Даден е законът за разпределение на случайната величина x. Дискретна случайна величина и нейната функция на разпределение

Дискретно произволноПроменливите са случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга и които могат да бъдат изброени предварително.
Закон за разпределение
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Серията на разпределение на дискретна случайна променлива е списъкът на нейните възможни стойности и съответните вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е функцията:
,
определяне за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността случайна променлива да приеме X стойности.
Ако една случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Дисперсия на броя на появяванията на събитие в n независими опити
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Начертайте закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (DRV) X – броят k появявания на поне една „шестица“ при n = 8 хвърляния на чифт зарове. Построете многоъгълник на разпределение. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А – „при хвърляне на чифт зарове поне веднъж се появи шестица“. За да се намери вероятността P(A) = p на събитие A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā - „при хвърляне на чифт зарове, шестица никога не се появява.“
Тъй като вероятността „шестица“ да не се появи при хвърляне на един зар е 5/6, тогава според теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата следват схемата на Бернули, така че д.с.в. величина х- номер кпоявата на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от нот к.

Изчисленията, извършени за този проблем, могат удобно да бъдат представени под формата на таблица:
Разпределение на вероятностите d.s.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )

к
Пн(к)

Полигон (многоъгълник) на вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фигурата:

Ориз. Полигон на разпределение на вероятностите d.s.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.s.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е равно на:
М(х) = = 2,4444,
Където xk = к– взета стойност от д.с.в. х. Дисперсия д(х) намираме разпределението по формулата:
д(х) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределението

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава се равнява на вероятността за събитие, което може да се случи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава според теоремата за добавяне вероятността за събитие е равна на сумата от вероятностите 0,3 + 0,1 = 0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условие вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни:




Законът за разпределение има формата:

Определение 2.3. Случайна променлива, означена с X, се нарича дискретна, ако приема краен или изброим набор от стойности, т.е. множество – крайно или изброимо множество.

Нека разгледаме примери за дискретни случайни променливи.

1. Две монети се хвърлят веднъж. Броят на емблемите в този експеримент е случайна променлива х. Възможните му стойности са 0,1,2, т.е. – крайно множество.

2. Записва се броят на повикванията на линейка за даден период от време. Случайна стойност х– брой обаждания. Възможните му стойности са 0, 1, 2, 3, ..., т.е. =(0,1,2,3,...) е изброимо множество.

3. В групата има 25 ученика. В определен ден се записва броят на дошлите ученици - случайна величина х. Възможните му стойности: 0, 1, 2, 3, ...,25 т.е. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Въпреки че всичките 25 души в пример 3 не могат да пропускат часовете, случайната променлива хможе да приеме тази стойност. Това означава, че стойностите на една случайна променлива имат различни вероятности.

Нека разгледаме математически модел на дискретна случайна променлива.

Нека бъде проведен случаен експеримент, който съответства на крайно или изброимо пространство от елементарни събития. Нека разгледаме преобразуването на това пространство върху множеството от реални числа, т.е. нека присвоим на всяко елементарно събитие определено реално число , . Наборът от числа може да бъде краен или изброим, т.е. или

Система от подмножества, която включва всяко подмножество, включително едноточково, образува -алгебра на числово множество ( – крайно или изброимо).

Тъй като всяко елементарно събитие е свързано с определени вероятности p i(в случай на крайно всичко) и , тогава всяка стойност на случайна променлива може да бъде свързана с определена вероятност p i, така че .

Позволявам хе произволно реално число. Нека обозначим R X (x)вероятността случайната променлива хвзе стойност, равна на х, т.е. P X (x)=P(X=x). След това функцията R X (x)може да приема положителни стойности само за тези стойности х, които принадлежат към крайно или изброимо множество , а за всички други стойности вероятността за тази стойност P X (x) = 0.

И така, дефинирахме набора от стойности, -алгебра като система от всякакви подмножества и за всяко събитие ( X = x) сравнява вероятността за всякакви, т.е. конструира вероятностно пространство.

Например, пространството на елементарни събития на експеримент, състоящ се от хвърляне на симетрична монета два пъти, се състои от четири елементарни събития: , където

Когато монетата беше хвърлена два пъти, се появиха две опашки; когато монетата беше хвърлена два пъти, паднаха два герба;

При първото хвърляне на монетата се появи хаш, а при второто - герб;

При първото хвърляне на монетата се появи гербът, а при второто - решетът.

