В практически урок ще разгледаме този път и ще сравним резултатите от симулацията с теоретичното решение. Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване

Математически (абстрактен) обект, чиито елементи са (фиг. 2.1):

• входен (входящ) поток от заявки (изисквания) за услуга;
• сервизни устройства (канали);
• опашка от приложения, чакащи обслужване;
• изходящ (изходящ) поток от обслужвани приложения;
• поток от заявки за допълнителна услуга след прекъсване на услугата;
• поток от необработени заявки.

Приложение(заявка, изискване, обаждане, клиент, съобщение, пакет) - обект, влизащ в QS и изискващ обслужване в устройството. Набор от последователни заявки, разпределени във времето входен поток от заявки.

Ориз. 2.1.

Сервизно устройство(устройство, устройство, канал, линия, инструмент, кола, рутер и др.) - QS елемент, чиято цел е да обслужва заявки.

Обслужване- забавяне на приложението в сервизното устройство за известно време.

Продължителност на услугата- време на забавяне (обслужване) на заявката в устройството.

Устройство за съхранение(buffer, input buffer, output buffer) - набор от места за изчакване на заявки пред обслужващото устройство. Брой места за чакане - капацитет за съхранение.

Заявление, получено от CMO, може да бъде в две състояния:

• 1) обслужване(в устройството);
• 2) очаквания(в хранилището), ако всички устройства са заети с обслужване на други заявки.

Заявки, намиращи се във формуляра за съхранение и чакащи услуга опашкаприложения. Броят приложения в резервоара за съхранение в очакване на обслужване - дължина на опашката.

Буферираща дисциплина(дисциплина на опашка) - правилото за въвеждане на входящи заявки в устройство за съхранение (буфер).

Сервизна дисциплина- правилото за избор на приложения от опашката за обслужване в устройството.

Приоритет- приоритетно право (за изземване на ресурси) за влизане в хранилището или избор от опашка за обслужване в приложенията на устройството от един клас по отношение на приложения от други класове.

Има много системи за масово обслужване, които се различават по структурна и функционална организация. В същото време разработването на аналитични методи за изчисляване на показателите за ефективност на QS система в много случаи предполага наличието на редица ограничения и предположения, които стесняват набора от изследваните QS системи. Ето защо няма общ аналитичен модел за произволна QS със сложна структура.

Аналитичният QS модел е набор от уравнения или формули, които позволяват да се определят вероятностите от състояния на системата по време на нейната работа и показатели за ефективност въз основа на известни параметри на входящия поток и канали за обслужване, буфериране и дисциплини на обслужване.

Аналитичното моделиране на QS е значително улеснено, ако процесите, протичащи в QS, са марковски (потоците от заявки са прости, времето за обслужване се разпределя експоненциално). В този случай всички процеси в QS могат да бъдат описани с обикновени диференциални уравнения, а в граничния случай - за стационарни състояния - с линейни алгебрични уравнения и, след като са решени с помощта на всякакви методи, налични в математическите софтуерни пакети, определят избраните показатели за ефективност .

В IM системите, когато внедряват QS, се приемат следните ограничения и допускания:

• получено приложение в системата моменталнополучава обслужване, ако няма заявки в опашката и устройството е свободно;
• Устройството може да бъде обслужвано само по всяко време. единприложение;
• след приключване на обслужването на всяка заявка в устройството моментално се избира следващата заявка от опашката за обслужване, т.е. не стои без работаако има поне едно приложение в опашката;
• постъпването на заявки в QS и продължителността на тяхното обслужване не зависят от броя на заявките, които вече са в системата, или от други фактори;
• продължителността на обслужване на приложенията не зависи от интензивността на приложенията, влизащи в системата.

Нека разгледаме някои елементи на QS по-подробно.

Входящ (входящ) поток от приложения. Потокът от събитияе поредица от хомогенни събития, които следват едно след друго и се случват в някои, най-общо казано, случаенмоменти във времето. Ако събитието е появата на приложения, имаме поток от приложения.За да се опише потока от приложения в общия случай е необходимо да се зададат времеви интервали t = т.к - t k-1между съседни моменти tk_kИ т.кполучаване на заявления с поредни номера Да се ​​- 1 и Да сесъответно (Да се ​​- 1, 2, ...; t 0 - 0 - начално време).

Основната характеристика на потока на приложението е неговата интензивност X- среден брой заявки, получени на входа на QS за единица време. Стойност t = 1/Xопределя средният интервал от време между две последователни приложения.

Потокът се нарича детерминистиченако интервали от време t домежду съседни приложения приемат определени предварително известни стойности. Ако интервалите са еднакви (x k= t за всички k = 1, 2, ...), тогава се извиква потокът редовен.За пълно описание на редовния поток от заявки е достатъчно да зададете интензивността на потока хили интервална стойност t = 1/X.

Поток, в който интервали от време x kмежду съседни приложения са случайни променливи, т.нар случаен.За да се опише напълно произволният поток от заявки в общия случай, е необходимо да се уточнят законите на разпределение F fc (x fc) за всеки от интервалите от време x k, k = 1,2,....

Произволен поток, в който всички времеви интервали x b x 2,... между съседни последователни заявки са независими случайни променливи, описани от функциите на разпределение FjCij), F 2 (x 2), ... съответно, се нарича поток с ограничено последействие.

Случайният поток се нарича повтарящ се,ако всички времеви интервали x b t 2, ... разпределени между поръчките съгласно същия закон F(t). Има много повтарящи се нишки. Всеки закон за разпределение генерира свой собствен повтарящ се поток. Повтарящите се потоци иначе се наричат ​​Palm потоци.

Ако интензивността хи законът за разпределение F(t) на интервалите между последователни приложения не се променят с времето, тогава потокът от приложения се нарича стационаренИначе потокът от приложения е нестационарни.

Ако във всеки момент от времето т.кНа входа на QS може да се появи само една рекламация, след което се извиква потокът от рекламации обикновени.Ако повече от едно приложение може да се появи във всеки момент, тогава потокът от приложения е такъв извънредно,или група.

Потокът от заявки се нарича поток без последействие,ако бъдат получени заявления независимо от товаедин от друг, т.е. моментът на получаване на следващото заявление не зависи от това кога и колко заявления са получени преди този момент.

Нарича се стационарен обикновен поток без последействие най-простият.

Времевите интервали t между заявките в най-простия поток са разпределени експоненциален (показателен) закон:с функция на разпределение F(t) = 1 - e~ m;плътност на разпределение/(f) = хех ~" аз,Където X> 0 - параметър на разпределение - интензивност на потока от приложения.

Най-простият поток често се нарича поасониански.Името идва от факта, че за този поток вероятността P fc (At) за възникване е точно Да сеприложения за определен времеви интервал At се определя Закон на Поасон:

Трябва да се отбележи, че потокът на Поасон, за разлика от най-простия, може да бъде:

• стационарен,ако интензивността хне се променя с времето;
• нестационарни,ако интензитетът на потока зависи от времето: х= >.(t).

В същото време най-простият поток по дефиниция винаги е неподвижен.

Аналитичните изследвания на моделите на опашката често се извършват при предположението за прост поток от заявки, което се дължи на редица забележителни характеристики, присъщи на него.

1. Сумиране (сливане) на потоци. Най-простият поток в теорията на QS е подобен на нормалния закон за разпределение в теорията на вероятностите: най-простият поток се постига чрез преминаване към границата за поток, който е сбор от потоци с произволни характеристики с безкрайно увеличаване на броя на членовете и намаляване на тяхната интензивност.

Сума ннезависими стационарни обикновени потоци с интензитети X x 2 ,..., X Nобразува най-простия поток с интензитет

X=Y,^iпри условие, че добавяните потоци имат повече от или

по-малко еднакво малко въздействие върху общия поток. На практика общият поток е близък до най-простия, когато N> 5. И така, когато се сумират независими най-прости потоци, общият поток ще бъде най-простиятна всякаква стойност Н.

• 2. Вероятностно разреждане на потока. Вероятностни(Но не детерминиран) вакуум най-простият потокприложения, в които всяко приложение е произволно с известна вероятност Рсе изключва от потока, независимо дали други заявки са изключени или не, води до образуването най-простият потокс интензивност Х* = рХ,Където х- интензивност на първоначалния поток. Поток от изключени приложения с интензивност X** = (1 - p) X- Един и същ най-простиятпоток.
• 3. Ефективност. Ако обслужващите канали (устройства) са проектирани за най-простия поток от заявки с интензитет Х,тогава обслужването на други видове потоци (със същата интензивност) ще бъде осигурено с не по-малка ефективност.
• 4. Простота. Допускането на най-простия поток от заявки позволява на много математически модели да получат в ясна форма зависимостта на QS индикаторите от параметрите. Най-голям брой аналитични резултати са получени за най-простия поток от приложения.

Анализът на модели с потоци на поръчки, различни от най-простите, обикновено усложнява математическите изчисления и не винаги позволява да се получи аналитично решение в ясна форма. „Най-простият“ поток получи името си именно поради тази функция.

Приложенията може да имат различни критерии за стартиране на услугата. В този случай те казват, че приложенията разнородни.Предимствата на някои потоци на приложения пред други в началото на услугата се определят от приоритети.

Важна характеристика на входния поток е коефициентът на вариация

където t int е математическото очакване на дължината на интервала; О- стандартно отклонение на дължината на интервала x int (случайна променлива).

