Уравнение на права линия в четири форми. Общо уравнение на права линия

Каноничните уравнения на права линия в пространството са уравнения, които определят права линия, минаваща през дадена точка колинеарно на насочващ вектор.

Нека са дадени точка и насочващ вектор. Произволна точка лежи на права лсамо ако векторите и са колинеарни, т.е. те отговарят на условието:

.

Горните уравнения са каноничните уравнения на правата.

Числа м , нИ стрса проекции на вектора на посоката върху координатните оси. Тъй като векторът е различен от нула, тогава всички числа м , нИ стрне може да бъде нула в същото време. Но една или две от тях може да са нула. В аналитичната геометрия например е разрешена следната нотация:

,

което означава, че проекциите на вектора върху осите ОйИ Озса равни на нула. Следователно както векторът, така и правата, дадени от каноничните уравнения, са перпендикулярни на осите ОйИ Оз, тоест самолети yOz .

Пример 1Съставете уравнения на права линия в пространството, перпендикулярна на равнина и минаваща през пресечната точка на тази равнина с оста Оз .

Решение. Намерете пресечната точка на дадената равнина с оста Оз. Тъй като всяка точка от оста Оз, има координати , тогава, приемайки в даденото уравнение на равнината x=y= 0, получаваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Следователно пресечната точка на дадената равнина с оста Озима координати (0; 0; 2) . Тъй като желаната права е перпендикулярна на равнината, тя е успоредна на нейния нормален вектор. Следователно нормалният вектор може да служи като насочващ вектор на правата линия дадена равнина.

Сега пишем желаните уравнения на правата линия, минаваща през точката А= (0; 0; 2) по посока на вектора:

Уравнения на права, минаваща през две дадени точки

Една права линия може да бъде определена от две точки, лежащи върху нея И В този случай насочващият вектор на правата може да бъде векторът . Тогава каноничните уравнения на правата приемат формата

.

Горните уравнения определят права линия, минаваща през две дадени точки.

Пример 2Напишете уравнението на права линия в пространството, минаваща през точките и .

Решение. Записваме желаните уравнения на правата линия във формата, дадена по-горе в теоретичната справка:

.

Тъй като , тогава желаната линия е перпендикулярна на оста Ой .

Права като линия на пресичане на равнини

Правата линия в пространството може да се дефинира като пресечна линия на две неуспоредни равнини и т.е. като набор от точки, които удовлетворяват система от две линейни уравнения

Уравненията на системата се наричат ​​още общи уравнения на правата линия в пространството.

Пример 3Съставете канонични уравнения на права линия в пространството, дадено от общи уравнения

Решение. За да напишете каноничните уравнения на права линия или, което е същото, уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, трябва да намерите координатите на произволни две точки на правата линия. Те могат да бъдат точките на пресичане на права линия с произволни две координатни равнини, например yOzИ xOz .

Пресечна точка на права с равнина yOzима абсциса х= 0 . Следователно, приемайки в тази система от уравнения х= 0, получаваме система с две променливи:

Нейното решение г = 2 , z= 6 заедно с х= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) от желания ред. Приемайки тогава в дадената система от уравнения г= 0, получаваме системата

Нейното решение х = -2 , z= 0 заедно с г= 0 дефинира точка б(-2; 0; 0) пресечна точка на права с равнина xOz .

Сега пишем уравненията на права линия, минаваща през точките А(0; 2; 6) и б (-2; 0; 0) :

,

или след разделяне на знаменателите на -2:

,

Правата, минаваща през точката K(x 0; y 0) и успоредна на правата y = kx + a, се намира по формулата:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Където k е наклонът на правата линия.

Алтернативна формула:
Правата, минаваща през точката M 1 (x 1 ; y 1) и успоредна на правата Ax+By+C=0, се представя от уравнението

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Напишете уравнението на права линия, минаваща през точката K( ;) успоредна на правата y = x + .

Пример #1. Съставете уравнението на права линия, минаваща през точката M 0 (-2.1) и в същото време:
а) успоредна на правата 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярна на правата 2x+3y -7 = 0.
Решение . Нека представим уравнението на наклона като y = kx + a. За да направим това, ще прехвърлим всички стойности с изключение на y от дясната страна: 3y = -2x + 7 . След това разделяме дясната страна на коефициента 3. Получаваме: y = -2/3x + 7/3
Намерете уравнението NK, минаващо през точката K(-2;1), успоредна на правата линия y = -2 / 3 x + 7 / 3
Замествайки x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, получаваме:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
или
y = -2 / 3 x - 1 / 3 или 3y + 2x +1 = 0

Пример #2. Напишете уравнението на права линия, успоредна на правата линия 2x + 5y = 0 и образуваща, заедно с координатните оси, триъгълник, чиято площ е 5.
Решение . Тъй като линиите са успоредни, уравнението на желаната права е 2x + 5y + C = 0. Площта на правоъгълен триъгълник, където a и b са неговите крака. Намерете точките на пресичане на желаната линия с координатните оси:
;
.
И така, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Заместете във формулата площта: . Получаваме две решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y - 10 = 0 .

Пример #3. Напишете уравнението на правата, минаваща през точката (-2; 5) и успоредната права 5x-7y-4=0 .
Решение. Тази права линия може да бъде представена чрез уравнението y = 5/7 x – 4/7 (тук a = 5/7). Уравнението на търсената права е y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0.

Пример #4. Решавайки пример 3 (A=5, B=-7) с помощта на формула (2), намираме 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример номер 5. Напишете уравнението на права линия, минаваща през точката (-2;5) и успоредна права линия 7x+10=0.
Решение. Тук A=7, B=0. Формула (2) дава 7(x+2)=0, т.е. х+2=0. Формула (1) не е приложима, тъй като това уравнение не може да бъде решено по отношение на y (тази права линия е успоредна на оста y).

Нека правата минава през точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Уравнението на права линия, минаваща през точката M 1, има формата y- y 1 \u003d к (x - x 1), (10.6)

Където к - все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата линия минава през точката M 2 (x 2 y 2), тогава координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнение (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

От тук намираме Заместване на намерената стойност к в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, минаваща през точките M 1 и M 2:

Приема се, че в това уравнение x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогава правата линия, минаваща през точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2), е успоредна на оста y. Неговото уравнение е х = х 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогава уравнението на правата линия може да бъде написано като y \u003d y 1, правата линия M 1 M 2 е успоредна на оста x.

Уравнение на права линия в отсечки

Нека правата пресича оста Ox в точката M 1 (a; 0) и оста Oy в точката M 2 (0; b). Уравнението ще приеме формата:
тези.
. Това уравнение се нарича уравнението на права линия в сегменти, т.к числата a и b показват кои сегменти отсича правата линия върху координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка Mo (x O; y o), перпендикулярна на даден ненулев вектор n = (A; B).

Вземете произволна точка M(x; y) на правата линия и разгледайте вектора M 0 M (x - x 0; y - y o) (вижте Фиг. 1). Тъй като векторите n и M o M са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е равно на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) се нарича уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор .

Векторът n = (A; B), перпендикулярен на правата, се нарича нормален нормален вектор на тази линия .

Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, C \u003d -Ax o - Vu o - свободен член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на права линия(виж фиг.2).

Фиг.1 Фиг.2

Канонични уравнения на правата

,

Където
са координатите на точката, през която минава правата, и
- вектор на посоката.

Криви от втори ред Окръжност

Окръжност е съвкупността от всички точки на една равнина, еднакво отдалечени от дадена точка, която се нарича център.

Канонично уравнение на окръжност с радиус Р центриран в точка
:

По-специално, ако центърът на залога съвпада с началото, тогава уравнението ще изглежда така:

Елипса

Елипса е набор от точки в равнина, сборът от разстоянията от всяка от тях до две дадени точки И , които се наричат ​​фокуси, е постоянна стойност
, по-голямо от разстоянието между огнищата
.

Каноничното уравнение на елипса, чиито фокуси лежат на оста Ox и чието начало е в средата между фокусите, има формата
Ж деа дължината на голямата полуос; b е дължината на малката полуос (фиг. 2).

