Броят на точките на прекъсване на функцията е равен на онлайн калкулатора. Изчислете функционалните граници онлайн

На тази страница се опитахме да съберем за вас най-пълната информация за изследването на функцията. Без повече гугъл! Просто четете, изучавайте, изтегляйте, следвайте избрани връзки.

Общ дизайн на изследването

За какво е?това изследване, ще попитате дали има много услуги, които ще бъдат изградени за най-сложните функции? За да разберете свойствата и характеристиките на дадена функция: как се държи в безкрайност, колко бързо променя знака, колко плавно или рязко се увеличава или намалява, къде са насочени "гърбиците" на изпъкналостта, къде стойностите не са определени и др.

И въз основа на тези „характеристики“ се изгражда оформлението на графиката - картина, която всъщност е второстепенна (въпреки че за образователни цели е важна и потвърждава правилността на вашето решение).

Да започнем, разбира се, с план. Функционално изследване - обемна задача(може би най-обемният от традиционните курсове по висша математика, обикновено от 2 до 4 страници, включително чертежа), следователно, за да не забравяме какво да правим в какъв ред, следваме точките, описани по-долу.

Алгоритъм

1. Намерете областта на дефиницията. Изберете специални точки (точки на прекъсване).
2. Проверете за наличието на вертикални асимптоти в точките на прекъсване и на границите на дефиниционната област.
3. Намерете точките на пресичане с координатните оси.
4. Определете дали дадена функция е четна или нечетна.
5. Определете дали дадена функция е периодична или не (само тригонометрични функции).
6. Намерете екстремни точки и интервали на монотонност.
7. Намерете точки на инфлексия и изпъкнали-вдлъбнати интервали.
8. Намерете наклонени асимптоти. Изследвайте поведението в безкрайност.
9. Изберете допълнителни точки и изчислете техните координати.
10. Постройте графика и асимптоти.

В различни източници (учебници, ръководства, лекции на вашия учител) списъкът може да има различна форма от тази: някои елементи са разменени, комбинирани с други, съкратени или премахнати. Моля, вземете предвид изискванията/предпочитанията на вашия учител, когато вземате решение.

Диаграма на изследването в pdf формат: изтегляне.

Пълно примерно решение онлайн

Проведете пълно проучване и начертайте функцията $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x). $$

1) Домейнът на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерим нулите на знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Изключваме единствената точка $x=1$ от областта на дефиниране на функцията и получаваме: $$ D(y)=(-\ infty; 1) \чаша (1;+\infty). $$

2) Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Нека намерим едностранни ограничения:

Тъй като границите са равни на безкрайност, точката $x=1$ е прекъсване от втори род, правата $x=1$ е вертикална асимптота.

3) Определете точките на пресичане на графиката на функцията с координатните оси.

Нека намерим пресечните точки с ординатната ос $Oy$, за които приравняваме $x=0$:

Така пресечната точка с оста $Oy$ има координати $(0;8)$.

Да намерим точките на пресичане с абсцисната ос $Ox$, за които задаваме $y=0$:

Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста $Ox$.

Обърнете внимание, че $x^2+8>0$ за всеки $x$. Следователно за $x \in (-\infty; 1)$ функцията $y>0$ (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за $x \in (1; +\infty)$ функцията $y\lt 0$ (приема отрицателни стойности, графиката е под оста x).

4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, тъй като:

5) Изследваме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.

6) Изследваме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:

Нека приравним първата производна на нула и намерим стационарни точки (при които $y"=0$):

Имаме три критични точки: $x=-2, x=1, x=4$. Нека разделим цялата област на дефиниране на функцията на интервали с тези точки и да определим знаците на производната във всеки интервал:

За $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производната $y" \lt 0$, така че функцията намалява на тези интервали.

Когато $x \in (-2; 1), (1;4)$ производната $y" >0$, функцията нараства на тези интервали.

В този случай $x=-2$ е локална минимална точка (функцията намалява и след това нараства), $x=4$ е локална максимална точка (функцията нараства и след това намалява).

Нека намерим стойностите на функцията в тези точки:

Така минималната точка е $(-2;4)$, максималната точка е $(4;-8)$.

7) Изследваме функцията за прегъвания и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:

Нека приравним втората производна на нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма инфлексни точки. Освен това, когато $x \in (-\infty; 1)$ е изпълнено $y"" \gt 0$, тоест функцията е вдлъбната, когато $x \in (1;+\infty)$ е изпълнено $ y"" \ lt 0$, тоест функцията е изпъкнала.

8) Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност, т.е.

Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от формата $y=kx+b$. Ние изчисляваме стойностите на $k, b$, като използваме известни формули:

Открихме, че функцията има една наклонена асимптота $y=-x-1$.

9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да построим по-точно графиката.

$$ y(-5)=5,5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9,5. $$

10) Въз основа на получените данни ще изградим графика, ще я допълним с асимптоти $x=1$ (синьо), $y=-x-1$ (зелено) и ще маркираме характерни точки (лилаво пресичане с ординатната ос, оранжев екстремум, черни допълнителни точки):

Примери за решения за изследване на функции

Има различни функции (полиноми, логаритми, дроби). собствените си характеристики по време на изследването(прекъсвания, асимптоти, брой екстремуми, ограничена област на дефиниция), така че тук се опитахме да съберем примери от контролни за изучаване на функции от най-често срещаните типове. Приятно учене!

Задача 1.Изследвайте функцията с помощта на методи на диференциално смятане и постройте графика.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

Задача 2.Разгледайте функцията и изградете нейната графика.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3.Изследвайте функция, използвайки нейната производна и начертайте графика.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

Задача 4.Проведете пълно проучване на функцията и начертайте графика.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

Задача 5.Изследвайте функцията с помощта на диференциално смятане и постройте графика.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

Задача 6.Изследвайте функцията за екстремуми, монотонност, изпъкналост и постройте графика.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

Задача 7.Проведете изследване на функцията, като начертаете графика.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

Как да изградите диаграма онлайн?

Дори ако учителят изисква от вас да предадете задание, ръкописен, с рисунка върху лист хартия в кутия, ще бъде изключително полезно за вас, по време на решението, да изградите графика в специална програма (или услуга), за да проверите напредъка на решението, да сравните външния му вид с полученото ръчно и може би ще намерите грешки в изчисленията си (когато графиките очевидно се държат по различен начин).

По-долу ще намерите няколко връзки към сайтове, които ви позволяват да създавате удобни, бързи, красиви и, разбира се, безплатни графики за почти всяка функция. Всъщност има много повече такива услуги, но струва ли си да се търси, ако са избрани най-добрите?

Графичен калкулатор Desmos

Втората връзка е практична за тези, които искат да се научат как да създават красиви диаграми в Desmos.com (вижте описанието по-горе): Пълни инструкции за работа с Desmos. Тази инструкция е доста стара, оттогава интерфейсът на сайта се промени към по-добро, но основите останаха непроменени и ще ви помогнат бързо да разберете важните функции на услугата.

Официални инструкции, примери и видео инструкции на английски можете да намерите тук: Научете Desmos.

Решебник

Нуждаете се от изпълнена задача спешно? Повече от сто различни функции с пълно проучване вече ви очакват. Детайлно решение, бързо плащане чрез SMS и ниска цена - ок. 50 рубли. Може би вашата задача вече е готова? Виж това!

Полезни видеа

Уебинар за работа с Desmos.com. Това вече е пълен преглед на функциите на сайта, за цели 36 минути. За съжаление е на английски, но базовите познания по езика и вниманието са достатъчни, за да разберете по-голямата част от него.

Готин стар научно-популярен филм "Математика. Функции и графики." Обяснения на една ръка разстояние в буквалния смисъл на думата, самите основи.

Практическа работа №3

Изследване на функция за непрекъснатост

Цел на работата:Разработване и подобряване на способността за определяне на непрекъснатостта на функция, намиране на точки на прекъсване на функция, консолидиране на умението за изчисляване на граници

Средства за обучение: учебник Математика стр. 62-71, пособия, учебна тетрадка по математика.

форма: челен.

Материал за справка

Определение : Функцията f (x) се нарича непрекъсната при x0, ако:

1) има стойност на функция в точка f (x 0)

2) в точката x0 има крайна граница

3) границата е равна на стойността на функцията в точка x0

Определение : функция е непрекъснат на интервала,ако е непрекъснат във всички точки от този интервал.

Определение : Ако в даден момент x0функция при = е (х)не е непрекъснат , след това точка x0Наречен точка на пречупване тази функция и функция y = е (х)Наречен експлозивенв този момент.

Точки на прекъсване от 1-ви род

Точка x=1 подвижна точка на прекъсване

=1 =-1

Точки на прекъсване от 2-ри род

Оперативна процедура:

Упражнение 1.

а) y=x2+3 в точка x=-2 Решение: y (-2)=(-2)2+3=7 , функцията е непрекъсната в точката x=-2

б) y=в точка x=2 Решение: , функцията е непрекъсната в точката x=2

Задача 2.