За най-простия поток (a = -, m = -) имаме v = 1. За повечето

реални потоци 0

Сервизни канали (устройства). Основната характеристика на канала е продължителността на услугата.

Продължителност на услугата- времето, през което заявката е в устройството - в общия случай произволна стойност. В случай на разнородно натоварване на QS, продължителността на заявките за обслужване от различни класове може да се различава в законите на разпределението или само в средните стойности. В този случай обикновено се приема, че продължителността на заявките за обслужване на всеки клас е независима.

Практиците често приемат, че продължителността на обслужващите приложения е разпределена експоненциален законкоето значително опростява аналитичните изчисления. Това се дължи на факта, че процесите, протичащи в системи с експоненциално разпределение на времеви интервали, са марковскипроцеси:

където c - интензивност на услугата,тук p = _--; t 0 bsl - математика -

време за изчакване за обслужване.

В допълнение към експоненциалното разпределение има Erlang/c-разпределение, хиперекспоненциално, триъгълно и някои други. Това не трябва да ни обърква, тъй като е показано, че стойността на критериите за ефективност на QS зависи малко от вида на закона за разпределение на времето за обслужване.

При изучаването на QS същността на услугата и качеството на услугата остават извън внимание.

Каналите могат да бъдат абсолютно надежден,тези. не се провалят. Или по-скоро това може да се приеме по време на изследване. Каналите може да имат крайна надеждност.В този случай QS моделът е много по-сложен.

Ефективността на QS зависи не само от параметрите на входните потоци и каналите за обслужване, но и от последователността, в която се обслужват входящите заявки, т.е. относно методите за управление на потока от заявки, когато те влизат в системата и се изпращат за обслужване.

Методите за управление на потоците на приложенията се определят от следните дисциплини:

• буфериране;
• обслужване.

Дисциплините за буфериране и поддръжка могат да бъдат класифицирани според следните критерии:

• наличието на приоритети между приложения от различни класове;
• метод за изместване на заявки от опашката (за буферни дисциплини) и присвояване на заявки за обслужване (за сервизни дисциплини);
• правило за изтласкване или избиране на заявки за услуги;
• способност за промяна на приоритетите.

Вариант на класификация на буферните дисциплини (опашка) в съответствие с изброените характеристики е представен на фиг. 2.2.

Зависи от наличностили липса на приоритетимежду заявки от различни класове, всички дисциплини на буфериране могат да бъдат разделени на две групи: неприоритетни и приоритетни.

от метод за изместване на заявки от хранилищетоМогат да се разграничат следните класове буферни дисциплини:

• без изгонване на заявки - заявките, които са влезли в системата и са намерили устройството напълно пълно, се губят;
• с изместването на приложение от този клас, т.е. същия клас като полученото заявление;
• с изместване на приложението от най-нисък приоритетен клас;
• с изместване на приложението от групата на класовете с нисък приоритет.

Ориз. 2.2.

Могат да се използват следните дисциплини за буфериране: правила за изваждане на заявки от хранилището:

• произволно изместване;
• изместване на последната заявка, т.е. влезе в системата по-късно от всички останали;
• изтласкване на „дълъг“ ред, т.е. намиращи се в хранилището по-дълго от всички получени преди това приложения.

На фиг. 2.3 представя класификация на дисциплините за обслужване на приложения в съответствие със същите критерии като за дисциплините за буфериране.

Понякога капацитетът за съхранение в моделите се приема за неограничен, въпреки че в реална система той е ограничен. Това предположение е оправдано, когато вероятността за загуба на заявка в реална система поради пълен капацитет за съхранение е по-малка от 10_3. В този случай дисциплината практически няма ефект върху ефективността на обслужването на приложенията.

Зависи от наличностили липса на приоритетиМежду заявките от различни класове, всички дисциплини за обслужване, както и дисциплините за буфериране, могат да бъдат разделени на две групи: неприоритетни и приоритетни.

от метод за възлагане на заявки за услугиДисциплините за поддръжка могат да бъдат разделени на дисциплини:

• единичен режим;
• групов режим;
• комбиниран режим.

Ориз. 2.3.

В сервизните дисциплини режим на един играчвсеки път за обслужване е назначен само единприложение, за което опашките се преглеждат след приключване на обслужването на предходното приложение.

В сервизните дисциплини групов режимвсеки път за обслужване е назначена група от приложенияедна опашка, за която преглед на опашки се извършва само след обслужване на всички заявки от предварително зададена група. Новоприсвоената група от заявки може да включва всички заявки от дадената опашка. Заявки от група, назначена за обслужване се избират последователно от опашкатаи се обслужват от устройството, след което следващата група заявки от друга опашка се назначава за обслужване в съответствие с определената дисциплина на обслужване.

Комбиниран режим- комбинация от единичен и групов режим, когато част от опашките на заявките се обработват в единичен режим, а другата част в групов режим.

Дисциплините за обслужване могат да използват следните правила за избор на заявки за обслужване.

Неприоритетни(приложенията нямат привилегии за ранно обслужване - прихващане на ресурси):

• първи дошъл, първи обслужен услуга FIFO (първи в - първи навън,първи влязъл - пръв излязъл);
• обратна услуга- приложението се избира от опашката в режим LIFO (последно в - първи излязълпоследен влязъл - пръв излязъл);
• произволна услуга- приложението се избира от опашката в режим РАНД (случаен- на случаен принцип);
• циклично обслужване- приложенията се избират в процеса на циклично запитване на устройства в последователност 1, 2, нСЪС н- брой задвижвания), след което зададената последователност се повтаря;

Приоритет(приложенията имат привилегии за ранно обслужване - прихващане на ресурси):

• с относителни приоритети- ако в процеса на текущо обслужване на заявление в системата постъпят заявления с по-висок приоритет, тогава обслужването на текущото дори неприоритетно заявление не се прекъсва, а получените заявления се изпращат на опашката; относителните приоритети играят роля само в момента на завършване на текущото обслужване на дадено приложение, когато се избира ново приложение за обслужване от опашката.
• с абсолютни приоритети- при постъпване на приложение с висок приоритет, обслужването на приложение с нисък приоритет се прекъсва и входящото приложение се изпраща за обслужване; прекъснато приложение може да бъде върнато на опашката или изтрито от системата; ако приложението бъде върнато на опашката, тогава по-нататъшното му обслужване може да се извърши от прекъснатото място или отново;
• с смесени приоритети- строгите ограничения на времето за изчакване на опашката за обслужване на отделни заявки изискват определянето на абсолютни приоритети за тях; в резултат на това времето за изчакване за приложения с нисък приоритет може да се окаже неприемливо дълго, въпреки че отделните приложения имат запас от време за изчакване; за спазване на ограниченията за всички видове заявки е възможно, наред с абсолютните приоритети, да се присвоят относителни приоритети на някои заявки и да се обслужват останалите в неприоритетен режим;
• с редуващи се приоритети- аналог на относителните приоритети, приоритетът се взема предвид само в момента на завършване на текущото обслужване на група заявки от една опашка и назначаването на нова група за обслужване;
• планирано обслужване- заявки от различни класове (разположени в различни устройства) се избират за обслужване съгласно определен график, който определя последователността на запитване на опашки от заявки, например, в случай на три класа заявки (устройства), графикът може да изглежда така (2, 1, 3, 3, 1, 2) или (1, 2, 3, 3, 2, 1).

В компютърните системи за IM по правило дисциплината се изпълнява по подразбиране FIFO.Те обаче разполагат с инструменти, които предоставят на потребителя възможност да организира нужните му дисциплини на обслужване, включително и по график.

Заявленията, получени от SMO, се разделят на класове. В QS, който е абстрактен математически модел, приложенията принадлежат към различни класовев случай, че в симулираната реална система те се различават поне по една от следните характеристики:

• продължителност на услугата;
• приоритети.

Ако приложенията не се различават по продължителност на обслужване и приоритети, те могат да бъдат представени от приложения от един и същи клас, включително получени от различни източници.

За да опишем математически дисциплини на обслужване със смесени приоритети, използваме приоритетна матрица,което е квадратна матрица Q = (q, ;), i,j - 1,..., I, I - броят класове приложения, влизащи в системата.

елемент q(jматрица определя приоритета на заявките за клас азвъв връзка с приложения за клас; и може да приема следните стойности:

• 0 - без приоритет;
• 1 - относителен приоритет;
• 2 - абсолютен приоритет.

Елементите на приоритетната матрица трябва да удовлетворяват следното изисквания:

• qn= 0, тъй като не могат да се задават приоритети между заявки от един и същи клас;
• Ако q (j = 1 или 2 тогава р^ = 0, защото ако класът изисква азимат приоритет пред класовите приложения j,тогава последните не могат да имат приоритет пред класовите приложения аз (i,j = 1, ..., I).

Зависи от способност за промяна на приоритетитеПо време на работа на системата приоритетните дисциплини на буфериране и поддръжка са разделени на два класа:

• 1) с статични приоритети,които не се променят във времето;
• 2) с динамични приоритети,които могат да се променят по време на работа на системата в зависимост от различни фактори, например при достигане на определена критична стойност на дължината на опашката на приложения от клас, който няма приоритет или е с нисък приоритет, може да му бъде даден по-висок приоритет .