Уравнение на права на равнина.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение. Уравнение на линиятае връзката y = f(x) между координатите на точките, които изграждат тази линия.

Имайте предвид, че уравнението на линията може да бъде изразено по параметричен начин, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай времето играе ролята на параметър.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

освен това константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C \u003d 0, A  0, B  0 - линията минава през началото

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - линията е успоредна на оста Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - линията е успоредна на оста Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - правата линия съвпада с оста Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия, минаваща през точката A (1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).

Нека съставим при A \u003d 3 и B = -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.

Получаваме: 3 - 2 + C \u003d 0, следователно C \u003d -1.

Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнина уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1  x 2 и x \u003d x 1, ако x 1 \u003d x 2.

Фракция
=k се извиква фактор на наклонаправ.

Пример.Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + Vy + C = 0 доведе до формата:

и посочете
, тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задаването на права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор ( 1 ,  2), чиито компоненти удовлетворяват условието A 1 + B 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ah + Wu + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия с насочен вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Ще търсим уравнението на желаната права линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1A + (-1)B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0 или x + y + C/A = 0.

при x = 1, y = 2 получаваме С/A = -3, т.е. желано уравнение:

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме:
или

, Където

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста x, и b- координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права в сегментите.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако двете страни на уравнението Ax + Wy + C = 0, разделено на числото
, което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcos + ysin - p = 0 –

нормално уравнение на права линия.

Знакът  на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а  е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения за тази линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнението на тази права с наклона: (разделете на 5)

нормално уравнение на права линия:

; cos = 12/13; sin = -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример.Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Напишете уравнението на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Уравнението на права линия има формата:
, a = b = 1; ab/2 = 8; а = 4; -4.

a = -4 не отговаря на условието на задачата.

Обща сума:
или x + y - 4 = 0.

Пример.Напишете уравнението на права линия, минаваща през точка A (-2, -3) и началото.

Уравнението на права линия има формата:
, където x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогава острия ъгъл между тези линии ще се дефинира като

.

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2 .

Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Правите Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A са пропорционални 1 =  А, Б 1 =  B. Ако също C 1 =  C, тогава линиите съвпадат.

Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка

перпендикулярна на тази линия.

Определение. Линията, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y \u003d kx + b, е представена от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако точка M(x 0 , г 0 ), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C = 0 се определя като

.

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

.

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Намираме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, следователно линиите са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Намираме уравнението на страната AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогава y =
. защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение:
откъдето b = 17. Общо:
.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналитична геометрия в пространството.

Уравнение на правата в пространството.

Уравнението на права линия в пространството с точка и

вектор на посоката.

Вземете произволна линия и вектор (m, n, p) успоредна на дадената права. вектор Наречен водещ векторправ.

Нека вземем две произволни точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и M(x, y, z) на правата линия.

z

M1

Нека обозначим радиус векторите на тези точки като И , това е очевидно - =
.

защото вектори
И са колинеарни, тогава връзката е вярна
= t, където t е някакъв параметър.

Общо можем да напишем: = + T.

защото това уравнение е изпълнено от координатите на всяка точка от линията, тогава полученото уравнение е параметрично уравнение на права линия.

Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма:

Трансформирайки тази система и приравнявайки стойностите на параметъра t, получаваме каноничните уравнения на права линия в пространството:

.

Определение. Насочващи косинусидиректни са насочващите косинуси на вектора , което може да се изчисли по формулите:

;

.

От тук получаваме: m: n: p = cos : cos : cos.

Числата m, n, p се наричат фактори на наклонаправ. защото е ненулев вектор, m, n и p не могат да бъдат нула едновременно, но едно или две от тези числа могат да бъдат нула. В този случай в уравнението на права линия съответните числители трябва да бъдат приравнени на нула.

Уравнение на права линия в пространството

през две точки.

Ако две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са маркирани на права линия в пространството, тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват уравнението на права линия, получена по-горе:

.

Освен това за точка M 1 можем да запишем:

.

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

.

Това е уравнението на права линия, минаваща през две точки в пространството.

Общи уравнения на права линия в пространството.

Уравнението на права линия може да се разглежда като уравнение на линия на пресичане на две равнини.

Както беше обсъдено по-горе, равнина във векторна форма може да бъде дадена от уравнението:

+ D = 0, където

- равнина нормална; - радиус-вектор на произволна точка от равнината.

Тази статия разкрива извеждането на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена в равнина. Извеждаме уравнението на права, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с преминатия материал.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Преди да се получи уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има аксиома, която казва, че през две несъвпадащи точки на равнина е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки от равнината се определят от права линия, минаваща през тези точки.

Ако равнината е дадена от правоъгълната координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на правата линия в равнината. Има връзка и с насочващия вектор на правата.Тези данни са достатъчни, за да се състави уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки.

Помислете за пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се формулира уравнението на права линия a, минаваща през две несъответстващи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), разположени в декартовата координатна система.

В каноничното уравнение на права линия в равнина, имащо формата x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , правоъгълна координатна система O x y е посочена с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с водещ вектор a → = (a x , a y) .

Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата a, която ще минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) .

Правата a има насочващ вектор M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точките M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на насочващия вектор M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1, лежащи върху тях (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Разгледайте фигурата по-долу.

Следвайки изчисленията, записваме параметричните уравнения на права линия в равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение под формата x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ или x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Нека разгледаме по-отблизо няколко примера.

Пример 1

Напишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, приема формата x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Според условието на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Необходимо е да се заменят цифровите стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . От тук получаваме, че каноничното уравнение ще приеме формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ако е необходимо да се реши проблем с различен тип уравнение, тогава за начало можете да отидете на каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете до всяко друго от него.

Пример 2

Съставете общото уравнение на права линия, минаваща през точки с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.

Решение

Първо трябва да напишете каноничното уравнение на дадена права, която минава през дадените две точки. Получаваме уравнение във формата x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Привеждаме каноничното уравнение до желаната форма, след което получаваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Отговор: x - 3 y + 2 = 0 .

Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници в часовете по алгебра. Училищните задачи се различаваха по това, че беше известно уравнението на права линия с коефициент на наклон, имащо формата y \u003d k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, при което уравнението y \u003d k x + b определя линия в системата O x y, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) , където x 1 ≠ x 2 . Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът приема стойността на безкрайност и правата линия M 1 M 2 се определя от общо непълно уравнение под формата x - x 1 = 0 .

Тъй като точките М 1И М 2са на права линия, тогава техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b по отношение на k и b.

За да направим това, намираме k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

С такива стойности на k и b, уравнението на права линия, минаваща през дадени две точки, приема следната форма y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Запомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, е необходимо да увеличите броя на повторенията при решаването на задачи.

Пример 3

Напишете уравнението на права линия с наклон, минаваща през точки с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да разрешим проблема, използваме формула с наклон, който има формата y \u003d k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

точки М 1И М 2разположени на права линия, тогава техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b правилното равенство. От тук получаваме, че - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Нека комбинираме уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и да решим.

При заместване получаваме това

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заместват в уравнението y = k x + b. Получаваме, че желаното уравнение, минаващо през дадените точки, ще бъде уравнение, което има формата y = 2 3 x - 1 3 .

Този начин на решаване предопределя изразходването на голямо количество време. Има начин, при който задачата се решава буквално на две стъпки.

Записваме каноничното уравнение на права линия, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5) , имаща формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Сега нека преминем към уравнението на наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Отговор: y = 2 3 x - 1 3 .

Ако в тримерното пространство има правоъгълна координатна система O x y z с две дадени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), то права линия M, минаваща през тях 1 M 2 , е необходимо да се получи уравнението на тази линия.

Имаме, че каноничните уравнения от формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметричните уравнения x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ са способен да зададе линия в координатната система O x y z, минаваща през точки с координати (x 1, y 1, z 1) с насочващ вектор a → = (a x, a y, a z) .

Прав M 1 M 2 има насочващ вектор под формата M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , където правата минава през точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, от своя страна параметрични x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.

Пример 4

Напишете уравнението на права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система O x y z на тримерното пространство, минаваща през дадените две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Решение

Трябва да намерим каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условие имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения могат да бъдат записани, както следва:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter