Синус, косинус, тангенс: какво е това? Как да намерим синус, косинус и тангенс? Универсално тригонометрично заместване, извеждане на формули, примери.
Няма да ви убеждавам да не пишете измамници. пишете! Включително измамни листове по тригонометрия. По-късно планирам да обясня защо са необходими измамни листове и как са полезни измамните листове. А тук - информация как не да се учи, а да се запомнят някои тригонометрични формули. И така - тригонометрия без измамник! Използваме асоциации за запаметяване.
1. Формули за добавяне:
косинусите винаги "вървят по двойки": косинус-косинус, синус-синус.
И още нещо: косинусите са „неадекватни“. Те „всичко не е наред“, затова сменят знаците: „-“ на „+“ и обратно.
Синуси - "микс": синус-косинус, косинус-синус.
2. Формули за сбор и разлика:
косинусите винаги "вървят по двойки". Добавяйки два косинуса - "кифли", получаваме чифт косинуси - "колобки". И като извадим, определено няма да получим колобки. Получаваме няколко синуси. Все още с минус напред.
Синуси - "микс" :
3. Формули за превръщане на произведение в сбор и разлика.
Кога получаваме чифт косинуси? При добавяне на косинусите. Ето защо
Кога ще получим чифт синуси? При изваждане на косинуси. Оттук:
„Смесването“ се получава както чрез добавяне, така и чрез изваждане на синуси. Кое е по-забавно: добавяне или изваждане? Точно така, фолд. И за формулата вземете добавка:
В първата и третата формула в скоби - сумата. От пренареждането на местата на членовете сборът не се променя. Редът е важен само за втората формула. Но за да не се объркаме, за по-лесно запомняне, и в трите формули в първите скоби вземаме разликата
и второ, сумата
Чаршафите в джоба ви осигуряват спокойствие: ако забравите формулата, можете да я отпишете. И те дават увереност: ако не успеете да използвате измамника, формулите могат лесно да бъдат запомнени.
Справочни данни за тригонометричните функции синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица със синуси и косинуси, производни, интеграли, разширения в редове, секанс, косеканс. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.
Геометрично определение на синус и косинус
|BD|- дължината на дъгата на окръжност с център в точка А.
α
е ъгъл, изразен в радиани.
Определение
синуситее тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Приети обозначения
;
;
.
;
;
.
Графика на функцията синус, y = sin x
Графика на функцията косинус, y = cos x
Свойства на синуса и косинуса
Периодичност
Функции y= грях хи y= cos xпериодичен с период 2 π.
Паритет
Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.
Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване
Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателството за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).
| y= грях х | y= cos x | |
| Обхват и приемственост | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Възходящ | ||
| Спускане | ||
| Максимуми, y= 1 | ||
| Минимуми, y = - 1 | ||
| Нули, y= 0 | ||
| Точки на пресичане с оста y, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Основни формули
Сума от синус и косинус на квадрат
Формули за синус и косинус за сбор и разлика
;
;
Формули за произведение на синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика
Изразяване на синус през косинус
;
;
;
.
Изразяване на косинус чрез синус
;
;
;
.
Изразяване чрез тангенс
; .
За имаме:
;
.
в:
;
.
Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите
Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за някои стойности на аргумента. 
Изрази чрез комплексни променливи
;
Формула на Ойлер
{ -∞ < x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратни функции
Функциите, обратни на синус и косинус, са съответно арксинус и арккосинус.
Арксинус, арксинус
Аркосинус, аркосус
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.
- със сигурност ще има задачи по тригонометрия. Тригонометрията често не се харесва, защото трябва да натъпче огромно количество трудни формули, гъмжащи от синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Сайтът вече веднъж даде съвет как да запомните забравена формула, използвайки примера на формулите на Ойлер и Пийл.
И в тази статия ще се опитаме да покажем, че е достатъчно да знаете твърдо само пет от най-простите тригонометрични формули и да имате обща представа за останалите и да ги изведете по пътя. Това е като с ДНК: пълните рисунки на готово живо същество не се съхраняват в молекулата. Той съдържа по-скоро инструкции за сглобяването му от наличните аминокиселини. Така че в тригонометрията, знаейки някои общи принципи, ще получим всички необходими формули от малък набор от тези, които трябва да имаме предвид.
Ще разчитаме на следните формули:
От формулите за синус и косинус на сумите, знаейки, че функцията косинус е четна и че функцията синус е нечетна, замествайки -b с b, получаваме формули за разликите:
- Синус от разликата: грях(a-b) = гряхаcos(-б)+cosагрях(-б) = гряхаcosb-cosагряхb
- косинусова разлика: cos(a-b) = cosаcos(-б)-гряхагрях(-б) = cosаcosb+гряхагряхb
Поставяйки a \u003d b в същите формули, получаваме формулите за синуса и косинуса на двойните ъгли:
- Синус на двоен ъгъл: грях2а = грях(а+а) = гряхаcosа+cosагряха = 2гряхаcosа
- Косинус на двоен ъгъл: cos2а = cos(а+а) = cosаcosа-гряхагряха = cos2а-грях2а
Формулите за други множество ъгли се получават по подобен начин:
- Синус на троен ъгъл: грях3а = грях(2a+a) = грях2аcosа+cos2агряха = (2гряхаcosа)cosа+(cos2а-грях2а)гряха = 2гряхаcos2а+гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряхаcos2а-грях 3 а = 3 гряха(1-грях2а)-грях 3 а = 3 гряха-4грях 3а
- Косинус на троен ъгъл: cos3а = cos(2a+a) = cos2аcosа-грях2агряха = (cos2а-грях2а)cosа-(2гряхаcosа)гряха = cos 3а- грях2аcosа-2грях2аcosа = cos 3а-3 грях2аcosа = cos 3 a-3 (1- cos2а)cosа = 4cos 3а-3 cosа
Преди да продължим, нека разгледаме един проблем.
Дадено: ъгълът е остър.
Намерете неговия косинус, ако
Решение, дадено от един ученик:
защото , Че гряха= 3,а cosа = 4.
(От математическия хумор)
И така, определението за тангенс свързва тази функция както със синус, така и с косинус. Но можете да получите формула, която дава връзката на тангенса само с косинуса. За да го извлечем, вземаме основната тригонометрична идентичност: грях 2 а+cos 2 а= 1 и го разделете на cos 2 а. Получаваме:
Така че решението на този проблем би било:
(Тъй като ъгълът е остър, знакът + се взема при извличане на корена)
Формулата за тангенса на сумата е друга, която е трудна за запомняне. Нека го изведем така:
незабавно изход и
От формулата за косинус за двоен ъгъл можете да получите формулите за синус и косинус за половин ъгъл. За да направите това, от лявата страна на формулата за двоен ъглов косинус:
cos2
а = cos 2
а-грях 2
а
добавяме единица, а вдясно - тригонометрична единица, т.е. сбор от квадрати на синус и косинус.
cos2а+1 = cos2а-грях2а+cos2а+грях2а
2cos 2
а = cos2
а+1
изразяване cosапрез cos2
аи извършвайки промяна на променливи, получаваме:
Знакът се взема в зависимост от квадранта.
По същия начин, като извадим единица от лявата страна на равенството и сумата от квадратите на синуса и косинуса от дясната страна, получаваме:
cos2а-1 = cos2а-грях2а-cos2а-грях2а
2грях 2
а = 1-cos2
а
И накрая, за да преобразуваме сумата от тригонометрични функции в продукт, използваме следния трик. Да предположим, че трябва да представим сумата от синуси като продукт гряха+гряхb. Нека въведем променливи x и y, така че a = x+y, b+x-y. Тогава
гряха+гряхb = грях(x+y)+ грях(x-y) = гряхх cos y+ cosх грях y+ гряхх cosд- cosх грях y=2 гряхх cosг. Нека сега изразим x и y чрез a и b.
Тъй като a = x+y, b = x-y, тогава . Ето защо
Можете да оттеглите веднага
- Формула за разделяне произведения на синус и косинус V количество: гряхаcosb = 0.5(грях(a+b)+грях(а-б))
Препоръчваме ви да практикувате и да извеждате формули за превръщане на произведението от разликата на синусите и сбора и разликата на косинусите в произведение, както и за разделяне на произведенията на синусите и косинусите в сбор. След като направите тези упражнения, вие ще овладеете напълно умението за извеждане на тригонометрични формули и няма да се изгубите дори в най-трудния контрол, олимпиада или тестване.
Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ви позволяват да преминете от сумата на посочените ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Веднага отбелязваме, че не трябва да бъркате формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сумата и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме тяхното извеждане и показваме примери за приложение за конкретни проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси
Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика за синуси
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Формули за сбор и разлика за косинуси
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Даваме формулировка за всяка формула.
Дефиниции на формули за сбор и разлика за синуси и косинуси
Сумата от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.
Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.
Сборът от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.
Разлика на косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.
Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси
За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Представяме ги по-долу
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Също така представяме самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.
Извеждане на формулата за сбор от синуси
В сумата sin α + sin β заместваме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. Вземете
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз и формулата за синус на ъгловите разлики към втория (вижте формулите по-горе)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Стъпките за извеждане на останалите формули са подобни.
Извеждане на формулата за разликата на синусите
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Извеждане на формулата за сбор от косинуси
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Извеждане на формулата за косинус разлика
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Примери за решаване на практически задачи
Като начало ще проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2 , β = π 6 . Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо използваме таблицата с основните стойности на тригонометричните функции и след това прилагаме формулата за сумата на синусите.
Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим стойността на разликата между синусите на тези ъгли.
Пример 2. Прилагане на формулата за синусова разлика
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат формули за преход от сума към произведение. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения и при преобразуване на тригонометрични изрази.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и ви позволяват да намерите всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.
Веднага изброяваме основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Записваме ги в таблица, а по-долу даваме извеждането на тези формули и даваме необходимите обяснения.
Навигация в страницата.
Връзка между синус и косинус на един ъгъл
Понякога те говорят не за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичностмил 
. Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата 
И 
следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще обсъдим това по-подробно в следващите параграфи.
Тоест равенството е от особен интерес, което получи името на основната тригонометрична идентичност.
Преди да докажем основното тригонометрично тъждество, даваме неговата формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на едно. Сега нека го докажем.
Основната тригонометрична идентичност се използва много често в преобразуване на тригонометрични изрази. Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-малко често основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.
Тангенс и котангенс през синус и косинус
Тъждества, свързващи тангенса и котангенса със синуса и косинуса на един ъгъл на формата и 
непосредствено следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Всъщност, по дефиниция, синусът е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. 
, а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. 
.
Поради тази очевидност на тъждествата и често определенията за тангенс и котангенс се дават не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синуса и косинуса. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.
В заключение на този раздел трябва да се отбележи, че идентичностите и важат за всички такива ъгли, за които тригонометричните функции, съдържащи се в тях, имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко друго освен (в противен случай знаменателят ще бъде нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.
Връзка между тангенс и котангенс
Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че това се извършва за всякакви ъгли, различни от , в противен случай или тангенсът, или котангенсът не са определени.
Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде 
. Доказателството можеше да се проведе по малко по-различен начин. Тъй като и , Че 
.
Тангенсът и котангенсът на един ъгъл, при който те имат смисъл, е.
