Симетрията като критерий за външна красота. Асиметрия на лицето: причини за патологични нарушения и методи за тяхното коригиране

)
Дата на: 2017-10-17 Прегледи: 18 963 степен: 5.0

Цел на обучението:коригирайте асиметрията на лицето в 3 точки (вежди, очи, устни).

Човешкото лице не е симетрично, точно както тялото, и в това няма нищо изненадващо.

Има обаче случаи, когато асиметрията на лицето е силно изразена и ви създава психологически дискомфорт. Веднага ще направя резервация, че не всички видове асиметрия могат да бъдат коригирани с помощта на упражнения.

Асиметрията не може да се коригира с упражнения, ако:

• причинена е от костни деформации;
• патологични деформации;
• много "стар" неврит на лицевия нерв;
• в някои случаи, последствията от инжекциите с ботокс, така нареченият страничен ефект.

Причини за асиметрия

Също така, асиметрията на лицето до голяма степен зависи от състоянието на вашето тяло. За връзката между лице и тяло.

С две думи, при сколиоза, лордоза, тазови изкривявания и други изменения в опорно-двигателния апарат се получава асиметрия и нейното коригиране трябва да започне от петите!

Но АСИМЕТРИЯТА може да бъде резултат от прекомерни изражения на лицето, лицеви лудории и поведенчески навици. Всичко това се разкрива при внимателно вглеждане в лицето ви във видеото например.

Усмихва се, говори, дъвче само от едната страна или постоянно повдига една от веждите. Помните ли съществуването на мускулна памет? И тя помни за вас и дърпа активната вежда нагоре през цялото време, а едното око прави по-малко визуално.

Как да измерим асиметрията?

Как да проверите симетрията на лицето? Трябва снимка! Отместете косата си от лицето си, помолете ви да направите снимка. Снимката е като паспорт: ние не се усмихваме, не се опитваме да изглеждаме готини на снимката.

Взимаме линийка и начертаваме хоризонтална линия над очите (в зениците), над веждите, над устните. Започнете с очите. В края на краищата нашият вътрешен нивелир (нивелир) клони към хоризонта точно в областта на очите, така че да можете да ходите гладко и да не падате.

И сега разглеждаме 3-те получени реда. Може би едната вежда ще бъде по-висока, а другата по-ниска, ъглите на устните може да не са на една и съща линия.

Не забравяйте, че има допустими стойности на асиметрия и това е напълно естествено и не изисква корекция.

Там, където има отклонения от хоризонта, трябва да работите с мускулите, а за някои ще бъде достатъчно да коригирате поведенческите стереотипи и всичко ще си дойде на мястото на лицето.

Упражнения за лице с асиметрия

Нека да преминем към упражненията, Между другото, те могат да се комбинират с всеки от комплексите:,. Просто ги добавете към вашата програма за обучение. Например, изпълнявайки, след това правете упражнения за коригиране на асиметрията на същата зона.

В примера разглеждам опцията за коригиране на едностранна асиметрия на лицето, когато частта от лицето, разположена по-ниско спрямо половината му, работи по-зле, усещате го по-малко! Например лявата вежда, лявото око, левият ъгъл на устната са по-ниски, отколкото от дясната страна на лицето - тази асиметрия се нарича ЕДНОСТРАННА.

Асиметрията на лицето може да бъде диагонална, сложна. В такива случаи е по-добре да изберете упражнения индивидуално.

Препоръчват се 30 повторения, на последния акаунт статично забавяне 5 секунди. Обучението се основава на изпълнението на "BASE" - основни упражнения с добавяне на специални упражнения за коригиране на асиметрията на определена зона.

Чело. Корекция на вежди

Упражнение номер 1: Повдигане на веждите нагоре

Това е основното упражнение. Когато го правите, обърнете внимание на веждите? Кое става по-лошо? Кое чувстваш по-малко?

Поставете пръстите си върху веждите си. Избутайте веждите си с усилие, съпротивлявайте се с пръсти. Уверете се, че по време на упражнението няма хоризонтални бръчки на челото, опитайте се да се отпуснете и спуснете раменете си, плътно фиксирайте кожата над веждите. След като завършите упражнението, потупайте челото си с пръсти.

Нека да преминем към набор от упражнения за коригиране на различни позиции на височината на веждите:

Упражнение номер 2: последователно повдигане на веждите

На челото, над веждите, поставете пръстите си и фалангите леко придържайте кожата, така че да не се събира в гънки. Сега повдигнете веждите си последователно: после лявата, после дясната.

Почувствайте коя от веждите се повдига по-зле или когато повдигнете една от веждите им, възниква напрежение и дискомфорт. Веждата, която се повдига по-зле, трябва да се издърпа на 2 броя: 1-повдигната, 2-опъната. След като завършите упражнението, потупайте челото си с пръсти.

Упражнение номер 3: повдигане на една вежда

След като сте намерили вежда, която работи по-зле и е разположена по-ниско, тя трябва да бъде "обучена" отделно.