Нека случайната променлива х– брой отпаднали решетки. Той е дефиниран върху и множеството от неговите стойности . Всички възможни подмножества, включително едноточковите, образуват алгебра, т.е. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Вероятност за събитие ( X=x i}, і = 1,2,3, ние определяме като вероятността за възникване на събитие, което е негов прототип:

По този начин, върху елементарни събития ( X = x i) задайте числова функция R X, Така .

Определение 2.4. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е набор от двойки числа (x i, р i), където x i са възможните стойности на случайната променлива, а р i са вероятностите, с които тя приема тези стойности, и .

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности:

			…		…
			…		…

Такава таблица се нарича серия на разпределение. За да се придаде по-визуален вид на серията за разпространение, тя е изобразена графично: на оста оточки x iи начертайте перпендикуляри на дължина от тях p i. Получените точки се свързват и се получава многоъгълник, който е една от формите на закона за разпределение (фиг. 2.1).

По този начин, за да посочите дискретна случайна променлива, трябва да посочите нейните стойности и съответните вероятности.

Пример 2.2.Слотът за пари на машината се задейства всеки път, когато се постави монета с вероятността Р. След като се задейства, монетите не падат. Позволявам х– броят монети, които трябва да бъдат поставени, преди да се задейства слотът за пари на машината. Конструирайте серия от разпределение на дискретна случайна променлива х.

Решение.Възможни стойности на случайна променлива х: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ...Нека намерим вероятностите за тези стойности: стр. 1– вероятността получателят на парите да работи при първото му спускане, и p 1 = p; стр 2 –вероятността да бъдат направени два опита. За да направите това, е необходимо: 1) приемникът на пари да не работи при първия опит; 2) при втория опит се получи. Вероятността за това събитие е (1–р)р. По същия начин и така нататък, . Диапазон на разпространение хще приеме формата

	1	2	3	…	Да се	…
	Р	qp	q 2 p		q r -1 p

Обърнете внимание, че вероятностите r kобразуват геометрична прогресия със знаменателя: 1–p=q, р<1, следователно това вероятностно разпределение се нарича геометричен.

Нека освен това приемем, че е конструиран математически модел експеримент, описан от дискретна случайна променлива хи помислете за изчисляване на вероятностите за възникване на произволни събития.

Нека произволно събитие съдържа краен или изброим набор от стойности x i: А= {x 1, x 2,..., x i, ...).Събитие Аможе да се представи като обединение на несъвместими събития от вида: . След това, използвайки аксиомата 3 на Колмогоров , получаваме

тъй като ние определихме вероятностите за възникване на събитията да бъдат равни на вероятностите за възникване на събития, които са техни прототипи. Това означава, че вероятността от всяко събитие , , може да се изчисли с помощта на формулата, тъй като това събитие може да бъде представено под формата на обединение на събития, където .

След това разпределителната функция F(x) = Р(–<Х<х) се намира по формулата. От това следва, че функцията на разпределение на дискретна случайна променлива хе прекъсната и нараства със скокове, т.е. това е стъпкова функция (фиг. 2.2):

Ако множеството е крайно, тогава броят на членовете във формулата е краен, но ако е изброимо, тогава броят на членовете е изброим.

Пример 2.3.Техническото средство се състои от два елемента, които работят независимо един от друг. Вероятността за повреда на първия елемент за време T е 0,2, а вероятността за повреда на втория елемент е 0,1. Случайна стойност х– броя на неуспешните елементи за време T. Намерете функцията на разпределение на случайната променлива и начертайте нейната графика.

Решение.Пространството на елементарните събития на експеримент, състоящ се от изследване на надеждността на два елемента на техническо средство, се определя от четири елементарни събития , , , : – и двата елемента работят; – първият елемент работи, вторият е дефектен; – първият елемент е дефектен, вторият работи; – и двата елемента са дефектни. Всяко от елементарните събития може да бъде изразено чрез елементарни събития на пространства И , където – първият елемент е работещ; – първият елемент е повреден; – вторият елемент работи; – вторият елемент е повреден. Тогава и тъй като елементите на едно техническо устройство работят независимо един от друг, тогава

8. Каква е вероятността стойностите на дискретна случайна променлива да принадлежат към интервала?

