L. 2-1 Основни понятия на векторната алгебра. Линейни операции върху вектори.

Разлагане на вектор по базис.

Основни понятия на векторната алгебра

Векторът е набор от всички насочени сегменти с еднаква дължина и посока.
.

Имоти:

Линейни операции върху вектори

1.

Правило на успоредник:

СЪС уммадва вектора И наречен вектор , идващи от общия им произход и представляващи диагонал на успоредник, изграден върху вектори И и двете отстрани.

Правило на многоъгълника:

За да конструирате сумата от произволен брой вектори, трябва да поставите началото на 2-ри в края на 1-ви член на вектора, в края на 2-ри - началото на 3-ти и т.н. Векторът, който затваря получената полилиния, е сумата. Началото му съвпада с началото на 1-ви, а краят му с края на последния.

Имоти:

2.

Продукт на вектор на брой , е вектор, който отговаря на условията:
.

Имоти:

3.

По разликавектори И наречен вектор , равна на сумата от вектора и векторът, противоположен на вектора , т.е.
.

- законът на противоположния елемент (вектор).

Разлагане на вектор в базис

Сумата от вектори се определя по уникален начин
(но само ). Обратната операция, разлагането на вектор на няколко компонента, е двусмислена: За да стане недвусмислено, е необходимо да се посочат посоките, по които се разлага въпросният вектор или, както се казва, трябва да се посочи база.

При определяне на базиса от съществено значение е изискването за некомпланарност и неколинеарност на векторите. За да се разбере значението на това изискване, е необходимо да се разгледа концепцията за линейна зависимост и линейна независимост на векторите.

Произволен израз от вида: , се нарича линейна комбинациявектори
.

Линейна комбинация от няколко вектора се нарича тривиален, ако всичките му коефициенти са равни на нула.

Вектори
са наречени линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нула:
(1), при условие
. Ако равенството (1) е в сила само за всички
едновременно равни на нула, след това ненулеви вектори
ще линейно независими.

Лесно доказуемо: всеки два колинеарни вектора са линейно зависими, а всеки два неколинеарни вектора са линейно независими.

Нека започнем доказателството с първото твърдение.

Нека векторите И колинеарен. Нека покажем, че те са линейно зависими. Наистина, ако те са колинеарни, тогава те се различават един от друг само с числов фактор, т.е.
, следователно
. Тъй като получената линейна комбинация е очевидно нетривиална и равна на „0“, тогава векторите И линейно зависими.

Нека сега разгледаме два неколинеарни вектора И . Нека докажем, че те са линейно независими. Изграждаме доказателството от противно.

Да приемем, че те са линейно зависими. Тогава трябва да има нетривиална линейна комбинация
. Нека се преструваме, че
, Тогава
. Полученото равенство означава, че векторите И са колинеарни, противно на първоначалното ни предположение.

По подобен начин можем да докажем: всеки три копланарни вектора са линейно зависими, а всеки два некомпланарни вектора са линейно независими.

Връщайки се към концепцията за база и към проблема за разлагането на вектор в определена база, можем да кажем, че основата на равнината и в пространството се формира от набор от линейно независими вектори.Това понятие за основа е общо, т.к прилага се към пространство с всякакъв брой измерения.

Израз като:
, се нарича векторно разлагане по вектори ,…,.

Ако разгледаме база в триизмерното пространство, тогава разлагането на вектора по основа
ще
, Където
-векторни координати.

В задачата за разлагане на произволен вектор в определен базис е много важно следното твърдение: всеки векторможе да бъде уникално разширен в дадена база
. С други думи, координатите
за всеки вектор спрямо основата
се определя еднозначно.

Въвеждането на основа в пространството и в равнината ни позволява да присвоим всеки вектор подредена тройка (двойка) числа – нейните координати. Този много важен резултат, който ни позволява да установим връзка между геометрични обекти и числа, прави възможно аналитичното описване и изследване на позицията и движението на физическите обекти.

Множеството от точка и основа се нарича координатна система.

