Изчислете по най-рационалния начин. Рационални методи на изчисления

Настоящото ниво на развитие на средствата за компютърна автоматизация създаде илюзията сред мнозина, че изобщо не е необходимо да се развиват компютърни умения. Това се отрази на подготовката на учениците. При липсата на калкулатор дори простите изчислителни задачи се превръщат в проблем за мнозина.

В същото време изпитните задачи и материали за Единния държавен изпит съдържат много задачи, чието решаване изисква способността на участниците в теста да организират рационално изчисленията.

В тази статия ще разгледаме някои методи за оптимизиране на изчисленията и тяхното приложение при конкурентни проблеми.

Най-често методите за оптимизиране на изчисленията са свързани с прилагането на основните закони за извършване на аритметични операции.

Например:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; или

98 16(100 – 2) 16 = 100 16 – 2 16 = 1600 – 32 = 1568 и т.н.

Друга посока - използване на формули за съкратено умножение.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; или

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Следният пример е интересен за изчисления.

Изчисли:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Това са почти стандартни начини за оптимизиране на изчисленията. Понякога се предлагат и по-екзотични. Като пример, разгледайте метода за умножаване на двуцифрени числа, чиито единици се събират до 10.

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 или

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Схемата за умножение може да се разбере от фигурата.

Откъде идва тази схема за умножение?

Нашите числа според условието имат формата: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Нека съставим парче:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) и методът е обоснован.

Има много хитри начини да превърнете доста сложни изчисления в умствени проблеми. Но не можете да мислите, че всеки трябва да помни тези и куп други хитри начини за опростяване на изчисленията. Важно е само да научите някои основни. Анализът на другите има смисъл само за развиване на умения за използване на основни методи. Именно тяхното творческо използване прави възможно бързото и правилно решаване на изчислителни проблеми.

Понякога, когато решавате примери за изчисление, е удобно да преминете от трансформиране на изрази с числа към трансформиране на полиноми. Помислете за следния пример.

Изчислете по най-рационалния начин:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Решение.

Нека a = 1/117 и b = 1/119. Тогава 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 – a, 5 118 / 119 = 6 – b.

Така дадения израз може да се запише като (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b.

След извършване на прости трансформации на полинома, получаваме 10a или 10/117.

Тук получихме, че стойността на нашия израз не зависи от b. Това означава, че сме изчислили не само стойността на този израз, но и всеки друг, получен от (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b чрез заместване на стойностите на а и б. Ако, например, a = 5 / 329, тогава отговорът ще бъде 50 / 329 , каквото и да е b.

Нека да разгледаме друг пример, чието решение с помощта на калкулатор е почти невъзможно, а отговорът е доста прост, ако знаете подхода за решаване на примери от този тип

Изчисли

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Решение.

Нека трансформираме условието

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 – 1) = 1/6

Нека да разгледаме един пример, който вече е станал учебник в изпитните материали за основния курс.

Изчислете сумата:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Тоест този проблем беше решен чрез заместване на всяка дроб с разликата от две дроби. Сборът се оказа двойки противоположни числа за всички с изключение на първото и последното.

Но този пример може да се обобщи. Да разгледаме сумата:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1)k) (n + mk))

За него са валидни същите разсъждения като в предишния пример. Наистина:

1/н – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) и т.н.

След това ще конструираме отговора по същата схема: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

И още за „дългите“ суми.

Количество

X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

може да се изчисли като сбор от 11 члена на геометрична прогресия със знаменател 1/2 и първия член 1. Но същата сума може да бъде изчислена от ученик в 5 клас, който няма представа от прогресии. За целта е достатъчно да изберем успешно число, което ще добавим към сумата X. Това число тук ще бъде 1/1024.

Нека изчислим

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Сега е очевидно, че X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Вторият метод е не по-малко обещаващ. С него можете да изчислите сумата:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Тук „щастливото“ число е 11. Добавете го към S и го разпределете равномерно между всичките 11 члена. След това всеки от тях ще получи 1. Тогава имаме:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Следователно S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

В далечното минало, когато още не е била измислена бройната система, хората са броили всичко на пръсти. С появата на аритметиката и основите на математиката стана много по-лесно и практично да се следят стоките, продуктите и предметите от бита. Но как изглежда съвременната система за смятане: на какви видове са разделени съществуващите числа и какво означава „рационална форма на числата“? Нека да го разберем.

Колко вида числа има в математиката?

Самото понятие „число“ означава определена единица на всеки обект, която характеризира неговите количествени, сравнителни или порядъчни показатели. За да изчислите правилно броя на определени неща или да извършите определени математически операции с числа (събиране, умножение и т.н.), трябва преди всичко да се запознаете с разновидностите на същите тези числа.

И така, съществуващите номера могат да бъдат разделени на следните категории:

1. Естествените числа са тези числа, с които броим броя на обектите (най-малкото естествено число е 1, логично е редицата от естествени числа да е безкрайна, т.е. няма най-голямо естествено число). Наборът от естествени числа обикновено се означава с буквата N.
2. Цели числа. Този набор включва всичко, като към него се добавят и отрицателни стойности, включително числото „нула“. Обозначението на набор от цели числа се изписва с латинската буква Z.
3. Рационалните числа са тези, които можем мислено да трансформираме в дроб, чийто числител ще принадлежи към набора от цели числа, а знаменателят ще принадлежи към набора от естествени числа. По-долу ще разгледаме по-подробно какво означава „рационално число“ и ще дадем някои примери.
4. - набор, който включва всички рационални и Това множество се обозначава с буквата R.
5. Комплексните числа съдържат част от реално число и част от променливо число. Те се използват при решаването на различни кубични уравнения, които от своя страна могат да имат отрицателен израз във формулите (i 2 = -1).

