Обратен метод на Гаус. Метод на Гаус (последователно елиминиране на неизвестни)
Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.
Същността на метода на Гауссе състои от последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо елиминиране х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, допълнително се изключва х 2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение, което изчисляваме xn-1, и така нататък, от първото уравнение, което намираме х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.
Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.
Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, до n-токъм уравнението добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
.
Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.
След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата 
За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, до n-токъм уравнението добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
където и 
. Така че променливата х 2изключени от всички уравнения, започвайки от третото.
След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното х 3, в този случай действаме по подобен начин с отбелязаната на фигурата част от системата 
Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата 
От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като, използвайки получената стойност x nнамираме xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.
Пример.
Решете система от линейни уравнения 
Метод на Гаус.
От началото на 16-18 век математиците започват интензивно да изучават функциите, благодарение на които толкова много се е променило в живота ни. Компютърните технологии просто не биха съществували без това знание. Създадени са различни концепции, теореми и техники за решаване на сложни проблеми, линейни уравнения и функции. Един от тези универсални и рационални методи и техники за решаване на линейни уравнения и техните системи беше методът на Гаус. Матрици, техният ранг, детерминанта - всичко може да се изчисли без използване на сложни операции.
Какво е SLAU
В математиката съществува понятието SLAE - система от линейни алгебрични уравнения. Каква е тя? Това е набор от m уравнения с необходимите n неизвестни величини, обикновено обозначени като x, y, z или x 1, x 2 ... x n или други символи. Решаването на дадена система с помощта на метода на Гаус означава намиране на всички неизвестни неизвестни. Ако една система има еднакъв брой неизвестни и уравнения, тогава тя се нарича система от n-ти ред.
Най-популярните методи за решаване на SLAE
В учебните заведения за средно образование се изучават различни методи за решаване на такива системи. Най-често това са прости уравнения, състоящи се от две неизвестни, така че всеки съществуващ метод за намиране на отговора на тях няма да отнеме много време. Това може да бъде като метод на заместване, когато друго се извлича от едно уравнение и се замества в оригиналното. Или методът на изваждане и събиране член по член. Но методът на Гаус се счита за най-лесният и универсален. Това дава възможност за решаване на уравнения с произволен брой неизвестни. Защо тази конкретна техника се счита за рационална? Просто е. Хубавото на матричния метод е, че не изисква пренаписване на ненужни символи няколко пъти като неизвестни, достатъчно е да извършите аритметични операции с коефициентите - и ще получите надежден резултат.
Къде се използват SLAE на практика?
Решението на SLAE са точките на пресичане на линиите върху графиките на функциите. В нашата високотехнологична компютърна ера хората, които са тясно свързани с разработването на игри и други програми, трябва да знаят как да решават такива системи, какво представляват и как да проверят правилността на получения резултат. Най-често програмистите разработват специални калкулаторни програми за линейна алгебра, които също включват система от линейни уравнения. Методът на Гаус ви позволява да изчислите всички съществуващи решения. Използват се и други опростени формули и техники.
SLAU критерий за съвместимост
Такава система може да бъде решена само ако е съвместима. За по-голяма яснота нека представим SLAE във формата Ax=b. Има решение, ако rang(A) е равно на rang(A,b). В този случай (A,b) е матрица с разширена форма, която може да бъде получена от матрица A чрез пренаписването й със свободни членове. Оказва се, че решаването на линейни уравнения по метода на Гаус е доста лесно.
Може би някои от символите не са напълно ясни, така че е необходимо да се разгледа всичко с пример. Да кажем, че има система: x+y=1; 2x-3y=6. Състои се само от две уравнения, в които има 2 неизвестни. Системата ще има решение само ако рангът на нейната матрица е равен на ранга на разширената матрица. Какво е ранг? Това е броят на независимите линии на системата. В нашия случай рангът на матрицата е 2. Матрица А ще се състои от коефициенти, разположени близо до неизвестните, а коефициентите, разположени зад знака „=“, също се вписват в разширената матрица.
Защо SLAE могат да бъдат представени в матрична форма?