решение

Функцията е неопределена в точката x=2, следователно функцията в тази точка не е непрекъсната и търпи прекъсване.Нека начертаем функцията:

Нека намерим едностранни граници в точката x=2:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image027_20.gif" width="93" height="29 src=">, тъй като едностранните граници са крайни и равни, тогава точка x = 2 точки 1-ви вид разкъсване (точка на поправимо разкъсване)

решение

Нека начертаем функцията:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image030_17.gif" width="89" height="29 src=">.gif" width="36" height="41">

решение

Функцията е неопределена в точката x = -1, следователно функцията в тази точка не е непрекъсната и търпи прекъсване.Нека начертаем функцията:

Нека намерим едностранни граници в точка x=-1:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image035_13.gif" width="111" height="41 src="> тъй като няма крайна граница, тогава точка x = -1 точка разкъсване на 2-ри вид.

Самостоятелна задача

Задача 3.Въз основа на определението за непрекъсната функция докажете непрекъснатостта на тези функции в посочените точки

а) y=2x2+1 в точка x=1

б) y=в точка x=-1

Задача 4.Проверете функциите за непрекъснатост. Намерете точките на прекъсване и определете техния тип.

Контролни въпроси:

Концепцията за непрекъснатост на функция в точка. Непрекъснатост на функция на интервал. Видове точки на прекъсване на функцията. Примери.

Обобщавайки работата:Анализ на изпълнените задачи.

Критерии за оценка:

"5"-правилно изпълнение на задачи 3 (a, b), 4 (a, b, c)

"4"-правилно изпълнение на всеки 4 примера части себе си.

"3"-изпълняване на задачи 1(a, b), 2(a, b, c)

основни източници :

Григориев. М., Академия, 2013.

Богомолов: учебник. За Суз. -M .: Bustard, 2009. -395 с.

Допълнителни източници

Бугров С. М.Диференциално и интегрално смятане. Гимназия 1990г

Математически анализ във въпроси и задачи. Гимназия 1987г

Говоров П.Т.Сборник състезателни задачи по математика. Академия 2000

Висша математика в упражнения и задачи. Академия 2001г

Пехлецки И. Д..Математика. Академия 2001г

Сборник задачи по математика: Учебник за средни специални учебни заведения. Академия 2004г

Приложение

Ограничения онлайн на сайта за студенти и ученици за пълно затвърдяване на преминатия материал. Как да намерите лимита онлайн с помощта на нашия ресурс? Това се прави много лесно; просто трябва да напишете правилно оригиналната функция с променливата x, да изберете желаната безкрайност от селектора и да щракнете върху бутона „Решаване“. В случай, че границата на функция трябва да бъде изчислена в някаква точка x, тогава трябва да посочите числената стойност на същата тази точка. Ще получите отговор на решението на лимита за секунди, с други думи – моментално. Ако обаче предоставите грешни данни, услугата автоматично ще ви уведоми за грешката. Коригирайте въведената по-рано функция и получете правилното решение до границата. За решаване на границите се използват всички възможни техники, особено често се използва методът на L'Hopital, тъй като е универсален и води до отговор по-бързо от другите методи за изчисляване на границата на функция. Интересно е да се разгледат примери, в които модулът присъства. Между другото, според правилата на нашия ресурс, модулът се обозначава с класическата вертикална лента в математиката „|“ или Abs(f(x)) от латинския абсолют. Често решаването на граница е необходимо, за да се изчисли сумата на числова последователност. Както всеки знае, просто трябва правилно да изразите частичната сума на изследваната последователност и тогава всичко е много по-просто, благодарение на нашата безплатна услуга на уебсайта, тъй като изчисляването на границата на частичната сума е крайната сума на числовата последователност. Най-общо казано, теорията за преминаване към границата е основната концепция на целия математически анализ. Всичко се основава именно на преминавания към граници, тоест решаването на граници е основата на науката за математическия анализ. При интегрирането се използва и преминаване към границата, когато интегралът според теорията се представя като сума от неограничен брой области. Там, където има неограничен брой нещо, тоест тенденцията на броя на обектите към безкрайност, тогава теорията за граничните преходи винаги влиза в сила и в общоприетия си вид това е решение на познатите на всички граници. Решаването на лимити онлайн в сайта е уникална услуга за получаване на точен и мигновен отговор в реално време. Границата на функция (граничната стойност на функция) в дадена точка, граничната точка за областта на дефиниране на функцията, е стойността, към която клони стойността на въпросната функция, тъй като нейният аргумент клони към даден точка. Не е необичайно и дори бихме казали много често, че студентите имат въпроса за решаване на граници онлайн, когато изучават математически анализ. Когато се чудите как да разрешите лимит онлайн с подробно решение само в специални случаи, става ясно, че не можете да се справите със сложен проблем без да използвате лимит калкулатор. Решаването на граници с нашата услуга е гаранция за точност и простота Границата на функция е обобщение на концепцията за граница на последователност: първоначално границата на функция в точка се разбираше като граница на последователност от елементи от областта на стойностите на функция, съставена от изображения на точки от последователност от елементи на областта на дефиниция на функция, сходна към дадена точка (граница, при която се разглежда); ако такава граница съществува, тогава се казва, че функцията се сближава към определената стойност; ако такава граница не съществува, тогава се казва, че функцията се разминава. Решаването на лимити онлайн става лесен отговор за потребителите, при условие че знаят как да решат лимити онлайн чрез уебсайта. Нека останем концентрирани и не позволяваме грешките да ни създават проблеми под формата на незадоволителни оценки. Като всяко решение на лимити онлайн, вашият проблем ще бъде представен в удобна и разбираема форма, с подробно решение, при спазване на всички правила и разпоредби за получаване на решение. Най-често дефиницията на границата на функция се формулира на езика на кварталите. Тук границите на функция се разглеждат само в точки, които са ограничаващи за областта на дефиниране на функцията, което означава, че във всяка околност на дадена точка има точки от областта на дефиниция на същата тази функция. Това ни позволява да говорим за тенденцията на аргумента на функцията към дадена точка. Но граничната точка на областта на дефиниция не трябва да принадлежи на самата област на дефиниция и това се доказва чрез решаване на границата: например, може да се разгледа границата на функция в краищата на отворения интервал, на който функцията е дефинирана. В този случай самите граници на интервала не са включени в дефиниционната област. В този смисъл система от пунктирани околности на дадена точка е частен случай на такава база от множества. Решаването на лимити онлайн с подробно решение се извършва в реално време и чрез формули в изрично посочен вид.Можете да спестите време и най-важното пари, тъй като ние не искаме компенсация за това. Ако в дадена точка от областта на дефиниране на функция има граница и решението на тази граница е равно на стойността на функцията в тази точка, тогава функцията се оказва непрекъсната в такава точка. На нашия уебсайт решението за лимитите е достъпно онлайн 24 часа в денонощието, всеки ден и всяка минута.Използването на лимит калкулатора е много важно и най-важното е да го използвате всеки път, когато трябва да проверите знанията си. Студентите очевидно се възползват от цялата тази функционалност. Изчисляването на границата с помощта и прилагането само на теорията не винаги ще бъде толкова просто, както казват опитни студенти от математическите факултети на университетите в страната. Фактът си остава факт, ако има цел. Обикновено намереното решение на границите не е приложимо локално за формулиране на проблем. Студентът ще се зарадва веднага щом открие лимит калкулатор онлайн в интернет и е свободно достъпен, и не само за себе си, но и за всички. Целта трябва да се разглежда като математика, в нейното общо разбиране. Ако попитате в интернет как да намерите лимита онлайн в подробности, тогава масата от сайтове, които се появяват в резултат на заявката, няма да помогне по начина, по който ще помогнем. Разликата между страните се умножава по еквивалентността на инцидента. Първоначалната легитимна граница на функция трябва да бъде определена от формулирането на самия математически проблем. Хамилтън беше прав, но си струва да разгледаме изявленията на неговите съвременници. Изчисляването на лимити онлайн в никакъв случай не е толкова трудна задача, колкото може да изглежда на някой на пръв поглед... За да не разбиваме истината на непоклатимите теории. Връщайки се към първоначалната ситуация, необходимо е лимитът да се изчисли бързо, ефективно и в спретнато форматирана форма. Би ли било възможно да се направи друго? Този подход е очевиден и оправдан. Калкулаторът за ограничение е създаден, за да увеличи знанията, да подобри качеството на писане на домашни и да повиши общото настроение сред учениците, така че ще бъде подходящ за тях. Просто трябва да мислите възможно най-бързо и умът ще триумфира. Изричното говорене за ограниченията на термините за онлайн интерполация е много сложна дейност за професионалисти в техния занаят. Ние прогнозираме съотношението на системата от непланирани разлики в точки в пространството. И отново проблемът се свежда до несигурност, базирана на факта, че границата на функцията съществува в безкрайност и в определена близост на локална точка на дадена ос x след афинна трансформация на първоначалния израз. Ще бъде по-лесно да се анализира изкачването на точки в равнината и в горната част на пространството. В общото състояние на нещата не се говори за извеждането на математическа формула, както реално, така и на теория, така че онлайн калкулаторът за лимит се използва по предназначение в този смисъл. Без дефиниране на границата онлайн ми е трудно да извършвам допълнителни изчисления в областта на изучаването на криволинейното пространство. Не би било по-лесно от гледна точка на намирането на истински правилния отговор. Невъзможно ли е да се изчисли граница, ако дадена точка в пространството е несигурна предварително? Нека опровергаем съществуването на отговори извън областта на изследване. Решаването на границите може да се обсъди от гледна точка на математическия анализ като начало на изследването на последователността от точки на оста. Самият факт на изчислението може да е неподходящ. Числата могат да бъдат представени като безкрайна последователност и се идентифицират чрез първоначалната нотация, след като сме решили границата онлайн в детайли съгласно теорията. Обосновано в полза на най-добрата стойност. Резултатът от ограничението на функцията, като очевидна грешка в неправилно формулиран проблем, може да изкриви идеята за реалния механичен процес на нестабилна система. Способността да се изразява смисъл директно в зоната за гледане. Чрез свързването на онлайн ограничение с подобна нотация на едностранна гранична стойност е по-добре да избягвате изричното му изразяване с помощта на формули за намаляване. В допълнение към стартирането на пропорционалното изпълнение на задачата. Ще разширим полинома, след като можем да изчислим едностранната граница и да го запишем в безкрайност. Простите мисли водят до истински резултат в математическия анализ. Простото решение на границите често се свежда до различна степен на равенство на изпълнените противоположни математически илюстрации. Линиите и числата на Фибоначи дешифрираха лимитния калкулатор онлайн, в зависимост от това можете да поръчате неограничено изчисление и може би сложността ще отстъпи на заден план. Процесът на разгъване на графиката върху равнина в срез от триизмерно пространство е в ход. Това породи необходимостта от различни гледни точки към един сложен математически проблем. Резултатът обаче няма да закъснее. Продължаващият процес на реализиране на възходящия продукт обаче изкривява пространството на редовете и записва границата онлайн, за да се запознаете с формулировката на проблема. Естествеността на процеса на натрупване на проблеми определя необходимостта от познаване на всички области на математическите дисциплини. Един отличен лимит калкулатор ще се превърне в незаменим инструмент в ръцете на квалифицирани студенти и те ще оценят всичките му предимства пред аналозите на цифровия прогрес. В училищата по някаква причина онлайн лимитите се наричат ​​по различен начин, отколкото в институтите. Стойността на функцията ще се увеличи, когато аргументът се промени. L'Hopital също каза, че намирането на границата на функция е само половината от битката; трябва да доведете проблема до логично заключение и да представите отговора в разширена форма. Реалността е адекватна на наличието на факти по делото. Онлайн ограничението е свързано с исторически важни аспекти на математическите дисциплини и формира основата за изучаване на теорията на числата. Кодирането на страницата в математически формули е достъпно на езика на клиента в браузъра. Как да изчислим лимита, като използваме приемлив правен метод, без да принуждаваме функцията да се променя в посоката на оста x. Като цяло, реалността на пространството зависи не само от изпъкналостта на функцията или нейната вдлъбнатост. Елиминирайте всички неизвестни от проблема и решаването на ограниченията ще доведе до най-малко изразходване на наличните ви математически ресурси. Решаването на посочения проблем ще коригира функционалността сто процента. Полученото математическо очакване ще разкрие ограничението онлайн в детайли по отношение на отклонението от най-малкото значимо специално съотношение. Изминаха три дни след вземането на математическото решение в полза на науката. Това е наистина полезно занимание. Без причина липсата на онлайн лимит ще означава разминаване в цялостния подход за решаване на ситуационни проблеми. В бъдеще ще се търси по-добро име за едностранната граница с несигурност 0/0. Един ресурс може да бъде не само красив и добър, но и полезен, когато може да изчисли лимита за вас. Великият учен като студент изследва функциите за написване на научна статия. Минаха десет години. Преди различните нюанси си струва недвусмислено да се коментира математическото очакване в полза на факта, че границата на функцията заимства дивергенцията на принципалите. Те се отзоваха на поръчаната контролна работа. В математиката изключителна позиция в преподаването се заема, колкото и да е странно, от изучаването на онлайн граници с взаимно изключващи се отношения на трети страни. Както се случва в обикновените случаи. Не е нужно да възпроизвеждате нищо. След като анализирахме подходите на студентите към математическите теории, ще оставим напълно решаването на ограниченията за последния етап. Това е смисълът на следното, проучете текста. Пречупването