Какво означава „рационално“: нека да разгледаме примери

Ако тези числа, които можем да представим като обикновена дроб, се считат за рационални, тогава се оказва, че всички положителни и отрицателни цели числа също са включени в набора от рационални числа. В крайна сметка всяко цяло число, например 3 или 15, може да бъде представено като дроб, където знаменателят е едно.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 са примери за рационални числа.

Какво означава "рационално изразяване"?

Продължавай. Вече обсъдихме какво означава рационалната форма на числата. Нека сега си представим математически израз, който се състои от сбор, разлика, произведение или частно на различни числа и променливи. Ето един пример: дроб, в която числителят е сумата от две или повече цели числа, а знаменателят съдържа както цяло число, така и някаква променлива. Именно този вид изразяване се нарича рационален. Въз основа на правилото „не можете да делите на нула“, можете да предположите, че стойността на тази променлива не може да бъде такава, че стойността на знаменателя да стане нула. Следователно, когато решавате рационален израз, първо трябва да определите диапазона на променливата. Например, ако знаменателят има следния израз: x+5-2, тогава се оказва, че "x" не може да бъде равно на -3. Всъщност в този случай целият израз се превръща в нула, така че при решаването е необходимо да се изключи цялото число -3 за тази променлива.

Как да решаваме правилно рационални уравнения?

Рационалните изрази могат да съдържат доста голям брой числа и дори 2 променливи, така че понякога решаването им става трудно. За да се улесни решаването на такъв израз, се препоръчва да се извършват определени операции по рационален начин. И така, какво означава „по рационален начин“ и какви правила трябва да се прилагат при вземане на решение?

1. Първият тип, когато е достатъчно само да се опрости изразът. За да направите това, можете да прибягвате до операцията за намаляване на числителя и знаменателя до нередуцируема стойност. Например, ако числителят съдържа израза 18x, а знаменателят 9x, тогава, като намалим двата показателя с 9x, просто получаваме цяло число, равно на 2.
2. Вторият метод е практичен, когато имаме моном в числителя и полином в знаменателя. Нека да разгледаме пример: в числителя имаме 5x, а в знаменателя - 5x + 20x 2. В този случай е най-добре да извадим променливата в знаменателя извън скоби, получаваме следната форма на знаменателя: 5x(1+4x). Сега можете да използвате първото правило и да опростите израза, като съкратите 5x в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме дроб от формата 1/1+4x.

Какви операции можете да извършвате с рационални числа?

Наборът от рационални числа има редица свои собствени характеристики. Много от тях са много подобни на характеристиките, присъстващи в цели и естествени числа, поради факта, че последните винаги са включени в набора от рационални числа. Ето няколко свойства на рационалните числа, като знаете, че можете лесно да решите всеки рационален израз.

1. Комутативното свойство ви позволява да сумирате две или повече числа, независимо от техния ред. Просто казано, смяната на местата на членовете не променя сумата.
2. Разпределителното свойство ви позволява да решавате проблеми, като използвате закона за разпределение.
3. И накрая, операциите събиране и изваждане.

Дори учениците знаят какво означава „рационална форма на числа“ и как да решават проблеми въз основа на такива изрази, така че образованият възрастен просто трябва да запомни поне основите на набора от рационални числа.

В тази статия ще започнем да изследваме рационални числа. Тук ще дадем дефиниции на рационални числа, ще дадем необходимите обяснения и ще дадем примери за рационални числа. След това ще се съсредоточим върху това как да определим дали дадено число е рационално или не.

Навигация в страницата.

Определение и примери за рационални числа

В този раздел ще дадем няколко дефиниции на рационални числа. Въпреки разликите във формулировката, всички тези определения имат едно и също значение: рационалните числа обединяват цели числа и дроби, точно както целите числа обединяват естествените числа, техните противоположности и числото нула. С други думи, рационалните числа обобщават цели и дробни числа.

Да започнем с дефиниции на рационални числа, което се възприема най-естествено.

От дадената дефиниция следва, че рационално число е:

• Всяко естествено число n. Всъщност можете да представите всяко естествено число като обикновена дроб, например 3=3/1.
• Всяко цяло число, по-специално числото нула. Всъщност всяко цяло число може да бъде записано като положителна дроб, отрицателна дроб или нула. Например 26=26/1, .
• Всяка обикновена дроб (положителна или отрицателна). Това се потвърждава пряко от дадената дефиниция на рационалните числа.
• Всяко смесено число. Всъщност винаги можете да представите смесено число като неправилна дроб. Например и.
• Всяка крайна десетична дроб или безкрайна периодична дроб. Това се дължи на факта, че посочените десетични дроби се превръщат в обикновени дроби. Например, и 0,(3)=1/3.

Също така е ясно, че всяка безкрайна непериодична десетична дроб НЕ е рационално число, тъй като не може да бъде представена като обикновена дроб.

Сега можем лесно да дадем примери за рационални числа. Числата 4, 903, 100,321 са рационални числа, защото са естествени числа. Целите числа 58, −72, 0, −833,333,333 също са примери за рационални числа. Обикновените дроби 4/9, 99/3 също са примери за рационални числа. Рационалните числа също са числа.

От горните примери става ясно, че има както положителни, така и отрицателни рационални числа, а рационалното число нула не е нито положително, нито отрицателно.

Горната дефиниция на рационалните числа може да се формулира в по-сбита форма.

Определение.

Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като дроб z/n, където z е цяло число, а n е естествено число.

Нека докажем, че тази дефиниция на рационални числа е еквивалентна на предишната дефиниция. Знаем, че можем да разглеждаме чертата на дробта като знак за деление, тогава от свойствата за деление на цели числа и правилата за деление на цели числа следва валидността на следните равенства и. Така че това е доказателството.