Въз основа на критерия за съвместимост съгласно доказаната теорема на Кронекер-Капели, система от линейни алгебрични уравнения може да бъде представена в матрична форма. Използвайки каскадния метод на Гаус, можете да решите матрицата и да получите един надежден отговор за цялата система. Ако рангът на обикновена матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица, но е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой отговори.
Матрични трансформации
Преди да преминете към решаване на матрици, трябва да знаете какви действия могат да се извършват върху техните елементи. Има няколко елементарни трансформации:
- Като пренапишете системата в матрична форма и я решите, можете да умножите всички елементи на серията по същия коефициент.
- За да трансформирате матрицата в канонична форма, можете да размените два успоредни реда. Каноничната форма предполага, че всички елементи на матрицата, които са разположени по главния диагонал, стават единици, а останалите - нули.
- Съответните елементи на паралелни редове на матрицата могат да се добавят един към друг.
Метод на Джордан-Гаус
Същността на решаването на системи от линейни еднородни и нехомогенни уравнения по метода на Гаус е постепенното премахване на неизвестните. Да кажем, че имаме система от две уравнения, в които има две неизвестни. За да ги намерите, трябва да проверите системата за съвместимост. Уравнението се решава много просто по метода на Гаус. Необходимо е да се запишат коефициентите, разположени близо до всяко неизвестно в матрична форма. За да разрешите системата, ще трябва да напишете разширената матрица. Ако едно от уравненията съдържа по-малък брой неизвестни, тогава на мястото на липсващия елемент трябва да се постави „0“. Към матрицата се прилагат всички известни методи на трансформация: умножение, деление на число, добавяне на съответните елементи от серията един към друг и други. Оказва се, че във всеки ред е необходимо да оставите една променлива със стойност „1“, останалите трябва да бъдат намалени до нула. За по-точно разбиране е необходимо да разгледаме метода на Гаус с примери.
Прост пример за решаване на система 2x2
Като начало, нека вземем проста система от алгебрични уравнения, в която ще има 2 неизвестни.
Нека го пренапишем в разширена матрица.
За решаването на тази система от линейни уравнения са необходими само две операции. Трябва да приведем матрицата в каноничен вид, така че да има такива по главния диагонал. И така, прехвърляйки от матричната форма обратно към системата, получаваме уравненията: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, където b1 и b2 са получените отговори в процеса на решаване.
- Първото действие при решаване на разширена матрица ще бъде следното: първият ред трябва да се умножи по -7 и да се добавят съответните елементи към втория ред, за да се отърве от едно неизвестно във второто уравнение.
- Тъй като решаването на уравнения по метода на Гаус включва редуциране на матрицата до канонична форма, тогава е необходимо да се извършат същите операции с първото уравнение и да се премахне втората променлива. За да направим това, изваждаме втория ред от първия и получаваме необходимия отговор - решението на SLAE. Или, както е показано на фигурата, умножаваме втория ред по коефициент -1 и добавяме елементите от втория ред към първия ред. Същото е.
Както виждаме, нашата система е решена по метода на Йордан-Гаус. Преписваме го в необходимата форма: x=-5, y=7.
Пример за решение 3x3 SLAE
Да предположим, че имаме по-сложна система от линейни уравнения. Методът на Гаус дава възможност да се изчисли отговорът дори и за най-на пръв поглед объркваща система. Следователно, за да се задълбочите в методологията на изчислението, можете да преминете към по-сложен пример с три неизвестни.
Както в предишния пример, пренаписваме системата под формата на разширена матрица и започваме да я довеждаме до нейната канонична форма.
За да разрешите тази система, ще трябва да извършите много повече действия, отколкото в предишния пример.
- Първо трябва да направите първата колона единичен елемент, а останалите нули. За да направите това, умножете първото уравнение по -1 и добавете второто уравнение към него. Важно е да запомните, че пренаписваме първия ред в оригиналния му вид, а втория в модифициран вид.
- След това премахваме същото това първо неизвестно от третото уравнение. За да направите това, умножете елементите на първия ред по -2 и ги добавете към третия ред. Сега първият и вторият ред са пренаписани в оригиналния си вид, а третият - с промени. Както можете да видите от резултата, получихме първата в началото на главния диагонал на матрицата и останалите нули. Още няколко стъпки и системата от уравнения по метода на Гаус ще бъде надеждно решена.