Ако векторите, образуващи основата, са единични и перпендикулярни по двойки, тогава се нарича координатната система правоъгълен,и основата ортонормална.

L. 2-2 Продукт на вектори

Разлагане на вектор в базис

Помислете за вектор
, даден от своите координати:
.

- векторни компоненти по посоките на базисните вектори
.

Изразяване на формата
наречена векторна декомпозиция по основа
.

По подобен начин можем да разложим по основа
вектор
:

.

Косинуси на ъгли, образувани от разглеждания вектор с базисни вектори
са наречени насочващи косинуси

;
;
.

Точково произведение на вектори.

Точково произведение на два вектора И е число, равно на произведението на модулите на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях

Скаларното произведение на два вектора може да се разглежда като произведение на модула на един от тези вектори и ортогоналната проекция на другия вектор върху посоката на първия
.

Имоти:

Ако са известни координатите на векторите
И
, след това, като разложим векторите в основата
:
И
, да намерим

, защото
,
, Че

.

.

Условие векторите да са перпендикулярни:
.

Условие за колинеарност на ректорите:
.

Векторно произведение на вектори

или

Вектор продукт по вектор към вектор такъв вектор се нарича
, което отговаря на условията:

Имоти:

Разгледаните алгебрични свойства ни позволяват да намерим аналитичен израз за векторното произведение чрез координатите на съставните вектори в ортонормална база.

дадени:
И
.

защото ,
,
,
,
,
,
, Че

. Тази формула може да бъде написана по-кратко, под формата на детерминанта от трети ред:

.

Смесено произведение на вектори

Смесен продукт на три вектора ,И е числото, равно на векторното произведение
, умножено скаларно по вектора .

Следното равенство е вярно:
, така че смесеният продукт е написан
.

Както следва от определението, резултатът от смесеното произведение на три вектора е число. Това число има ясно геометрично значение:

Смесен продуктов модул
равен на обема на паралелепипед, изграден от вектори, приведени към общо начало ,И .

Свойства на смесен продукт:

Ако векторите ,,определени в ортонормална основа
с неговите координати, смесеният продукт се изчислява по формулата

.

Наистина, ако
, Че

;
;
, Тогава
.

Ако векторите ,,са компланарни, тогава векторното произведение
перпендикулярен на вектора . И обратното, ако
, тогава обемът на паралелепипеда е нула, а това е възможно само ако векторите са компланарни (линейно зависими).

По този начин три вектора са компланарни тогава и само ако техният смесен продукт е нула.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В аулата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, изяжте Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, основа на вектории други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: съответно температура и атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към задачите от аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи от алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Нека разгледаме равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете левия показалецна ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място десен малък пръстна ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения и изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен Независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се притеснявате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Съвсем скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни петна по масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна, изглежда, че една правоъгълна координатна система може да бъде напълно дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Изисква ли се координатните вектори да бъдат единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори общо взетоимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, а една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате, ако е необходимо, „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? Не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в тази връзка, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарност на равнинни вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да бъде направена обратно; това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. В този случай равенствата са налице . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , Което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от рецензентите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

Отговор:а), б) форма.

Малък творчески пример за вашето собствено решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност.Нека систематизираме знанията си и да ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам, че вече сте разбрали всички термини и твърдения, които сте срещали.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да приложите тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват основа.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да създавате чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището” – равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, което означава, че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред; този метод е разгледан в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, тъй като лъвският дял от информацията вече е сдъвкан. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разтворете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма бягство от определения =)

След това нека си зададем един важен въпрос: три вектора формират ли основата на триизмерното пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. Какво стана? Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени е съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е правил това =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единствения начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за случая с равнина; една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е „наклонена“ и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). Останалите практически задачи ще бъдат с подчертано алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Бих искал да насоча вниманието ви към малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени поради това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За онези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

Отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите; за да направите това, трябва да замените получената стойност в първоначалната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение ще разгледаме друга типична задача, която е по-скоро алгебрична по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-тия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в триизмерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6; необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими:

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.