Нека дадем примери за рационални числа въз основа на това определение. Числата −5, 0, 3 и са рационални числа, тъй като могат да бъдат записани като дроби с цял числител и естествен знаменател от вида и съответно.

Дефиницията на рационални числа може да се даде в следната формулировка.

Определение.

Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Тази дефиниция също е еквивалентна на първата дефиниция, тъй като всяка обикновена дроб съответства на крайна или периодична десетична дроб и обратно, и всяко цяло число може да бъде свързано с десетична дроб с нули след десетичната запетая.

Например числата 5, 0, −13 са примери за рационални числа, защото могат да бъдат записани като следните десетични дроби 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 и −7, (18).

Нека завършим теорията на тази точка със следните твърдения:

• цели числа и дроби (положителни и отрицателни) съставляват множеството от рационални числа;
• всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цял числител и естествен знаменател и всяка такава дроб представлява определено рационално число;
• всяко рационално число може да бъде представено като крайна или безкрайна периодична десетична дроб и всяка такава дроб представлява рационално число.

Това число рационално ли е?

В предишния параграф разбрахме, че всяко естествено число, всяко цяло число, всяка обикновена дроб, всяко смесено число, всяка крайна десетична дроб, както и всяка периодична десетична дроб е рационално число. Това знание ни позволява да „разпознаем“ рационални числа от набор от записани числа.

Но какво, ако числото е дадено под формата на някои , или като и т.н., как да отговоря на въпроса дали това число е рационално? В много случаи е много трудно да се отговори. Нека посочим някои посоки на мислене.

Ако дадено число е дадено като числов израз, който съдържа само рационални числа и аритметични знаци (+, −, · и:), тогава стойността на този израз е рационално число. Това следва от това как се дефинират операциите с рационални числа. Например, след като извършим всички операции в израза, получаваме рационалното число 18.

Понякога, след опростяване на изразите и усложняване, става възможно да се определи дали дадено число е рационално.

Да отидем по-нататък. Числото 2 е рационално число, тъй като всяко естествено число е рационално. Какво ще кажете за номера? Рационално ли е? Оказва се, че не, това не е рационално число, а ирационално число (доказателството на този факт от противно е дадено в учебника по алгебра за 8 клас, посочен по-долу в списъка с литература). Доказано е също, че квадратният корен от естествено число е рационално число само в случаите, когато под корена има число, което е идеалният квадрат на някакво естествено число. Например и са рационални числа, тъй като 81 = 9 2 и 1 024 = 32 2, а числата и не са рационални, тъй като числата 7 и 199 не са перфектни квадрати на естествени числа.

Числото рационално ли е или не? В този случай е лесно да се забележи, че следователно това число е рационално. Числото рационално ли е? Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на някакво цяло число. Следователно това не е рационално число, тъй като няма цяло число, чиято пета степен да е 121.

Методът от противното позволява да се докаже, че логаритмите на някои числа не са рационални числа по някаква причина. Например, нека докажем, че - не е рационално число.

Нека приемем обратното, тоест да кажем, че това е рационално число и може да се запише като обикновена дроб m/n. Тогава даваме следните равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата страна има нечетно число 5 n, а от дясната страна е четното число 2 m. Следователно нашето предположение е неправилно, следователно не е рационално число.

В заключение, заслужава да се отбележи, че когато се определя рационалността или ирационалността на числата, трябва да се въздържате от внезапни заключения.

Например, не трябва веднага да твърдите, че произведението на ирационалните числа π и e е ирационално число; това е „привидно очевидно“, но не е доказано. Това повдига въпроса: „Защо един продукт би бил рационално число?“ И защо не, защото можете да дадете пример за ирационални числа, чието произведение дава рационално число: .

Също така не е известно дали числата и много други числа са рационални или не. Например, има ирационални числа, чиято ирационална степен е рационално число. За илюстрация представяме степен от формата , основата на тази степен и показателят не са рационални числа, а , а 3 е рационално число.

Библиография.

• Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Кожинова Анастасия

ОБЩИНСКИ НЕТИПОВ БЮДЖЕТ

ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ

"ЛИЦЕЙ № 76"

КАКВА Е ТАЙНАТА НА РАЦИОНАЛНОТО СЧЕТОВОДСТВО?

Изпълнено:

Ученик от 5 "Б" клас

Кожинова Анастасия

Ръководител:

Учител по математика

Щиклина Татяна

Николаевна

Новокузнецк 2013 г

Въведение………………………………………………………… 3

Основна част……………………………………………………….......... 5-13

Заключение и заключения………………………………………………………….. 13-14

Използвана литература…………………………………………………………..... 15

Приложения………………………………………………………. 16-31

аз. Въведение

проблем: намиране на стойностите на числови изрази

Цел на работата:търсене, изучаване на съществуващи методи и техники за рационално счетоводство, прилагането им на практика.

Задачи:

1. Провеждане на мини-изследване под формата на анкета сред паралелни класове.

2. Анализирайте темата на изследването: литература, налична в училищната библиотека, информация в учебника по математика за 5 клас, в Интернет.

3. Изберете най-ефективните методи и средства за рационално счетоводство.

4. Класифицирайте съществуващите техники за бързо устно и писмено броене.

5. Създайте напомняния, съдържащи рационални техники за броене за използване в успоредките за 5 клас.

Обект на изследване: рационална сметка.

Предмет на изследване: методи за рационално броене.

За да гарантирам ефективността на изследователската работа, използвах следните методи: анализ на информация, получена от различни ресурси, синтез, обобщение; социологическо проучване под формата на въпросник. Въпросникът е разработен от мен в съответствие с целта и задачите на изследването, възрастта на респондентите и е представен в основната част на работата.

По време на изследователската работа бяха разгледани въпроси, свързани с методите и техниките за рационално изчисление, и бяха дадени препоръки за отстраняване на проблеми с компютърните умения и формиране на компютърна култура.

II. Главна част

Формиране на компютърна култура на учениците

5–6 клас.

Очевидно е, че техниките за рационално изчисление са необходим елемент от изчислителната култура в живота на всеки човек, главно поради практическото им значение, и учениците се нуждаят от него в почти всеки урок.

Компютърната култура е в основата на изучаването на математика и други академични дисциплини, тъй като освен факта, че изчисленията активират паметта и вниманието, спомагат за рационалното организиране на дейностите и значително влияят върху човешкото развитие.

В ежедневието, в класните стаи, когато всяка минута е ценна, е много важно бързо и рационално да се извършват устни и писмени изчисления, без да се правят грешки и без да се използват допълнителни изчислителни средства.

Ние, учениците, се сблъскваме с този проблем навсякъде: в класната стая, у дома, в магазина и т. Освен това след 9 и 11 клас ще трябва да се явяваме на изпити под формата на IGA и Единен държавен изпит, където не е разрешено използването на микрокалкулатор. Следователно проблемът за развитието на компютърна култура във всеки човек, чийто елемент е овладяването на техниките за рационално изчисление, става изключително важен.

Особено необходимо е да се овладеят техниките за рационално броене

при изучаването на такива предмети като математика, история, технологии, компютърни науки и др., тоест рационалното изчисление помага да се овладеят свързани предмети, да се ориентира по-добре в изучавания материал в житейски ситуации. И така, какво чакаме? Да отидем в света на тайните на рационалните техники за броене!!!

Какви проблеми имат учениците при извършване на изчисления?

Връстниците на моята възраст често имат проблеми с изпълнението на различни задачи, в които трябва да правят изчисления бързо и удобно . Защо???

Ето някои предположения:

1. Ученикът не е разбрал добре изучаваната тема

2. Ученикът не повтаря материала.

3. Ученикът има слаби математически умения.

4. Студентът не иска да учи тази тема

5. Ученикът смята, че няма да му бъде от полза.

Взех всички тези предположения от моя опит и опита на моите съученици и връстници. В изчислителните упражнения обаче уменията за рационално броене играят важна роля, така че проучих, приложих и искам да ви запозная с някои техники за рационално броене.

Рационални методи за устни и писмени изчисления.

В работата и ежедневието постоянно възниква необходимостта от различни видове изчисления. Използването на най-простите методи за умствено броене намалява умората, развива вниманието и паметта. Използването на рационални методи за изчисление е необходимо за увеличаване на труда, точността и скоростта на изчисленията. Скоростта и точността на изчисленията могат да бъдат постигнати само с рационалното използване на методите и средствата за механизация на изчисленията, както и с правилното използване на методите за умствено изчисление.

аз. Техники за опростено събиране на числа

Има четири известни метода за добавяне, които могат да ускорят изчисленията.

Метод на последователно побитово добавяне използва се при умствени изчисления, тъй като опростява и ускорява сумирането на термини. Когато използвате този метод, добавянето започва от най-високите цифри: съответните цифри на второто събираемо се добавят към първото събираемо.

Пример. Нека намерим сумата на числата 5287 и 3564, като използваме метода на последователно побитово събиране.

Решение. Ще извършим изчислението в следната последователност:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Отговор: 8 851. (комбинативно-комутативен закон)

Друг начин за последователно побитово добавяне се състои в това, че най-високата цифра на втория член се добавя към най-високата цифра на първия член, след това следващата цифра на втория член се добавя към следващата цифра на първия член и т.н.

Нека разгледаме това решение, използвайки дадения пример, получаваме:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Отговор: 8851.

Метод с кръгли числа . Число, което има една значима цифра и завършва с една или повече нули, се нарича кръгло число. Този метод се използва, когато от два или повече термина можете да изберете тези, които могат да бъдат попълнени, за да образуват кръгло число. Разликата между кръглото число и числото, посочено в условието за изчисление, се нарича допълнение. Например 1000 - 978 = 22. В този случай числото 22 е аритметичното събиране на 978 към 1000.

За да извършите събиране с помощта на метода с кръгли числа, трябва да закръглите един или повече членове, близки до кръгли числа, да извършите събиране на кръгли числа и да извадите аритметични събирания от получената сума.

Пример. Нека намерим сбора на числата 1238 и 193, като използваме метода на кръглите числа.

Решение. Нека закръглим числото 193 до 200 и да съберем както следва: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431. (комбинационен закон)

Метод за групиране на термини . Този метод се използва в случаите, когато термините, когато са групирани заедно, дават кръгли числа, които след това се сумират.

Пример. Нека намерим сбора на числата 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Нека обобщим числата, групирани както следва: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(комбинативно-комутативен закон)

или, когато групирането на числа води до равни суми:

Пример:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(комбинативно-комутативен закон)

II. Техники за опростено изваждане на числа

Метод на последователно побитово изваждане. Този метод последователно изважда всяка цифра, извадена от умаляваното. Използва се, когато числата не могат да бъдат закръглени.

Пример. Нека намерим разликата между числата 721 и 398.

Решение. Нека изпълним стъпките, за да намерим разликата на дадените числа в следната последователност:

Нека си представим числото 398 като сбор: 300 + 90 + 8 = 398;

Нека извършим побитово изваждане:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Метод с кръгли числа . Този метод се използва, когато субтрахенда е близо до кръгло число. За да изчислите, е необходимо да извадите субтрахенда, взет като кръгло число, от умаляваното и да добавите аритметичното добавяне към получената разлика.