х; значение Е(5); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от сегмента. Построете многоъгълник на разпределение.

1. Известна е функцията на разпределение F(x) на дискретна случайна променлива х:

Задайте закона за разпределение на случайна променлива хпод формата на таблица.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

х	–28	–20	–12	–4
стр	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Вероятността магазинът да има сертификати за качество за цялата гама продукти е 0,7. Комисията провери наличието на удостоверения в четири магазина в района. Съставете закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на магазините, в които не са открити сертификати за качество по време на проверка.

1. За да се определи средното време на горене на електрическите лампи в партида от 350 еднакви кутии, от всяка кутия е взета за изпитване по една електрическа лампа. Оценете отдолу вероятността средната продължителност на горене на избраните електрически лампи да се различава от средната продължителност на горене на цялата партида по абсолютна стойност с по-малко от 7 часа, ако е известно, че стандартното отклонение на продължителността на горене на електрическите лампи в всяка кутия е по-малко от 9 часа.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 500 връзки да се случи следното:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива х.

1. Автоматична машина прави ролки. Смята се, че диаметърът им е нормално разпределена случайна величина със средна стойност 10 mm. Какво е стандартното отклонение, ако с вероятност от 0,99 диаметърът е в диапазона от 9,7 mm до 10,3 mm.

Проба А: 6 9 7 6 4 4

Проба Б: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Вариант 17.

1. Сред 35-те части 7 са нестандартни. Намерете вероятността две произволно взети части да се окажат стандартни.

1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сборът на точките от изпуснатите страни да е кратен на 9.

1. Думата „ПРИКЛЮЧЕНИЕ“ е съставена от карти, всяка с по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените по реда на появяване букви да образуват думата: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ЗАТВОРНИК.

1. Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 2 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Ав един тест е равен на 0,4. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 7 независими опита;
2. събитие Аще се появи не по-малко от 220 и не повече от 235 пъти в серия от 400 опита.

1. Заводът изпрати 5000 висококачествени продукта в базата. Вероятността за повреда на всеки продукт при транспортиране е 0,002. Намерете вероятността не повече от 3 продукта да бъдат повредени по време на пътуването.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 9 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 3 черни топки. 3 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 4 от втората урна.Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. В кутията има 10 молива. Изтеглени са произволно 4 молива. Случайна стойност х– броя на сините моливи сред избраните. Намерете закона за неговото разпределение, началните и централните моменти на 2-ри и 3-ти ред.

1. Отделът за технически контрол проверява за дефекти 475 продукта. Вероятността продуктът да е дефектен е 0,05. Намерете, с вероятност 0,95, границите, в които ще се съдържа броят на дефектните продукти сред тестваните.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,003. Намерете вероятността сред 1000 връзки да се случи следното:
1. поне 4 неправилни връзки;
2. повече от две неправилни връзки.

1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Построяване на графики на функции и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайната променлива X.

1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните проблеми:
1. създаване на вариационна серия;

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

Мода и медиана;

Проба A: 0 0 2 2 1 4

1. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Вариант 18.

1. От 10 лотарийни билета 2 са печеливши. Намерете вероятността от пет билета, взети на случаен принцип, един да бъде печеливш.

1. Хвърлят се три зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е по-голяма от 15.

1. Думата „ПЕРИМЕТЪР“ е съставена от карти, всяка от които има написана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват думата: а) ПЕРИМЕТЪР; б) МЕТЪР.

1. Една урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 4 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Вероятност за настъпване на събитие Ав едно изпитване е равно на 0,55. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 5 предизвикателства;
2. събитие Аще се появи не по-малко от 130 и не повече от 200 пъти в серия от 300 опита.

1. Вероятността консерва да се счупи е 0,0005. Намерете вероятността от 2000 кутии две да имат теч.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 4 черни топки. Две топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и три топки се изтеглят на случаен принцип от втората урна. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са с един и същи цвят.

1. Сред частите, пристигащи за монтаж, 0,1% са дефектни от първата машина, 0,2% от втората, 0,25% от третата и 0,5% от четвъртата. Коефициентите на производителност на машината са съответно 4:3:2:1. Произволно взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността детайлът да е направен на първата машина.

1. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. Електротехникът има три електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0, 1. Електрическите крушки се завинтват в гнездото и се пуска ток. При включване на тока дефектната крушка веднага изгаря и се заменя с друга. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя на тестваните електрически крушки.