В IM компютърните системи винаги има един единствен елемент (обект), чрез който и само чрез него се въвеждат приложения в модела. По подразбиране всички въведени заявки са неприоритетни. Но има възможности за задаване на приоритети в последователността 1, 2, ..., включително по време на изпълнение на модела, т.е. в динамика.

Изходен потоке потокът от обслужвани приложения, напускащи QS. В реалните системи заявките преминават през няколко QS: транзитна комуникация, производствен конвейер и др. В този случай изходящият поток е входящият поток за следващия QS.

Входящият поток на първата QS, преминавайки през следващите QS, е изкривен и това усложнява аналитичното моделиране. Трябва обаче да се има предвид, че с най-прост входен поток и експоненциална услуга(тези. в системите на Марков) изходният поток също е най-прост.Ако времето за обслужване има неекспоненциално разпределение, тогава изходящият поток не само не е най-простият, но и не е повтарящ се.

Обърнете внимание, че интервалите от време между заявките на изходящия поток не са същите като сервизните интервали. В крайна сметка може да се окаже, че след края на следващата услуга QS не работи известно време поради липса на приложения. В този случай интервалът на изходящия поток се състои от времето на бездействие на QS и интервала на обслужване на първата заявка, пристигнала след време на празен ход.

В QS, в допълнение към изходящия поток от обслужвани приложения, може също да има поток от необработени заявки.Ако такъв QS получава повтарящ се поток и услугата е експоненциална, тогава потокът от необслужвани заявки е повтарящ се.

Опашки от безплатни канали. При многоканален QS могат да се образуват опашки от свободни канали. Броят на безплатните канали е произволна стойност. Изследователят може да се интересува от различни характеристики на тази случайна променлива. Обикновено това е средният брой канали, заети от услугата по време на интервала на проучване и техните коефициенти на натоварване.

Както отбелязахме по-рано, в реални обекти приложенията се обслужват последователно в няколко QS.

Извиква се краен набор от последователно взаимосвързани QS, които обработват заявки, циркулиращи в тях мрежа за опашка (SeMO) (фиг. 2.4, А).

Ориз. 2.4.

SeMO също се нарича многофазни системи за масово обслужване.

По-късно ще разгледаме пример за конструиране на IM SeMO.

Основните елементи на SeMO са възли (U) и източници (генератори) на приложения (G).

Възелмрежите са система за опашка.

Източник- генератор на заявки, влизащи в мрежата и изискващи определени етапи на обслужване в мрежовите възли.

За опростено представяне на SeMO се използва графика.

Пребройте SeMO- ориентирана графа (диграф), чиито върхове съответстват на възлите на SeMO, а дъгите показват преходите на заявките между възлите (фиг. 2.4, b).

И така, ние разгледахме основните концепции на QS. Но при разработването на компютърни информационни системи и тяхното подобряване със сигурност се използва и огромният творчески потенциал, съдържащ се в момента в аналитичното моделиране на QS.

За да възприемем по-добре този творчески потенциал, като първо приближение, нека се спрем на класификацията на QS моделите.

рисуване 0 - 2 Потоци от събития (a) и най-простият поток (b)

10.5.2.1. Стационарност

Потокът се нарича стационарен , ако вероятността определен брой събития да се появят в елементарен времеви сегмент дължина τ (

Фигура 0-2 , а)зависи само от дължината на сечението и не зависи къде точно по оста T тази област се намира.

Стационарният поток означава неговата равномерност във времето; вероятностните характеристики на такъв поток не се променят в зависимост от времето. По-специално, така нареченият интензитет (или "плътност") на потока от събития - средният брой събития за единица време за стационарен поток - трябва да остане постоянен. Това, разбира се, не означава, че действителният брой събития, появяващи се за единица време, е постоянен; потокът може да има локални кондензации и разреждания. Важно е, че за стационарен поток тези кондензации и разреждания не са от регулярен характер и средният брой събития, попадащи в рамките на един период от време, остава постоянен за целия разглеждан период.

На практика често има потоци от събития, които (поне за ограничен период от време) могат да се считат за стационарни. Например, поток от обаждания, пристигащи на телефонна централа, да речем, между 12 и 13 часа, може да се счита за стационарен. Същият поток вече няма да бъде неподвижен цял ден (през нощта интензивността на потока на повикванията е много по-малка, отколкото през деня). Имайте предвид, че същият е случаят с повечето физически процеси, които наричаме „стационарни“; в действителност те са стационарни само за ограничен период от време и разширяването на този регион до безкрайност е просто удобна техника, използвана за целта на опростяване.

10.5.2.2. Без последействие

Поток от събития се нарича поток без последействие , ако за всякакви периоди от време, които не се припокриват, броят на събитията, попадащи на един от тях, не зависи от това колко събития попадат на другия (или други, ако се вземат предвид повече от два раздела).

В такива потоци събитията, които образуват потока, се появяват в последователни моменти във времето, независимо едно от друго. Например, потокът от пътници, влизащи в метростанция, може да се счита за поток без последствия, тъй като причините, обусловили пристигането на отделен пътник в даден момент, а не в друг, по правило не са свързани с подобни причини за други пътници. Ако се появи такава зависимост, се нарушава условието за липса на последствия.

Помислете например за поток от товарни влакове по железопътна линия. Ако поради условия на безопасност те не могат да следват един след друг по-често от интервали t 0 , тогава има зависимост между събитията в потока и е нарушено условието за липса на последействие. Въпреки това, ако интервалът t 0 е малък спрямо средния интервал между влаковете, то такова нарушение е незначително.

рисуване 0 - 3 Поасоново разпределение

Помислете по оста T най-простият поток от събития с интензитет λ. (Фигура 0-2 b) . Ще се интересуваме от произволния времеви интервал T между съседни събития в този поток; Нека намерим неговия закон за разпределение. Първо, нека намерим функцията за разпределение:

F(t) = P(T ( 0-2)

вероятността стойността T ще има стойност по-малка отT. Нека отложим от началото на интервала T (точки t 0 ) сегмент t и намерете вероятността интервалът T ще има по-малко T . За да направите това, е необходимо, че за участък от дължина T, съседен на точка t 0 , поне едно попадение на събитие в потока. Нека изчислим вероятността за това F(t) чрез вероятността от противоположното събитие (на раздел T няма да удари никакви събития в потока):

F (t) = 1 - P 0

Вероятност P 0намираме от формула (1), като приемемм = 0:

откъдето функцията на разпределение на стойността T ще бъде:

(0-3)

Да се ​​намери плътността на разпределение f(t) случайна величина T,необходимо е да се разграничи изразът (0-1) сT:

0-4)

Законът за разпределение с плътност (0-4) се нарича експоненциален (или експоненциален ). Величината λ се нарича параметър демонстративно право.

Фигура 0 - 4 Експоненциално разпределение

Нека намерим числените характеристики на случайна променлива T- математическо очакване (средна стойност) M [ t ] = m t , и дисперсия Dt. Ние имаме

( 0-5)

(интегриране по части).

Дисперсията на стойността на Т е:

(0-6)

Като вземем корен квадратен от дисперсията, намираме стандартното отклонение на случайната променлива T.

И така, за експоненциално разпределение математическото очакване и стандартното отклонение са равни едно на друго и са обратни на параметъра λ, където λ. интензитет на потока.

По този начин външният вид м събития в даден период от време съответства на разпределението на Поасон, а вероятността времевите интервали между събитията да бъдат по-малки от определен предварително определен брой съответства на експоненциалното разпределение. Всичко това са просто различни описания на един и същ стохастичен процес.

Пример SMO-1 .

Като пример, разгледайте банкова система, която работи в реално време и обслужва голям брой клиенти. В пиковите часове заявките от банковите касиери, работещи с клиенти, образуват Поасонов поток и пристигат средно две за 1 s (λ = 2).Потокът се състои от заявки, пристигащи с интензитет 2 заявки в секунда.

Нека изчислим вероятността P ( m) външен вид m съобщения за 1 сек. Тъй като λ = 2, тогава от предишната формула имаме

Заместване на m = 0, 1, 2, 3, получаваме следните стойности (с точност до четиридесетични знаци):

Фигура 0 - 5 Пример за прост поток

Възможно е да получите повече от 9 съобщения за 1 секунда, но вероятността за това е много ниска (около 0,000046).

Полученото разпределение може да се представи под формата на хистограма (показана на фигурата).

Пример SMO-2.

Устройство (сървър), което обработва три съобщения за 1s.

Нека има оборудване, което може да обработи три съобщения за 1 s (µ=3). Средно се получават две съобщения за 1s и в съответствие с° С Поасоново разпределение. Каква част от тези съобщения ще бъдат обработени веднага след получаване?

Вероятността скоростта на пристигане да бъде по-малка или равна на 3 s се дава от

Ако една система може да обработи максимум 3 съобщения за 1 s, тогава вероятността тя да не бъде претоварена е

С други думи, 85,71% от съобщенията ще бъдат обслужени незабавно, а 14,29% ще бъдат обслужени с известно закъснение. Както можете да видите, рядко ще се случи забавяне в обработката на едно съобщение за време, по-дълго от времето за обработка на 3 съобщения. Времето за обработка на 1 съобщение е средно 1/3 s. Следователно забавяне от повече от 1 s ще бъде рядко явление, което е напълно приемливо за повечето системи.

Пример SMO- 3

· Ако банков касиер е зает през 80% от работното си време и прекарва останалото си време в чакане на клиенти, тогава той може да се счита за устройство с коефициент на използване 0,8.