Пример. Нека изчислим разликата между числата 235 и 197 по метода на кръглите числа.

Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Техники за опростено умножение на числа

Умножете по едно, последвано от нули. При умножаване на число по число, което включва единица, последвана от нули (10; 100; 1000 и т.н.), към него отдясно се добавят толкова нули, колкото има във фактора след единицата.

Пример. Нека намерим произведението на числата 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

Метод на последователно побитово умножение . Този метод се използва при умножаване на число по всяко едноцифрено число. Ако трябва да умножите двуцифрено (три-, четирицифрено и т.н.) число с едноцифрено число, тогава първо едноцифреният фактор се умножава по десетките на друг фактор, след това по неговите единици и получените продукти се сумират.

Пример. Нека намерим произведението на числата 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (закон за разпределение на умножението спрямо събирането)

Метод с кръгли числа . Този метод се използва само когато един от факторите е близо до кръгло число. Умноженото се умножава по кръгло число, а след това с аритметично събиране и накрая второто се изважда от първия продукт.

Пример. Нека намерим произведението на числата 174 и 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (закон за разпределение на умножението спрямо изваждането)

Метод за разлагане на един от факторите. При този метод един от факторите първо се разделя на части (събирания), след което вторият фактор се умножава на свой ред по всяка част от първия фактор и получените продукти се сумират.

Пример. Нека намерим произведението на числата 13 и 325.

Нека разложим числото 13 на членове: 13 = 10 + 3. Умножете всеки от получените членове по 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975. Сумираме получените продукти: 3 250 + 975 = 4 225

Овладяването на уменията за рационално умствено изчисление ще направи работата ви по-ефективна. Това е възможно само при добро владеене на всички дадени аритметични действия. Използването на рационални техники за броене ускорява изчисленията и осигурява необходимата точност. Но не само трябва да можете да смятате, но и да знаете таблицата за умножение, законите на аритметичните действия, класовете и ранговете.

Има системи за мислено броене, които ви позволяват да броите устно бързо и рационално. Ще разгледаме някои от най-често използваните техники.

1. Умножение на двуцифрено число по 11.

Ние сме изучавали този метод, но не сме го проучили напълно Тайната на този метод е, че той може да се счита за законите на аритметичните операции.

Примери:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (закон за разпределение на умножението спрямо събирането)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (закон на разпределение и метод на кръглото число)

Проучихме този метод, но не знаехме друг Тайната на умножаването на двуцифрени числа по 11.

Докато наблюдавах резултатите, получени при умножаване на двуцифрени числа по 11, забелязах, че има по-удобен начин да получа отговора : при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифри се поставя в средата.

а) 23 11=253, защото 2+3=5;

б) 45 11=495, защото 4+5=9;

в) 57 11=627, защото 5+7=12, двете бяха поставени в средата, а единицата беше добавена към мястото на стотните;

г) 78 11=858, тъй като 7+8=15, то броят на десетиците ще бъде равен на 5, а броят на стотиците ще се увеличи с единица и ще стане равен на 8.

Намерих потвърждение на този метод в интернет.

2) Произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици и сумата на техните единици е 10, т.е. 23 27; 34 36; 52 58 и т.н.

правило: цифрата на десетиците се умножава по следващата цифра в естествения ред, резултатът се записва и произведението на единиците се добавя към него.

а) 23 27=621. Как взе 621? Умножаваме числото 2 по 3 (след „двето“ следва „три“), става 6, а до него добавяме произведението на единици: 3 7 = 21, получава се 621.

б) 34 36 = 1224, тъй като 3 4 = 12, приписваме 24 на числото 12, това е произведението на единиците на тези числа: 4 6.

в) 52 58 = 3016, тъй като умножаваме цифрата на десетките 5 по 6, ще бъде 30, присвояваме произведението от 2 и 8, т.е. 16.

г) 61 69=4209. Ясно е, че 6 беше умножено по 7 и получихме 42. Откъде идва нулата? Единиците бяха умножени и получихме: 1 9 = 9, но резултатът трябва да е двуцифрен, така че вземаме 09.

3) Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Резултатът е равен на сумата от тези еднакви цифри на трицифреното число (или числото, равно на три пъти цифрата на трицифреното число).

Примери: а) 222:37=6. Това е сумата 2+2+2=6; б) 333:37=9, защото 3+3+3=9.

в) 777:37=21, т.е. 7+7+7=21.

г) 888:37=24, защото 8+8+8=24.

Също така вземаме предвид, че 888:24=37.

III. Заключение

За да разкрия основната тайна в темата на моята работа, трябваше да работя упорито - да търся, анализирам информация, да анкетирам съученици, да повтарям ранно известни методи и да намеря много непознати методи за рационално изчисление и накрая да разбера каква е неговата тайна И разбрах, че най-важното е да знам и да мога да прилагам познатите, да намирам нови рационални методи за броене, таблицата за умножение, състава на числата (класове и рангове), законите на аритметичните операции. Освен това,

потърсете нови начини:

- Техники за опростено събиране на числа: (метод на последователно побитово събиране; метод на кръгло число; метод на разлагане на един от множителите на членове);

-Техники за опростено изваждане на числа(метод на последователно побитово изваждане; метод на кръгли числа);

-Техники за опростено умножение на числа(умножение с единица, последвано от нули; метод на последователно побитово умножение; метод на кръгли числа; метод на разлагане на един от множителите ;

- Тайните на бързото мислено броене(умножение на двуцифрено число по 11: при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифри се поставя в средата; произведението на двуцифрени числа, които имат същия брой десетици, а сумата на единиците е 10; Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Вероятно има много повече такива начини, така че ще продължа да работя по тази тема по-нататък година.

