Намиране на обратната матрица чрез единичната матрица. Висша математика

Подобно на обратното в много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Как да намерите обратното на матрица - bezbotvy

✪ Обратна матрица (2 начина за намиране)

✪ Обратна матрица №1

✪ 2015-01-28. Обратна матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратна матрица 2x2

субтитри

Свойства на обратна матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Където det (\displaystyle \\det )обозначава детерминантата.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни обратими матрици A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Където (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))обозначава транспонирана матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за всеки коефициент k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения, (b е ненулев вектор), където x (\displaystyle x)е желаният вектор и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))съществува, тогава x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В противен случай или размерността на пространството на решенията е по-голяма от нула, или изобщо няма решения.

Методи за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава за намиране на обратната матрица можете да използвате един от следните методи:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Джордан

Нека вземем две матрици: Аи единични д. Нека представим матрицата Акъм матрицата на идентичност, използвайки метода на Гаус-Джордан, като прилагате трансформации по редовете (можете също да прилагате трансформации по колоните, но не смесени). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато редуцирането на първата матрица до единична форма е завършено, втората матрица ще бъде равна на A−1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекционна или диагонална матрица с такива на главния диагонал, с изключение на една позиция):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Стрелка надясно \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\точки &&&\\0&\точки &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&1/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\точки &0\\&&&\точки &&&\\0&\точки &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\точки &1\край (bmatrix))).

Втората матрица след прилагане на всички операции ще бъде равна на Λ (\displaystyle \Lambda), тоест ще е желаната. Сложност на алгоритъма - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Използване на матрицата на алгебричното допълнение

Матрица, обратна на матрица A (\displaystyle A), могат да бъдат представени във формата

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Където adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- съединена матрица;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминантата O det и е равна на O(n²)·O det.

Използване на LU/LUP декомпозиция

Матрично уравнение A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за обратната матрица X (\displaystyle X)може да се разглежда като колекция n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Нека обозначим i (\displaystyle i)та колона на матрицата X (\displaystyle X)през X i (\displaystyle X_(i)); Тогава A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), тъй като i (\displaystyle i)та колона на матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичният вектор e i (\displaystyle e_(i)). с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения с една и съща матрица и различни десни части. След извършване на декомпозицията на LUP (O(n³) време), решаването на всяко от n уравнения отнема O(n²) време, така че тази част от работата също изисква O(n³) време.

Ако матрицата A е неособена, тогава LUP декомпозицията може да бъде изчислена за нея PA = L U (\displaystyle PA=LU). Позволявам P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тогава от свойствата на обратната матрица можем да запишем: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ако умножите това равенство по U и L, можете да получите две равенства на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))И D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Първото от тези равенства е система от n² линейни уравнения за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))от които са известни десните части (от свойствата на триъгълните матрици). Второто също представлява система от n² линейни уравнения за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))от които са известни десните части (също и от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те представляват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи на матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаваме равенството A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

В случай на използване на LU декомпозиция не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но решението може да се разминава дори ако матрицата A е неособена.

Сложността на алгоритъма е O(n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оценка на грешката

Избор на начално приближение

Проблемът с избора на първоначално приближение в процесите на итеративна инверсия на матрицата, разглеждани тук, не ни позволява да ги третираме като независими универсални методи, които се конкурират с методите на директна инверсия, базирани например на LU декомпозицията на матрици. Има някои препоръки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), гарантиращи изпълнението на условието ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единица), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче, първо, се изисква да се знае отгоре оценката за спектъра на обратимата матрица A или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(а именно, ако A е симетрична положително определена матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогава можете да вземете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Където ; ако A е произволна неособена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогава вярват U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), където също α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Можете, разбира се, да опростите ситуацията и да се възползвате от факта, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), слагам U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, когато се указва първоначалната матрица по този начин, няма гаранция, че ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ще бъде малко (може би дори ще се окаже ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), и висок порядък на степента на конвергенция няма да бъде открит веднага.

Примери

Матрица 2х2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Обръщането на матрица 2x2 е възможно само при условие, че a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Обратната матрица за дадена матрица е такава матрица, умножавайки оригиналната, по която се получава единичната матрица: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е детерминантата на оригиналната матрица да е не е равно на нула (което от своя страна предполага, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича сингулярна и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например на намиране на обратната матрицае конструиран матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратна матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Джордан и използването на матрицата на алгебричните добавки. Първият включва голям брой елементарни трансформации вътре в матрицата, вторият включва изчисляване на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

.

Намерете обратната матрица за сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта се правят изчисления с помощта на нашата услуга и се дава резултатът с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точен и правилен отговор. В задачи по определение обратна матрица онлайн, необходимо е детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще отчете невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула. Задачата за намиране обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е една от най-основните концепции на алгебрата и математически инструмент в приложни проблеми. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и голямо внимание, за да се избегнат правописни грешки или дребни грешки в изчисленията. Следователно нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнще улесни значително задачата ви и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратната матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица на нашия уебсайт Изчислете обратна матрица онлайн и проверете отговора си. Нашата система никога не прави грешки и намира обратна матрицададено измерение в режим на линиямоментално! На сайта уебсайтвписванията на символи са разрешени в елементи матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в обща символна форма.

Определение 1:матрица се нарича сингулярна, ако нейният детерминант е нула.

Определение 2:матрица се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.