Фиксираме веждата, която се намира отгоре, с ръка, а другата повдигаме нагоре, като държим кожата над веждата с фалангите на пръстите, така че да не се събира в гънки. След като завършите упражнението, потупайте челото си с пръсти.

очи

Общо видео:

Упражнение номер 1: за укрепване на горния клепач

Това е основното упражнение. По време на изпълнението проследете усещанията под показалците, под един от пръстите има пулсация, треперенето на мускула ще бъде по-слабо изразено. Когато затворите това око, опитайте се да натиснете малко по-силно долния клепач с горния клепач. ВАЖНО! Не натискайте силно с пръсти и не разтягайте кожата в различни посоки!

Хващаме ъглите на очите с пръсти и с малко усилие затваряме очи, като притискаме горния клепач върху долния. Опитайте се да запазите веждите на място и да не пълзите надолу зад горния клепач, отпуснете челото си. След това отваряме очи. След като направите упражнението, мигайте с очи.

Упражнение номер 2: алтернативна работа с очите

Да затворим очи един по един. Поставяме показалеца и средния пръст в ъглите на очите, не натискайте и не дърпайте кожата. Затваряме очи на свой ред: наляво, надясно, наляво .... Когато затворите едното око, другото трябва да остане отворено. Не забравяйте да отпуснете челото, така че веждата да не пада заедно с горния клепач. След като направите упражнението, мигайте с очи.

Ъглите на устните

Общо видео:

Упражнение номер 1: помага за повдигане на увисналите ъгълчета на устните

Това е основното упражнение. Пръстите фиксират назолабиалната зона (от ъгъла на устата до ноздрите). Повдигаме ъглите на устните нагоре, сякаш се усмихваме, с пръсти се съпротивляваме, движението на ъглите на устните се издига под очите, докато центърът на устните е отпуснат. Опитайте се да не „карате“ пръстите си по лицето си; когато повдигате, ъгълът на устната лежи върху пръстите ви.

Упражнение номер 2 последователно повдигане на ъглите на устните

Пръстите фиксират назолабиалната зона (от ъгъла на устата до ноздрите). Повдигаме ъглите на устните нагоре ЕДНО, сякаш се усмихваме с единия ъгъл на устната, съпротивляваме се с пръсти, движението на ъглите на устните се издига под очите, докато центърът на устните е отпуснат. Опитайте се да не „карате“ пръстите си по лицето си; когато повдигате, ъгълът на устната лежи върху пръстите ви.

Упражнение номер 3 повдигане на единия ъгъл на устната

С пръсти фиксираме назолабиалната зона (от ъгъла на устата до ноздрата) от страната на ъгъла на устната, който се намира отдолу. Просто фиксираме противоположния ъгъл на устата с ръка, за да не се включва в работата. Повдигаме ъгъла на устните нагоре, сякаш се усмихваме с единия ъгъл на устната, съпротивляваме се с пръсти, движението на ъгъла на устните се издига под окото, докато центърът на устните е отпуснат. Опитайте се да не „карате“ пръстите си по лицето си; когато повдигате, ъгълът на устната лежи върху пръстите ви.

P.S.Разработвам индивидуални програми за обучение за фейсбук билдинг, провеждам занятия по скайп. Ако си заинтересован -

Установяването на лицева асиметрия се е превърнало в своеобразна сензация, тъй като асиметрията рядко е очевидна. Оказа се, че хората се различават както по степента на асиметрия, така и по чертите на лицето. Това беше потвърдено не само от измервания, но и от сравнение на портрети, съставени от снимки на дясната и лявата половина (една от тях трябва да бъде обърната с главата надолу при отпечатване) с обикновен портрет на човек, направен точно отпред. Получавате напълно различни лица.

В света няма идеална симетрия. Грешка е да се смята, че симетрията на лицето е задължително условие за неговата красота. Смесицата от наследствени черти не може да не се отрази в лицето на детето. За оценка на красотата на лицето е важна комбинация от черти и лека асиметрия, която между другото е присъща на лицата на всички хора и изобщо не намалява достойнствата на портрета. Дори в скулптурите на Венера Милоска и Аполон Белведерски лицата им нямат пълна симетрия. С основание можем да кажем, че няма нито един човек с неоспорима строга симетрия на дясната и лявата половина. Вероятно това е причината Клавдий Гален да пише, че „истинската красота се изразява в съвършенството на целта и че първата цел на всички части е целесъобразността на структурата“. Несъмнено П. Ф. Лесгафт е прав, когато пише, че „с хармоничното развитие на всички мускули и мускулни групи лицето ще загуби определеното си изражение. Индивидуалността на чертите на лицето се придобива чрез честото използване на съответните мускули.

Мишел Монаган

И така, трябва да се признае като факт асиметрията на лицето, тоест неравенството на дясната и лявата му половина: едната от тях като правило е по-широка, другата е по-тясна, едната е по-висока, другата е нисък. Причината за асиметрията в повечето случаи е неравномерността на структурните елементи на костите на черепа. На лицето на човек увеличаването на асиметрията се дължи на спецификата на изражението на лицето (физиологична асиметрия).

Наоми Уотс

Има научни трудове, в които учените идентифицират следните модели на асиметрия на лицето. Ако едната половина на лицето е по-висока, значи е и по-тясна. В този случай веждата е разположена по-високо, отколкото на противоположната, по-широка половина на лицето, очната фисура е по-голяма. Окото като цяло изглежда обърнато нагоре. Лявата половина на лицето обикновено е по-висока от дясната. Много автори все още смятат, че дясната половина на лицето е по-голяма от лявата, по-рязко изпъкнала и изразява мъжественост. Лявата половина като цяло е по-мека, отразявайки чертите на женствеността.

Кейт Босуърт

Асиметрията на лицето отдавна се наблюдава като отражение на общата асиметрия на тялото. Правени са опити лицето на портрета да бъде възстановено от точната половина на снимката и нейното огледално изображение. Дясната и лявата половина даваха различни изображения. Не отговаряха на оригинала. Мимическата асиметрия, макар и насложена върху диспропорциите на дясната и лявата половина на лицевия череп, също има свои собствени характеристики. Установено е, че нервната регулация на дясната мимическа мускулатура е по-богата, движенията на главата и очите вдясно се възпроизвеждат по-лесно. Дори кривогледството на дясното око е по-привично.

Кандидат на медицинските науки, пластичен хирург ""

Още през 15-ти век Леонардо да Винчи създава рисунки, които изобразяват „божествените“ пропорции на човешкото лице и тяло, които все още са стандарт (фиг. 1). Тези пропорции обаче не отчитат факта, че в живата природа не съществуват абсолютно симетрични обекти: във всеки от тях винаги има единство на симетрия и асиметрия.

Ориз. 1.

През цялата история хората са се опитвали да „измерят“ красотата, да я опишат с помощта на математически формули или геометрични пропорции, като по този начин са направили възможно нейното пресъздаване. И така, в древна Гърция редът и хармонията, наблюдавани в природата, се олицетворяват в блестящите изображения на богове и богини, увековечени в красиви статуи.

Според гръцките скулптори симетрията характеризира хармонията, пропорционалността, хармонията на естествените тела и човешкото тяло. Следователно понятията за симетрия и красота са идентични. Достатъчно е да си припомним строго симетричната конструкция на архитектурни паметници, редовно повтарящи се модели на традиционни орнаменти, удивителната хармония на гръцките вази (фиг. 2).

Фактът за асиметрията на лицето и тялото на човек е бил известен на художниците и скулпторите от древния свят и е бил използван от тях, за да придаде изразителност и духовност на създадените произведения.

Ярък пример за асиметрия е лицето на Венера Милоска (фиг. 3). Поддръжниците на симетрията критикуваха асиметрията на формите на този универсално признат стандарт за женска красота, вярвайки, че лицето на Венера би било по-красиво, ако беше симетрично. Гледайки обаче композитните кадри, виждаме, че това не е така.

Самата концепция за "симетрия" е пряко свързана с хармонията.Произлиза от старогръцката дума συμμετρία (пропорционалност) и означава нещо хармонично и пропорционално в даден обект. Концепцията за "огледална" симетрия е приложима за човек. Тази симетрия е основният източник на нашето естетическо възхищение от добре пропорционалното човешко тяло.

Такава симетрия е не само красива, но и функционална. И така, симетричните крайници улесняват движението в пространството, местоположението на очите - за създаване на правилния визуален образ, плоската носна преграда осигурява адекватно дишане. Въпреки това, симетрията на живите организми не се проявява с математическа точност поради неравномерно развитие и функция.

Симетрия на лицето и стандарти за красота

С течение на времето стандартите за красота са се променили, но принципите и параметрите, които определят съотношенията и пропорциите на лицето и съответно неговата привлекателност, са запазени от древни времена. За да бъде лицето хармонично, различните му части трябва да са съотнесени в определена пропорция, с помощта на която се постига цялостен баланс. Нито една част от лицето не съществува или функционира изолирано от останалите. Всяка промяна в която и да е конкретна част от лицето ще има истински или привиден ефект върху възприемането на други части и лицето като цяло.

Естествено е, че всички пропорции на човешкото лице имат само приблизителна стойност за неговата естетикапоради няколко причини:

• Първо, пропорциите на лицето варират в зависимост от възрастта, пола, физическото развитие на човек и до голяма степен се определят от индивидуалните структурни характеристики.
• Второ, оценката на пропорционалността става по-сложна в зависимост от позицията на главата.
• Третата трудност се крие в асиметрията на човешкото лице, която често се проявява във формата на носа, позицията на палпебралните фисури и веждите и позицията на ъглите на устата. Двете страни на лицето не дават еднакъв огледален образ, дори лицето да се възприема от нас като съвършено правилно.

По този начин днес е общопризнат фактът на асиметрия на лицето, изразяваща се в неравномерната дясна и лява половина, едната от които по правило е по-широка и по-висока, другата е по-тясна и по-ниска.

От снимките, представени на фиг. 4, се вижда, че абсолютно симетричните лица ясно се различават от оригиналното изображение на лице с естествена асиметрия. Според нас "синтетичен" симетричните лица не са толкова привлекателни, както в оригиналните снимки, въпреки че ние избрахме за създаването на композитни портрети лицата на актьорите, чиято външност е оценена най-високо. Освен това тези лица имат по-изразена симетрия, отколкото се наблюдава при повечето хора, но леката асиметрия само подчертава тяхната привлекателност.

Красота в асиметрия?

И така, асиметрията, присъща на всички нас, наистина ли е красива или не? Съвсем очевидно е, че не смятаме за привлекателни значителни нарушения на симетрията в структурата на лицето. Малките отклонения от симетрията обаче не внасят дисхармония, а само благоприятно подчертават индивидуалността.

Повечето пациенти, които се обръщат към пластичен хирург, не забелязват асиметрията на пропорциите на лицето и тялото си. Ето защо една от важните задачи на хирурга по време на консултацията е да привлече вниманието на пациента към характеристиките на неговите пропорции, да опише подробно предстоящите промени в резултат на операцията. Корекцията на асиметрията на лицето е значително улеснена от използването на минимално инвазивни методи, като и.

Така че изразената асиметрия обикновено се счита за неестетична и в такива случаи желанието за постигане на по-симетричен външен вид е съвсем естествено и може да служи като индикация за пластична хирургия. Въпреки това, леката асиметрия на лицето само го прави привлекателен и индивидуален и затова не трябва да се стремите към абсолютна симетрия.

Симетрията и пропорционалността са важни компоненти на външната красота на човека, а в някои случаи и показатели за здравето. Но не всеки знае как да оцени пропорциите и симетрията на лицето и тялото си. Точно за това ще стане дума.

Може ли дългият нос изобщо да не разваля външния вид на човек? Определено да. Ако носът е пропорционален на лицето му.

За да оцените пропорциите на лицето си, трябва да отидете до огледалото и да измерите три разстояния:
от границата на растежа на косата на челото до моста на носа
от моста на носа до горната устна
от горната устна до брадичката.

Ако те са равни, вие сте щастлив собственик на пропорционално лице.

Ако не, тогава има диспропорция, която изобщо не е повод за униние. Първо, това може да е известна привлекателност и оригиналност на лицето, и второ, пропорциите могат да бъдат променени.

Увеличаване или намаляване на първото разстояние може да се постигне с помощта на прически, както и придаване на определена форма на веждите. Второто разстояние почти винаги се коригира чрез промяна на дължината на носа. Правилно подбрано червило или по-трайна мярка - увеличаване на устните - може визуално да повлияе на третото разстояние.

Симетрията на лицето също е лесна за оценка. Необходимо е да се обърне внимание на местоположението и формата на сдвоени анатомични структури: вежди, очи, уши, назолабиални гънки.

Ако са разположени на едно ниво и имат еднаква форма, тогава лицето е симетрично. Симетрията на лицето е много важна не само от естетическа гледна точка. Внезапното му нарушение е важен диагностичен признак при редица сериозни неврологични заболявания.

Най-лесно е да прецените пропорциите на тялото по неговите обеми: обема на гърдите, талията и бедрата.

При пропорционално сгънат мъж обемът на гърдите преобладава. Геометрично идеалът на мъжката фигура е равнобедрен триъгълник, обърнат с главата надолу.

При пропорционална женска фигура обемите на гърдите и бедрата са приблизително равни един на друг. И талията трябва да е с 1/3 по-малка от тези два обема. Достатъчно е да си припомним добре познатия стандарт: 90 cm -60 cm -90 cm. Но съотношението 120см-80см-120см е не по-малко пропорционално. Геометричният израз на идеала е формата на пясъчен часовник.

Визуално желаните пропорции се постигат чрез облекло, корсетно бельо, определени физически упражнения. Има обаче проблемни зони, които са доста трудни за коригиране, например прословутите "бричове" - горната част на страничните повърхности на бедрата. Това е мястото, където липосукцията може да помогне.

Симетрията на тялото също се оценява чрез сдвоени образувания. Ключиците, зърната, лопатките, предните горни илиачни шипове, глутеалните гънки трябва да са на едно ниво.

Струва си да се знае, че видимото нарушение на симетрията на тялото винаги е причина за задълбочено изследване на опорно-двигателния апарат.

Като цяло, когато оценявате външния си вид според който и да е параметър, независимо дали става дума за пропорционалност, симетрия или нещо друго, не е необходимо да бъдете прекалено придирчиви.

Определени черти, несъвършенства, диспропорции - това е, което ни отличава един от друг и следователно ни прави уникални.

Все още няма да разберем дали наистина има абсолютно симетричен човек. Всеки, разбира се, ще има бенка, кичур коса или друг детайл, който нарушава външната симетрия. Лявото око никога не е абсолютно същото като дясното, а ъглите на устата са на различна височина, поне при повечето хора. Все пак това са само дребни несъответствия. Никой няма да се съмнява, че външно човек е изграден симетрично: лявата ръка винаги съответства на дясната ръка и двете ръце са абсолютно еднакви! Спри се. Струва си да спрете тук. Ако ръцете ни наистина бяха абсолютно еднакви, бихме могли да ги променим по всяко време. Би било възможно, да речем, чрез трансплантация, да се трансплантира лявата ръка в дясната ръка, или по-просто лявата ръкавица ще пасне на дясната ръка, но всъщност това не е така.

Е, разбира се, всеки знае, че приликата между нашите ръце, уши, очи и други части на тялото е същата като между предмет и неговото отражение в огледало. Книгата пред вас е посветена на въпросите на симетрията и огледалното отражение.

Много художници обръщаха голямо внимание на симетрията и пропорциите на човешкото тяло, поне докато не бяха водени от желанието да следват природата възможно най-близо в своите творби. Известни са каноните на продорцесите, съставени от Албрехт Дюрер и Леонардо да Винчи. Според тези канони човешкото тяло е не само симетрично, но и пропорционално. Леонардо открива, че тялото се вписва в кръг и квадрат. Дюрер търси единична мярка, която да бъде в определено съотношение с дължината на торса или крака (за такава мярка той смята дължината на ръката до лакътя).

В съвременните училища по живопис най-често като единична мярка се приема вертикалният размер на главата. С известно предположение можем да приемем, че дължината на тялото надвишава размера на главата осем пъти. На пръв поглед това изглежда странно. Но не трябва да забравяме, че повечето високи хора се отличават с удължен череп и, обратно, рядко се среща нисък дебел мъж с удължена глава.

Размерът на главата е пропорционален не само на дължината на тялото, но и на размерите на другите части на тялото. Всички хора сме изградени на този принцип, затова като цяло си приличаме. (Ще се върнем към сходството или сходството след няколко страници.) ​​Нашите пропорции обаче съвпадат само приблизително и следователно хората са само подобни, но не и еднакви. Както и да е, всички сме симетрични! Освен това някои художници в своите творби особено подчертават тази симетрия.

ПЕРФЕКТНАТА СИМЕТРИЯ Е СКУЧНА

И в дрехите човек също като правило се опитва да поддържа впечатлението за симетрия: десният ръкав съответства на левия, десният крак съответства на левия.

Копчетата на сакото и на ризата стоят точно в средата, а ако се отдалечават от нея, то на симетрични разстояния. Много рядко една жена има смелостта да облече наистина асиметрична рокля (ще видим по-късно колко отклонения от симетрията са допустими).

Но на фона на тази обща симетрия в дребните детайли, съзнателно допускаме асиметрия, например сресване на косата на странична част - отляво или отдясно. Или, да речем, поставяне на асиметричен джоб на гърдите на костюма, често подчертан с носна кърпичка. Или поставяне на пръстен на безименния пръст само на едната ръка. Ордените и значките се носят само от едната страна на гърдите (по-често отляво).

Пълната идеална симетрия би изглеждала непоносимо скучна. Именно малките отклонения от него дават характерни, индивидуални черти. Известният автопортрет на Албрехт Дюрер на пръв поглед изглежда абсолютно симетричен. Но ако се вгледате по-внимателно, ще забележите малък асиметричен детайл, който придава на картината жизненост и жизненост: кичур коса близо до раздялата.

И в същото време понякога човек се опитва да подчертае, да засили разликата между ляво и дясно. През Средновековието мъжете по едно време парадираха с панталони с крака в различни цветове (например един червен, а другият черен или бял). И тези дни дънките с ярки петна или цветни петна бяха популярни. Но такава мода винаги е краткотрайна. Само тактични, скромни отклонения от симетрията остават за дълго време.

КАКВО Е ПОДОБСТВО?

Често казваме, че някои двама души си приличат. Децата обикновено приличат на родителите си (поне според техните баби). Подобни, но не еднакви!

Нека се опитаме да разберем какво се разбира под сходство или сходство в математиката. В подобни фигури съответните сегменти са пропорционални един на друг. В нашия случай можем да формулираме тази ситуация по следния начин: подобни носове имат еднаква форма, но могат да се различават по размер. В този случай всяка отделна част от носа (например моста на носа) трябва да бъде пропорционална на всички останали.

Този закон на подобието понякога е изпълнен с уловка. Например в задача като тази:

Височината на кула A е 10 м. На известно разстояние X от нея има шестметрова кула B. Ако начертаем прави линии от подножието и от върха на кула A през върха на кула B, тогава те ще се срещнат , съответно с подножието и върха на кула С, която е с височина 15м. Какво е разстоянието от кула A до кула B?

Изглежда, че за решението е достатъчно да вземете компас и линийка. Но тогава се оказва, че ще има безкраен брой отговори. С други думи, не може да има еднозначен отговор на въпроса за стойността на X.

В тази книга често ще срещате проблеми, които изискват размисъл. Това има определен педагогически смисъл. Такива проблеми, дори и да нямат решение, като предложената по-горе, се отнасят до някакъв проблем, който се намира в границите на нашите познания. В по-голямата си част това са самите граници, пред които прочутият „здрав разум“ отстъпва и само строго математическото логическо мислене, съчетано с естествени научни познания, може да доведе до правилното решение.

Нека се обърнем отново към човека: когато сравняваме живи същества, сходството се усеща ясно, ако техните пропорции съвпадат. Следователно децата и възрастните могат да бъдат подобни. Въпреки че масата и размерът на която и да е част от тялото, било то носа или устата, са различни, но пропорциите на подобни индивиди са еднакви.

Ярък пример за сходство е визуалната оценка на разстоянието с помощта на палеца. По този начин военните и моряците оценяват разстоянието между две точки на земята или в морето, сравнявайки ги с ширината на пръст или юмрук. В най-простия случай те затварят едното си око и гледат с отворено око пръста на протегната ръка, като го използват като мерник.

При прицелване с палеца на протегната ръка (веднъж с лявото око и веднъж с дясното) пръстът "отскача" с около 6°

Ако отворите предварително затвореното око (и затворите второто), пръстът ще се премести настрани на видимо разстояние. В градуси това разстояние е 6°. И освен това големината на този „скок“ (в границите на грешка) е еднаква за всички хора! И така, дясната флангова компания, човек с височина два метра, и най-малката - лявофланговата, само шестдесет метра, сравнявайки тези "скокове" на пръста, ще получат същата стойност.

Причината за това явление в крайна сметка се крие в приликата на хората и, разбира се, в законите на оптиката, на които се подчинява нашето зрение.

„Правилото на юмрука“ също е известно - в най-директния смисъл на думата - за груба оценка на големината на ъгъла. Ако погледнем с едно око юмрука на протегнатата ръка (този път със същото око), тогава ширината на юмрука ще бъде 10°, а разстоянието между двете кости на фалангите 3°. Юмрукът и палецът, стърчащи настрани, ще бъдат 15 °. Като комбинирате тези измервания, можете приблизително да измерите всички ъгли на земята.

И накрая, още една ъглова мярка на нашето тяло, която може да бъде полезна за домашна работа. Ъгълът между палеца и малкия пръст на разтворената длан е 90°. Изглежда малко вероятно, но можете веднага да проверите всичко за себе си, като поставите протегнатите пръсти на дланта си до ъгъла на нашата книга. Поставете малкия си пръст строго успоредно на единия ръб и преместете ръката си надолу по него, докато палецът също лежи на долния ръб. Убеден?

Разбира се, тук грешката понякога се оказва сравнително голяма, тъй като в зависимост от възрастта и развитието на ръката палецът може да бъде поставен настрани на различни разстояния. Но за първия тест, който ви позволява да решите дали измереният ъгъл се отклонява значително от права линия, този метод е доста подходящ.

LINELAND И РАВНИНА

Хората с въображение отдавна са забелязали, че законите на конгруентността, толкова строги за две измерения, често изискват използването на трето измерение, когато се прилагат на практика.

Когато масата е подредена за голям прием, салфетките обикновено се сгъват в триъгълник. Но си струва да съберем тези триъгълници на купчина, един върху друг, тъй като се оказва, че тези триъгълници са от два вида: някои веднага „пасват“ един към друг, докато други трябва да бъдат обърнати „надясно“ . Подобен проблем възниква при щамповане на малки части, когато някой се опитва да подреди готови продукти.

Обичайно е поетите и писателите да фантазират около повече или по-малко вероятни ситуации. И така, има произведения, в които животът е изобразен в двуизмерно пространство (където не можете да обърнете „салфетката“ по никакъв начин).

Някои автори отиват още по-далеч и се опитват да си представят живота в едноизмерно пространство, в Страната на линията – Lineland. Lineland се обитава само от тънки дървени пръчици, които в най-простия случай не се различават една от друга. Въпреки това си струва да им дадете глави (мачове веднага идват на ум!), И те веднага имат две възможности.

Или всички мачове са обърнати в една посока - тогава тяхната комбинация не създава затруднения. Или някои от кибритите лежат с главите си наляво, а някои от тях лежат с главите си надясно. Математикът Lineland няма практически начин да преведе "левите" съвпадения в "десните". Но един математик от Земята на равнината – Флатландия, който има още едно измерение, веднага ще намери просто решение: ще обърне клечката кибрит в равнината.

Въпреки това, според някои автори, животът във Флатланд също не е толкова лесен. Представете си, че жителите на тази страна са малки правоъгълници с око (а те имат само едно око) в един от ъглите. То, разбира се, може да види само такъв правоъгълник в равнина и никога не успява да погледне тази равнина отгоре. Така че никой Flatlander никога няма да може да си представи как изглежда в действителност: за това вече е необходим изглед от триизмерното пространство. Къщите на Flatlanders биха били почти същите като в детските рисунки. С тази разлика, че вратите ще са отстрани и ще се отварят само в същата равнина. Но пантите на вратите ще трябва да бъдат направени извън равнината, над или под нея. Освен това ще е необходима сложна система от подпори, за да се предотврати срутването на стената на къщата, когато обитателите й искат да отворят вратата. А двама флатландци биха могли да се спогледат само ако един от тях успее да се изправи на главата си.

Ситуацията би била още по-сложна, ако Равнина беше населена от два народа. Да кажем лево- и дясноръки флатландци. Изисква се много въображение, за да се нарисуват всички възможни последствия от подобна ситуация, особено като се има предвид, че сме свикнали да мислим триизмерно!

Тъй като и Lineland, и Flatland бяха представени на писателите в хумористична светлина, не е изненадващо, че литературата по този въпрос възниква в Англия.

През 1880г Английският педагог Едуин Ебони Абът написа книга за Флатландия и нейните жители ( Abbott E. E. Flatland. В: Abbott E. E. Flatland. Бургер Д. Сферландия. -М .: Мир, 1976). Flatlander Abbott, паднал в Lineland насън, се опитва напразно да убеди жителите там в съществуването на самолета.

В хода на действието един от Flatlanders успява да познае триизмерното пространство, за което е признат за "най-лудия от лудите".

Повече от двадесет години по-късно, през 1907 г., К. Г. Хинтън публикува The Incident in Flatland. В него два равнински народа са във война. Тъй като всички Flatlanders са обърнати в една и съща посока, един от народа винаги е безнадеждно изгубен: той не може да се обърне и да отвърне на удара в правилната посока - омразен враг постоянно седи на врата му. Но в крайна сметка доброто побеждава. Някои умни глави забелязват, че Равнината е разположена на топка и следователно е възможно, тичайки около нея, да отидете зад вражеските линии.

Авторът на романа изгражда историята си върху мълчаливото предположение, че флатландците могат да се движат само по определени общи посоки, с изключение на странични обиколки, и е невъзможно да преобърнат врага над главите си.

Както можете да видите, за живота в двумерното пространство са изказвани най-сложните теории, но те никога не са намирали приложение. Човек трябва да си помисли, че както тези книги, така и техните автори отдавна щяха да бъдат забравени, ако Лайнланд и Флатланд не бяха толкова необходими, за да обяснят теорията за огледалното отражение и ако компилаторите на бързи задачи не трябваше да се обръщат отново и отново към Флатланд, за да извлекат идеи от неговата двуизмерност (между другото, не толкова отдавна в Унгария беше създаден анимационен филм за пътуването на ученика Адоляр до Равнина).

Освен всичко друго, Flatlanders транспортират стоки чрез подвижни платформи в кръгове. Всеки път, когато товар премине кръга, местният транспортен служител търкаля кръга напред и го поставя пред платформата.

Тук има много интересни проблеми. Но ние се интересуваме само от едно нещо: ако оста на колелото се движи със скорост 10 m в минута, с каква скорост се движи товарът?

За нашата земна кола знаем, че никое колело (по-точно никоя колесна ос) не може да се движи по-бързо от цялата кола. Но в равна кола колелото не е здраво свързано с товара. Като се замислим, не е трудно да разберем, че натоварването тук е свързано с две движения.

Първо, той се движи заедно с оста на въртене на колелото (това е същото като при кола). И освен това, товарът все още се търкаля около обиколката на колелото и в същото време със скорост, също равна на скоростта на въртене на оста. Следователно, като цяло, товарът се търкаля с два пъти по-голяма скорост от колелото. Разбира се, товарът трябва да се движи по-бързо, макар и само защото колелата винаги остават назад и трябва постоянно да се движат напред.

Някои читатели ще си помислят: „Проблемът наистина е интересен, но какво от това?“

Принципът на равнинния транспорт обаче намира своето място в нашата технология. И така, дизайнерът, който проектира врата в малка стая (например близо до малък асансьор), е принуден да изостави пантите. Той разделя вратата на две половини (ако, разбира се, се сети за такъв трик!), Които вървят успоредно една на друга. Едната половина на вратата е неподвижно закрепена към оста на ролката, а втората се движи по обиколката на тази ролка. Докато едната половина се движи на половината от ширината на вратата, другата има време да премине през цялата ширина на вратата (с два пъти по-голяма скорост).