IV. Библиография

1. Савин А. П. Математически миниатюри / А. П. Савин. – М.: Детска литература, 1991

2. Зубарева I.I., Математика, 5 клас: учебник за ученици от общообразователни институции / I.I. Зубарева, A.G. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Математика-повторение. ru

V. Приложения

Мини проучване (анкета под формата на въпросник)

За да установя знанията на учениците за рационалното броене, проведох анкета под формата на въпросник по следните въпроси:

* Знаете ли какви са рационалните техники за броене?

* Ако да, тогава откъде и ако не, тогава защо?

* Колко начина за рационално броене знаете?

* Имате ли затруднения в умственото пресмятане?

* Как учиш по математика? а) до „5“; б) до „4“; в) до „3“

*Какво най-много харесвате в математиката?

а) примери; б) задачи; в) дроби

* Къде според вас може да бъде полезна менталната аритметика, освен математиката? *Помните ли законите на аритметичните действия и ако да, кои?

След като проведох анкета, разбрах, че моите съученици не знаят достатъчно за законите на аритметичните операции, повечето от тях имат проблеми с рационалното броене, много ученици смятат бавно и с грешки и всеки иска да се научи как да брои бързо, правилно и по удобен начин. Ето защо темата на моята изследователска работа е изключително важна за всички студенти и не само.

1. Интересни устни и писмени методи за изчисления, които изучавахме в часовете по математика, използвайки примери от учебника „Математика, 5 клас“:

Ето някои от тях:

за бързо умножаване на число по 5, достатъчно е да се отбележи, че 5=10:2.

Например 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

За да умножите число по 50 , можете да го умножите по 100 и да разделите на 2.

Например: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

За да умножите число по 25 , можете да го умножите по 100 и да разделите на 4,

Например 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

За да умножите число по 125 , можете да го умножите по 1000 и да разделите на 8,

Например: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Да разделим кръгло число с две нули в края на 25 , можете да го разделите на 100 и да умножите по 4.

Например: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Да разделя кръгло число на 50 , може да се раздели на 100 и да се умножи по 2

Например: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Но вие не само трябва да можете да смятате, но също така трябва да знаете таблицата за умножение, законите на аритметичните операции, състава на числата (класове и цифри) и да имате уменията да ги използвате

Закони на аритметичните операции.

а + b = b + а

Комутативен закон на събиране

(а + b) + ° С = а + (b + ° С)

Комбинационен закон за събиране

а · b = b · а

Комутативен закон за умножение

(а · b) · ° С = а · (b · ° С)

Комбинативен закон за умножение

(а = b) · ° С = а · ° С = b · ° С

Разпределителен закон на умножението (спрямо събирането)

Таблица за умножение.

Какво е умножение?

Това е умно допълнение.

В края на краищата е по-умно да умножите пъти,

След това добавете всичко за един час.

Таблица за умножение

Всички имаме нужда от него в живота си.

И не се нарича напразно

Тя се МНОЖИ!

Ранг и класове

За да е удобно за четене и запомняне на числата с големи стойности, те трябва да бъдат разделени на така наречените „класове“: като се започне отдясно, числото се разделя с интервал на три цифри „първи клас“, след това още един избират се три цифри, “втори клас” и т.н. В зависимост от значението на числото последният клас може да завършва с три, две или една цифра.

Например числото 35461298 се записва по следния начин:

Този брой е разделен на класове:

482 – първи клас (клас единици)

630 – втори клас (хиляден клас)

35 – трета класа (милионна класа)

освобождаване от отговорност

Всяка от цифрите, включени в класа, се нарича своя цифра, която също се брои отдясно.

Например числото 35 630 482 може да бъде разделено на класове и рангове:

482 – първи клас

2 – първа цифра (цифра на единиците)

8 – втора цифра (десетици)

4 – трета цифра (стотни)

630 – втори клас

0 – първа цифра (цифра хиляди)

3 – втора цифра (десетки хиляди)

6 – трета цифра (стотици хиляди)

35 – трети клас

5 – първа цифра (цифра за милиони)

3 – втора цифра (цифра за десетки милиони)

Числото 35 630 482 се чете:

Тридесет и пет милиона шестстотин тридесет хиляди четиристотин осемдесет и две.

Проблеми с рационалното броене и как да ги коригираме

Рационални методи за запаметяване.

В резултат на анкетата и наблюденията от уроците забелязах, че някои ученици не решават добре различни задачи и упражнения, защото не са запознати с рационалните методи на изчисление.

1. Една от техниките е да приведете изучавания материал в система, която е удобна за запомняне и съхраняване в паметта.

2. За да може запомненият материал да бъде съхранен от паметта в определена система, е необходимо да се извърши известна работа върху неговото съдържание.

3. След това можете да започнете да асимилирате всяка отделна част от текста, като го препрочитате и се опитвате незабавно да възпроизведете (повторете на себе си или на глас) това, което сте прочели.

4. Повторението на материала е от голямо значение за запаметяването. Популярната поговорка казва за това: „Повторението е майка на ученето“. Но трябва да се повтаря мъдро и правилно.

Работата по повторението трябва да бъде оживена чрез използване на илюстрации или примери, които не са съществували преди или вече са били забравени.

Въз основа на гореизложеното можем накратко да формулираме следните препоръки за успешно овладяване на учебния материал:

1. Поставете задача, бързо и здраво запомнете учебния материал за дълго време.

2. Фокусирайте се върху това, което трябва да научите.

3. Разбирайте добре учебния материал.

4. Направете план на заучения текст, като подчертаете основните мисли в него и разбийте текста на части.