Матрица "А" се нарича обратна матрица, ако условието A*A-1 = A-1 *A = E (единична матрица) е изпълнено.

Квадратната матрица е обратима само ако не е сингулярна.

Схема за изчисляване на обратната матрица:

1) Изчислете детерминантата на матрица "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.

2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрица "А".

3) Създайте матрица от алгебрични добавки (Aij)

4) Транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T

5) Умножете транспонираната матрица по обратната на детерминантата на тази матрица.

6) Извършете проверка:

На пръв поглед може да изглежда сложно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците „-“ и „+“ и да не ги губите.

Сега нека заедно да решим една практическа задача, като изчислим обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "А", показана на снимката по-долу:

Решаваме всичко точно както е посочено в плана за изчисляване на обратната матрица.

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминантата на матрица "A":

Обяснение:

Опростихме нашия детерминант, използвайки основните му функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, сменихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, извадихме общия множител (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.

Имаме триъгълен детерминант, чиито елементи под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 той е равен на произведението на диагоналните елементи. В крайна сметка получихме ∆ A = 26, следователно обратната матрица съществува.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Следващата стъпка е да се състави матрица от получените добавки:

5. Умножете тази матрица по обратната на детерминантата, т.е. по 1/26:

6. Сега просто трябва да проверим:

По време на теста получихме матрица за идентичност, следователно решението беше изпълнено абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарна матрична трансформация

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножение на низ по число, което не е равно на нула.

2. Добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по число.

3. Разменете редовете на матрицата.

4. Прилагайки верига от елементарни трансформации, получаваме друга матрица.

А -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Нека да разгледаме това с помощта на практически пример с реални числа.

Упражнение:Намерете обратната матрица.

Решение:

Да проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо пренаредихме редове 1 и 2 на матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).

След това умножихме първия ред по (-2) и го добавихме към втория ред на матрицата. След това умножихме ред 2 по 1/4.

Последният етап от трансформацията беше умножаването на втория ред по 2 и добавянето му към първия. В резултат на това имаме матрицата на идентичността отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.

След проверка се убедихме, че решението е правилно.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В края на тази лекция бих искал да отделя малко време и на свойствата на такава матрица.

Матрична алгебра - Обратна матрица

обратна матрица

Обратна матрицае матрица, която, когато се умножи отдясно и отляво по дадена матрица, дава матрицата за идентичност.
Нека означим обратната матрица на матрицата Апрез , тогава според дефиницията получаваме:

Където д– матрица на идентичност.
Квадратна матрицаНаречен не особено (неизродени), ако неговата детерминанта не е нула. Иначе се казва специален (изродени) или единствено число.

Теоремата важи: Всяка неособена матрица има обратна матрица.

Операцията за намиране на обратната матрица се нарича обжалванематрици. Нека разгледаме алгоритъма за инверсия на матрицата. Нека е дадена неособена матрица н-та поръчка:

където Δ = det А ≠ 0.

Алгебрично събиране на елементматрици н-та поръчка Асе нарича детерминанта на матрица, взета с определен знак ( н–1)-ти ред, получен чрез изтриване аз-ти ред и йта колона на матрицата А:

Да създадем т.нар приложенматрица:

където са алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата А.
Обърнете внимание, че алгебричните добавяния на елементи от матрични редове Асе поставят в съответните колони на матрицата Ã , тоест матрицата се транспонира едновременно.
Чрез разделяне на всички елементи на матрицата Ã по Δ – стойността на матричната детерминанта А, получаваме обратната матрица като резултат:

Нека отбележим редица специални свойства на обратната матрица:
1) за дадена матрица Анейната обратна матрица е единственият;
2) ако има обратна матрица, тогава десен реверсИ ляв реверсматриците съвпадат с него;
3) сингулярна (единична) квадратна матрица няма обратна матрица.

Основни свойства на обратната матрица:
1) детерминантата на обратната матрица и детерминантата на оригиналната матрица са реципрочни;
2) обратната матрица на произведението на квадратните матрици е равна на произведението на обратната матрица на факторите, взети в обратен ред:

3) транспонираната обратна матрица е равна на обратната матрица на дадената транспонирана матрица:

ПРИМЕР Изчислете обратната на дадената матрица.

Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

Цел на услугата. С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица A T, свързана матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчислението се представят в отчет във формат Word и Excel (т.е. възможно е да се провери решението). вижте примерен дизайн.

Инструкции. За да се получи решение, е необходимо да се посочи размерът на матрицата. След това попълнете матрица A в новия диалогов прозорец.

Матрично измерение 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вижте също обратна матрица, използваща метода на Йордано-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Намиране на транспонираната матрица A T .
2. Дефиниция на алгебрични добавки. Заменете всеки елемент от матрицата с нейното алгебрично допълнение.
3. Компилиране на обратна матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от получената матрица се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.

Следващия алгоритъм за намиране на обратната матрицаподобно на предишното, с изключение на някои стъпки: първо се изчисляват алгебричните допълнения и след това се определя съюзната матрица C.

1. Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
2. Изчисляване на детерминантата на матрицата A. Ако не е равно на нула, продължаваме решението, в противен случай обратната матрица не съществува.
3. Дефиниция на алгебрични добавки.
4. Попълване на обединителната (взаимна, съпътстваща) матрица C .
5. Съставяне на обратна матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от присъединената матрица C се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.
6. Те правят проверка: умножават оригиналната и получената матрица. Резултатът трябва да бъде матрица за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата във формата: