Разстоянието между 2 точки в пространството. Изчисляване на разстоянията между градовете по техните координати

С помощта на координати се определя местоположението на обект върху земното кълбо. Координатите са обозначени с географска ширина и дължина. Географските ширини се измерват от линията на екватора от двете страни. В Северното полукълбо ширините са положителни, в Южното полукълбо са отрицателни. Географската дължина се измерва от началния меридиан или на изток, или на запад, съответно се получава или източна, или западна дължина.

Според общоприетата позиция за начален меридиан се приема този, който минава през старата обсерватория Гринуич в Гринуич. Географските координати на местоположението могат да бъдат получени с помощта на GPS навигатор. Това устройство приема сигнали от системата за сателитно позициониране в единната за целия свят координатна система WGS-84.

Моделите Navigator се различават по производител, функционалност и интерфейс. В момента в някои модели мобилни телефони се предлагат и вградени GPS навигатори. Но всеки модел може да записва и запазва координатите на точка.

Разстояние между GPS координати

За решаване на практически и теоретични проблеми в някои индустрии е необходимо да можете да определяте разстоянията между точките по техните координати. Има няколко начина, по които можете да направите това. Каноничната форма за представяне на географски координати: градуси, минути, секунди.

Например, можете да определите разстоянието между следните координати: точка № 1 - ширина 55°45′07″ с.ш., дължина 37°36′56″ из.д.; точка № 2 - ширина 58°00′02″ с.ш., дължина 102°39′42″ из.д.

Най-лесният начин е да използвате калкулатор, за да изчислите дължината между две точки. В търсачката на браузъра трябва да зададете следните параметри за търсене: онлайн - за изчисляване на разстоянието между две координати. В онлайн калкулатора стойностите на географската ширина и дължина се въвеждат в полетата за заявка за първата и втората координата. При изчисляването онлайн калкулаторът даде резултат - 3 800 619 m.

Следващият метод е по-трудоемък, но и по-визуален. Трябва да използвате всяка налична програма за картографиране или навигация. Програмите, в които можете да създавате точки с помощта на координати и да измервате разстояния между тях, включват следните приложения: BaseCamp (модерен аналог на програмата MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Всички горепосочени програми са достъпни за всеки потребител на мрежата. Например, за да изчислите разстоянието между две координати в Google Earth, трябва да създадете два етикета, указващи координатите на първата точка и втората точка. След това, като използвате инструмента „Линийка“, трябва да свържете първата и втората маркировка с линия, програмата автоматично ще покаже резултата от измерването и ще покаже пътя на сателитното изображение на Земята.

В случая с примера, даден по-горе, програмата Google Earth върна резултата - дължината на разстоянието между точка № 1 и точка № 2 е 3 817 353 m.

Защо има грешка при определяне на разстоянието

Всички изчисления на разстоянието между координатите се основават на изчисляването на дължината на дъгата. Радиусът на Земята участва в изчисляването на дължината на дъгата. Но тъй като формата на Земята е близка до сплескан елипсоид, радиусът на Земята варира в определени точки. За изчисляване на разстоянието между координатите се взема средната стойност на радиуса на Земята, което дава грешка при измерването. Колкото по-голямо е измереното разстояние, толкова по-голяма е грешката.

Изчисляването на разстояния между точки въз основа на техните координати в равнина е елементарно; на повърхността на Земята е малко по-сложно: ще разгледаме измерването на разстоянието и началния азимут между точките без трансформации на проекцията. Първо, нека разберем терминологията.

Въведение

Голяма дължина на дъгата на кръга– най-късото разстояние между всеки две точки, разположени на повърхността на сфера, измерено по линията, свързваща тези две точки (такава линия се нарича ортодромия) и минаваща по повърхността на сферата или друга повърхност на въртене. Сферичната геометрия е различна от нормалната евклидова геометрия и уравненията на разстоянието също имат различна форма. В евклидовата геометрия най-късото разстояние между две точки е права линия. На сфера няма прави линии. Тези линии на сферата са част от големи кръгове - кръгове, чиито центрове съвпадат с центъра на сферата. Начален азимут- азимут, който при започване на движение от точка А, следвайки големия кръг за най-късото разстояние до точка Б, крайната точка ще бъде точка В. При движение от точка А до точка Б по линията на големия кръг, азимутът от текущата позиция до крайна точка B е постоянна, променя се. Началният азимут е различен от постоянен, след което азимутът от текущата до крайната точка не се променя, но следваният маршрут не е най-късото разстояние между две точки.

