Метод на вариация на произволни константи. ОДА
Нека сега разгледаме линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1 ,y 2 ,.., y n е фундаментална система от решения и нека е общото решение на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Подобно на случая на уравнения от първи ред, ние ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека се уверим, че решение в тази форма съществува. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е равна на 
. (4)
При изчисляване на втората производна от дясната страна на (4) ще се появят четири члена, при изчисляване на третата производна ще се появят осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшни изчисления, първият член в (4) е равен на нула. Като вземем това предвид, втората производна е равна на 
. (5)
По същите причини, както преди, в (5) ние също поставяме първия член равен на нула. И накрая, n-тата производна е 
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме 
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j , j=1,2,..,n, са решения на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Комбинирайки с предишното, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функциите C" j (x) 
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на фундаменталната система от решения y 1 ,y 2 ,..,y n на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 и следователно не е равна на нула. Следователно има уникално решение за системата (8). След като го намерихме, получаваме функциите C" j (x), j=1,2,…,n, и следователно C j (x), j=1,2,…,n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решение на линейно нехомогенно уравнение.
Представеният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.
Пример №1. Нека намерим общото решение на уравнението y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корените на неговото характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са равни на -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенно уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решение на нехомогенното уравнение във формата y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. За да намерим производните C" 1 , C" 2 съставяме система от уравнения (8)
решавайки което, намираме , Интегрирайки получените функции, имаме
Накрая получаваме
Пример №2. Решете линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти, като използвате метода на вариране на произволни константи: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решение на уравнението във вида y = e rx. За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Корени на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения се състои от функциите:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение има формата: 
Търсене на конкретно решение чрез метода на промяна на произволна константа.
За да намерим производните на C" i, съставяме система от уравнения: 
C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Нека изразим C" 1 от първото уравнение:
C" 1 = -c 2 e -2x
и го заменете във втория. В резултат получаваме:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрираме получените функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Тъй като , след което записваме получените изрази във формата:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Така общото решение на диференциалното уравнение има формата:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Нека намерим конкретно решение при условие:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намираме първата производна на полученото общо решение:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаваме система от две уравнения:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Където:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Частното решение ще бъде написано като:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Лекция 44. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Метод на вариация на произволни константи. Линейни нееднородни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. (специална дясна страна).
Социални трансформации. Държава и църква.
Социалната политика на болшевиките до голяма степен е продиктувана от техния класов подход.С указ от 10 ноември 1917 г. класовата система е унищожена, предреволюционните звания, звания и награди са премахнати. Установен е изборът на съдии; е извършена секуларизация на гражданските държави. Създадени са безплатно образование и медицинско обслужване (указ от 31 октомври 1918 г.). На жените са дадени равни права с мъжете (укази от 16 и 18 декември 1917 г.). Указът за брака въвежда института на гражданския брак.
С декрет на Съвета на народните комисари от 20 януари 1918 г. църквата е отделена от държавата и от образователната система. По-голямата част от църковното имущество е конфискувано. Патриархът на Москва и цяла Русия Тихон (избран на 5 ноември 1917 г.) на 19 януари 1918 г. анатемосва съветската власт и призовава за борба срещу болшевиките.
Да разгледаме линейно нехомогенно уравнение от втори ред
Структурата на общото решение на такова уравнение се определя от следната теорема:
Теорема 1.Общото решение на нехомогенното уравнение (1) се представя като сума от някакво конкретно решение на това уравнение и общото решение на съответното хомогенно уравнение
(2)
Доказателство. Необходимо е да се докаже, че сумата
е общо решение на уравнение (1). Нека първо докажем, че функция (3) е решение на уравнение (1).
Заместване на сумата в уравнение (1) вместо при, ще има
Тъй като има решение на уравнение (2), изразът в първите скоби е идентично равен на нула. Тъй като има решение на уравнение (1), изразът във вторите скоби е равен на f(x). Следователно равенството (4) е тъждество. Така първата част от теоремата е доказана.