- Сега трябва да извършите операции с други елементи на редовете. Третото и четвъртото действие могат да бъдат комбинирани в едно. Трябва да разделим втория и третия ред на -1, за да се отървем от минусовите по диагонала. Вече сме довели третия ред до необходимата форма.
- След това привеждаме втория ред в канонична форма. За целта умножаваме елементите от третия ред по -3 и ги добавяме към втория ред на матрицата. От резултата става ясно, че вторият ред също е намален до необходимата ни форма. Остава да извършим още няколко операции и да премахнем коефициентите на неизвестните от първия ред.
- За да направите 0 от втория елемент на ред, трябва да умножите третия ред по -3 и да го добавите към първия ред.
- Следващата решаваща стъпка ще бъде добавянето на необходимите елементи от втория ред към първия ред. По този начин получаваме каноничния вид на матрицата и съответно отговора.
Както можете да видите, решаването на уравнения по метода на Гаус е доста просто.
Пример за решаване на система от уравнения 4x4
Някои по-сложни системи от уравнения могат да бъдат решени по метода на Гаус с помощта на компютърни програми. Необходимо е да въведете коефициентите за неизвестните в съществуващите празни клетки и самата програма стъпка по стъпка ще изчисли необходимия резултат, описвайки подробно всяко действие.
По-долу са описани инструкции стъпка по стъпка за решаване на такъв пример.
В първата стъпка в празни клетки се въвеждат свободни коефициенти и числа за неизвестни. Така получаваме същата разширена матрица, която пишем ръчно.
И се извършват всички необходими аритметични операции, за да се приведе разширената матрица в нейния каноничен вид. Необходимо е да се разбере, че отговорът на система от уравнения не винаги е цели числа. Понякога решението може да бъде от дробни числа.
Проверка на верността на решението
Методът на Йордан-Гаус предвижда проверка на коректността на резултата. За да разберете дали коефициентите са изчислени правилно, просто трябва да замените резултата в оригиналната система от уравнения. Лявата страна на уравнението трябва да съвпада с дясната страна зад знака за равенство. Ако отговорите не съвпадат, тогава трябва да преизчислите системата или да опитате да приложите към нея друг познат ви метод за решаване на SLAE, като заместване или изваждане и събиране член по член. В крайна сметка математиката е наука, която има огромен брой различни методи за решаване. Но помнете: резултатът винаги трябва да е един и същ, без значение какъв метод на решение сте използвали.
Метод на Гаус: най-честите грешки при решаване на SLAE
При решаването на линейни системи от уравнения най-често възникват грешки като неправилно прехвърляне на коефициенти в матричен вид. Има системи, в които някои неизвестни липсват в едно от уравненията; тогава при прехвърляне на данни към разширена матрица те могат да бъдат загубени. В резултат на това при решаването на тази система резултатът може да не съответства на действителния.
Друга голяма грешка може да бъде неправилното изписване на крайния резултат. Необходимо е ясно да се разбере, че първият коефициент ще съответства на първия неизвестен от системата, вторият - на втория и т.н.
Методът на Гаус описва подробно решаването на линейни уравнения. Благодарение на него е лесно да се извършат необходимите операции и да се намери правилният резултат. В допълнение, това е универсален инструмент за намиране на надежден отговор на уравнения с всякаква сложност. Може би затова се използва толкова често при решаване на SLAE.
Определение и описание на метода на Гаус
Методът на трансформация на Гаус (известен също като метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи от уравнение или матрица) за решаване на системи от линейни уравнения е класически метод за решаване на системи от алгебрични уравнения (SLAE). Този класически метод се използва и за решаване на проблеми като получаване на обратни матрици и определяне на ранга на матрица.
Трансформацията с помощта на метода на Гаус се състои от извършване на малки (елементарни) последователни промени в система от линейни алгебрични уравнения, водещи до елиминиране на променливи от нея отгоре надолу с образуването на нова триъгълна система от уравнения, която е еквивалентна на оригиналната един.
Определение 1
Тази част от решението се нарича Гаусово решение напред, тъй като целият процес се извършва отгоре надолу.