· Ако се използва комуникационен канал за предаване на 8-битови символи със скорост 2400 bps, т.е. максимум 2400/8 символа се предават за 1 s и ние изграждаме система, в която общото количество данни е 12000 символа изпратени от различни устройства през комуникационен канал за минута от най-тежкото натоварване (включително синхронизация, символи за край на съобщението, контрол и т.н.), тогава степента на използване на оборудването на комуникационния канал през тази минута е равна на

· Ако машина за достъп до файлове извърши 9000 достъпа до файлове по време на натоварен час и средното време за достъп е 300 ms, тогава степента на използване на хардуера в пиковия час на машината за достъп е

Концепцията за използване на оборудването ще се използва доста често. Колкото по-близо до 100% е използването на оборудването, толкова по-голямо е забавянето и толкова по-дълги са опашките.

Използвайки предишната формула, можете да създадете таблици със стойности на функцията на Поасон, от които можете да определите вероятността за пристиганем или повече съобщения за даден период от време. Например, ако има средно 3,1 съобщения в секунда [т.е. д. λ = 3.1], тогава вероятността за получаване на 5 или повече съобщения за дадена секунда е 0,2018 (зам = 5 в таблицата). Или в аналитична форма

Използвайки този израз, системен анализатор може да изчисли вероятността системата да не отговаря на даден критерий за натоварване.

Често първоначалните изчисления могат да бъдат направени за стойностите на натоварването на оборудването

ρ ≤ 0,9

Тези стойности могат да бъдат получени с помощта на таблици на Поасон.

Нека отново средната скорост на пристигане на съобщения λ = 3,1 съобщения/s. От таблиците следва, че вероятността за получаване на 6 или повече съобщения за 1 секунда е 0,0943. Следователно това число може да се приеме като критерий за натоварване за първоначалните изчисления.

10.6.2. Дизайнерски задачи

Ако съобщенията пристигат произволно на устройството, устройството прекарва част от времето си в обработка или обслужване на всяко съобщение, което води до образуването на опашки. Опашка в банката чака освобождаването на касиера и неговия компютър (терминал). Опашка от съобщения във входния буфер на компютъра очаква обработка от процесора. Опашка от заявки за масиви от данни чака каналите да се освободят и т.н. Опашки могат да се образуват при всички тесни места в системата.

Колкото по-висока е степента на използване на оборудването, толкова по-дълги са произтичащите опашки. Както ще бъде показано по-долу, възможно е да се проектира задоволителна операционна система с коефициент на използване ρ = 0,7, но коефициент, надвишаващ ρ > 0,9, може да доведе до влошаване на качеството на услугата. С други думи, ако връзката за групови данни има 20% натоварване, е малко вероятно да има опашка върху нея. Ако се зарежда; е 0,9, тогава по правило ще се образуват опашки, понякога много големи.

Коефициентът на използване на оборудването е равен на съотношението на натоварването на оборудването към максималното натоварване, което това оборудване може да издържи, или е равен на съотношението на времето, през което оборудването е заето, към общото време на неговата работа.

При проектирането на система е обичайно да се оценява коефициентът на използване за различни видове оборудване; съответните примери ще бъдат дадени в следващите глави. Познаването на тези коефициенти ви позволява да изчислите опашките за съответното оборудване.

· Каква е дължината на опашката?

· Колко време ще отнеме?

На този тип въпроси може да се отговори с помощта на теорията на опашките.

10.6.3. Системи за масово обслужване, техните класове и основни характеристики

За QS потоците от събития са потоци от приложения, потоци от „обслужващи“ приложения и т.н. Ако тези потоци не са Поасон (процес на Марков), математическото описание на процесите, протичащи в QS, става несравнимо по-сложно и изисква по-тромаво апарат, довеждането му до аналитични формули е възможно само в най-простите случаи.

Въпреки това, апаратът на „Марковската“ теория на масовото обслужване може да бъде полезен и в случай, че процесът, протичащ в QS, е различен от марковския; с негова помощ могат да бъдат приблизително оценени характеристиките на работата на QS. Трябва да се отбележи, че колкото по-сложна е QS, колкото повече обслужващи канали има, толкова по-точни са приблизителните формули, получени с помощта на теорията на Марков. Освен това в редица случаи, за да се вземат информирани решения за управление на работата на QS, не се изисква точно познаване на всички негови характеристики, често е достатъчно само приблизително, приблизително познаване.

QS се класифицират в системи с:

· неуспехи (със загуби). В такива системи заявка, получена в момент, когато всички канали са заети, получава „отказ“, напуска QS и не участва в по-нататъшния процес на обслужване.

· очакване (с опашка). В такива системи заявка, пристигаща в момент, когато всички канали са заети, се поставя в опашка и чака, докато един от каналите стане свободен. Когато каналът бъде освободен, една от заявките в опашката се приема за обслужване.

Обслужване (дисциплина на опашка) в система за чакане може да бъде

· поръчан (заявленията се обработват по реда на постъпване),

· разстроен(приложенията се сервират в произволен ред) или

· подредени (последната заявка се избира първа от опашката).

· Приоритет

о със статичен приоритет

о с динамичен приоритет

(в последния случай преди tet може например да се увеличи с продължителността на изчакване за приложение).

Системите за опашка се разделят на системи

· с неограничено чакане и

· с ограничени очакване.

В системите с неограничено изчакване всяка заявка, пристигнала в момент, когато няма свободни канали, попада в опашка и „търпеливо“ изчаква канала да стане достъпен и да го приеме за обслужване. Всяко заявление, получено от CMO, рано или късно ще бъде обслужено.

В системи с ограничено изчакване се налагат определени ограничения върху престоя на приложение в опашката. Възможно е да се прилагат тези ограничения

· дължина на опашката (броят на приложенията едновременно в опашката в система с ограничена дължина на опашката),

· времето, прекарано на приложението в опашката (след определен период на престой в опашката, приложението напуска опашката и системата с ограничено време на изчакване напуска),

· общо време на престой на приложението в CMO

и т.н.

В зависимост от вида на QS, определени стойности (показатели за ефективност) могат да се използват при оценката на неговата ефективност. Например за QS с откази една от най-важните характеристики на нейната производителност е т.нар абсолютна производителностсредният брой заявки, които системата може да обслужи за единица време.

Наред с абсолюта често се разглежда относителна производителност QS е средният дял на получените заявления, обслужени от системата (отношението на средния брой заявления, обслужени от системата за единица време, към средния брой заявления, получени през това време).

В допълнение към абсолютната и относителната производителност, когато анализираме QS с неуспехи, в зависимост от изследователската задача, може да се интересуваме от други характеристики, например:

· среден брой заети канали;

· средно относително време на престой на системата като цяло и на отделен канал

и т.н.

Въпросите с очакване имат малко по-различни характеристики. Очевидно, за QS с неограничено чакане, както абсолютната, така и относителната пропускателна способност губят значението си, тъй като всяка получена заявка е раннаили ще бъде сервирано по-късно. За такъв QS важните характеристики са:

· среден брой заявления в опашка;

· среден брой приложения в системата (на опашка и в процес на обслужване);

· средно време за изчакване на заявка на опашката;

· средното време, през което едно приложение остава в системата (на опашка и в услуга);

както и други характеристики на очакването.

За QS с ограничено изчакване и двете групи характеристики представляват интерес: както абсолютна, така и относителна пропускателна способност, и характеристики на изчакване.

За да се анализира процесът, протичащ в QS, е важно да се знаят основните параметри на системата: броят на каналите П,интензивност на потока от приложенияλ , производителността на всеки канал (средният брой заявки μ, обслужвани от канала за единица време), условията за образуване на опашка (ограничения, ако има такива).

В зависимост от стойностите на тези параметри се изразяват експлоатационните характеристики на QS.

10.6.4. Формули за изчисляване на характеристиките на QS за случай на обслужване с едно устройство

Фигура 0 - 6 Модел на система за масово обслужване с опашка

Такива опашки могат да бъдат създадени от съобщения на входа на процесора, очакващи обработка. Те могат да възникнат по време на работа на абонатни точки, свързани към многоточков комуникационен канал. По същия начин се образуват опашки от автомобили на бензиностанциите. Ако обаче има повече от един сервизен вход, имаме опашка с много устройства и анализът става по-сложен.

Нека разгледаме случая на най-простия поток от заявки за услуги.

Целта на представената теория за опашката е да се приближи средният размер на опашката, както и средното време, прекарано от съобщения, чакащи в опашка. Също така е препоръчително да се оцени колко често опашката надвишава определена дължина. Тази информация ще ни позволи да изчислим например необходимото количество буферна памет за съхраняване на опашки от съобщения и съответните програми, необходимия брой комуникационни линии, необходимите размери на буфера за хъбове и т.н. Ще бъде възможно да се оцени времето за реакция.

Всяка от характеристиките варира в зависимост от използваните средства.

Помислете за опашка с един сървър. При проектирането на изчислителна система повечето опашки от този тип се изчисляват с помощта на дадените формули.коефициент на вариация на времето за обслужване

Формулата на Хинчин-Полачек се използва за изчисляване на дължините на опашката при проектиране на информационни системи. Използва се в случай на експоненциално разпределение на времето за пристигане за всяко разпределение на времето за обслужване и всяка контролна дисциплина, стига изборът на следващото съобщение за обслужване да не зависи от времето за обслужване.

При проектирането на системи има ситуации, при които възникват опашки, когато дисциплината на управлението несъмнено зависи от времето за обслужване. Например, в някои случаи може да изберем по-кратки съобщения за приоритетно обслужване, за да постигнем по-ниско средно време за обслужване. Когато управлявате комуникационна линия, можете да зададете по-висок приоритет на входните съобщения, отколкото на изходните съобщения, тъй като първите са по-кратки. В такива случаи вече не е необходимо да се използва уравнението на Хинчин

Повечето времена за обслужване в информационните системи се намират някъде между тези два случая. Времената за поддръжка, равни на постоянна стойност, са редки. Дори времето за достъп до твърдия диск не е постоянно поради различните позиции на масивите от данни на повърхността. Един пример, илюстриращ случая на постоянно време за обслужване, е заемането на комуникационна линия за предаване на съобщения с фиксирана дължина.

От друга страна, разпространението на времето за обслужване не е толкова голямо, колкото при произволното или експоненциалното му разпределение, т.е.σs рядко достига стойностиц. Този случай понякога се смята за „най-лошия случай" и затова те използват формули, свързани с експоненциалното разпределение на времето за обслужване. Такова изчисление може да даде леко завишени размери на опашките и времето за чакане в тях, но тази грешка поне не е опасна.

Експоненциалното разпределение на времето за обслужване, разбира се, не е най-лошият случай, с който да се справите в действителност. Въпреки това, ако времената за обслужване, получени от изчисленията на опашката, се окажат разпределени по-лошо от експоненциално разпределените времена, това често е предупредителен знак за дизайнера. Ако стандартното отклонение е по-голямо от средното, тогава обикновено има нужда от коригиране на изчисленията.

Помислете за следния пример. Има шест вида съобщения с времена на обслужване 15, 20, 25, 30, 35 и 300. Броят на съобщенията от всеки тип е еднакъв. Стандартното отклонение на посочените времена е малко по-високо от средната им стойност. Последната стойност на времето за обслужване е много по-висока от другите. Това ще накара съобщенията да останат в опашката значително по-дълго, отколкото ако времето за обслужване е от същия порядък. В този случай при проектирането е препоръчително да се вземат мерки за намаляване на дължината на опашката. Например, ако тези числа са свързани с дължините на съобщенията, тогава може да си струва да разделите много дългите съобщения на части.

10.6.6. Пример за изчисление

При проектирането на банкова система е желателно да се знае броят на клиентите, които ще трябва да чакат на опашка за един касиер в пиковите часове.

Времето за реакция на системата и нейното стандартно отклонение се изчисляват, като се вземе предвид времето за въвеждане на данни от работната станция, печат и изпълнение на документа.

Действията на касиерката били премерени. Времето за обслужване ts е равно на общото време, прекарано от касиера на клиента. Коефициентът на използване на касата ρ е пропорционален на времето, през което той е зает. Ако λ е броят на клиентите в пиковите часове, тогава ρ за касата е равно на

Да приемем, че в пиковите часове има 30 клиенти на час. Средно един касиер отделя 1,5 минути на клиент. Тогава

ρ =(1,5 * 30) / 60 = 0,75

т.е. касата се използва на 75%.

Броят на хората на опашката може бързо да се оцени с помощта на графики. От тях следва, че ако ρ = 0,75, тогава средният брой хора nqв касова линия е между 1,88 и 3,0 в зависимост от стандартното отклонение зац .

Да предположим, че измерването на стандартното отклонение за tс дава стойност от 0,5 min. Тогава

σ s = 0,33 t s

От графиката на първата фигура намираме, че nq = 2.0, т.е. средно двама клиента ще чакат на касата.

Общото време, прекарано от клиента на касата, може да се намери като

t ∑ = t q + t s = 2,5 минути + 1,5 минути = 4 минути

където t s изчислено по формулата на Хинчин-Полачек.

10.6.7. Коефициент на усилване

Анализирайки кривите, показани на фигурите, виждаме, че когато оборудването, обслужващо опашката, е използвано повече от 80%, кривите започват да растат с тревожна скорост. Този факт е много важен при проектирането на системи за предаване на данни. Ако проектираме система с повече от 80% използване на хардуера, тогава леко увеличение на трафика може да доведе до рязък спад на производителността на системата или дори до нейния срив.

Увеличение на входящия трафик с малко x%. води до увеличаване на размера на опашката с приблизително

Ако степента на използване на оборудването е 50%, тогава това увеличение е равно на 4ts% за експоненциалното разпределение на времето за обслужване. Но ако степента на използване на хардуера е 90%, тогава увеличението на размера на опашката е 100ts%, което е 25 пъти по-голямо. Леко увеличение на натоварването при 90% използване на оборудването води до 25-кратно увеличение на размера на опашката в сравнение със случая на 50% използване на оборудването.

По същия начин времето, прекарано на опашка, се увеличава с

При експоненциално разпределено време на обслужване тази стойност има стойност от 4 t s 2 при коефициент на използване на оборудването 50% и 100 т s 2 за коефициент 90%, т.е. отново 25 пъти по-зле.

В допълнение, за ниски нива на използване на оборудването, ефектът от промените в σs върху размера на опашката е незначителен. Въпреки това, за големи коефициенти промяната в σс силно влияе върху размера на опашката. Следователно, когато се проектират системи с високо използване на оборудването, е желателно да се получи точна информация за параметъраσ с. Неточност на предположението относно експоненциалността на разпределението tсе най-забележимо при големи стойности на ρ. Освен това, ако времето за обслужване внезапно се увеличи, което е възможно в комуникационните канали при предаване на дълги съобщения, тогава в случай на голямо ρ ще се образува значителна опашка.

Доста често, когато се анализират икономически системи, е необходимо да се решат така наречените проблеми с опашката, които възникват в следната ситуация. Нека анализираме система за поддръжка на автомобили, състояща се от няколко станции с различен капацитет. Във всяка станция (системен елемент) могат да възникнат поне две типични ситуации:

1. броят на заявките е твърде голям за дадена станция, възникват опашки и трябва да плащате за забавяне на услугата;
2. станцията получава твърде малко заявки и сега трябва да вземем предвид загубите, причинени от престой на станцията.

Ясно е, че целта на системния анализ в този случай е да се определи някакво съотношение между загубите на приходи поради опашкии загуби поради само азстанции.

Теория на опашките– специален раздел от теорията на системите е раздел от теорията на вероятностите, в който системите за масово обслужване се изучават с помощта на математически модели.

Система за опашка (QS)е модел, който включва: 1) произволен поток от изисквания, обаждания или клиенти, нуждаещи се от услуга; 2) алгоритъм за извършване на тази услуга; 3) канали (устройства) за обслужване.

Примери за доставчици на услуги са каси, бензиностанции, летища, продавачи, фризьори, лекари, телефонни централи и други съоръжения, където се обслужват определени заявки.

Проблем с теорията на опашкатасе състои в разработване на препоръки за рационално изграждане на QS и рационална организация на тяхната работа, за да се осигури висока ефективност на обслужването при оптимални разходи.

Основната характеристика на задачите от този клас е очевидната зависимост на резултатите от анализа и получените препоръки от два външни фактора: честотата на получаване и сложността на поръчките (и следователно времето на тяхното изпълнение).

Предмет на теорията на масовото обслужване е установяването на връзка между характера на потока от заявки, производителността на отделния обслужващ канал, броя на каналите и ефективността на обслужването.

Като характеристики на систематаса считани:

• средният процент заявления, които са отхвърлени и оставят системата необслужена;
• средно време на престой на отделни канали и системата като цяло;
• средно време на чакане на опашка;
• вероятността полученото заявление да бъде незабавно обслужено;
• закон за разпределение на дължината на опашката и други.

Нека добавим, че приложенията (изискванията) пристигат в QS на случаен принцип (в произволни моменти), с точки на кондензация и разреждане. Времето за обслужване за всяка заявка също е произволно, след което каналът за услуга се освобождава и е готов да изпълни следващата заявка. Всеки QS, в зависимост от броя на каналите и тяхната производителност, има определен капацитет. QS пропускателна способностМоже би абсолютен(среден брой заявления, обслужени за единица време) и роднина(средно съотношение на броя обслужени заявления към броя на подадените заявления).

3.1 Модели на системи за масово обслужване.

Всяка QS може да се характеризира с израза: (а б В Г Д Е) , Където

а - разпределение на входния поток от приложения;

b - разпределение на изходящия поток от приложения;

° С – конфигурация на сервизния механизъм;

д – дисциплина на опашката;

д – чакащ блок;

f – капацитет на източника.

Сега нека разгледаме по-отблизо всяка характеристика.

Входящ поток от приложения– броя на заявления, получени в системата. Характеризира се с интензивността на входящия поток л.

Изходен поток от приложения– броя на приложенията, обслужвани от системата. Характеризира се с интензивността на изходящия поток м.

системна конфигурацияпредполага общия брой канали и обслужващи възли. QS може да съдържа:

1. един каналуслуги (една писта, един продавач);
2. включително един обслужващ канал няколко последователни възела(столова, клиника, конвейер);
3. няколко канала от един и същи типуслуги, свързани паралелно (бензиностанции, информационно обслужване, гара).

По този начин е възможно да се разграничат едно- и многоканални QS.

От друга страна, ако всички обслужващи канали в QS са заети, тогава приближеното приложение може да остане в опашката или да напусне системата (например спестовна банка и телефонна централа). В този случай говорим за системи с опашка (изчакване) и системи с откази.

Опашка– това е набор от заявки, които са постъпили в системата за обслужване и очакват обслужване. Опашката се характеризира с дължината на опашката и нейната дисциплина.

Дисциплина на опашката– това е правилото за обслужване на заявки от опашката. Основните типове опашка включват следното:

1. PERPPO (първи дошъл, първи обслужен) е най-често срещаният тип;
2. POSPPO (последен пристигнал, първи обслужен);
3. ROP (произволен избор на приложения) – от базата данни.
4. PR – приоритетна услуга.

Дължина на опашкатаМоже би

• неограничено - тогава говорят за система с чисто очакване;
• равно на нула - тогава се говори за система с повреди;
• ограничена по дължина (система от смесен тип).

Чакащ блок– “капацитет” на системата – общият брой заявки в системата (на опашка и в услуга). По този начин, e=c+д.

Капацитет на източникагенериране на заявки за услуги е максималният брой заявки, които могат да бъдат получени от QS. Например, на летище капацитетът на източника е ограничен от броя на всички съществуващи самолети, а капацитетът на източника на телефонна централа е равен на броя на жителите на Земята, т.е. може да се счита за неограничен.

Броят на QS моделите съответства на броя на възможните комбинации от тези компоненти.

3.2 Поток на входните изисквания.

С всеки период от време [ а, а+ T ], свържете случайната променлива х, равен на броя заявки, получени от системата за времето T.

Потокът от изисквания се нарича стационарен, ако законът за разпределение не зависи от началната точка на интервала А, но зависи само от дължината на дадения интервал T. Например поток от заявки към телефонна централа през деня ( T=24 часа) не може да се счита за неподвижен, но от 13 до 14 часа ( T=60 минути) – можете.

Потокът се нарича без последействие, ако хронологията на потока не влияе на пристигането на искания в бъдеще, т.е. изискванията са независими едно от друго.

Потокът се нарича обикновени, ако не повече от една заявка може да влезе в системата за много кратък период от време. Например потокът до фризьора е обикновен, но до службата по вписванията - не. Но, ако като случайна променлива хза разглеждане на двойки заявления, получени от службата по вписванията, тогава такъв поток ще бъде обикновен (тоест понякога извънреден поток може да бъде намален до обикновен).

Потокът се нарича най-простият, ако е стационарен, без последействие и обикновен.

Основна теорема.Ако потокът е най-простият, тогава r.v. X[a. а+ T] се разпределя по закона на Поасон, т.е. .

Следствие 1. Най-простият поток се нарича още поток на Поасон.

Следствие 2. М(х)= М(Х [ а , а + T ] )= лT, т.е. по време на T лTприложения. Следователно за единица време системата получава средно лприложения. Това количество се нарича интензивноствходен поток.

Нека разгледаме ПРИМЕР .

Студиото получава средно по 3 заявки на ден. Като се има предвид, че потокът е най-простият, намерете вероятността през следващите два дни броят на приложенията да бъде поне 5.

Решение.

Според условията на проблема, л=3, T=2 дни, входният поток е Поасон, н ³5. при вземането на решение е удобно да се въведе обратното събитие, състоящо се в това, че през времето Tще бъдат получени по-малко от 5 заявления. Следователно, според формулата на Поасон, получаваме

^

3.3 Състояние на системата. Матрица и графика на прехода.

В случаен момент QS преминава от едно състояние в друго: променя се броят на заетите канали, броят на заявките и опашките и т.н.. Така QS с нканали и дължина на опашката, равна на м, може да е в едно от следните състояния:

д 0 – всички канали са безплатни;

д 1 – един канал е зает;

д н– всички канали са заети;

д н +1 – всички канали са заети и една заявка е в опашката;

д н + м– всички канали и всички места в опашката са заети.

Подобна система с неуспехи може да има в щатите д 0 – д н .

За QS с чисто очакване има безкраен брой състояния. По този начин, състояние д н QS в даден момент T – това е количеството н приложения (изисквания), намиращи се в системата в даден момент, т.е. н= н(T) - произволна стойност, д н (T) са резултатите от тази случайна променлива и П н (T) – вероятността системата да е в състояние д н .

Вече сме запознати със състоянието на системата. Имайте предвид, че не всички състояния на системата са еквивалентни. Състоянието на системата се нарича източник, ако системата може да излезе от това състояние, но не може да се върне към него. Състоянието на системата се нарича изолиран,ако системата не може да излезе или да влезе в това състояние.

За визуализиране на състоянията на системата се използват диаграми (така наречените преходни графики), в които стрелките показват възможните преходи на системата от едно състояние в друго, както и вероятностите за такива преходи.

Фигура 3.1 – графика на прехода

Comp.	E 0	Е 1	Е 2
E 0	Р 0,0	Р 0,1	Р 0,2
Е 1	P 1.0	P 1.1	R 1.2
Е 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Също така понякога е удобно да се използва преходна матрица. В този случай първата колона показва началните състояния на системата (текущи), а след това са дадени вероятностите за преход от тези състояния към други.

Тъй като системата определено ще премине от един

състояния към друго, тогава сумата от вероятностите във всеки ред винаги е равна на единица.

3.4 Едноканален QS.

3.4.1 Едноканална QS с повреди.

Ще разгледаме системи, които отговарят на изискванията:

(P/E/1):(–/1/¥) . Нека приемем също, че времето, необходимо за обслужване на една заявка, не зависи от броя на заявките, които влизат в системата. Тук и по-долу „P“ означава, че входният поток е разпределен съгласно закона на Поасон, т.е. най-простият, "E" означава, че изходящият поток се разпределя по експоненциален закон. Също така тук и по-долу основните формули са дадени без доказателство.

За такава система са възможни две състояния: д 0 – системата е безплатна и д 1 – системата е заета. Нека създадем матрица на прехода. Да вземем дT- безкрайно малък период от време. Нека събитие А е това в системата във времето дTе получена една заявка. Събитие B е това през времето дTе обслужена една заявка. Събитие А аз , к- по време на дTсистемата ще премине от държавата д азв състояние д к. защото ле интензитетът на входния поток, след това във времето дTсредно влиза в системата l*DTизисквания. Тоест вероятността да получите една заявка P(A)=л* дT, и вероятността от обратното събитие Р(Ā)=1-l*DT.P(B)=Е(дT)= П(b< д T)=1- д - м д T = м дT– вероятност за обслужване на заявка в срок дT. След това A 00 - заявлението няма да бъде получено или ще бъде получено, но ще бъде обслужено. А 00 =А+А * V. P 00 =1 - l*DT. (взехме предвид това (дT) 2 – безкрайно малка стойност)

A 01 – заявлението ще бъде получено, но няма да бъде обслужено. A 01 =A * . R 01 = l*DT.

А 10 – приложението ще бъде обслужено и няма да има ново. A 10 =B * Ā. R 10 = м*ДT.

A 11 – приложението няма да бъде обслужено или ще бъде получено ново, което все още не е обслужено. A 11 = +Б * A.P 01 = 1- м*ДT.

Така получаваме матрицата на прехода:

Comp.	E 0	Е 1
E 0	1-л * Dt	л * Dt
Е 1	м * Dt	1-м * Dt

Възможност за прекъсване и повреда на системата.

Нека сега намерим вероятността системата да е в състояние д 0 по всяко време T(тези. Р 0 ( T) ). Графика на функция
показано на фигура 3.2.

Асимптотата на графиката е правата линия
.

Очевидно започва от някакъв момент T,

1

Фигура 3.2

Най-накрая разбираме това
И
, Където Р 1 (T) – вероятността, че в момента T системата е заета (т.е. е в състояние д 1 ).

Очевидно е, че в началото на работата на QS протичащият процес няма да бъде стационарен: това ще бъде „преходен“, нестационарен режим. След известно време (което зависи от интензитетите на входните и изходните потоци) този процес ще изчезне и системата ще премине в стационарно стабилно състояние на работа, а вероятностните характеристики вече няма да зависят от времето.

Стационарен режим на работа и фактор на натоварване на системата.

Ако вероятността системата да е в състояние д к, т.е. Р к (T), не зависи от времето T, тогава казват, че QS е инсталиран стационарен режимработа. В този случай стойността
Наречен фактор на натоварване на системата(или намалената плътност на потока на приложенията). След това за вероятностите Р 0 (T) И Р 1 (T) получаваме следните формули:
,
. Може също да се заключи: Колкото по-висок е коефициентът на натоварване на системата, толкова по-голяма е вероятността от повреда на системата (т.е. вероятността системата да е заета).

Автомивката разполага с едно звено за поддръжка. Автомобилите пристигат според разпределението на Поасон със скорост 5 автомобила/час. Средното време за обслужване на една машина е 10 минути. Намерете вероятността приближаващата кола да намери системата заета, ако QS работи в стационарен режим.

Решение.Според условията на проблема, л=5, м г =5/6. Трябва да намерим вероятността Р 1 – вероятност от повреда на системата.
.

3.4.2 Едноканален QS с неограничена дължина на опашката.

Ще разгледаме системи, които отговарят на изискванията: (P/E/1):(d/¥/¥). Системата може да бъде в едно от състоянията д 0 , …, д к, ... Анализът показва, че след известно време такава система започва да работи в стационарен режим, ако интензитетът на изходящия поток надвишава интензитета на входния поток (т.е. коефициентът на натоварване на системата е по-малък от единица). Като вземем предвид това условие, получаваме система от уравнения

решавайки което ще открием, че . По този начин, при условие че г<1, получим
накрая
И
– вероятност QS да е в състояние д кв произволен момент от времето.

Средна производителност на системата.

Поради неравномерното постъпване на заявки в системата и колебанията във времето за обслужване, в системата се образува опашка. За такава система може да се изследва:

• н – броя на изискванията в QS (на опашка и в услуга);
• v – дължина на опашката;
• w – време за изчакване за започване на услугата;
• w 0 – общо време, прекарано в системата.

Ще ни е интересно средни характеристики(т.е. вземаме математическото очакване на разглежданите случайни променливи и помним, че г<1).

– среден брой приложения в системата.

– средна дължина на опашката.

– средно време на изчакване за стартиране на услугата, т.е. време за чакане на опашка.

– средното време, което едно приложение прекарва в системата – на опашка и за обслужване.

На автомивката има един сервизен блок и има място за опашка. Автомобилите пристигат според разпределението на Поасон със скорост 5 автомобила/час. Средното време за обслужване на една машина е 10 минути. Намерете всички средни характеристики на QS.

Решение. л=5, м=60min/10min = 6. Фактор на натоварване г =5/6. След това средният брой коли в системата
, средна дължина на опашката
, средно време на изчакване за стартиране на услугата
часа = 50 минути и накрая средното време, прекарано в системата
час.

3.4.3 Едноканална QS от смесен тип.

Да приемем, че дължината на опашката е мизисквания. След това, за всеки с£ м, вероятността QS да е в състоянието д 1+ с, изчислено по формулата
, т.е. едно приложение се обслужва и друго сприложенията са на опашка.

Вероятността от прекъсване на системата е
,

и вероятността от повреда на системата е
.

Дадени са три едноканални системи за всяка л=5, м =6. Но първата система е с откази, втората е с чисто изчакване, а третата е с ограничена дължина на опашката, м=2. Намерете и сравнете вероятностите за прекъсване на тези три системи.

Решение.Коефициент на натоварване на всички системи г=5/6. За система с повреди
. За чиста система на изчакване
. За система с ограничена дължина на опашката
. Изводът е очевиден: колкото повече приложения са в опашката, толкова по-малка е вероятността от прекъсване на системата.

3.5 Многоканален QS.

3.5.1 Многоканален QS с повреди.

Ще разгледаме системи (P/E/s):(-/s/¥) при предположението, че времето за обслужване не зависи от входния поток и всички линии работят независимо. Многоканалните системи, в допълнение към коефициента на натоварване, могат да се характеризират и с коефициента
, Където с– брой канали за обслужване. Чрез изучаване на многоканален QS получаваме следните формули (формули на Erlang) за вероятността системата да бъде в състояние д кв произволен момент:

, k=0, 1, …

Функция на разходите.

Както при едноканалните системи, увеличаването на коефициента на натоварване увеличава вероятността от повреда на системата. От друга страна, увеличаването на броя на обслужващите линии води до увеличаване на вероятността от прекъсване на системата или отделни канали. По този начин е необходимо да се намери оптималният брой канали за обслужване за даден QS. Средният брой безплатни линии за услуги може да се намери с помощта на формулата
. Нека въведем C( с) – функция на разходите QS в зависимост от с 1 – цената на един отказ (глоба за неизпълнено заявление) и от с 2 – цена на престой на една линия за единица време.

За да намерите оптималната опция, трябва да намерите (и това може да се направи) минималната стойност на функцията на разходите: С(с) = s 1* л * стр с +s 2*, чиято графика е представена на фигура 3.3:

Фигура 3.3

Намирането на минималната стойност на функцията на разходите се състои в намирането на нейните стойности първо за с =1, след това за с =2, след това за с =3 и т.н. докато на дадена стъпка стойността на функцията C( с) няма да стане по-голям от предишния. Това означава, че функцията е достигнала своя минимум и е започнала да расте. Отговорът ще бъде броят на каналите за обслужване (стойност с), за които функцията на разходите е минимална.

ПРИМЕР .

Колко обслужващи линии трябва да съдържа QS с повреди, ако л=2 търсене/час, м=1 търсене/час, глобата за всеки отказ е 7 хиляди рубли, цената на престой на една линия е 2 хиляди рубли. в един часа?

Решение. г = 2/1=2. с 1 =7, с 2 =2.

Да приемем, че QS има два обслужващи канала, т.е. с =2. Тогава
. следователно C(2) = c 1 *л*стр 2 +s 2 *(2- y*(1-р 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Нека се преструваме, че с =3. Тогава
, C(3) = c 1 *л*стр 3 +s 2 *
=5.79.

Да приемем, че има четири канала, т.е. с =4. Тогава
,
, C(4) = c 1 *л*стр 4 +s 2 *
=5.71.

Да приемем, че QS има пет обслужващи канала, т.е. с =5. Тогава
, C(5) = 6.7 – повече от предишната стойност. Следователно оптималният брой канали за обслужване е четири.

3.5.2 Многоканален QS с опашка.

Ще разгледаме системи (P/E/s):(d/d+s/¥) при предположението, че времето за обслужване не зависи от входния поток и всички линии работят независимо. Ще кажем, че системата е инсталирана стационарен режим на работа, ако средният брой входящи заявки е по-малък от средния брой обслужени заявки по всички линии на системата, т.е. л

P(w>0) – вероятност за изчакване на началото на услугата,
.

Последната характеристика ни позволява да решим проблема с определянето на оптималния брой канали за обслужване, така че вероятността да изчакаме началото на услугата да е по-малка от дадено число. За да направите това, достатъчно е да изчислите вероятността за последователно изчакване при с =1, с =2, с=3 и т.н.

ПРИМЕР .

SMO е станция за линейка в малък микрорайон. л=3 обаждания на час и м= 4 разговора на час за един екип. Колко екипажа трябва да имате на гарата, така че вероятността да изчакате заминаването да е по-малка от 0,01?

Решение.Коефициент на натоварване на системата г =0,75. Да приемем, че има два налични отбора. Нека намерим вероятността да изчакаме началото на услугата при с =2.
,
.

Да приемем, че има три отбора, т.е. с=3. Според формулите получаваме това Р 0 =8/17, Р(w>0)=0.04>0.01 .

Да приемем, че на гарата има четири екипа, т.е. с=4. Тогава разбираме това Р 0 =416/881, Р(w>0)=0.0077<0.01 . Следователно на гарата трябва да има четири екипа.

3.6 Въпроси за самоконтрол

1. Предмет и задачи на теорията на масовото обслужване.
2. SMO, техните модели и обозначения.
3. Поток на входните изисквания. Интензитет на входния поток.
4. Състояние на системата. Матрица и графика на прехода.
5. Едноканален QS с повреди.
6. Едноканален QS с опашка. Характеристики.
7. Стационарен режим на работа. Коефициент на натоварване на системата.
8. Многоканален QS с повреди.
9. Оптимизиране на функцията на разходите.
10. Многоканален QS с опашка. Характеристики.

3.7 Упражнения за самостоятелна работа

1. Снек барът на бензиностанцията разполага с един гише. Автомобилите пристигат според разпределението на Поасон, със средно 2 автомобила на 5 минути. Средно 1,5 минути са достатъчни за изпълнение на поръчка, въпреки че продължителността на услугата се разпределя по експоненциален закон. Намерете: а) вероятността от прекъсване на сергията; б) средни характеристики; в) вероятността броят на пристигащите превозни средства да бъде поне 10.
2. Рентгеновият апарат позволява преглед на средно 7 човека на час. Интензивността на посетителите е 5 човека на час. При стационарна работа, определете средните характеристики.
3. Времето за обслужване в QS се подчинява на експоненциалния закон,
   м = 7 заявки на час. Намерете вероятността а) времето за обслужване да е в диапазона от 3 до 30 минути; б) заявката ще бъде обслужена в рамките на един час. Използвайте таблицата със стойностите на функциите д х .
4. Речното пристанище разполага с една котвена стоянка, интензивността на входящия поток е 5 кораба на ден. Интензивността на товаро-разтоварните операции е 6 кораба на ден. Имайки предвид стационарния режим на работа, определете всички средни характеристики на системата.
5. л=3, м=2, наказанието за всеки отказ е 5, а цената на престой на една линия е 2?
6. Какъв е оптималният брой канали за обслужване, ако QS трябва да има л=3, м =1, наказанието за всеки отказ е 7, а цената на престой на една линия е 3?
7. Какъв е оптималният брой канали за обслужване, ако QS трябва да има л=4, м=2, наказанието за всеки отказ е 5, а цената на престой на една линия е 1?
8. Определете броя на пистите за самолети, като вземете предвид изискването вероятността за изчакване да бъде по-малка от 0,05. В същото време интензивността на входния поток е 27 самолета на ден, а интензивността на тяхното обслужване е 30 самолета на ден.
9. Колко еквивалентни независими конвейерни линии трябва да има един цех, за да осигури ритъм на работа, при който вероятността за изчакване за обработка на продукти трябва да бъде по-малка от 0,03 (всеки продукт се произвежда от една линия). Известно е, че интензивността на получените поръчки е 30 продукта на час, а интензивността на обработка на продукта от една линия е 36 продукта на час.
10. Непрекъснатата случайна величина X е разпределена по експоненциален закон с параметър l=5. Намерете функцията на разпределение, характеристиките и вероятността за попадение в r.v. X в диапазона от 0,17 до 0,28.
11. Средният брой повиквания, пристигащи в телефонната централа за една минута, е 3. Ако приемем, че потокът е Поасон, намерете вероятността за 2 минути да пристигнат: а) две повиквания; б) по-малко от две обаждания; в) поне две обаждания.
12. В кутията има 17 части, 4 от които са дефектни. Монтажникът избира произволно 5 части. Намерете вероятността а) всички извлечени части да са с високо качество; б) сред извлечените части 3 бяха дефектни.
13. Колко канала трябва да има QS с повреди, ако л=2 търсене/час, м=1 заявка/час, глобата за всеки отказ е 8 хиляди рубли, цената на престой на една линия е 2 хиляди рубли. в един часа?

