като резултатът беше множител от 1 или по-голям. Междувременно в таблицата с просто око можете да забележите модел: произведението на числата се увеличава с една стъпка, което е равно на заглавието на реда. Така вторият фактор ни показва колко пъти трябва да вземем първия, за да получим желания продукт. Тази система е много по-удобна от тази, която се е практикувала през Средновековието: дори разбирайки какво е естествено число и колко тривиално е то, хората успяват да усложнят ежедневното си броене, като използват система, която се основава на степени на две.

Подмножество като люлка на математиката

В момента полето на естествените числа N се разглежда само като едно от подмножествата на комплексните числа, но това не ги прави по-малко ценни в науката. Естественото число е първото нещо, което детето научава, когато изучава себе си и света около него. Един пръст, два пръста... Благодарение на него човек развива логическо мислене, както и способността да определя причината и да извежда следствието, проправяйки пътя към велики открития.

Естествените числа са едни от най-старите математически понятия.

В далечното минало хората не са познавали числата и когато е трябвало да преброят предмети (животни, риби и др.), са го правили по различен начин от нас сега.

Броят на обектите беше сравнен с части от тялото, например с пръсти на ръката, и те казаха: „Имам толкова ядки, колкото има пръсти на ръката ми“.

С течение на времето хората разбраха, че пет ореха, пет кози и пет зайци имат общо свойство - броят им е равен на пет.

Помня!

Цели числа- това са числа, започващи от 1, получени чрез броене на предмети.

1, 2, 3, 4, 5…

Най-малкото естествено число — 1 .

Най-голямото естествено числоне съществува.

При броене числото нула не се използва. Следователно нулата не се счита за естествено число.

Хората се научиха да пишат числа много по-късно, отколкото да броят. Първо започнаха да изобразяват едно с една пръчка, след това с две пръчки - числото 2, с три - числото 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Тогава се появиха специални знаци за обозначаване на числата - предшествениците на съвременните числа. Цифрите, които използваме за записване на числа, произхождат от Индия преди приблизително 1500 години. Арабите ги пренасят в Европа, затова се наричат арабски цифри.

Има общо десет числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощта на тези числа можете да напишете всяко естествено число.

Помня!

Естествена серияе последователността от всички естествени числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В естествения ред всяко число е по-голямо от предходното с 1.

Естественият ред е безкраен, в него няма най-голямо естествено число.

Системата за броене, която използваме, се нарича десетичен позиционен.

Десетичен, защото 10 единици от всяка цифра образуват 1 единица от най-значимата цифра. Позиционен, защото значението на една цифра зависи от нейното място в записа на числото, тоест от цифрата, в която е записана.

важно!

Класовете след милиарда са именувани според латинските наименования на числата. Всяка следваща единица съдържа хиляда предишни.

• 1000 милиарда = 1 000 000 000 000 = 1 трилион ("три" е латински за "три")
• 1000 трилиона = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрилион ("квадра" на латински означава "четири")
• 1000 квадрилиона = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтилион ("кинта" е латински за "пет")

Въпреки това, физиците са открили число, което надвишава броя на всички атоми (най-малките частици материя) в цялата Вселена.

Този номер получи специално име - googol. Googol е число със 100 нули.