еднозначно определя математическия израз като същност на получената информация. онлайн границата е същността на определянето на истинската позиция на математическата система на относителността на многопосочните вектори. В този смисъл искам да изразя собственото си мнение. Както в предишната задача. Отличителното онлайн ограничение разширява влиянието си в детайли върху математическия изглед на последователното изследване на програмния анализ в областта на обучението. В контекста на теорията математиката е нещо по-висше от науката. Лоялността се демонстрира с действия. Остава невъзможно умишленото прекъсване на веригата от последователни числа, които започват своето движение нагоре, ако лимитът е неправилно изчислен. Двустранната повърхност е изразена в естествената си форма в пълен размер. Способността да се изследва математически анализ ограничава границата на функция до последователност от функционални серии като епсилон съседство в дадена точка. За разлика от теорията на функциите, грешките в изчисленията не са изключени, но това се предвижда от ситуацията. Онлайн проблемът с разделяне по граница може да бъде написан с променлива функция на дивергенция за бърз продукт на нелинейна система в триизмерно пространство. Тривиален случай е в основата на операцията. Не е нужно да сте студент, за да анализирате този случай. Съвкупността от моментите на текущото изчисление, първоначално решението на границите се определя като функционирането на цялата интегрална система за напредък по ординатната ос върху множество стойности на числата. Като базова стойност приемаме най-малката възможна математическа стойност. Изводът е очевиден. Разстоянието между равнините ще помогне да се разшири теорията за онлайн границите, тъй като използването на метода на дивергентно изчисляване на субполярния аспект на значимостта не носи никакво присъщо значение. Отличен избор, ако калкулаторът на границите се намира на сървъра, това може да се приеме така, както е, без да се изкривява значимостта на промяната на повърхността в областите, в противен случай проблемът с линейността ще стане по-голям. Пълният математически анализ разкри нестабилността на системата заедно с нейното описание в района на най-малката околност на точката. Като всяка граница на функция по оста на пресичане на ординати и абсцисите, е възможно да се оградят числените стойности на обектите в някакъв минимален квартал според разпределението на функционалността на изследователския процес. Да запишем задачата точка по точка. Има разделение на етапи на писане. Академичните твърдения, че изчисляването на границата е наистина трудно или изобщо не е лесно, се подкрепят от анализ на математическите възгледи на всички студенти и магистри без изключение. Възможните междинни резултати няма да закъснеят. Горната граница се изучава подробно онлайн при абсолютния минимум на системната разлика на обектите, отвъд която линейността на пространството на математиката е изкривена. Сегментирането на по-голяма площ на площта не се използва от учениците за изчисляване на множествено несъгласие след записване на онлайн калкулатора за лимит за изваждане. След началото ще забраним на учениците да преработват задачи за изучаване на пространствената среда по математика. Тъй като вече намерихме границата на функцията, нека изградим графика на нейното изследване в равнината. Нека подчертаем ординатните оси със специален цвят и да покажем посоката на линиите. Има стабилност. Несигурността присъства дълго време по време на писане на отговора. Изчислете границата на функция в точка просто като анализирате разликата между границите в безкрайност при началните условия. Този метод не е познат на всеки потребител. Имаме нужда от математически анализ. Решаването на границите натрупва опит в съзнанието на поколенията за много години напред. Невъзможно е да не усложнявате процеса. За сключването му са отговорни ученици от всички поколения. Всичко по-горе може да започне да се променя при липса на фиксиращ аргумент за позицията на функциите около определена точка, която изостава от граничните калкулатори по отношение на разликата в изчислителната мощност. Нека разгледаме функцията, за да получим получения отговор. Изводът не е очевиден. След като изключим имплицитните функции от общия брой след трансформиране на математическите изрази, остава последната стъпка да намерим границите онлайн правилно и с висока точност. Приемливостта на издаденото решение подлежи на проверка. Процесът продължава. Намирайки последователността изолирано от функциите и използвайки своя огромен опит, математиците трябва да изчислят границата, за да оправдаят правилната посока в изследването. Такъв резултат не се нуждае от теоретичен тласък. Променете съотношението на числата в определена околност на ненулева точка по оста x към променливия пространствен ъгъл на наклон на онлайн калкулатора за граници под писмената задача по математика. Нека свържем два региона в пространството. Несъгласието между решаващите за това как границата на функция придобива свойствата на едностранни стойности в пространството не може да остане незабелязано от засилените контролирани изпълнения на учениците. Направлението в математическата онлайн граница зае една от най-малко оспорваните позиции по отношение на несигурността в изчисленията на самите тези граници. Онлайн граничен калкулатор за височината на равнобедрени триъгълници и кубове със страна от три радиуса на окръжност ще помогне на ученика да научи наизуст в ранен етап от науката. Нека оставим на съвестта на учениците да решат границите в изследването на функционираща математическа отслабена система от страната на изследователската равнина. Гледката на ученика за теорията на числата е двусмислена. Всеки има собствено мнение. Правилната посока в изучаването на математиката ще помогне да се изчисли границата в истинския смисъл, както е в университетите в напредналите страни. Котангенсът в математиката се изчислява като граничен калкулатор и е отношението на две други елементарни тригонометрични функции, а именно косинус и синус на аргумента. Това е решението за разполовяване на сегментите. Различен подход едва ли ще разреши ситуацията в полза на миналия момент. Можем да говорим дълго за това, че е много трудно и безполезно да се решава онлайн лимита в детайли без разбиране, но този подход има тенденция да повишава вътрешната дисциплина на учениците към по-добро.

Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда от него изчисляване на границата на функция. програма граници на разтворане само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на изчисляване на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията в общообразователните училища при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит и за родители за контрол на решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

Въведете функционален израз

Изчислете лимита

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Граница на функцията при x->x 0

Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X\) или \(x_0 \notin X\)

Нека вземем от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаващи се към x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се повдигне въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0 (или при x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x, различни от x 0 сближавайки се до x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.

Има и друга дефиниция на границата на функция.

ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0\) съществува число \(\delta > 0\), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващо неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Първата дефиниция се основава на концепцията за границата на числова последователност, така че често се нарича дефиниция „на езика на последователностите“. Втората дефиниция се нарича дефиниция „на езика \(\varepsilon - \delta \)”.
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях в зависимост от това коя е по-удобна за решаване на конкретен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)” се нарича още дефиниция на границата на функция според Коши.

Граница на функцията при x->x 0 - и при x->x 0 +

В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки от) x 0, съответната последователност (2) се сближава с A.

Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можем да дадем еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)“:

Определениечисло A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0\) има \(\delta > 0\), така че за всички x отговарящи на неравенствата \(x_0 Символни записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

да изучава темата „Непрекъснатост на функциите на една променлива“

студенти от счетоводния факултет в задочна форма

образование (NISPO)

Горки, 2013 г

Непрекъснатост на функциите на една променлива

Едностранни ограничения

Нека функцията
определени на снимачната площадка
. Нека въведем концепцията за едностранни граници на функция при
. Ще разгледаме следните стойности х, Какво
. Означава, че
, оставайки през цялото време вляво от
при
тогава се нарича лява граница тази функция в точката (или кога
) и се обозначава

.

Нека сега
, оставайки през цялото време вдясно от , т.е. оставайки по-дълго . Ако има ограничение на функцията
, тогава се нарича дясната граница тази функция в точката и е обозначен

.

Лявата и дясната граница се наричат еднопосочни ограничения функции в точка.

Ако има едностранни граници на функция в точка и те са равни една на друга, тогава функцията има същата граница в тази точка:

.

Ако едностранни граници на функция в точка съществуват, но не са равни помежду си, тогава границата на функцията в тази точка не съществува .

Непрекъснатост на функция в точка

Нека функцията
дефинирани на някакво множество д. Нека независимата променлива хтръгва от една от своите (първоначални) стойности
до друга (крайна) стойност . Разликата между крайната и първоначалната стойност се нарича нарастване количества хи е обозначен
. Увеличението може да бъде положително или отрицателно. В първия случай стойността хпри движение от Да се хсе увеличава, а във втория случай - намалява.

Ако независимата променлива хполучава някакво увеличение
, след това функцията
получава увеличение
. защото
, Че.

Увеличаване на функцията
в точката се нарича разликата, където
– нарастване на независимата променлива.

Могат да бъдат дадени няколко дефиниции на непрекъснатостта на функция в точка.

Функцията се извиква непрекъснато в интервала , ако е непрекъснат във всяка точка от този интервал. Геометрична непрекъснатост на функция
в затворен интервал означава, че графиката на функцията е непрекъсната линия без прекъсвания.

Функциите, които са непрекъснати на интервал, имат важни свойства, които са изразени чрез следните твърдения.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава той е ограничен в този сегмент.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава той достига своите минимални и максимални стойности на този сегмент.

