Какъв е възелът на взаимно простите числа? Най-голям общ делител

Естествените числа a и b се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ делител е 1 (НОД(a; b) = 1). С други думи, ако числата a и b нямат общи множители, различни от 1, тогава те са взаимно прости.

Примери за двойки взаимно прости числа: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т.н. Можете да посочите няколко взаимно прости числа, например числата 7, 9, 16 са взаимно прости.

Често взаимно простите числа се обозначават по следния начин: (a, b) = 1. Например, (23, 30) = 1. Тази нотация е, така да се каже, съкратена нотация за най-големия общ делител на две числа (НОД(23 , 30) = 1) и казва, че техният най-голям общ делител е 1.

Две съседни естествени числа винаги ще бъдат относително прости.Например 15 и 16 са двойка относително прости числа, точно като 16 и 17. Това е лесно за разбиране, ако вземете предвид „правилото“, че ако две естествени числа a и b се делят на едно и също естествено число, по-голямо отколкото 1 ( n > 1), то разликата им също трябва да се дели на това число n (тук имаме предвид, че a, b и разликата им се делят на цяло число, т.е. те са кратни на числото n). Но ако a и b са две съседни числа (нека a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

От определението за взаимно прости числа и прости числа следва също, че различните прости числа винаги са взаимно прости. В крайна сметка делителите на всяко просто число са само то и 1.

Свойства на взаимно простите числа

• Най-малкото общо кратно (LCM) на двойка взаимно прости числа е равно на техния продукт.Например (3, 8) = 1 (това означава взаимно прости), следователно техният LCM е 3 × 8 = 24 (LCM (3, 8) = 24). Наистина, няма да намерите по-малко число от 24, което да е кратно както на 3, така и на 8.
• Ако числата a и b са взаимно прости и числото c е кратно както на a, така и на b, то това число също ще бъде кратно на произведението ab. Това може да се запише така: ако c a и c b, тогава c ab. Например, (3, 10) = 1, числото 60 е кратно както на 3, така и на 10 и също е кратно на 30 (3 × 10).
• Ако числата a и b са взаимно прости и числото c е кратно на b (c b ), тогава произведението ac също ще бъде кратно на b (ac b ). Например (2, 17) = 1, нека c = 34. Числото 34 е кратно на b = 17, тогава ac ​​= 2 × 34 = 68. Проверяваме: 68 ÷ 17 = 4, т.е. то се дели на цяло, което означава, че 68 е кратно на 17.

Обикновено има повече имоти, отколкото са изброени тук. Освен това свойствата на взаимно простите числа се формулират по различни начини. Може също да е необходимо да се докажат тези свойства (в този случай не се дава доказателство).

Най-големият общ делител на взаимно прости числа винаги е единица.

Примери за взаимно прости числа възли.

НОД на числата 11 и 7

Числата 11 и 7 са относително прости и в същото време прости.

Числата 11 и 7 нямат други общи множители освен 1.

gcd(11, 7) = 1

НОД на числата 11 и 15

Числата 11 и 15 са относително прости. Освен това 11 е просто число, а 15 е съставно число.

Делителите на 11 са 1 и 11.

Делителите на 15 са 1, 3, 5, 15.

Както можете да видите, единственият общ множител на числата 11 и 15 е числото 1. Следователно единицата е НОД на числата 11 и 15:

gcd(11, 15) = 1

НОД на числата 10 и 21

Числата 10 и 21 са относително прости. Освен това и числото 10, и числото 21 са съставни.

Факторите на 10 са 1, 2, 5, 10.

Факторите на 21 са 1, 3, 7, 21.

Както можете да видите, единственият общ множител на числата 10 и 21 е числото 1. Следователно единицата е НОД на числата 10 и 21:

НОД(21, 10) = 1

НОД на числата 16 и 23

Числата 16 и 23 са относително прости. Освен това 23 е просто число, а 16 е съставно число.

Задача: Намерете НОД и НОК на числа по най-удобния начин:

а) 12 и 40; б) 9 и 40; в) 12 и 72.

За задачата се дават 5 минути.

Какъв е най-удобният начин за решаване на всяко упражнение?

Анализ чрез слайд.

а) По-удобно е да се реши чрез разлагане на прости множители

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

НОД(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

б) Числата 9 и 40 имат ли общи множители? (има, 1.)

Как се наричат ​​тези числа? ? (взаимно прости.)

Каква е gcd на тези числа? ? (НОД(9,40) = 1)

Какъв е LCM на тези числа? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

в) Какво можете да кажете за числата 12 и 72? ? (72 делено на 12) Какво правило знаем? (ако едно число се дели на друго, тогава GCD = най-малкото число и LCM = най-голямото)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Проверете получените данни със стандарта, който лежи на бюрото на учителя.

FO: Те се оценяват според критериите, записани на стандартния лист. Като поставите отметка в квадратчето до критерия.

7 отметки – високо ниво

6-4 тикчета – средно ниво

1-3 отметки – ниско ниво

Физминутка

Те бързо се изправиха, усмихнаха се,

Те се дърпаха все по-високо и по-високо.

Е, изправете рамене,

Повдигнете, спуснете.

Завийте надясно, завийте наляво,

Докоснете ръцете си с коленете.

Те седнаха, станаха, седнаха, станаха,

И хукнаха на място.

Въпрос на учителя: Къде вече използваме знанията си за GCD и LCA на числа?

При решаване на проблеми.

Пред тях на бюрото на учителя има „Задача Лайка“, състояща се от 21 венчелистчета.

Red Petal – задачи от ниво C.

Жълто венчелистче – задачи от ниво Б.

Зелено венчелистче – задачи от ниво А.

	Маша купи яйца за Мечето от магазина. По пътя към гората тя разбрала, че броят на яйцата се дели на 2,3,5,10 и 15. Колко яйца е купила Маша?
	Бяха събрани букети от 210 бордо, 126 бели и 294 червени рози, като всеки букет съдържа равен брой рози от същия цвят. Какъв е най-големият брой букети, направени от тези рози и колко рози от всеки цвят има в един букет?
	Листът от картон има формата на правоъгълник, чиято дължина е 48 см, а ширината е 40 см. Този лист трябва да бъде нарязан на равни квадрати без отпадъци. Кои са най-големите квадрати, които могат да се получат от този работен лист и колко?
	Колко войници маршируват на плаца, ако маршируват в строй от 12 души в редица и се престроят в колона от 18 души в редица?
	От пристанищния град започват три туристически разходки с корабче, първото от които е с продължителност 15 дни, второто – 20 и третото – 12 дни. След като се върнаха в пристанището, корабите потеглиха отново в същия ден. Днес от пристанището тръгнаха кораби и по трите маршрута. След колко дни отново ще плават заедно за първи път?Колко пътувания ще направи всеки кораб?
	Камината в стаята трябва да бъде облицована с плочки във формата на квадрат. Колко плочки ще са необходими за камина с размери 195 ͯ 156 cm и какви са най-големите размери на плочките?
	Стъпката на Володя е 75 см, а на Катя - 60 см. На какво минимално разстояние ще направят и двамата цяло число крачки?
	За новогодишните подаръци купихме 180 ябълки, 90 портокала и 900 бонбона. Всички деца получиха еднакви подаръци. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци, направени от тези плодове и сладки?
	Градински парцел с размери 54 ͯ 48 m около периметъра трябва да бъде ограден, за да направите това, трябва да поставите бетонни стълбове на равни интервали. Колко стълба трябва да се донесат за обекта и на какво максимално разстояние един от друг ще бъдат поставени стълбовете?
	Намерете: LOC(360,252).
	За новогодишните подаръци закупихме 78 шоколадови блокчета, 156 джинджифилови сладки, 52 пакета бисквити, 104 портокала и 130 ябълки. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци, които могат да бъдат събрани?
	Необходимо е да се направи кутия с квадратно дъно за съхранение на кутии с размери 16 ͯ 20 cm. Каква трябва да бъде най-късата страна на квадратно дъно, за да паснат кутиите един до друг в кутия?
	Изчислете GCD(720,216), LCM(720,216).
	Какво е съотношението на LCM (308.264) към GCD (308.264)?
	За поставянето на елхата закупихме ядки, сладки и меденки - общо 760 броя. Те взеха 80 ядки повече от сладкиши и 120 меденки по-малко от ядки. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци за деца, които могат да бъдат направени от този запас?
	Намерете LOC(84,160,96),
	Намерете частното от деленето на LCM(24, 2004) на НОД на същите числа.
	Намерете най-малкото естествено число, кратно на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Намерете НОД (56, 72).
	На масата има книги, чийто брой е по-малък от 100. Колко са книгите, ако се знае, че могат да се свържат в пакети по 3, 4 и 5 броя?
	По-малко от 600, но повече от 500 чинии бяха докарани в магазина. Когато започнаха да ги редят на десетки, от пълния брой на десетките липсваха 3 чинии, а когато започнаха да ги редят на десетки (по 12 чинии), останаха 7 чинии. Колко чинии донесохте в магазина?

FO:Преобладаващият брой червени венчелистчета показва високо ниво на абсорбция, жълто - средно ниво на абсорбция и зелено - ниско ниво на абсорбция.