Коя е втората забележителна граница. Второто забележително ограничение: примери за намиране, проблеми и подробни решения

Тази статия: „Втората забележителна граница“ е посветена на разкриването в границите на несигурността на формата:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Също така такива несигурности могат да бъдат разкрити с помощта на логаритъма на експоненциалната функция, но това е друг метод за решение, който ще бъде разгледан в друга статия.

Формула и последствия

Формулавтората забележителна граница е написана както следва: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( където ) e \приблизително 2,718 $$

Това следва от формулата последствия, които са много удобни за използване за решаване на примери с граници: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( където ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Струва си да се отбележи, че втората забележителна граница не винаги може да се приложи към експоненциална функция, а само в случаите, когато основата клони към единица. За да направите това, първо мислено изчислете границата на основата и след това направете изводи. Всичко това ще бъде обсъдено в примерни решения.

Примери за решения

Нека да разгледаме примери за решения, използващи директната формула и нейните последствия. Ще анализираме и случаите, в които формулата не е необходима. Достатъчно е да запишете само готов отговор.

Пример 1

Намерете границата $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Решение

Нека заместим безкрайността в границата и да разгледаме несигурността: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Нека намерим границата на основата: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Получихме база, равна на едно, което означава, че вече можем да приложим втората забележителна граница. За да направите това, нека коригираме основата на функцията към формулата, като извадим и добавим едно: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Нека да разгледаме второто следствие и да запишем отговора: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Пример 4

Решете ограничението $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Решение

Намираме границата на основата и виждаме, че $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, което означава, че можем да приложим второто забележително ограничение. Според стандартния план добавяме и изваждаме едно от основата на степента: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Коригираме фракцията към формулата на 2-ра нота. ограничение: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Сега нека коригираме градуса. Степента трябва да съдържа дроб, равна на знаменателя на основата $ \frac(3x^2-2)(6) $. За да направите това, умножете и разделете степента на нея и продължете с решаването: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Границата, разположена в степента при $ e $, е равна на: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Следователно, продължавайки решението, имаме:

Отговор

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Нека разгледаме случаите, когато проблемът е подобен на второто забележително ограничение, но може да бъде решен без него.

В статията: „Втората забележителна граница: Примери за решения“ бяха анализирани формулата, нейните последствия и бяха дадени общи типове задачи по тази тема.

Доказателство:

Нека първо докажем теоремата за случая на последователността

Според биномната формула на Нютон:

Ако приемем, че получим

От това равенство (1) следва, че с нарастването на n броят на положителните членове от дясната страна се увеличава. Освен това, когато n нараства, числото намалява, така че стойностите се увеличават. Следователно последователността нарастваща и (2)*Показваме, че е ограничена. Заменете всяка скоба от дясната страна на равенството с една, дясната страна ще се увеличи и получаваме неравенството

Нека засилим полученото неравенство, замествайки 3,4,5, ..., стоящи в знаменателите на дробите, с числото 2: Намираме сумата в скоби по формулата за сумата на членовете на геометрична прогресия: Следователно (3)*

И така, последователността е ограничена отгоре и неравенствата (2) и (3) са изпълнени: Следователно, въз основа на теоремата на Вайерщрас (критерий за сходимост на последователност), последователността монотонно нараства и е ограничен, което означава, че има граница, означена с буквата e. Тези.

Знаейки, че втората забележителна граница е вярна за естествените стойности на x, ние доказваме втората забележителна граница за реално x, тоест доказваме, че . Нека разгледаме два случая:

1. Нека всяка стойност на x е затворена между две положителни цели числа: , където е цялата част от x. => =>

Ако , тогава Следователно, според ограничението Ние имаме

Въз основа на критерия (за границата на междинна функция) за съществуването на граници

2. Нека . Тогава нека направим заместването − x = t

От тези два случая следва, че за реално х.

Последствия:

9 .) Сравнение на безкрайно малки. Теоремата за замяна на безкрайно малките с еквивалентни в предела и теоремата за основната част от безкрайно малките.

Нека функциите a( х) и b( х) – б.м. при х ® х 0 .

ДЕФИНИЦИИ.

1)а( х) Наречен безкрайно малък по-висок порядък от b (х) Ако

Запишете: a( х) = o(b( х)) .