След редуциране на оригиналната система от уравнения до триъгълна, всички променливи на системата се намират отдолу нагоре (т.е. първите намерени променливи се намират точно на последните редове на системата или матрицата). Тази част от решението е известна също като обратното на решението на Гаус. Неговият алгоритъм е следният: първо се изчисляват променливите, които са най-близо до дъното на системата от уравнения или матрицата, след което получените стойности се заместват по-високо и по този начин се намира друга променлива и т.н.
Описание на алгоритъма на метода на Гаус
Последователността от действия за общото решение на система от уравнения, използвайки метода на Гаус, се състои в последователно прилагане на ходове напред и назад към матрицата, базирана на SLAE. Нека началната система от уравнения има следния вид:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$
За да се решат SLAE по метода на Гаус, е необходимо да се напише оригиналната система от уравнения под формата на матрица:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Матрицата $A$ се нарича главна матрица и представлява коефициентите на променливите, записани по ред, а $b$ се нарича колона на нейните свободни членове. Матрицата $A$, записана чрез стълб с колона от свободни членове, се нарича разширена матрица:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Сега е необходимо, използвайки елементарни трансформации на системата от уравнения (или на матрицата, тъй като това е по-удобно), да я доведете до следната форма:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)
Матрицата, получена от коефициентите на трансформираната система от уравнения (1), се нарича стъпкова матрица; ето как обикновено изглеждат стъпковите матрици:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
Тези матрици се характеризират със следния набор от свойства:
- Всички негови нулеви редове идват след ненулеви редове
- Ако някой ред от матрица с номер $k$ е различен от нула, тогава предходният ред на същата матрица има по-малко нули от този с номер $k$.
След получаване на стъпковата матрица е необходимо да замените получените променливи в останалите уравнения (започвайки от края) и да получите останалите стойности на променливите.
Основни правила и допустими трансформации при използване на метода на Гаус
Когато опростявате матрица или система от уравнения с помощта на този метод, трябва да използвате само елементарни трансформации.
Такива трансформации се считат за операции, които могат да бъдат приложени към матрица или система от уравнения, без да променят нейното значение:
- пренареждане на няколко реда,
- добавяне или изваждане от един ред на матрица на друг ред от нея,
- умножаване или деление на низ с константа, която не е равна на нула,
- ред, състоящ се само от нули, получени в процеса на изчисляване и опростяване на системата, трябва да бъде изтрит,
- Също така трябва да премахнете ненужните пропорционални линии, като изберете за системата единствената с коефициенти, които са по-подходящи и удобни за по-нататъшни изчисления.
Всички елементарни трансформации са обратими.
Анализ на трите основни случая, които възникват при решаване на линейни уравнения по метода на простите трансформации на Гаус
Има три случая, които възникват при използване на метода на Гаус за решаване на системи:
- Когато една система е непоследователна, т.е. тя няма никакви решения
- Системата от уравнения има решение, при това уникално, а броят на ненулевите редове и колони в матрицата е равен един на друг.
- Системата има определен брой или набор от възможни решения, като броят на редовете в нея е по-малък от броя на колоните.
Резултат от решение с непоследователна система
За тази опция при решаване на матрично уравнение по метода на Гаус е типично да се получи някаква линия с невъзможност за изпълнение на равенството. Следователно, ако се получи поне едно неправилно равенство, получената и първоначалната системи нямат решения, независимо от другите уравнения, които съдържат. Пример за непоследователна матрица:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
В последния ред се появи невъзможно равенство: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Система от уравнения, която има само едно решение
Тези системи, след свеждане до стъпкова матрица и премахване на редове с нули, имат същия брой редове и колони в основната матрица. Ето най-простият пример за такава система:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
Нека го запишем под формата на матрица:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
За да доведем първата клетка от втория ред до нула, ние умножаваме горния ред по $-2$ и го изваждаме от долния ред на матрицата и оставяме горния ред в оригиналната му форма, като резултат имаме следното :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Този пример може да бъде написан като система:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
Долното уравнение дава следната стойност за $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Заместете тази стойност в горното уравнение: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, получаваме $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Система с много възможни решения
Тази система се характеризира с по-малък брой значими редове от броя на колоните в нея (взети са предвид редовете на основната матрица).
Променливите в такава система са разделени на два типа: основни и безплатни. Когато трансформирате такава система, основните променливи, съдържащи се в нея, трябва да бъдат оставени в лявата област до знака "=", а останалите променливи трябва да бъдат преместени в дясната страна на равенството.