1. Вероятността за попадение в цел е 0,3 за всеки от 900 независими изстрела. Използвайки неравенството на Чебишев, изчислете вероятността целта да бъде уцелена поне 240 пъти и най-много 300 пъти.

1. При телефонна централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 800 връзки да се случи следното:
1. поне три неправилни връзки;
2. повече от четири неправилни връзки.

1. Случайната променлива се определя от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайната променлива X. Начертайте графики на функциите и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива Х.

1. Случайната променлива се определя от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните проблеми:
1. създаване на вариационна серия;
2. изчисляване на относителни и натрупани честоти;
3. съставят емпирична функция на разпределение и я начертаят;
4. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба А: 4 7 6 3 3 4

1. Използвайки пример B, решете следните задачи:
1. създаване на групирани вариационни серии;
2. изграждане на хистограма и честотен полигон;
3. изчислете числените характеристики на вариационните серии:

· извадково средно;

· дисперсия на извадката;

стандартно отклонение на извадката;

· мода и медиана;

Проба Б: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Вариант 19.

1. В обекта работят 16 жени и 5 мъже. На случаен принцип бяха избрани 3 души с персоналните им номера. Намерете вероятността всички избрани хора да бъдат мъже.

2. Хвърлят се четири монети. Намерете вероятността само две монети да имат „герб“.

3. Думата “ПСИХОЛОГИЯ” е съставена от карти, на всяка от които е изписана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПЕРСОНАЛ.

4. Урната съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се изтеглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:

а. 3 бели топки;

b. по-малко от 3 бели топки;

° С. поне една бяла топка.

5. Вероятност за настъпване на събитие Ав един опит е равен на 0,5. Намерете вероятностите за следните събития:

а. събитие Апоявява се 3 пъти в серия от 5 независими опита;

b. събитие Аще се появи най-малко 30 и не повече от 40 пъти в серия от 50 опита.

6. Има 100 машини с еднаква мощност, работещи независимо една от друга в един и същ режим, при който задвижването им е включено за 0,8 работни часа. Каква е вероятността във всеки един момент от времето да бъдат включени от 70 до 86 машини?

7. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 8 бели и 3 черни топки. 4 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 1 топка от втората. Намерете вероятността сред изтеглените топки да има само 4 черни топки.

8. В салона за продажба на автомобили ежедневно се приемат автомобили от три марки в обеми: „Москвич” – 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% от всички внесени автомобили. Сред автомобилите Москвич 0,5% са с устройство против кражба, Ока – 0,01%, Волга – 0,1%. Намерете вероятността взетата за проверка кола да има устройство против кражба.

9. Числата и се избират на случаен принцип върху сегмента. Намерете вероятността тези числа да удовлетворяват неравенствата.

10. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

х
стр	0,1	0,2	0,3	0,4

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х; значение Е(2); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя от тях не е предварително известна. Следователно за случайна променлива можете да посочите само стойности, една от които тя определено ще приеме в резултат на експеримент. По-нататък ще наричаме тези стойности възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

Отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделене случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани, се нарича изброимо. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nпродукти. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатое случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е месечното потребление на електроенергия на предприятието.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височината с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна променлива е интервалът от 0 до 2 м.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и законът за разпределение е установен.

Закон за разпределение на случайна величина е релация, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността и характеристична функция се използват като закони на разпределение.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Съгласно закона за разпределение може да се прецени преди експеримента кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде зададен под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайната променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събития X 1, X 2,..., X n, състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1, x 2,... x n, са непоследователни и единствените възможни (тъй като в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серията на разпределение може да бъде изобразена графично, ако стойностите на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности са нанесени по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерЛотарията включва: автомобил на стойност 5000 den. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единици, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици За 7 дни са продадени общо 1000 билета. единици Съставете закон за разпределение на нетните печалби, получени от участник в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетните печалби на билет - са равни на 0-7 = -7 пари. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако в билета има печалби съответно от видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

На тази страница сме събрали примери за образователни решения проблеми за дискретни случайни променливи. Това е доста обширен раздел: изучават се различни закони за разпределение (биномиални, геометрични, хипергеометрични, Поасон и други), свойства и числени характеристики; за всяка серия на разпределение могат да бъдат изградени графични изображения: многоъгълник (многоъгълник) на вероятностите, функция на разпределение.

По-долу ще намерите примери за решения относно дискретни случайни променливи, в които трябва да приложите знания от предишни раздели на теорията на вероятностите, за да съставите закон за разпределение и след това да изчислите математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение, да конструирате функция на разпределение, да отговорите въпроси относно DSV и др. P.

Примери за популярни закони за разпределение на вероятностите:

Калкулатори за DSV характеристики

• Изчисляване на математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение на DSV.

Решени проблеми относно DSV

Разпределения, близки до геометричните

Задача 1.По пътя на превозното средство има 4 светофара, всеки от които забранява по-нататъшното движение на превозното средство с вероятност 0,5. Намерете реда на разпределение на броя светофари, преминали от автомобила преди първата спирка. Какви са математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива?

Задача 2.Ловецът стреля по дивеча до първото попадение, но успява да даде не повече от четири изстрела. Начертайте закон за разпределение на броя пропуски, ако вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,7. Намерете дисперсията на тази случайна променлива.

Задача 3.Стрелецът с 3 патрона стреля по целта до първото попадение. Вероятностите за попадение за първи, втори и трети изстрел са съответно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - брой оставащи касети. Съставете серия на разпределение на случайна променлива, намерете математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение на случайната променлива, конструирайте функцията на разпределение на случайната променлива, намерете $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Задача 4.Кутията съдържа 7 стандартни и 3 дефектни части. Изваждат последователно частите до появата на стандартната, без да ги връщат обратно. $\xi$ е броят на извлечените дефектни части.
Начертайте закон на разпределение за дискретна случайна променлива $\xi$, изчислете нейното математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение, начертайте многоъгълник на разпределение и графика на функцията на разпределение.

Задачи с независими събития

Задача 5.На пореден изпит по теория на вероятностите се явиха 3-ма студенти. Вероятността първият да издържи изпита е 0,8, вторият - 0,7, а третият - 0,9. Намерете серията на разпределение на случайната променлива $\xi$ на броя издържали изпита студенти, начертайте функцията на разпределение, намерете $M(\xi), D(\xi)$.

Задача 6.Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8 и намалява с всеки изстрел с 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на попаденията в мишена при три изстрела. Намерете очакваната стойност, дисперсията и S.K.O. тази случайна променлива. Начертайте графика на функцията на разпределение.

Задача 7.Произвеждат се 4 изстрела по мишената. Вероятността за попадение се увеличава както следва: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$ - броя на попаденията. Намерете вероятността $X \ge 1$.

Задача 8.Хвърлят се две симетрични монети и се брои броят на гербовете от двете горни страни на монетите. Разглеждаме дискретна случайна променлива $X$ - броят на гербовете на двете монети. Запишете закона за разпределение на случайната променлива $X$, намерете нейното математическо очакване.

Други проблеми и закономерности на разпространение на DSV

Задача 9.Двама баскетболисти правят три удара в коша. Вероятността за попадение за първия баскетболист е 0,6, за втория – 0,7. Нека $X$ е разликата между броя успешни удари на първия и втория баскетболист. Намерете реда на разпределение, режима и функцията на разпределение на случайната променлива $X$. Построете многоъгълник на разпределение и графика на функцията на разпределение. Изчислете очакваната стойност, дисперсия и стандартно отклонение. Намерете вероятността за събитието $(-2 \lt X \le 1)$.

Проблем 10.Броят чуждестранни кораби, пристигащи ежедневно за товарене в определено пристанище, е случайна променлива $X$, дадена както следва:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) уверете се, че серията за разпространение е посочена,
Б) намерете функцията на разпределение на случайната променлива $X$,
В) ако повече от три кораба пристигнат в даден ден, пристанището поема отговорност за разходите поради необходимостта от наемане на допълнителни шофьори и товарачи. Каква е вероятността пристанището да понесе допълнителни разходи?
Г) намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива $X$.

Проблем 11.Хвърлят се 4 зара. Намерете математическото очакване на сумата от броя точки, които ще се появят от всички страни.

Проблем 12.Двамата се редуват да хвърлят монета, докато първо се появи гербът. Играчът, получил герба, получава 1 рубла от другия играч. Намерете математическото очакване за победа за всеки играч.