5. Ако материалът е голям, овладявайте последователно една част след друга и след това представете всичко като цяло.

6. След като прочетете материала, трябва да го възпроизведете (разкажете какво сте прочели).

7. Повторете материала, преди да бъде забравен.

8. Разпределете повторението в по-дълъг период от време.

9. Когато запаметявате, използвайте различни видове памет (предимно семантична) и някои индивидуални характеристики на вашата памет (визуална, слухова или двигателна).

10. Трудният материал трябва да се повтори преди лягане, а след това сутрин, „за свежа памет“.

11. Опитайте се да приложите придобитите знания на практика. Това е най-добрият начин да ги запазите в паметта (не без основание казват: „Истинската майка на ученето не е повторението, а прилагането“).

12. Трябва да придобием повече знания, да научим нещо ново.

Сега се научихте как бързо и правилно да запомните материала, който сте изучавали.

Интересна техника за умножение на някои числа по 9 в комбинация със събиране на последователни естествени числа от 2 до 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Интересна игра „Познай числото“

Играли ли сте играта "Познай числото"? Това е много проста игра. Да кажем, че мисля за естествено число, по-малко от 100, запиша го на хартия (така че да няма възможност за измама), а вие се опитайте да го познаете, като задавате въпроси, на които може да се отговори само с „да“ или „не“. След това ти познаеш число, а аз се опитвам да го позная. Който познае правилно при по-малко въпроси, печели.

Колко въпроса ще ви трябват, за да познаете номера ми? Не знам? Ангажирам се да отгатна номера ви, като задам само седем въпроса. как? Ето как например. Нека познаете число. Питам: „По-малко от 64 ли е?“ - "Да". - „По-малко от 32?“ - "Да". - „По-малко от 16?“ - "Да". - „По-малко от 8?“ - "Не". - „По-малко от 12?“ - "Не". - „По-малко от 14?“ - "Да". - „По-малко от 13?“ - "Не". - „Планира се номер 13.“

Ясно е? Разделям набора от възможни числа наполовина, след това останалата половина отново наполовина и така нататък, докато остатъкът съдържа едно число.

Ако ви е харесала играта или, напротив, искате повече, тогава отидете в библиотеката и вземете книгата „A. П. Савин (Математически миниатюри). В тази книга ще намерите много интересни и вълнуващи неща. Изображение на книгата:

Благодаря на всички за вниманието

И успех ти пожелавам!!!

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Каква е тайната на рационалното броене?

Цел на работата: търсене на информация, изучаване на съществуващи методи и техники за рационално счетоводство, прилагането им на практика.

задачи: 1. Провеждане на мини-изследване под формата на анкета сред паралелни класове. 2. Анализирайте по темата на изследването: налична литература в училищната библиотека, информация в учебника по математика за 5 клас, както и в Интернет. 3. Изберете най-ефективните методи и средства за рационално броене. 4. Класифицирайте съществуващите техники за бързо устно и писмено броене. 5. Създайте бележки, съдържащи рационални техники за броене за използване в паралелките в 5-ти клас.

Както вече казах, темата за рационалното изчисление е от значение не само за учениците, но и за всеки човек, за да се уверя в това, проведох анкета сред ученици от 5 клас. Въпроси и отговори от анкетата ви представяме в приложението.

Какво е рационално броене? Рационалната сметка е удобна сметка (думата рационален означава удобен, правилен)

Защо учениците имат затруднения???

Ето някои предположения: Ученикът: 1. не е разбрал добре изучаваната тема; 2. не повтаря материала; 3. има слаби математически умения; 4 . вярва, че няма да му трябва.

Рационални методи за устни и писмени изчисления. В работата и ежедневието постоянно възниква необходимостта от различни видове изчисления. Използването на най-простите методи за умствено броене намалява умората, развива вниманието и паметта.

Има четири известни метода за добавяне, които могат да ускорят изчисленията. I. Техники за опростено събиране на числа

Методът на последователно побитово събиране се използва при умствени изчисления, тъй като опростява и ускорява сумирането на термини. Когато използвате този метод, добавянето започва от най-високите цифри: съответните цифри на второто събираемо се добавят към първото събираемо. Пример. Нека намерим сумата на числата 5287 и 3564, използвайки този метод. Решение. Ще извършим изчислението в следната последователност: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8 287 + 500 = 8 787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851. Отговор: 8,851.

Друг начин за последователно побитово добавяне е, че най-голямата цифра на второто събираемо се добавя към най-високата цифра на първото събираемо, след това следващата цифра на второто събираемо се добавя към следващата цифра на първото събираемо и т.н. Нека разгледаме това решение, като използваме дадения пример, получаваме: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Отговор: 8851.

Метод с кръгли числа. Число, завършващо с една или повече нули, се нарича кръгло число. Този метод се използва, когато от два или повече термина можете да изберете тези, които могат да бъдат попълнени, за да образуват кръгло число. Разликата между кръглото число и числото, посочено в условието за изчисление, се нарича допълнение. Например 1000 - 978 = 22. В този случай числото 22 е аритметичното събиране на числото 978 към 1000. За да извършите събиране с помощта на метода с кръгли числа, трябва да закръглите един или повече членове, близки до кръгли числа, да извършите събиране на кръгли числа и да извадите аритметични събирания от получената сума. Пример. Нека намерим сбора на числата 1238 и 193, като използваме метода на кръглите числа. Решение. Нека закръглим числото 193 до 200 и направим събирането по следния начин: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Метод за групиране на термини. Този метод се използва в случаите, когато термините, когато са групирани заедно, дават кръгли числа, които след това се сумират. Пример. Намерете сбора на числата 74, 32, 67, 48, 33 и 26. Решение. Нека обобщим числата, групирани както следва: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Метод на добавяне, базиран на термини за групиране. Пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Техники за опростено изваждане на числа

Метод на последователно побитово изваждане. Този метод последователно изважда всяка цифра, извадена от умаляваното. Използва се, когато числата не могат да бъдат закръглени. Пример. Нека намерим разликата между числата 721 и 398. Нека изпълним стъпките за намиране на разликата между дадените числа в следната последователност: представете си числото 398 като сбор: 300 + 90 + 8 = 398; Нека извършим побитово изваждане: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Метод с кръгли числа. Този метод се използва, когато субтрахенда е близо до кръгло число. За да изчислите, е необходимо да извадите субтрахенда, взет като кръгло число, от умаляваното и да добавите аритметичното добавяне към получената разлика. Пример. Нека изчислим разликата между числата 235 и 197 по метода на кръглите числа. Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Техники за опростено умножение на числа

Умножете по едно, последвано от нули. При умножаване на число по число, което включва единица, последвана от нули (10; 100; 1000 и т.н.), отдясно се добавят толкова нули, колкото има във фактора след единица. Пример. Да намерим произведението на числата 568 и 100. Решение. 568 x 100 = 56 800.

Метод на последователно побитово умножение. Този метод се използва при умножаване на число по всяко едноцифрено число. Ако трябва да умножите двуцифрено (три-, четирицифрено и т.н.) число с едноцифрено число, тогава първо един от множителите се умножава по десетките на другия множител, след това по неговите единици и получените продукти се сумират. Пример. Нека намерим произведението на числата 39 и 7. Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Метод с кръгли числа. Този метод се използва само когато един от факторите е близо до кръгло число. Умноженото се умножава по кръгло число, а след това с аритметично събиране и накрая второто се изважда от първия продукт. Пример. Нека намерим произведението на числата 174 и 69. Решение. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Метод за разлагане на един от факторите. При този метод един от факторите първо се разделя на части (събирания), след което вторият фактор се умножава на свой ред по всяка част от първия фактор и получените продукти се сумират. Пример. Нека намерим произведението на числата 13 и 325. Решение. Нека разложим числото на членове: 13 = 10 + 3. Умножете всеки от получените членове по 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 Сумираме получените продукти: 3,250 + 975 = 4,225.

Тайните на бързото умствено изчисление. Има системи за мислено броене, които ви позволяват да броите устно бързо и рационално. Ще разгледаме някои от най-често използваните техники.

Умножение на двуцифрено число по 11.

Примери: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (закон за разпределение на умножението спрямо събирането) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (закон за разпределение и метод на кръглото число) Изучихме този метод, но не знаехме друга тайна за умножаване на двуцифрени числа по 11.

Наблюдавайки резултатите, получени при умножаване на двуцифрено число по 11, забелязах, че можете да получите отговора по по-удобен начин: когато умножите двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифрите се поставят в средата. Примери. а) 23 11=253, защото 2+3=5; б) 45 11=495, защото 4+5=9; в) 57 11=627, защото 5+7=12, двете бяха поставени в средата, а единицата беше добавена към мястото на стотните; Намерих потвърждение на този метод в интернет.

2) Произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици, а сумата на единиците е 10, т.е. 23 27; 34 36; 52 58 и т.н. Правило: десетицата се умножава по следващата цифра от естествения ред, резултатът се записва и към него се добавя произведението на единиците. Примери. а) 23 27=621. Как взе 621? Умножаваме числото 2 по 3 (след „двето“ следва „три“), става 6, а до него добавяме произведението на единици: 3 7 = 21, получава се 621. б) 34 36 = 1224, тъй като 3 4 = 12, приписваме 24 на числото 12, това е произведението на единиците на тези числа: 4 6.

3) Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Резултатът е равен на сумата от тези еднакви цифри на трицифрено число (или число, равно на утроена цифра на трицифрено число). Примери. а) 222:37=6. Това е сборът 2+2+2=6. б) 333:37=9, защото 3+3+3=9. в) 777:37=21, т.е. 7+7+7=21. г) 888:37=24, защото 8+8+8=24. Също така вземаме предвид, че 888:24=37.

Овладяването на уменията за рационално умствено изчисление ще направи работата ви по-ефективна. Това е възможно само при добро владеене на всички дадени аритметични действия. Използването на рационални техники за броене ускорява изчисленията и осигурява необходимата точност.

Заключение За да разгадая основната тайна в темата на моята работа, трябваше да работя усилено - да търся, анализирам информация, анкетирам съученици, повтарям ранно известни методи и намирам много непознати методи за рационално изчисление и накрая разбрах каква е тайната му? И разбрах, че най-важното е да знам и да мога да прилагам познатите, да намеря нови рационални методи за броене, да знам таблицата за умножение, състава на числата (класове и рангове), законите на аритметичните операции. Освен това потърсете нови начини:

Техники за опростено събиране на числа: (метод на последователно побитово събиране; метод на кръгли числа; метод на разлагане на един от множителите на членове); - Техники за опростено изваждане на числа (метод на последователно побитово изваждане; метод на кръгло число); - Техники за опростено умножение на числа (умножение по единица, последвано от нули; метод на последователно побитово умножение; метод на кръгли числа; метод за разлагане на един от множителите; - Тайните на бързото мислено пресмятане (умножаване на двуцифрено число по 11: при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и в средата се поставя сумата от тези цифри; произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици, и сумата на единици е 10; Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Вероятно има много повече такива методи, така че ще продължа да работя по тази тема през следващата година.

В заключение бих искал да завърша изказването си със следните думи:

Благодаря на всички за вниманието, желая успех!!!