През всеки две точки от повърхността на една сфера, ако те не са точно срещуположни една на друга (т.е. не са антиподи), може да се начертае уникален голям кръг. Две точки разделят голям кръг на две дъги. Дължината на къса дъга е най-късото разстояние между две точки. Безкраен брой големи кръгове могат да бъдат начертани между две противоположни точки, но разстоянието между тях ще бъде еднакво във всеки кръг и равно на половината от обиколката на кръга, или π*R, където R е радиусът на сферата.

В равнина (в правоъгълна координатна система) големите кръгове и техните фрагменти, както беше споменато по-горе, представляват дъги във всички проекции, с изключение на гномоничната, където големите кръгове са прави линии. На практика това означава, че самолетите и друг въздушен транспорт винаги използват маршрута на минималното разстояние между точките, за да спестят гориво, тоест полетът се извършва по голямо кръгово разстояние, в самолет изглежда като дъга.

Формата на Земята може да се опише като сфера, така че уравненията за голямо кръгово разстояние са важни за изчисляване на най-късото разстояние между точки на земната повърхност и често се използват в навигацията. Изчисляването на разстоянието по този метод е по-ефективно и в много случаи по-точно от изчисляването му за проектирани координати (в правоъгълни координатни системи), тъй като, първо, не изисква преобразуване на географски координати в правоъгълна координатна система (извършване на проекционни трансформации) и , второ, много проекции, ако са избрани неправилно, могат да доведат до значителни изкривявания на дължината поради естеството на проекционните изкривявания. Известно е, че не е сфера, а елипсоид, който описва по-точно формата на Земята, но тази статия обсъжда изчисляването на разстоянията конкретно върху сфера; за изчисления се използва сфера с радиус от 6 372 795 метра , което може да доведе до грешка при изчисляване на разстояния от порядъка на 0,5%.

Формули

Има три начина за изчисляване на сферичното разстояние на големия кръг. 1. Теорема за сферичен косинусВ случай на малки разстояния и малка дълбочина на изчисление (брой знаци след десетичната запетая), използването на формулата може да доведе до значителни грешки при закръгляване. φ1, λ1; φ2, λ2 - ширина и дължина на две точки в радиани Δλ - разлика в координатите в дължина Δδ - ъглова разлика Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) За да преобразувате ъгловото разстояние в метрика, трябва да умножете ъгловата разлика по радиуса на Земята (6372795 метра), единиците за крайното разстояние ще бъдат равни на единиците, в които е изразен радиусът (в този случай метри). 2. Формула на хаверсинусИзползва се за избягване на проблеми с къси разстояния. 3. Модификация за антиподитеПредишната формула също е предмет на проблема с антиподните точки; за решаването му се използва следната модификация.

Моята реализация на PHP

// Дефиниране на радиуса на Земята ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Разстояние между две точки * $φA, $λA - ширина, дължина на 1-ва точка, * $φB, $λB - ширина, дължина на 2-ра точка * Написано на базата на http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Михаил Кобзарев * */ функция изчислиРазстоянието ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // преобразуване на координатите в радиани $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // косинуси и синуси на разликите в ширините и дължината $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($ lat2); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // изчисления дължина на голям кръг $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Пример за извикване на функция: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; ехо изчисляванеРазстоянието($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "метри"; // Връщане на "17166029 метра"

Разстоянието между две точки на равнина.
Координатни системи

Всяка точка А от равнината се характеризира със своите координати (x, y). Те съвпадат с координатите на вектора 0A, излизащ от точка 0 - началото на координатите.

Нека A и B са произволни точки от равнината с координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), съответно.