1. Едноканален QS с повреди.

Пример.Нека едноканален QS с повреди представлява един пост за ежедневна поддръжка (DS) за измиване на автомобили. Заявление - кола, която пристига в момент, когато постът е зает - се отказва услуга.

Дебит на превозното средство = 1,0 (превозни средства на час).

Средната продължителност на услугата е 1,8 часа.

Автомобилният поток и сервизният поток са най-простите.

Трябва да се определив стационарни гранични стойности:

Относителна честотна лента р;

Абсолютна производителност А ;

Вероятности за провал P отворено.

Трябва да се сравни действителен QS пропускателна способност с номинален, което би било, ако всяка кола беше обслужена точно 1,8 часа и колите следваха една след друга без прекъсване.

2. Едноканален QS с изчакване

Характеристики на системата

Ø SMO има един канал.

Ø Входящият поток от заявки за услуги е най-простият поток с интензивност.

Ø Интензитетът на обслужвания поток е равен на m (т.е. средно непрекъснато зает канал ще издаде m обслужени заявки).

Ø Продължителността на услугата е случайна променлива, предмет на експоненциалния закон за разпределение.

Ø Сервизният поток е най-простият Поасонов поток от събития.

Ø Заявка, получена, когато каналът е зает, е на опашка и чака обслужване.

Държавна графика

QS състоянията имат следното тълкуване:

С 0 - „свободен канал“;

С 1 - „каналът е зает“ (няма опашка);

С 2 - „каналът е зает“ (една заявка е на опашка);

…………………………………………………….

сн- „каналът е зает“ ( н-1 заявки са на опашка);

SN- „каналът е зает“ ( н- 1 заявки са на опашката).

Стационарният процес в тази система се описва със следната система от алгебрични уравнения:

Решението на системата от уравнения е:

3. Едноканален QS с ограничена опашка.

Дължина на опашката:( н - 1)

Характеристики на системата:

1. Вероятност за повреда на системната услуга:

2. Относителна производителност на системата:

3. Абсолютна производителност на системата:

4. Среден брой приложения в системата:

5. Средно време, през което едно приложение остава в системата:

6. Средна продължителност на престоя на клиент (заявление) на опашката:

7. Среден брой заявки (клиенти) на опашката (дължина на опашката):

Пример.

Специализираният диагностичен пост е едноканален QS.

Броят на паркингите за чакащи диагностика автомобили е ограничен и равен на 3 [( н- 1) = 3]. Ако всички паркоместа са заети, т.е. вече има три автомобила на опашката, то следващата кола, която пристигне за диагностика, няма да бъде поставена на опашката за сервиз.

Потокът от автомобили, пристигащи за диагностика, се разпределя по закона на Поасон и е с интензитет 0,85 (автомобили на час).

Времето за диагностика на автомобила е разпределено по експоненциален закон и е средно 1,05 часа.

4. Едноканален QS с изчакване

няма ограничение за дължината на опашката

Условията на работа на QS остават непроменени, като се вземе предвид фактът, че N.

Стационарният режим на работа на такава QS съществува:

за всеки н= 0, 1, 2, ... и кога λ < μ .

Система от уравнения, описваща работата на QS:

Решението на системата от уравнения има формата:

2. Средна продължителност на престоя на клиента в системата:

3. Среден брой клиенти на опашка за обслужване:

4. Средна продължителност на времето, което клиентът прекарва на опашка:

Пример.

Специализираният диагностичен пост е едноканален QS. Броят на паркоместата за чакащи диагностика автомобили е неограничен. Потокът от автомобили, пристигащи за диагностика, се разпределя по закона на Поасон и е с интензитет λ = 0,85 (автомобили на час). Времето за диагностика на автомобила е разпределено по експоненциален закон и е средно 1,05 часа.

Необходимо е да се определят вероятностните характеристики на диагностична станция, работеща в стационарен режим.

В резултат на решаването на проблема е необходимо да се определят крайните стойности на следните вероятностни характеристики:

ü вероятност от състояния на системата (диагностична станция);

ü среден брой автомобили в системата (на обслужване и на опашка);

ü средната продължителност на престоя на автомобила в системата (за обслужване и на опашка);

ü среден брой автомобили на опашка за обслужване;

ü средната продължителност на престоя на автомобила в опашката.

1. Параметър на сервизния поток и намален интензитет на потока на превозното средство:

μ = 0,952; ψ = 0,893.

2. Гранични вероятности на състоянието на системата:

П 0 (T) определя частта от времето, през което диагностичният пост е принуден да бъде неактивен (неактивен). В примера този дял е 10,7%, тъй като П 0 (T) = 0,107.

3. Среден брой автомобили в системата

(в обслужване и на опашка):

4. Средна продължителност на престоя на клиента в системата

5. Среден брой автомобили на опашка за обслужване:

6. Средно време, през което колата остава на опашка:

7. Относителна производителност на системата:

р= 1, т.е. всяка заявка, постъпила в системата, ще бъде обслужена.

8. Абсолютна производителност:

Презентационният дизайн на материала е представен във файла “TMO”.

Въпроси и задачи

(според Афанасиев М.Ю.)

Въпрос 1.Един работник поддържа тридесет стана, като гарантира, че те започват след скъсване на нишка. Моделът на такава система за масово обслужване може да се характеризира като:

1) многоканален еднофазен с ограничено население;

2) едноканален монофазен с неограничено население;

3) едноканална многофазна с ограничена популация;

4) едноканален еднофазен с ограничено население;

5) многоканален еднофазен с неограничено население.

Въпрос 2.В теорията на опашките разпределението на вероятностите се използва за описание на най-простия поток от заявки, пристигащи на входа на системата:

1) нормално;

2) експоненциален;

3) Поасон;

4) бином;

Въпрос 3.В теорията на опашките се приема, че броят на заявките в популацията е:

1) фиксирани или променливи;

2) ограничено или неограничено;

3) известни или неизвестни;

4) случаен или детерминиран;

5) нищо от горното не е вярно.

Въпрос 4.Двата основни параметъра, които определят конфигурацията на системата за масово обслужване са:

1) скорост на пристигане и скорост на обслужване;

2) дължина на опашката и правило за обслужване;

3) разпределение на времето между заявките и разпределение на времето за обслужване;

4) брой канали и брой фази на обслужване;

5) нищо от горното не е вярно.

Въпрос 5.В теорията на опашките обикновено се използва вероятностно разпределение, за да се опише времето, прекарано в обслужване на заявки:

1) нормално;

2) експоненциален;

3) Поасон;

4) бином;

5) нищо от горното не е вярно.

Въпрос 6.Ремонт на повредени компютри в Стопански факултет се извършва от трима специалисти, работещи едновременно и независимо един от друг. Моделът на такава система за масово обслужване може да се характеризира като:

1) многоканален с ограничено население;

2) едноканален с неограничено население;

3) едноканален с ограничена популация;

4) едноканален с ограничена опашка;

5) многоканален с неограничено население.

Отговори на въпроси: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

МРЕЖОВО ПЛАНИРАНЕ И УПРАВЛЕНИЕ

Системите за мрежово планиране и управление (NPS) представляват специален тип организирани системи за управление, предназначени да регулират производствените дейности на екипите. Както и в други системи от този клас, „обектът на управление“ в SPU системите е група от изпълнители, които разполагат с определени ресурси: човешки, материални, финансови. Тези системи обаче имат редица характеристики, тъй като тяхната методологична основа се състои от методи за изследване на операциите, теорията на насочените графи и някои раздели на теорията на вероятностите и математическата статистика. Необходимо свойство на системата за планиране и управление е и способността да се оцени текущото състояние, да се предвиди по-нататъшното протичане на работата и по този начин да се повлияе на напредъка на подготовката и производството, така че цялата гама работа да бъде завършена в рамките на даден период от време и в най-ниската цена.

Понастоящем моделите и методите на SPC са широко използвани при планиране и изпълнение на строително-монтажни работи, планиране на търговски дейности, съставяне на счетоводни отчети, разработване на търговски и финансов план и др.

Обхватът на приложение на SPU е много широк: от задачи, свързани с дейността на отделни хора, до проекти, в които участват стотици организации и десетки хиляди хора (например развитието и създаването на голям териториално-промишлен комплекс).

За да се състави работен план за изпълнението на големи и сложни проекти, състоящи се от хиляди отделни проучвания и операции, е необходимо той да бъде описан с помощта на някакъв вид математически модел. Такова средство за описание на проекти (комплекси) е мрежов модел.