Ако функцията
е непрекъснат на интервала [ а, b] И
, тогава каквото и да е числото СЪС, оградени между числата АИ IN, има смисъл
, Какво
.

От това твърдение следва, че ако функцията
е непрекъснат на [ а, b] и в краищата на този сегмент приема стойности на различни знаци, тогава има поне една точка на този сегмент ° С, при което функцията изчезва.

Вярно е следното твърдение: ако се извършват аритметични операции върху непрекъснати функции, резултатът е непрекъсната функцияаз

Пример 1 .

в точката
.

Решение . Функционална стойност при
Има
. Нека изчислим едностранните граници на функцията в точката
:

Тъй като едностранните ограничения при
са равни една на друга и равни на стойността на функцията в тази точка, тогава тази функция е непрекъсната в точката
.

3. Непрекъснатост на елементарните функции

Помислете за функцията
. Тази постоянна функция е непрекъсната във всяка точка , защото
.

функция
също е непрекъсната във всяка точка
, защото
. защото
, тогава въз основа на горното твърдение за аритметични операции върху непрекъснати функции
ще бъде непрекъснато. Функциите също ще бъдат непрекъснати
.

По същия начин можем да покажем непрекъснатостта на останалите елементарни функции.

По този начин, всяка елементарна функция е непрекъсната в своята област на дефиниция, т.е. Областта на дефиниране на елементарна функция съвпада с областта на нейната непрекъснатост.

Непрекъснатост на комплексни и обратни функции

Нека функцията
непрекъснато в точка , и функцията
непрекъснато в точка
. След това сложната функция
непрекъснато в точка . Това означава, че ако една сложна функция е съставена от непрекъснати функции, тогава тя също ще бъде непрекъсната, т.е. непрекъсната функция от непрекъсната функция е непрекъсната функция . Това определение се простира до краен брой непрекъснати функции.

От това определение следва, че под знака на непрекъсната функция можем да отидем до границата:

Това означава, че ако функцията е непрекъсната, тогава знакът на границата и знакът на функцията могат да бъдат разменени.

Нека функцията
дефиниран, строго монотонен и непрекъснат на интервала [ а, b]. След това неговата обратна функция
дефиниран, строго монотонен и непрекъснат на интервала [ А, б], Където
.

Точки на прекъсване и тяхната класификацияаз

Както вече е известно, ако функцията
определени на снимачната площадка ди в точката
условието е изпълнено
, тогава функцията е непрекъсната в тази точка. Ако това условие за непрекъснатост не е изпълнено, тогава в точката хФункцията 0 има пропуск.

Точка Наречен точка на прекъсване от първи род функции
, ако в тази точка функцията има крайни едностранни граници, които не са равни една на друга, т.е. . В този случай стойността

Наречен рязко функции
в точката .

Точка Наречен подвижна точка на прекъсване функции
, ако едностранните граници на функцията в тази точка са равни една на друга и не са равни на стойността на функцията в тази точка, т.е. В този случай, за да се премахне празнината в точката трябва да поставите

Точка х 0 се извиква точка на прекъсване от втори род функции
ако поне една от едностранните граници
или
в тази точка или не съществува, или е равно на безкрайност.

Пример 2 . Изследване на непрекъснатостта на функция

.

Решение . Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката
. В този момент функцията има прекъсване. Нека намерим едностранните граници на функцията в точката
:

Тъй като в точката
едностранните граници са равни една на друга и функцията в тази точка не е дефинирана, тогава точката
е подвижна точка на прекъсване. За да се премахне празнината в тази точка, е необходимо допълнително да се дефинира функцията чрез поставяне
.

Пример 3 . Изследване на непрекъснатостта на функция

.

Решение . Функцията е дефинирана и непрекъсната върху цялото множество от реални числа, с изключение на
. В този момент функцията има прекъсване. Нека намерим едностранните граници на функцията при
:

.

Тъй като тази функция в точката
има крайни едностранни граници, които не са равни една на друга, тогава тази точка е точка на прекъсване от първи род. Прескачане на функция в точка
равен.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Какво се нарича увеличение на аргумента и увеличение на функцията?

Какво се нарича лява (лява) граница на функция?

Каква е дясната (дясна) граница на функция?

Коя функция се нарича непрекъсната в точка, в интервал?

Коя точка се нарича точка на прекъсване на функция?

Коя точка се нарича точка на прекъсване от първи род?

Коя точка се нарича точка на прекъсване от втори род?

Коя точка се нарича точка на отстранимо прекъсване?

Задачи за самостоятелна работа

Проверете функциите за непрекъснатост:

в точката
.