Нека докажем второто твърдение: израз (3) е общрешение на уравнение (1). Трябва да докажем, че произволните константи, включени в този израз, могат да бъдат избрани така, че да са изпълнени началните условия:
(5)
каквито и да са числата x 0, y 0и (ако само х 0е взет от района, където функционира 1, 2И f(x)непрекъснато).
Забелязвайки, че може да бъде представен във формата 
. Тогава, въз основа на условия (5), ще имаме
Нека решим тази система и да определим C 1И C 2. Нека пренапишем системата във формата:
(6)
Обърнете внимание, че детерминантата на тази система е детерминантата на Wronski за функциите на 1И на 2в точката x=x 0. Тъй като тези функции са линейно независими по условие, детерминантата на Вронски не е равна на нула; следователно система (6) има определено решение C 1И C 2, т.е. има такива значения C 1И C 2, при което формула (3) определя решението на уравнение (1), удовлетворяващо дадените начални условия. Q.E.D.
Нека да преминем към общия метод за намиране на частични решения на нехомогенно уравнение.
Нека напишем общото решение на хомогенното уравнение (2)
. (7)
Ще търсим частно решение на нехомогенното уравнение (1) във вида (7), като вземем предвид C 1И C 2като някои все още неизвестни функции от Х.
Нека разграничим равенството (7):
Нека изберем функциите, които търсите C 1И C 2така че равенството е в сила
. (8)
Ако вземем предвид това допълнително условие, тогава първата производна ще приеме формата
.
Разграничавайки сега този израз, намираме:
Замествайки в уравнение (1), получаваме
Изразите в първите две скоби стават нула, тъй като y 1И y 2– решения на еднородно уравнение. Следователно последното равенство приема формата
. (9)
Така функция (7) ще бъде решение на нехомогенното уравнение (1), ако функциите C 1И C 2удовлетворяват уравнения (8) и (9). Нека създадем система от уравнения от уравнения (8) и (9).
Тъй като детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за линейно независими решения y 1И y 2уравнение (2), то не е равно на нула. Следователно, решавайки системата, ще намерим и двете определени функции на х.
Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урок е предназначен за тези ученици, които вече са повече или по-малко добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с дистанционното управление, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. И ако вече завършвате, моля, отхвърлете евентуалното предубеждение, че методът е труден. Защото е просто.
В какви случаи се използва методът на вариация на произволни константи?
1) Методът на вариация на произволна константа може да се използва за решаване линеен нехомогенен DE от 1-ви ред. Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата също е единица.
2) Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на някои линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Тук две константи варират.
Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа... И така, написах това изречение и около 10 минути мъчително обмислях какви други умни глупости мога да добавя за плавен преход към практически примери. Но по някаква причина нямам никакви мисли след празниците, въпреки че не изглежда да съм злоупотребил с нищо. Затова нека да преминем направо към първия параграф.
Метод на вариация на произволна константа
за линейно нехомогенно уравнение от първи ред
Преди да разгледате метода на вариация на произволна константа, препоръчително е да се запознаете със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред. В този урок се упражнявахме първо решениенехомогенен 1-ви ред DE. Това първо решение, напомням ви, се нарича метод на подмянаили Метод на Бернули(да не се бърка с Уравнение на Бернули!!!)
Сега ще погледнем второ решение– метод на вариация на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на вариация на произволни константи се използва по-рядко от метода на заместване.
Пример 1
(Разлика от пример № 2 от урока Линейни нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред)
Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има позната форма: 
На първия етап е необходимо да се реши по-просто уравнение: 
Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна и вместо това пишем нула.
Уравнението ще се обадя спомагателно уравнение.
В този пример трябва да решите следното спомагателно уравнение:
пред нас разделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас: 
По този начин: 
– общо решение на спомагателното уравнение.
На второто стъпало ще заменимнякаква константа за сеганеизвестна функция, която зависи от "x":
Оттук и името на метода - ние променяме константата. Като алтернатива, константата може да бъде някаква функция, която сега трябва да намерим.
IN оригиналеннехомогенно уравнение нека направим замяна:
Нека заместим и 
в уравнението :
Контролна точка – двата члена от лявата страна се анулират. Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по-горе.
В резултат на замяната се получава уравнение с разделими променливи. Разделяме променливите и интегрираме.
Каква благословия, експонентите също отменят:
Добавяме „нормална“ константа към намерената функция:
На последния етап си спомняме за нашата подмяна:
Функцията току-що е открита!
Така че общото решение е: 
Отговор:общо решение: 
Ако разпечатате двете решения, лесно ще забележите, че и в двата случая намерихме едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма за решение.
Сега за нещо по-сложно, ще коментирам и втория пример:
Пример 2
Намерете общото решение на диференциалното уравнение 
(Разлика от пример № 8 от урока Линейни нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред)
Решение:Нека сведем уравнението до вида :
Нека нулираме дясната страна и решим спомагателното уравнение:
Общо решение на спомагателното уравнение:
В нехомогенното уравнение правим замяната:
Според правилото за диференциране на продукта: 
Нека заместим и в първоначалното нехомогенно уравнение:
Двата члена от лявата страна се отменят, което означава, че сме на прав път: 
Нека интегрираме по части. Вкусната буква от формулата за интегриране по части вече е включена в решението, така че използваме например буквите „a“ и „be“:
Сега нека си спомним замяната:
Отговор:общо решение:
И един пример за независимо решение:
Пример 3
Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на даденото начално условие.
,
(Разлика от пример № 4 от урока Линейни нехомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред)
Решение:
Това DE е линейно нехомогенно. Използваме метода на вариация на произволни константи. Нека да решим спомагателното уравнение:
Разделяме променливите и интегрираме: 
Общо решение: 
В нехомогенното уравнение правим замяната: 
Нека извършим заместването: 
Така че общото решение е: 
Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие: 
Отговор:лично решение:
Решението в края на урока може да послужи като пример за изпълнение на задачата.
Метод на вариация на произволни константи
за линейно нехомогенно уравнение от втори ред
с постоянни коефициенти
Често съм чувал мнението, че методът за вариране на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесен. Но предполагам следното: най-вероятно методът изглежда труден за мнозина, защото не се среща толкова често. Но в действителност няма особени затруднения - ходът на решението е ясен, прозрачен и разбираем. И красив.
За да овладеете метода, е желателно да можете да решавате нехомогенни уравнения от втори ред, като избирате конкретно решение въз основа на формата на дясната страна. Този метод е разгледан подробно в статията. Нехомогенни DE от 2-ри ред. Спомняме си, че линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата:
Методът за избор, който беше обсъден в горния урок, работи само в ограничен брой случаи, когато дясната страна съдържа полиноми, експоненциали, синуси и косинуси. Но какво да правите, когато отдясно например има дроб, логаритъм, тангенс? В такава ситуация на помощ идва методът на вариация на константите.
Пример 4
Намерете общото решение на диференциално уравнение от втори ред 
Решение:В дясната страна на това уравнение има дроб, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на определено решение не работи. Използваме метода на вариация на произволни константи.
Няма признаци на гръмотевична буря; началото на решението е напълно обикновено:
Ще намерим общо решениеподходящо хомогененуравнения: 
Нека съставим и решим характеристичното уравнение: 
– получават се спрегнати комплексни корени, така че общото решение е:
Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, отворете ги.
Сега правим почти същия трик като за уравнението от първи ред: променяме константите, като ги заместваме с неизвестни функции. Това е, общо решение на нехомогеннище търсим уравнения във формата:
Където - за сеганеизвестни функции.
Прилича на сметище за битови отпадъци, но сега ще подредим всичко.
Неизвестните са производните на функциите. Нашата цел е да намерим производни и намерените производни трябва да удовлетворяват както първото, така и второто уравнение на системата.
Откъде идват "гърците"? Донася ги щъркелът. Разглеждаме общото решение, получено по-рано, и пишем:
Нека намерим производните:
Левите части са обработени. Какво има вдясно?
е дясната страна на оригиналното уравнение, в този случай:
Коефициентът е коефициентът на втората производна:
На практика почти винаги и нашият пример не прави изключение.
Всичко е ясно, сега можете да създадете система: 
Системата обикновено е решена според формулите на Крамеризползвайки стандартния алгоритъм. Единствената разлика е, че вместо числа имаме функции.
Нека намерим основната детерминанта на системата: 
Ако сте забравили как се разкрива детерминантата две по две, вижте урока Как да изчислим детерминантата?Линкът води към дъската на срама =)
И така: това означава, че системата има уникално решение.
Намиране на производната: 
Но това не е всичко, досега сме открили само производното.
Самата функция се възстановява чрез интегриране:
Нека да разгледаме втората функция: 
Тук добавяме „нормална“ константа
На последния етап от решението си спомняме в каква форма търсихме общо решение на нехомогенното уравнение? По такъв:
Функциите, от които се нуждаете, току-що бяха намерени! 
Остава само да извършите замяната и да запишете отговора:
Отговор:общо решение:
По принцип отговорът можеше да разшири скобите.
Пълна проверка на отговора се извършва по стандартната схема, която беше обсъдена в урока. Нехомогенни DE от 2-ри ред. Но проверката няма да бъде лесна, тъй като е необходимо да се намерят доста тежки производни и да се извърши тромаво заместване. Това е неприятна особеност, когато решавате такива дифузори.
Пример 5
Решете диференциално уравнение чрез промяна на произволни константи
Това е пример, който можете да решите сами. Всъщност от дясната страна също има дроб. Нека си спомним тригонометричната формула, между другото, тя ще трябва да се приложи по време на решението.
Методът на вариация на произволни константи е най-универсалният метод. Може да реши всяко уравнение, което може да бъде решено метод за избор на конкретно решение въз основа на формата на дясната страна. Възниква въпросът: защо да не използваме метода на вариация на произволни константи и там? Отговорът е очевиден: изборът на конкретно решение, което беше обсъдено в клас Нееднородни уравнения от втори ред, значително ускорява решението и съкращава записа - без разправия с детерминанти и интеграли.
Нека да разгледаме два примера с Проблем с Коши.
Пример 6
Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на дадените начални условия
, 
Решение:Отново дробта и степента са на интересно място.
Използваме метода на вариация на произволни константи.
Ще намерим общо решениеподходящо хомогененуравнения: 
– получават се различни реални корени, така че общото решение е:
Общо решение на нехомогеннитърсим уравнения във формата: , където – за сеганеизвестни функции.
Нека създадем система:
В такъв случай:
,
Намиране на производни: 
, 
По този начин: 
Нека решим системата с помощта на формулите на Cramer:
, което означава, че системата има уникално решение.
Възстановяваме функцията чрез интеграция:
Използва се тук метод за поставяне на функция под диференциалния знак.
Възстановяваме втората функция чрез интегриране: 
Този интеграл е решен метод за заместване на променливи:
От самата замяна изразяваме:
По този начин: 
Този интеграл може да бъде намерен метод за пълно квадратно извличане, но в примерите с дифузори предпочитам да разширя фракцията метод на неопределените коефициенти:
Намерени са и двете функции:
В резултат на това общото решение на нехомогенното уравнение е:
Нека намерим конкретно решение, което удовлетворява началните условия .
Технически, търсенето на решение се извършва по стандартен начин, който беше обсъден в статията Нееднородни диференциални уравнения от втори ред.
Чакайте, сега ще намерим производната на намереното общо решение:
Това е такъв позор. Не е необходимо да го опростявате, по-лесно е веднага да създадете система от уравнения. Според началните условия :
Нека заместим намерените стойности на константите 
към общото решение:
В отговора логаритмите могат да бъдат малко опаковани.
Отговор:лично решение: 
Както можете да видите, трудности могат да възникнат в интегралите и производните, но не и в алгоритъма на самия метод за вариация на произволни константи. Не аз ви уплаших, всичко е колекцията на Кузнецов!
За успокоение, последен, по-прост пример за самостоятелно решаване:
Пример 7
Решете проблема на Коши
, 
Примерът е прост, но креативен, когато създавате система, разгледайте я внимателно, преди да решите ;-),
В резултат на това общото решение е:
Нека намерим конкретно решение, отговарящо на началните условия .
Нека заместим намерените стойности на константите в общото решение:
Отговор:лично решение:
Нека се обърнем към разглеждането на линейни нееднородни диференциални уравнения на формата
Където 
- необходимата функция на аргумента 
, и функциите 
са дадени и непрекъснати на определен интервал 
.