Тогава векторът AB очевидно има координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Известно е, че квадратът на дължината на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати. Следователно разстоянието d между точките A и B или, което е същото, дължината на вектора AB, се определя от условието

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Получената формула ви позволява да намерите разстоянието между всеки две точки в равнината, ако са известни само координатите на тези точки

Всеки път, когато говорим за координатите на определена точка от равнината, имаме предвид точно дефинирана координатна система x0y. Като цяло координатната система на равнината може да бъде избрана по различни начини. Така че, вместо координатната система x0y, можете да разгледате координатната система x"0y", която се получава чрез завъртане на старите координатни оси около началната точка 0 обратно на часовниковата стрелкастрелки на ъгъла α .

Ако дадена точка от равнината в координатната система x0y има координати (x, y), то в новата координатна система x"0y" тя ще има различни координати (x, y").

Като пример, разгледайте точка M, разположена на оста 0x и отделена от точка 0 на разстояние 1.

Очевидно в координатната система x0y тази точка има координати (cos α , грях α ), а в координатната система x"0y" координатите са (1,0).

Координатите на всеки две точки от равнината A и B зависят от това как е зададена координатната система в тази равнина. Но разстоянието между тези точки не зависи от метода на определяне на координатната система. Ще се възползваме значително от това важно обстоятелство в следващия параграф.

Упражнения

I. Намерете разстоянията между точки на равнината с координати:

1) (3.5) и (3.4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Намерете периметъра на триъгълник, чиито страни са дадени от уравненията:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 и y = 1.

III. В координатната система x0y точките M и N имат съответно координати (1, 0) и (0,1). Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка на ъгъл 30° обратно на часовниковата стрелка.

IV. В координатната система x0y точките M и N имат координати (2, 0) и (\ / 3/2, - 1/2) съответно. Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка под ъгъл 30° по посока на часовниковата стрелка.

Нека е дадена правоъгълна координатна система.

Теорема 1.1.За всеки две точки M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) от равнината, разстоянието d между тях се изразява с формулата

Доказателство.Нека спуснем перпендикулярите M 1 B и M 2 A съответно от точките M 1 и M 2

на оста Oy и Ox и означете с K точката на пресичане на правите M 1 B и M 2 A (фиг. 1.4). Възможни са следните случаи:

1) Точките M 1, M 2 и K са различни. Очевидно точка K има координати (x 2; y 1). Лесно се вижда, че M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. защото ∆M 1 KM 2 е правоъгълна, тогава по Питагоровата теорема d = M 1 M 2 = = .

2) Точка K съвпада с точка M 2, но е различна от точка M 1 (фиг. 1.5). В този случай y 2 = y 1

и d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Точка K съвпада с точка M 1, но е различна от точка M 2. В този случай x 2 = x 1 и d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Точка М 2 съвпада с точка М 1. Тогава x 1 = x 2, y 1 = y 2 и

d = M 1 M 2 = O = .

Разделяне на сегмент в това отношение.

Нека на равнината е дадена произволна отсечка M 1 M 2 и M ─ всяка точка от нея

сегмент, различен от точка M 2 (фиг. 1.6). Числото l, определено от равенството l = , Наречен поведение,в която точка M разделя сегмента M 1 M 2.

Теорема 1.2.Ако точка M(x;y) разделя отсечката M 1 M 2 по отношение на l, тогава координатите на тази точка се определят по формулите

x = , y = , (4)

където (x 1;y 1) ─ координати на точка M 1, (x 2; y 2) ─ координати на точка M 2.

Доказателство.Нека докажем първата от формулите (4). Втората формула се доказва по подобен начин. Има два възможни случая.

x = x 1 = = = .

2) Правата M 1 M 2 не е перпендикулярна на оста Ox (фиг. 1.6). Нека спуснем перпендикулярите от точки M 1, M, M 2 към оста Ox и обозначим точките на тяхното пресичане с оста Ox като P 1, P, P 2, съответно. По теоремата за пропорционалните отсечки = л.

защото P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô и числата (x – x 1) и (x 2 – x) имат еднакъв знак (при x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 са отрицателни), тогава

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Следствие 1.2.1.Ако M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) са две произволни точки и точката M (x; y) е средата на отсечката M 1 M 2, тогава

x = , y = (5)

Доказателство.Тъй като M 1 M = M 2 M, тогава l = 1 и използвайки формули (4), получаваме формули (5).

Площ на триъгълник.

Теорема 1.3.За всякакви точки A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) и C(x 3;y 3), които не лежат на едно и също

права линия, лицето S на триъгълник ABC се изразява с формулата

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Доказателство.Площта ∆ ABC, показана на фиг. 1.7, изчисляваме по следния начин

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Изчисляваме площта на трапеца:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Сега имаме

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

За друго местоположение ∆ ABC формула (6) се доказва по подобен начин, но може да се окаже със знак „-“. Следователно във формула (6) те поставят знака за модул.

Лекция 2.

Уравнение на права върху равнина: уравнение на права с главен коефициент, общо уравнение на права, уравнение на права в отсечки, уравнение на права, минаваща през две точки. Ъгълът между правите линии, условията за успоредност и перпендикулярност на правите в равнина.

2.1. Нека на равнината са дадени правоъгълна координатна система и някаква права L.

Определение 2.1.Уравнение от вида F(x;y) = 0, свързващо променливите x и y, се нарича линейно уравнение L(в дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите на всяка точка, която не лежи на тази права.

Примери за уравнения на прави в равнина.

1) Да разгледаме права линия, успоредна на оста Oy на правоъгълната координатна система (фиг. 2.1). Нека означим с буквата A точката на пресичане на тази права с оста Ox, (a;o) ─ нейната или-

дината. Уравнението x = a е уравнението на дадената права. Наистина, това уравнение се удовлетворява от координатите на която и да е точка M(a;y) от тази права и не се удовлетворява от координатите на която и да е точка, която не лежи на правата. Ако a = 0, тогава правата линия съвпада с оста Oy, която има уравнението x = 0.

2) Уравнението x - y = 0 определя множеството от точки на равнината, които образуват ъглополовящите на I и III координатни ъгли.

3) Уравнението x 2 - y 2 = 0 ─ е уравнението на две ъглополовящи на координатни ъгли.

4) Уравнението x 2 + y 2 = 0 определя една точка O(0;0) на равнината.

5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение на окръжност с радиус 5 с център в началото.

Здравейте,

Използван PHP:

С уважение, Александър.

Здравейте,

От доста време се боря с проблем: Опитвам се да изчисля разстоянието между две произволни точки, които се намират на разстояние от 30 до 1500 метра една от друга.

Използван PHP:

$cx=31,319738; //x координата на първата точка
$cy=60,901638; //y координата на първата точка
$x=31,333312; //x координата на втората точка
$y=60,933981; //y координата на втората точка
$mx=abs($cx-$x); //изчисляване на разликата в x (първия катет на правоъгълен триъгълник), функция abs(x) - връща модула на числото x x
$my=abs($cy-$y); //изчислете разликата между играчите (вторият катет на правоъгълния триъгълник)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Вземете разстоянието до метрото (дължината на хипотенузата според правилото, хипотенузата е равна на корена от сбора на квадратите на катетите)

Ако не е ясно, нека обясня: представям си, че разстоянието между две точки е хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Тогава разликата между X на всяка от двете точки ще бъде единият катет, а другият катет ще бъде разликата на Y на същите две точки. След това, като изчислите разликите между X и Y, можете да използвате формулата, за да изчислите дължината на хипотенузата (т.е. разстоянието между две точки).

Знам, че това правило работи добре за декартовата координатна система, но повече или по-малко трябва да работи чрез longlat координати, т.к. измереното разстояние между две точки е незначително (от 30 до 1500 метра).

Разстоянието обаче според този алгоритъм е изчислено неправилно (например разстояние 1, изчислено от този алгоритъм, превишава разстояние 2 само с 13%, докато в действителност разстояние 1 е равно на 1450 метра, а разстояние 2 е равно на 970 метра, т.е. всъщност разликата достига почти 50% ).