Такава система има само определено общо решение.
Нека анализираме следната система от уравнения:
$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$
Нека го запишем под формата на матрица:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
Нашата задача е да намерим общо решение на системата. За тази матрица базовите променливи ще бъдат $y_1$ и $y_3$ (за $y_1$ - тъй като е на първо място, а в случая на $y_3$ - тя се намира след нулите).
Като базисни променливи избираме точно тези, които са първите в редицата и не са равни на нула.
Останалите променливи се наричат свободни, чрез тях трябва да изразим основните.
Използвайки така наречения обратен ход, анализираме системата отдолу нагоре; за да направим това, първо изразяваме $y_3$ от долния ред на системата:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Сега заместваме изразеното $y_3$ в горното уравнение на системата $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Ние изразяваме $y_1$ по отношение на свободни променливи $y_2$ и $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Разтворът е готов.
Пример 1
Решаване на слау с помощта на метода на Гаус. Примери. Пример за решаване на система от линейни уравнения, дадени от матрица 3 на 3, използвайки метода на Гаус
$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$
Нека напишем нашата система под формата на разширена матрица:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Сега, за удобство и практичност, трябва да трансформирате матрицата така, че $1$ да е в горния ъгъл на най-външната колона.
За да направите това, към първия ред трябва да добавите линията от средата, умножена по $-1$, и да напишете средната линия така, както се оказва, се оказва:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(масив)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(масив) $
Умножете горния и последния ред по $-1$ и разменете последния и средния ред:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(масив)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(масив)$
И разделете последния ред на $3$:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
Получаваме следната система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:
$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$
От горното уравнение изразяваме $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Пример 2
Пример за решаване на система, дефинирана с помощта на матрица 4 на 4, използвайки метода на Гаус
$\begin(масив)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.
В началото разменяме горните редове след него, за да получим $1$ в горния ляв ъгъл:
$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.
Сега умножете горния ред по $-2$ и добавете към 2-ри и 3-ти. Към 4-ти добавяме 1-ви ред, умножен по $-3$:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(масив)$
Сега към ред номер 3 добавяме ред 2, умножен по $4$, а към ред 4 добавяме ред 2, умножен по $-1$.
$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \край (масив)$
Умножаваме ред 2 по $-1$ и разделяме ред 4 на $3$ и заместваме ред 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \край (масив)$
Сега към последния ред добавяме предпоследния, умножен по $-5$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \край (масив)$
Решаваме получената система от уравнения:
$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$
1. Система от линейни алгебрични уравнения
1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения
Система от уравнения е състояние, състоящо се от едновременно изпълнение на няколко уравнения по отношение на няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (наричана по-нататък SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, се нарича система от вида:
където числата a ij се наричат системни коефициенти, числата b i се наричат свободни членове, a ijИ b i(i=1,…, m; b=1,…, n) представляват някои известни числа и x 1 ,…, x n– неизвестен. При обозначаването на коеф a ijпървият индекс i означава номера на уравнението, а вторият j е номерът на неизвестното, на което стои този коефициент. Трябва да се намерят числата x n. Удобно е да напишете такава система в компактна матрична форма: AX=B.Тук A е матрицата на системните коефициенти, наречена основна матрица;
– колонен вектор от неизвестни xj. е колонен вектор от свободни членове bi.
Продуктът на матриците A*X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n части).
Разширената матрица на система е матрицата А на системата, допълнена от колона от свободни членове
1.2 Решаване на система от линейни алгебрични уравнения
Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), при заместването им вместо променливи всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.
Решението на система е n стойности на неизвестните x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при заместването на които всички уравнения на системата стават верни равенства. Всяко решение на системата може да бъде написано като колонна матрица
Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма никакво решение.
За последователна система се казва, че е детерминирана, ако има едно решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко нейно решение се нарича частно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.
Решаването на една система означава да разберете дали тя е съвместима или непоследователна. Ако системата е последователна, намерете нейното общо решение.
Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.
Трансформация, чието прилагане превръща една система в нова система, еквивалентна на първоначалната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Примерите за еквивалентни трансформации включват следните трансформации: размяна на две уравнения на система, размяна на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножаване на двете страни на всяко уравнение на система с ненулево число.
Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:
Една хомогенна система винаги е последователна, тъй като x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.
2. Метод на елиминиране на Гаус
2.1 Същността на метода на елиминиране на Гаус
Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни - Метод на Гаус(нарича се още метод на елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне с последната (чрез число) променливи.
Процесът на решаване по метода на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.
1. Директен удар.
На първия етап се извършва така нареченото директно движение, когато чрез елементарни трансформации по редовете системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е несъвместима. А именно, сред елементите на първата колона на матрицата изберете ненулев, преместете го на най-горната позиция, като пренаредите редовете, и извадете получения първи ред от останалите след пренареждането редове, като го умножите по стойност равно на съотношението на първия елемент на всеки от тези редове към първия елемент на първия ред, като по този начин нулира колоната под него.
След приключване на посочените трансформации, първият ред и първата колона се задраскват мислено и се продължава, докато остане матрица с нулев размер. Ако на която и да е итерация няма различен от нула елемент сред елементите на първата колона, тогава отидете на следващата колона и изпълнете подобна операция.
На първия етап (директен ход) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.
Системата по-долу има поетапна форма:
,
Коефициентите aii се наричат главни (водещи) елементи на системата.
(ако a11=0, пренаредете редовете на матрицата така, че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, защото в противен случай матрицата съдържа нулева колона, нейният детерминант е равен на нула и системата е непоследователна).Нека трансформираме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по
и добавете член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение извадете член по член с първото, умножено по ). След това умножаваме двете страни на първото уравнение по и ги добавяме към третото уравнение на системата (или от третото изваждаме първото, умножено по ). Така последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към азред, за i= 2, 3, …,н.Продължавайки този процес, получаваме еквивалентна система:
– нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите: Така на първата стъпка се унищожават всички коефициенти, лежащи под първия водещ елемент a 11
0, във втората стъпка се унищожават елементите, лежащи под втория водещ елемент a 22 (1) (ако a 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, ние накрая, на стъпка (m-1), намаляваме оригиналната система до триъгълна система.Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0=0, те се отхвърлят. Ако се появи уравнение от формата
тогава това показва несъвместимостта на системата. Тук свършва директната прогресия на метода на Гаус.
2. Обратен ход.
На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи по отношение на неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни , след това изразете числено единственото решение на системата от линейни уравнения.
Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (в нея има само една) и се замества в предходните уравнения и така нататък, изкачвайки се по „стъпалата“.
Всеки ред съответства на точно една базисна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.
Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).
2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус
В този раздел, използвайки три различни примера, ще покажем как методът на Гаус може да реши SLAE.
Пример 1. Решаване на SLAE от 3-ти ред.
Нека нулираме коефициентите при
във втория и третия ред. За целта ги умножете съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред:
Тук можете да решите безплатно система от линейни уравнения Метод на Гаус онлайнголеми размери в сложни числа с много детайлно решение. Нашият калкулатор може да решава онлайн както обичайните определени, така и неопределени системи от линейни уравнения, като използва метода на Гаус, който има безкраен брой решения. В този случай в отговора ще получите зависимостта на някои променливи чрез други, безплатни. Можете също така да проверите системата от уравнения за последователност онлайн, като използвате решението на Гаус.
За метода
При онлайн решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус се изпълняват следните стъпки.
- Записваме разширената матрица.
- Всъщност решението е разделено на стъпки напред и назад на метода на Гаус. Директната стъпка на метода на Гаус е редуцирането на матрица до поетапна форма. Обратното на метода на Гаус е редуцирането на матрица до специална стъпаловидна форма. Но на практика е по-удобно веднага да се нулира това, което се намира над и под въпросния елемент. Нашият калкулатор използва точно този подход.
- Важно е да се отбележи, че при решаване по метода на Гаус, наличието в матрицата на поне един нулев ред с НЕнулева дясна страна (колона от свободни членове) показва несъответствието на системата. В този случай решение на линейната система не съществува.
За да разберете най-добре как алгоритъмът на Гаус работи онлайн, въведете произволен пример, изберете „много подробно решение“ и вижте решението му онлайн.