2)а( х) И b( х)са наречени безкрайно малки от същия порядък, Ако

където CÎℝ и ° С¹ 0 .

Запишете: a( х) = О(б( х)) .

3)а( х) И b( х) са наречени еквивалентен , Ако

Запишете: a( х) ~ b( х).

4)а( х) наречено безкрайно малко от порядък k относително
абсолютно безкрайно малък b( х), ако е безкрайно малъка( х)И(б( х))к имат същия ред, т.е. Ако

където CÎℝ и ° С¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (относно замяната на безкрайно малки с еквивалентни).

Позволявама( х), b( х), а 1 ( х), b 1 ( х)– б.м. при х ® х 0 . Акоа( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х),

Че

Доказателство: Нека a( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х), Тогава

ТЕОРЕМА 7 (за основната част от безкрайно малкото).

Позволявама( х)И b( х)– б.м. при х ® х 0 , и b( х)– б.м. по-висок порядък ота( х).

= , a тъй като b( х) – по-висок ред от a( х), тогава, т.е. от ясно е, че а( х) + b( х) ~ a( х)

10) Непрекъснатост на функция в точка (на езика на епсилон-делта, геометрични граници) Едностранна непрекъснатост. Непрекъснатост на интервал, на отсечка. Свойства на непрекъснатите функции.

1. Основни определения

Позволявам f(х) е дефинирана в някаква околност на точката х 0 .

ДЕФИНИЦИЯ 1. Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако равенството е вярно

Бележки.

1) По силата на теорема 5 §3, равенството (1) може да бъде записано във формата

Условие (2) – дефиниция на непрекъснатост на функция в точка на езика на едностранните граници.

2) Равенство (1) може да се запише и като:

Те казват: „ако една функция е непрекъсната в точка х 0, тогава знакът на границата и функцията могат да бъдат разменени."

ДЕФИНИЦИЯ 2 (на език e-d).

Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 Ако"e>0 $d>0 такива, Какво

ако хОU( х 0 , d) (т.е. | х – х 0 | < d),

след това f(х)ÎU( f(х 0), e) (т.е. | f(х) – f(х 0) | < e).

Позволявам х, х 0 Î д(f) (х 0 – фиксиран, х -произволен)

Да означим: D х= х – х 0 – увеличение на аргумента

д f(х 0) = f(х) – f(х 0) – нарастване на функция в точка x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрично).

Функция f(х) На Наречен непрекъснато в точка х 0 ако в този момент безкрайно малко увеличение в аргумента съответства на безкрайно малко увеличение във функцията, т.е.

Нека функцията f(х) е дефинирана на интервала [ х 0 ; х 0 + d) (на интервала ( х 0 – d; х 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 на дясно (наляво ), ако равенството е вярно

Очевидно е, че f(х) е непрекъсната в точката х 0 Û f(х) е непрекъсната в точката х 0 дясно и ляво.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(х) Наречен непрекъснато за интервал д ( а; b) ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

Функция f(х) се нарича непрекъснат на сегмента [а; b] ако е непрекъснат на интервала (а; b) и има еднопосочна непрекъснатост в граничните точки(т.е. непрекъснато в точката аотдясно, в точката b- наляво).

11) Точки на прекъсване, тяхната класификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ако функцията f(х) определени в някаква околност на точка x 0 , но не е непрекъснат в този момент, тогава f(х) наречено прекъснато в точка x 0 , и самата точка х 0 наречена точка на прекъсване функции f(х) .

Бележки.

1) f(х) могат да бъдат определени в непълна околност на точката х 0 .

След това разгледайте съответната едностранна непрекъснатост на функцията.

2) От дефиницията на Þ точка х 0 е точката на прекъсване на функцията f(х) в два случая:

а) U( х 0 , г)О д(f) , но за f(х) равенството не е валидно

б) U * ( х 0 , г)О д(f) .

За елементарни функции е възможен само случай b).

Позволявам х 0 – точка на прекъсване на функцията f(х) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х 0 Наречен точка на пречупване аз нещо като if функция f(х)има крайни граници отляво и отдясно в тази точка.

Ако тези граници са равни, тогава точка х 0 Наречен подвижна точка на прекъсване , в противен случай - точка на скок .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х 0 Наречен точка на пречупване II нещо като ако поне една от едностранните граници на функцията f(х)в този момент е равен¥ или не съществува.

12) Свойства на функции, непрекъснати на интервал (теореми на Вайерщрас (без доказателство) и Коши

Теорема на Вайерщрас

Тогава нека функцията f(x) е непрекъсната на интервала

1)f(x) е ограничено до

2) f(x) приема най-малката и най-голямата си стойност в интервала

Определение: Стойността на функцията m=f се нарича най-малката, ако m≤f(x) за всяко x€ D(f).

Казва се, че стойността на функцията m=f е най-голяма, ако m≥f(x) за всеки x € D(f).

Функцията може да приема най-малката/най-голямата стойност в няколко точки от сегмента.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцията f(x) е непрекъсната на сегмента и x е числото, съдържащо се между f(a) и f(b), тогава има поне една точка x 0 € такава, че f(x 0)= g

Сега със спокойна душа да преминем към разглеждането прекрасни граници.
изглежда като .

Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те клонят към 0.

Необходимо е да се изчисли лимитът

Както можете да видите, това ограничение е много подобно на първото забележително, но това не е съвсем вярно. Като цяло, ако забележите грях в лимита, тогава трябва незабавно да помислите дали е възможно да използвате първия забележителен лимит.

Според нашето правило № 1 заместваме нула вместо x:

Получаваме несигурност.

Сега нека се опитаме сами да организираме първия прекрасен лимит. За да направите това, нека направим проста комбинация:

Така че организираме числителя и знаменателя, за да подчертаем 7x. Сега познатият забележителен лимит вече се появи. Препоръчително е да го подчертаете, когато решавате:

Нека заместим решението на първия забележителен пример и ще получим:

Опростяване на дробта:

Отговор: 7/3.

Както можете да видите, всичко е много просто.

Изглежда като , където e = 2,718281828... е ирационално число.

Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те са склонни към .

Необходимо е да се изчисли лимитът

Тук виждаме наличието на степен под знака на граница, което означава, че е възможно да се използва втора забележителна граница.

Както винаги, ще използваме правило № 1 - заменете x вместо:

Вижда се, че при x основата на степента е , а показателят е 4x > , т.е. получаваме несигурност от формата:

Нека използваме втората прекрасна граница, за да разкрием нашата несигурност, но първо трябва да я организираме. Както можете да видите, трябва да постигнем присъствие в индикатора, за което повдигаме основата на степен 3x и в същото време на степен 1/3x, така че изразът да не се променя:

Не забравяйте да подчертаете нашия чудесен лимит:

Това са те в действителност прекрасни граници!
Ако все още имате въпроси относно първата и втората чудесни граници, тогава не се колебайте да ги попитате в коментарите.
Ще отговорим максимално на всички.

Можете също да работите с учител по тази тема.
Имаме удоволствието да ви предложим услугите за избор на квалифициран учител във вашия град. Нашите партньори бързо ще изберат за вас добър учител при изгодни условия.

Няма достатъчно информация? - Можеш !

Можете да записвате математически изчисления в бележници. Много по-приятно е да пишете индивидуално в тетрадки с лого (http://www.blocnot.ru).

Първата забележителна граница често се използва за изчисляване на граници, съдържащи синус, аркуссинус, тангенс, арктангенс и произтичащите несигурности на нула, разделена на нула.

Формула

Формулата за първата забележителна граница е: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Отбелязваме, че за $ \alpha\to 0 $ получаваме $ \sin\alpha \to 0 $, следователно имаме нули в числителя и знаменателя. Следователно формулата на първата забележителна граница е необходима, за да разкрие несигурностите $ \frac(0)(0) $.

За да се приложи формулата, трябва да бъдат изпълнени две условия:

1. Изразите, съдържащи се в синуса и знаменателя на дробта, са еднакви
2. Изразите в синуса и знаменателя на дроб клонят към нула

внимание! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Въпреки че изразите под синуса и в знаменателя са еднакви, обаче $ 2x ^2+1 = 1 $, за $ x\to 0 $. Второто условие не е изпълнено, така че НЕ МОЖЕТЕ да приложите формулата!