Нека да разгледаме линейно хомогенно уравнение, чиято лява страна съвпада с лявата страна на нехомогенното уравнение (2.31),
Извиква се уравнение от вида (2.32). хомогенно уравнение, съответстващо на нехомогенното уравнение (2.31).
За структурата на общото решение на нехомогенното линейно уравнение (2.31) е в сила следната теорема.
Теорема 2.6.Общото решение на линейното нехомогенно уравнение (2.31) в областта
е сумата от всяко конкретно негово решение и общото решение на съответното хомогенно уравнение (2.32) в областта (2.33), т.е.
Където 
- конкретно решение на уравнение (2.31), 
е основната система от решения на хомогенното уравнение (2.32), и 
- произволни константи.
Ще намерите доказателството на тази теорема в.
Използвайки примера на диференциално уравнение от втори ред, ще очертаем метод, чрез който може да се намери конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение. Този метод се нарича Метод на Лагранж за вариация на произволни константи.
И така, нека ни е дадено нехомогенно линейно уравнение
(2.35)
къде са коефициентите 
и дясната страна 
непрекъснато в някакъв интервал 
.
Нека означим с 
И 
фундаментална система от решения на хомогенното уравнение
(2.36)
Тогава общото му решение има вида
(2.37)
Където 
И 
- произволни константи.
Ще търсим решение на уравнение (2.35) в същата форма ,
както и общото решение на съответното хомогенно уравнение, замествайки произволни константи с някои диференцируеми функции на 
(ние променяме произволни константи),тези.
Където 
И 
- някои диференцируеми функции от 
, които все още са неизвестни и които ще се опитаме да определим, така че функция (2.38) да бъде решение на нехомогенното уравнение (2.35). Диференцирайки двете страни на равенството (2.38), получаваме
Така че при изчисляване 
производни от втори ред на 
И 
, изискваме това навсякъде в 
условието беше изпълнено
Тогава за 
ще има
Нека изчислим втората производна
Заместване на изрази за 
,
,
от (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получаваме
Изразите в квадратни скоби са равни на нула навсякъде в 
, защото 
И 
- частични решения на уравнение (2.36). В този случай (2.42) ще приеме формата Комбинирайки това условие с условие (2.39), получаваме система от уравнения за определяне 
И 
(2.43)
Последната система е система от две алгебрични линейни нехомогенни уравнения по отношение на 
И 
. Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за фундаменталната система от решения 
,
и следователно е различна от нула навсякъде в 
. Това означава, че системата (2.43) има единствено решение. Като го реши по някакъв начин относително 
,
ще намерим
Където 
И 
- известни функции.
Извършване на интеграция и като се има предвид, че като 
,
трябва да вземем една двойка функции и да зададем интеграционните константи равни на нула. Получаваме
Замествайки изрази (2.44) в отношения (2.38), можем да запишем желаното решение на нехомогенното уравнение (2.35) във формата
Този метод може да се обобщи, за да се намери конкретно решение на линейното нехомогенно уравнение 
-та поръчка.
Пример 2.6. Решете уравнението 
при 
ако функции 
образуват фундаментална система от решения на съответното хомогенно уравнение.
Нека намерим конкретно решение на това уравнение. За да направим това, в съответствие с метода на Лагранж, първо трябва да решим система (2.43), която в нашия случай има формата 
Намаляване на двете страни на всяко уравнение с 
получаваме 
Изваждайки член по член на първото уравнение от второто уравнение, намираме 
и след това от първото уравнение следва 
Ще имаме извършване на интегриране и задаване на константите на интегриране на нула 
Конкретно решение на това уравнение може да бъде представено като
Общото решение на това уравнение има формата
Където 
И 
- произволни константи.
И накрая, нека отбележим едно забележително свойство, което често се нарича принцип на суперпозиция на решения и се описва от следната теорема.
Теорема 2.7.Ако между 
функция 
- частно решение на уравнението функция 
конкретно решение на уравнението на същия интервал е функцията 
има конкретно решение на уравнението
