Линейно хомогенно уравнение от втори ред. Диференциални уравнения от втори и по-високи редове
Тази статия разглежда въпроса за решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде обсъдена заедно с примери за дадени задачи. За да дешифрирате неясни термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните дефиниции и понятия от теорията на диференциалните уравнения.
Нека разгледаме линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p · y " + q · y = f (x), където p и q са произволни числа и съществуващата функция f (x) е непрекъснат в интервала на интегриране x.
Нека преминем към формулировката на теоремата за общото решение на LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обща теорема за решение за LDNU
Теорема 1Общо решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервала f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равна на сумата от общото решение y 0, което съответства на LOD и някакво конкретно решение y ~, където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~.
Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След което трябва да преминем към дефиницията на y ~.
Изборът на конкретно решение на LPDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x), следва, че определено решение на LPDE се намира с помощта на формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ, където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение. Стойността y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x), намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 1
Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1, което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~, т.е. y = y 0 + y ~.
Първо ще намерим общо решение за LNDU, а след това конкретно.
Нека да преминем към намирането на y 0. Записването на характеристичното уравнение ще ви помогне да намерите корените. Разбираме това
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Открихме, че корените са различни и реални. Затова нека запишем
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна на даденото уравнение е полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От това получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C приемат неопределени коефициенти.
Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогава получаваме това:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели на x, получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Когато решаваме по някой от методите, ще намерим коефициентите и ще запишем: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2, y "(0) = 1 4, е необходимо да се определят стойностите C 1И C 2, основано на равенство от формата y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Получаваме това:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работим с получената система от уравнения под формата C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, където C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Прилагайки теоремата на Коши, имаме това
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) · e a x , тогава получаваме, че определено решение на LPDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α.
Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Намерете общото решение на диференциално уравнение от формата y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Общото уравнение е y = y 0 + y ~ . Посоченото уравнение съответства на LOD y "" - 2 y " = 0. От предишния пример се вижда, че неговите корени са равни k 1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x чрез характеристичното уравнение.
Може да се види, че дясната страна на уравнението е x 2 + 1 · e x . Оттук LPDE се намира чрез y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, където Q n (x) е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен равен на 1. От тук разбираме това
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени чрез равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Разбрах това
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Приравняваме показателите с еднакви коефициенти и получаваме система от линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Отговор:ясно е, че y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 е конкретно решение на LNDDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общо решение за нехомогенно дифференциално уравнение от втори ред.
Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1И В 1са числа, тогава частично решение на LPDE се счита за уравнение от вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r е броят на комплексно спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва с помощта на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 3
Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0. Тогава
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корените на характеристичното уравнение се считат за спрегнатата двойка ± 2 i, тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни Ще търсим коефициенти A и B от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Нека преобразуваме:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогава е ясно, че
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Отговор:разглежда се общото решение на оригиналния LDDE от втори ред с постоянни коефициенти
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Когато f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), тогава y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Имаме, че r е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равен на α ± i β, където P n (x), Q k (x), L m (x) и Nm(x)са полиноми от степен n, k, m, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти Lm(x)И Nm(x)се прави въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
Според условието е ясно, че
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тогава m = m a x (n, k) = 1. Намираме y 0, като първо напишем характеристично уравнение във формата:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. След това е необходимо да се търси общо решение на базата на нехомогенното уравнение y ~ на формата
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i. Намираме тези коефициенти от полученото равенство:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Намирането на производната и подобни термини дава
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
След приравняване на коефициентите се получава система от вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
От всичко следва, че
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) грях (5 x))
Отговор:Сега получихме общо решение на даденото линейно уравнение:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритъм за решаване на LDNU
Определение 1Всеки друг тип функция f (x) за решение изисква съответствие с алгоритъма за решение:
- намиране на общо решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, където y 1И y 2са линейно независими частични решения на LODE, C 1И C 2се считат за произволни константи;
- приемане като общо решение на LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определяне на производни на функция чрез система от формата C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.
Пример 5
Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Решение
Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като предварително сме записали y 0, y "" + 36 y = 0. Нека напишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имаме, че общото решение на даденото уравнение ще бъде записано като y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)И C2(x)по система с уравнения:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо е да се вземе решение относно C 1" (x)И C 2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
От това следва, че общото решение ще има формата:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)
LDDE от 2-ри ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left(x \right)$ е непрекъсната функция.
По отношение на LNDU 2 с компютър, следните две твърдения са верни.
Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частично решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общото решение (GS) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава GR на LHDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.
Ако дясната страна на LMDE от 2-ри ред е сбор от функции, тоест $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, тогава първо можем да намерим PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, които съответстват към всяка от функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, и след това запишете CR LNDU-2 във формата $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Решение на LPDE от 2-ри ред с компютър
Очевидно е, че типът на един или друг PD $U$ на даден LNDU-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD LNDU-2 са формулирани под формата на следните четири правила.
Правило #1.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тоест се нарича a полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, които са равни на нула. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (UK).
Правило №2.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода NC.
Правило №3.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta$ са известни числа. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират с помощта на неразрушителен метод.
Правило № 4.
Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right)$ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корените от характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равно на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода NC.
Методът NK се състои в прилагане на следното правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от частичното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDU-2, е необходимо:
- заменете PD $U$, написан в обща форма, в лявата страна на LNDU-2;
- от лявата страна на LNDU-2, извършете опростявания и групирайте членове със същите степени $x$;
- в полученото тъждество приравнете коефициентите на членове с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
- решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.
Пример 1
Задача: намерете ИЛИ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Намерете също PD , отговарящи на началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.
Записваме съответния LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са валидни и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Дясната страна на този LNDU-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PD на този LNDU-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Ще търсим коефициентите $A$, $B$ с помощта на метода NC.
Намираме първата производна на Чехия:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Намираме втората производна на Чехия:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Освен това, тъй като показателят $e^(3\cdot x)$ е включен като фактор във всички компоненти, тогава може да се пропусне. Получаваме:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Извършваме действията от лявата страна на полученото равенство:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Използваме метода NDT. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.
За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ на OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Получихме система от уравнения:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Нека го решим. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Cramer, а $C_(2) $ определяме от първото уравнение:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Така PD на това диференциално уравнение има формата: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Диференциални уравнения от втори и по-високи редове.
Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.
Нека преминем към разглеждане на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-висок ред. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни концепции за дифузи от първи ред автоматично се разширяват към диференциални уравнения от по-висок ред, следователно много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.
Много читатели може да имат предубеждение, че дистанционното управление на 2-ра, 3-та и други поръчки е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това е грешно . Да се научите да решавате дифузи от по-висок ред едва ли е по-трудно от „обикновените“ DE от 1-ви ред. А на места е още по-просто, тъй като решенията активно използват материал от училищната програма.
Най - известен диференциални уравнения от втори ред. Към диференциално уравнение от втори ред Задължителновключва втората производна и които не са включени 
Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:
Диференциалните уравнения от трети ред в практическите задачи са много по-рядко срещани, според моите субективни наблюдения те биха получили около 3-4% от гласовете в Държавната дума.
Към диференциално уравнение от трети ред Задължителновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:
Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: – татко е вкъщи, всички деца са на разходка.
По подобен начин можете да дефинирате диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. При практически проблеми такива системи за управление рядко се провалят, но ще се опитам да дам подходящи примери.
Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.
1) Първата група – т.нар уравнения, които могат да бъдат редуцирани в ред. Хайде!
2) Втора група – линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.
Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти
В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения: хомогенно уравнениеИ нехомогенно уравнение.
Хомогенен DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма: 
, където и са константи (числа), а от дясната страна – строгонула.
Както можете да видите, няма особени трудности с хомогенни уравнения, основното е решавайте правилно квадратното уравнение.
Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата 
, където при втората производна има някаква константа, различна от единица (и, естествено, различна от нула). Алгоритъмът за решение не се променя изобщо, трябва спокойно да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение 
ще има два различни реални корена, например: 
, тогава общото решение ще бъде написано по обичайната схема: 
.
В някои случаи, поради печатна грешка в условието, може да се получат „лоши“ корени, нещо подобно 
. Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:
С „лоши“ спрегнати сложни корени като 
също няма проблем, общо решение: 
Това е, все пак има общо решение. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.
В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:
Линейни хомогенни уравнения от по-високи редове
Всичко е много, много подобно.
Линейно хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да създадете характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така: 
, и то Така или иначеТо има точно трикорен
Нека, например, всички корени са реални и различни: 
, тогава общото решение ще бъде написано, както следва:
Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:
Специален случай, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:
Ако характеристичното уравнение 
има, например, три кратни корена, тогава общото решение, съответно, е следното:
Пример 9
Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред
Решение:Нека съставим и решим характеристичното уравнение:
, – получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.
Отговор:общо решение
По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.