Последствия

Доста рядко в задачите можете да видите чисто първо чудесно ограничение, в което веднага да запишете отговора. На практика всичко изглежда малко по-сложно, но за такива случаи ще бъде полезно да знаете последствията от първото забележително ограничение. Благодарение на тях можете бързо да изчислите необходимите лимити.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Примери за решения

Нека разгледаме първата забележителна граница, примери за нейното решение за изчисляване на граници, съдържащи тригонометрични функции и несигурност $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Пример 1

Изчислете $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Решение

Нека погледнем границата и забележим, че тя съдържа синус. След това заместваме $ x = 0 $ в числителя и знаменателя и получаваме нулата на несигурността, разделена на нула: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Вече два знака, че трябва да приложим чудесна граница, но има малък нюанс: не можем веднага да приложим формулата, тъй като изразът под знака синус се различава от израза в знаменателя. И имаме нужда те да бъдат равни. Следователно с помощта на елементарни трансформации на числителя ще го превърнем в $2x$. За да направим това, ще извадим двете от знаменателя на дробта като отделен фактор. Изглежда така: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Моля имайте предвид, че в края $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ беше получено съгласно формулата. Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Пример 2

Намерете $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Решение

Както винаги, първо трябва да знаете вида на несигурността. Ако е нула, разделена на нула, тогава обръщаме внимание на наличието на синус: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Тази несигурност ни позволява да използваме формулата на първата забележителна граница, но изразът от знаменателя не е равен на аргумента на синуса? Следователно формулата не може да се приложи директно. Необходимо е дробта да се умножи и раздели на аргумента на синуса: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Сега записваме свойствата на границите: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Второто ограничение отговаря точно на формулата и е равно към едно: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Заместваме отново $ x = 0 $ в дроб и получаваме несигурността $ \frac(0)(0) $. За да го премахнете, достатъчно е да извадите $ x $ извън скобите и да го намалите с: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Отговор

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Пример 4

Изчислете $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Решение

Нека започнем изчислението със замяната $ x=0 $. В резултат на това получаваме несигурността $ \frac(0)(0) $. Границата съдържа синус и тангенс, което подсказва за възможно развитие на ситуацията, използвайки формулата на първата забележителна граница. Нека трансформираме числителя и знаменателя на дробта във формула и следствие: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Сега виждаме, че в числителя и знаменателя има изрази, които отговарят на формулата и последствията. Аргументът на синуса и аргумента на тангенса са еднакви за съответните знаменатели $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Отговор

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Статията: „Първата забележителна граница, примери за решения“ говори за случаите, в които е препоръчително да използвате тази формула и нейните последствия.

Формулата за втората забележителна граница е lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Друга форма на писане изглежда така: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Когато говорим за втората забележителна граница, трябва да имаме работа с несигурност от формата 1 ∞, т.е. единство в безкрайна степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека разгледаме проблеми, при които способността за изчисляване на втората забележителна граница ще бъде полезна.

Пример 1

Намерете границата lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Решение

Нека заместим търсената формула и да извършим изчисленията.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Отговорът ни се оказа едно на степен безкрайност. За да определим метода на решение, използваме таблицата на неопределеността. Нека изберем втората забележителна граница и направим промяна на променливите.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ако x → ∞, тогава t → - ∞.

Да видим какво получихме след замяната:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Отговор: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Пример 2

Изчислете границата lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Решение

Нека заместим безкрайността и ще получим следното.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

В отговора отново получихме същото като в предишния проблем, следователно можем отново да използваме втората забележителна граница. След това трябва да изберем цялата част в основата на мощностната функция:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

След това лимитът приема следната форма:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Замяна на променливи. Да приемем, че t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ако x → ∞, тогава t → ∞.

След това записваме какво сме получили в първоначалния лимит:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

За да извършим тази трансформация, използвахме основните свойства на границите и мощностите.

Отговор: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Пример 3

Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

След това трябва да трансформираме функцията, за да приложим втората голяма граница. Получихме следното:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Тъй като сега имаме едни и същи показатели в числителя и знаменателя на дробта (равно на шест), границата на дробта в безкрайност ще бъде равна на отношението на тези коефициенти при по-високи степени.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Като заместим t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, получаваме втора забележителна граница. Означава какво:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Отговор: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

заключения

Несигурност 1 ∞, т.е. единство на безкрайна степен е степенна несигурност, следователно може да се разкрие с помощта на правилата за намиране на границите на експоненциалните степенни функции.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter