Диференциални уравнения от по-висок ред

Основна терминология на диференциалните уравнения от по-висок ред (DEHE).

Уравнение от формата , където п >1 (2)

се нарича диференциално уравнение от по-висок ред, т.е. п-та поръчка.

зона на дефиниране на DU, пна ред има регион .

В този курс ще бъдат разгледани следните видове системи за управление:

Проблем на Коши DU VP:

Нека се даде дистанционното управление,
и начални условия n/a: числа .

Трябва да намерите непрекъсната и n пъти диференцируема функция
:

1)
е решение на дадената DE на , т.е.
;

2) удовлетворява зададените начални условия: .

За DE от втори ред геометричната интерпретация на решението на задачата е следната: търси се интегрална крива, минаваща през точката (х 0 , г 0 ) и допирателна към права линия с ъглов коефициент к = г 0 ́ .

Теорема за съществуване и уникалност(решения на проблема на Коши за DE (2)):

ако 1)
непрекъснато (общо (п+1) аргументи) в района
; 2)
непрекъснато (над съвкупността от аргументи
) в , тогава ! решение на задачата на Коши за DE, удовлетворяващо зададените начални условия n/a: .

Регионът се нарича регион на уникалност на DE.

Общо решение за дистанционно управление VP (2) – п -параметричнифункция,
, Къде
– произволни константи, отговарящи на следните изисквания:

1)

– решение на DE (2) на ;

2) n/a от областта на уникалността!
:
удовлетворява дадените начални условия.

Коментирайте.

Преглед на връзката
, което неявно определя общото решение на DE (2) се нарича общ интеграл DU.

Частно решение DE (2) се получава от общото му решение за конкретна стойност .

Интегриране на VP дистанционно управление.

Диференциалните уравнения от по-висок ред по правило не могат да бъдат решени с точни аналитични методи.

Нека идентифицираме определен тип DUVP, който позволява редукции в ред и може да бъде намален до квадратури. Нека да представим в таблица тези типове уравнения и методи за намаляване на техния ред.

VP DE, позволяващи намаления по поръчка

Дефиниция на хомогенна функция:

функция
наречени хомогенни по променливи
, Ако


във всяка точка от областта на дефиниране на функцията
;

– ред на хомогенност.

Например, е хомогенна функция от 2-ри ред по отношение на
, т.е. .

Пример 1:

Намерете общото решение на дистанционното управление
.

DE от 3-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Ние последователно интегрираме уравнението три пъти.

,

– общо решение на дистанционното управление.

Пример 2:

Решете проблема на Коши за дистанционно управление
при

.

DE от втори ред, непълна, не съдържа изрично .

Заместване
и негово производно
ще намали реда на дистанционното управление с единица.

. Получихме DE от първи ред – уравнението на Бернули. За да решим това уравнение, прилагаме заместването на Бернули:

,

и го включете в уравнението.

На този етап решаваме проблема на Коши за уравнението
:
.

– уравнение от първи ред с разделими променливи.

Заместваме началните условия в последното равенство:

отговор:
е решение на задачата на Коши, което отговаря на началните условия.

Пример 3:

Решете DE.

– DE от 2-ри ред, непълен, не съдържа изрично променливата и следователно позволява редът да бъде намален с единица чрез заместване или
.

Получаваме уравнението
(нека
).

– DE от 1-ви ред с разделителни променливи. Нека ги разделим.

– общ интеграл на DE.

Пример 4:

Решете DE.

Уравнение
има уравнение в точни производни. наистина
.

Нека интегрираме лявата и дясната страна по отношение на , т.е.
или . Получихме DE от 1-ви ред с разделими променливи, т.е.
– общ интеграл на DE.

Пример5:

Решете проблема на Коши за
при .

DE от 4-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Забелязвайки, че това уравнение е в точни производни, получаваме
или
,
. Нека заместим началните условия в това уравнение:
. Да вземем дистанционно управление
3-ти ред от първи тип (виж таблицата). Нека го интегрираме три пъти и след всяко интегриране ще заместваме началните условия в уравнението:

отговор:
- решение на задачата на Коши на оригиналния DE.

Пример 6:

Решете уравнението.

– DE от 2-ри ред, пълен, съдържа хомогенност по отношение на
. Замяна
ще понижи реда на уравнението. За да направим това, нека намалим уравнението до формата
, разделяйки двете страни на първоначалното уравнение на . И диференцирайте функцията стр:

.

Да заместим
И
при дистанционно управление:
. Това е уравнение от първи ред с разделими променливи.

Като се има предвид това
, получаваме дистанционно управление или
– общо решение на оригиналния DE.

Теория на линейните диференциални уравнения от по-висок ред.

Основна терминология.

– НЛДУ ти ред, където са непрекъснати функции на определен интервал.

Нарича се интервал на непрекъснатост на дистанционното управление (3).

Нека въведем (условен) диференциален оператор от ти ред

Когато действа върху функцията, получаваме

Това е лявата страна на линейно диференциално уравнение от ти порядък.

В резултат на това LDE може да бъде написан

Линейни свойства на оператора
:

1) – свойство на адитивност

2)
– число – свойство хомогенност

Свойствата се проверяват лесно, тъй като производните на тези функции имат подобни свойства (крайна сума от производни е равна на сумата от краен брой производни; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната).

това.
– линеен оператор.

Нека разгледаме въпроса за съществуването и уникалността на решение на задачата на Коши за LDE
.

Нека решим LDE по отношение на
: ,
, – интервал на непрекъснатост.

Функция, непрекъсната в областта, производни
непрекъснато в областта

Следователно областта на уникалност, в която проблемът с LDE на Коши (3) има уникално решение и зависи само от избора на точка
, всички други стойности на аргументи
функции
може да се вземе произволно.

Обща теория на OLDE.

– интервал на непрекъснатост.

Основни свойства на OLDE решенията:

1. Свойство на адитивност

(
– решение на OLDE (4) на )
(
– решение на OLDE (4) на ).

Доказателство:

– решение на OLDE (4) на

– решение на OLDE (4) на

Тогава

2. Свойство хомогенност

( – решение на OLDE (4) на ) (
(– числово поле))

– решение на OLDE (4) на .

Доказателството е подобно.

Свойствата на адитивност и хомогенност се наричат ​​линейни свойства на OLDE (4).

Последица:

(
– решение на OLDE (4) на )(

– решение на OLDE (4) на ).

3. ( – комплексно решение на OLDE (4) на )(
са реални решения на OLDE (4) на ).

Доказателство:

Ако е решение на OLDE (4) на , тогава когато се замести в уравнението, то го превръща в идентичност, т.е.
.

Поради линейността на оператора, лявата страна на последното равенство може да бъде записана по следния начин:
.

Това означава, че , т.е. са реални решения на OLDE (4) на .

Последващите свойства на решенията за OLDE са свързани с концепцията „ линейна зависимост”.

Определяне на линейната зависимост на крайна система от функции

За система от функции се казва, че е линейно зависима от това дали има нетривиаленнабор от числа
така че линейната комбинация
функции
с тези числа е идентично равен на нула на , т.е.
.n което е неправилно. Теоремата е доказана уравненияпо-високопорядъци(4 часа...

Уравнения, решавани чрез директно интегриране

Разгледайте следното диференциално уравнение:
.
Интегрираме n пъти.
;
;
и така нататък. Можете също да използвате формулата:
.
Вижте Диференциални уравнения, които могат да се решават директно интеграция >>>

Уравнения, които не съдържат изрично зависимата променлива y

Заместването води до намаляване на реда на уравнението с единица. Ето една функция от .
Вижте Диференциални уравнения от по-високи порядъци, които не съдържат изрично функция > > >

Уравнения, които не включват изрично независимата променлива x

.
Считаме, че това е функция на .
.
Тогава
По същия начин за други производни. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.

Вижте Диференциални уравнения от по-висок порядък, които не съдържат явна променлива > > >

Уравнения, хомогенни по отношение на y, y′, y′′, ...
,
За да решим това уравнение, правим заместването
.
където е функция от .
Тогава

По подобен начин трансформираме производни и т.н. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.

Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които са хомогенни по отношение на функция и нейните производни > > > Линейни диференциални уравнения от по-високи редове:
(1) ,
Нека помислим
(2) ,
линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
където са функции на независимата променлива.Нека има n линейно независими решения на това уравнение. Тогава общото решение на уравнение (1) има формата:

Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които са хомогенни по отношение на функция и нейните производни > > > където са произволни константи. Самите функции образуват фундаментална система от решения.:
.
Система за фундаментално решение
,
на линейно хомогенно уравнение от n-ти ред са n линейно независими решения на това уравнение.

линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред

Нека има конкретно (всяко) решение на това уравнение. Тогава общото решение има формата:

където е общото решение на хомогенното уравнение (1).
(3) .
Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти и сводими към тях
(2) .

Линейни еднородни уравнения с постоянни коефициенти Това са уравнения от вида::
(4) .

Ето реални числа. За да намерим общо решение на това уравнение, трябва да намерим n линейно независими решения, които образуват фундаментална система от решения. Тогава общото решение се определя по формула (2): Търсим решение във формата.получаваме
.

характеристично уравнение Ако това уравнение има
,
различни корени

, тогава фундаменталната система от решения има формата:Ако е наличен

сложен корентогава има и комплексно спрегнат корен.
.

Тези два корена съответстват на решения и , които включваме във фундаменталната система вместо комплексни решения и .

Кратни корени
,
кратности съответстват на линейно независими решения: . 1 Кратни на комплексни корени 2 множественостите и техните комплексно спрегнати стойности съответстват на линейно независими решения:

Първо търсим общо решение на хомогенното уравнение (3). Ако характеристичното уравнение (4) не съдържа корен, тогава търсим конкретно решение във формата:
,
Къде
;
;
s - най-голямото от s 1 Кратни на комплексни корени 2 .

Ако характеристичното уравнение (4) има коренмножественост, тогава търсим конкретно решение във формата:
.

След това получаваме общото решение:
.

Линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти

Тук има три възможни решения.

1) Метод на Бернули.
Първо, намираме всяко ненулево решение на хомогенното уравнение
.
След това правим замяната
,
където е функция на променливата x. - 1 Получаваме диференциално уравнение за u, което съдържа само производни на u по отношение на x.

2) Извършвайки заместването, получаваме уравнението n.
- та поръчка.
,
Метод на линейно заместване

3) Да направим замяна.
където е един от корените на характеристичното уравнение (4). В резултат на това получаваме линейно нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти на ред.
(2) .
Последователно прилагайки това заместване, ние редуцираме първоначалното уравнение до уравнение от първи ред.
,
Метод на вариация на константите на Лагранж

При този метод първо решаваме хомогенното уравнение (3). Неговото решение изглежда така:

Освен това приемаме, че константите са функции на променливата x.
.
Тогава решението на първоначалното уравнение има формата:
.
където са неизвестни функции. Замествайки в първоначалното уравнение и налагайки някои ограничения, получаваме уравнения, от които можем да намерим вида на функциите.

Уравнение на Ойлер
Той се свежда до линейно уравнение с постоянни коефициенти чрез заместване:
Въпреки това, за да се реши уравнението на Ойлер, няма нужда да се прави такова заместване. Можете веднага да потърсите решение на хомогенното уравнение във формата

В резултат на това получаваме същите правила като за уравнение с постоянни коефициенти, в което вместо променлива трябва да замените . Използвана литература:В.В. Степанов, Курс по диференциални уравнения, "ЛКИ", 2015г. Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.Теория на изчисленията

нехомогенни диференциални уравнения (DU) няма да бъдат дадени в тази публикация; от предишните уроци можете да намерите достатъчно информация, за да намерите отговора на въпроса
Решение: Дадено хомогенно диференциално уравнение от трети ред,Освен това той съдържа само втората и третата производна и няма функция и нейната първа производна. В такива случаи приложете метода за намаляване на степентадиференциално уравнение. За да направите това, въведете параметър - нека обозначим втората производна чрез параметъра p

тогава третата производна на функцията е равна на

Оригиналният хомогенен DE ще бъде опростен до формата

Тогава го записваме в диференциали редуцирайте до уравнение с отделена променливаи намерете решението чрез интегриране

Не забравяйте, че параметърът е втората производна на функцията

следователно, за да намерим формулата за самата функция, ние интегрираме намерената диференциална зависимост два пъти

Във функцията стойностите C 1 , C 2 , C 3 са равни на произволни стойности.
Ето как изглежда проста схемата: намерете общото решение на хомогенно диференциално уравнение чрез въвеждане на параметър.Следните задачи са по-сложни и от тях ще се научите да решавате нехомогенни диференциални уравнения от трети ред. Има известна разлика между хомогенните и хетерогенните системи за управление по отношение на изчисленията, както ще видите сега.

Пример 2. Намерете
Решение: Имаме трета поръчка. Следователно неговото решение трябва да се търси под формата на сбор от две - решение на еднородно уравнение и частно решение на нехомогенно уравнение

Първо да решим

Както можете да видите, той съдържа само второто и третото производни на функцията и не съдържа самата функция. Този вид диф. уравнения се решават чрез въвеждане на параметър, който вна свой ред намалява и опростява намирането на решение на уравнението. На практика това изглежда така: нека втората производна е равна на определена функция, тогава третата производна формално ще има нотацията

Разглежданото хомогенно диференциално уравнение от 3-ти ред се трансформира в уравнение от първи ред

откъдето, разделяйки променливите, намираме интеграла
x*dp-p*dx=0;

Препоръчваме да номерирате формулите в такива задачи, тъй като решението на диференциално уравнение от 3-ти ред има 3 константи, четвърти ред има 4 константи и т.н. по аналогия. Сега се връщаме към въведения параметър: тъй като второто производно има формата, след което го интегрираме, след като имаме зависимост за производното на функцията

и чрез многократно интегриране намираме обща форма на хомогенна функция

Частично решение на уравнениетоНека го запишем като променлива, умножена по логаритъм. Това следва от факта, че дясната (нехомогенна) част на DE е равна на -1/x и за да се получи еквивалентна нотация

решението трябва да се търси във формата

Нека намерим коефициента А, за да направим това, изчисляваме производните от първи и втори ред

Нека заместим намерените изрази в оригиналното диференциално уравнение и приравняваме коефициентите при същите степени на x:

Стойността на стоманата е равна на -1/2 и има формата

Общо решение на диференциално уравнениезапишете го като сбор от намереното

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи, които могат да бъдат прецизирани с помощта на проблема на Коши.

Пример 3. Намерете интеграла от DE от трети ред
Решение: Търсим общия интеграл на нехомогенно диференциално уравнение от трети ред под формата на сбор от решения на хомогенно и частично нехомогенно уравнение. Първо, за всеки тип уравнение, което започваме анализира хомогенно диференциално уравнение

Той съдържа само втората и третата производна на неизвестната в момента функция. Въвеждаме промяна на променливи (параметър): означаваме с втората производна

Тогава третата производна е равна на

Същите трансформации бяха извършени и в предишната задача. Това позволява редуцирайте диференциално уравнение от трети ред до уравнение от първи ред на формата

Чрез интегриране намираме

Припомняме, че в съответствие с промяната на променливите това е само втората производна

и за да се намери решение на хомогенно диференциално уравнение от трети ред, то трябва да бъде интегрирано два пъти

Въз основа на типа на дясната страна (неравномерна част =x+1), Търсим частично решение на уравнението във формата

Как да разберете в каква форма да търсите частично решение Трябва да сте научили в теоретичната част на курса по диференциални уравнения. Ако не, тогава можем само да предложим да се избере израз за функцията, така че при заместване в уравнението членът, съдържащ най-високата производна или по-малката, да е от същия ред (подобен) на нехомогенната част на уравнението

Мисля, че сега ви е по-ясно откъде идва типът частно решение. Нека намерим коефициентите A, B, за това изчисляваме втората и третата производна на функцията

и го заместете в диференциалното уравнение. След групиране на подобни членове, получаваме линейното уравнение

от което за същите степени на променливата съставете система от уравнения

и намиране на непознати стомани. След тяхното заместване се изразява чрез зависимостта

Общо решение на диференциално уравнениее равна на сбора от хомогенни и частични и има формата

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи.

Пример 4. П решаване на диференциално уравнение
Решение: Имаме решение, което ще намерим чрез сбора. Знаете схемата за изчисление, така че нека да преминем към разглеждане хомогенно диференциално уравнение

По стандартния метод въведете параметъра
Първоначалното диференциално уравнение ще приеме формата, откъдето, разделяйки променливите, намираме

Не забравяйте, че параметърът е равен на втората производна
Чрез интегриране на DE получаваме първата производна на функцията

Чрез многократна интеграция намерете общия интеграл на хомогенно диференциално уравнение

Търсим частично решение на уравнението във формата, тъй като дясната страна е равна
Нека намерим коефициента A - за да направите това, заместете y* в диференциалното уравнение и приравнете коефициента при същите степени на променливата

След заместване и групиране на членовете получаваме зависимостта

от които стоманата е равна на A=8/3.
Така можем да пишем частично решение на DE

Общо решение на диференциално уравнениеравна на сбора от намерените

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи. Ако е дадено условието на Коши, тогава можем много лесно да ги дефинираме.

Вярвам, че материалът ще ви бъде полезен при подготовка за практически занятия, модули или контролни работи. Проблемът на Коши не беше обсъждан тук, но от предишните уроци като цяло знаете как да го направите.