Нека не пренебрегваме Равнината и писателските фантазии. Да приемем, че жителите на Плоската земя наистина живеят на повърхността на земното кълбо. Тази повърхност е толкова голяма, че обитателите може да не забележат нейната извивка. Естествено, те смятат, че живеят на равнина, тъй като не могат да си представят сфера: в края на краищата третото измерение по принцип не им е познато. Затова професорите от Flatland разработват математика Flatland, която се преподава в училищата. Децата там наизустяват например такова определение: две успоредни прави се пресичат на крайно разстояние. Или: сборът от ъглите на триъгълник е по-голям от 180°. Ние, хората на триизмерното пространство, знаем, че сферичната повърхност е двумерно неевклидово пространство, което не се вписва в обичайната евклидова геометрия.

Поглеждайки към земното кълбо, виждаме, че два меридиана, успоредни на екватора, се пресичат на полюса. Гледайки земното кълбо, можете също да се убедите, че два меридиана образуват ъгъл от 90 ° с екватора. В точката на пресичане на полюса възниква друг ъгъл. А сумата от трите ъгъла така или иначе е по-голяма от 180°. Но бедните флатландци, разбира се, дори не могат да си представят всичко това. Те са сигурни, че живеят в самолет.

Един скептичен математик, Карл Фридрих Гаус (1777-1855), сериозно се чудеше дали ние, хората, сме в същото положение като жителите на Флатландия. Може би, помисли Гаус, ние също живеем в неевклидов свят, но просто не го забелязваме. Ако случаят беше такъв, пространството щеше да е извито (което със сигурност не бихме могли да си представим) и достатъчно голям триъгълник щеше да има сбор от ъгли, различен от 180°. Гаус измерва триъгълника между Брокен, Инселберг и Хай Хаген, но не открива значително отклонение от 180°. Това, разбира се, не може да служи като неоспоримо доказателство, тъй като триъгълникът все още може да бъде твърде малък.

Не може обаче просто да се сравни въпросното неевклидово пространство с пространството в теорията на относителността. Ние, жителите на Флатландия и Гаус, говорим за чисто геометричен, пространствен проблем и за това дали определени аксиоми са верни (например за пресичането на две успоредни прави в безкрайност). Привържениците на теорията на относителността въвеждат времето като четвърта пространствена координата.

ЗА КОНГРУЕНЦИЯТА

Две равни фигури са равни, ако всичките им ъгли и отсечки между съответните точки са равни.

В училище изучаваме теореми за съответствието на триъгълниците. Установено е например, че площите на триъгълниците са равни, ако имат една страна и два ъгъла, съседни на нея, съвпадат. Това означава, че въпреки че можете да използвате страна и два ъгъла, съседни на нея, за да изградите триъгълници, триъгълниците трябва да съвпадат с всичките си части.

В разговорната реч (която използваме в тази книга) можем да кажем, че конгруентните равнини точно се припокриват една с друга или, обратно, ако една равнинна фигура точно припокрива друга, тогава те са еднакви. Същото важи и за триизмерните тела: ако могат да се комбинират, значи са еднакви.

Погледнете триъгълниците, показани на снимката. Всички те са конгруентни. Очевидно и двата триъгълника, поставени отляво, ще бъдат подравнени, ако просто бъдат преместени. И ето триъгълника, поставен отдясно, въпреки че е еднакъв с двата леви, но не можем да го комбинираме с тях само с движение в равнината. Както и да го въртим в равнината, той никога няма да пасне на някой от левите триъгълници. За да постигнете това, трябва да повдигнете триъгълника над равнината, да го завъртите в пространството и да го поставите обратно в равнината. Но ако сравним взаимното разположение на триъгълниците, комбинирани чрез преместване и обръщане, ще видим, че и в двата случая различните им страни съвпадат. При срязване долната повърхност на единия хартиен триъгълник се припокрива с горната повърхност на втория триъгълник. Пространствената ориентация на повърхността на хартиения лист не се е променила. В този случай се говори за идентична конгруентност. Ако при завъртане в пространството двете горни повърхности на хартията се комбинират, плоските фигури се наричат ​​огледално-конгруентни.

Равнинните фигури се наричат ​​конгруентни, които възприемаме като равни и които могат да се комбинират помежду си чрез преместване в равнина или въртене в пространството.

КОНГРУЕНТНОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ

Конгруентност - свойството на геометричните равнинни фигури да съвпадат една с друга по размер и форма.

Формите, които могат да се комбинират помежду си чрез завъртане и (или) изместване, са идентично конгруентни.

Огледално-конгруентни са фигури, за чиято комбинация е необходима допълнителна операция на огледално отражение.

Има четири признака на съответствие на триъгълниците. Триъгълниците са еднакви, ако:

1) три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг (S, S, S);

2) две страни и вътрешният ъгъл на един триъгълник, затворен между тях, са равни на две страни и вътрешният ъгъл на друг триъгълник, затворен между тях (S, W, S);

3) две страни и вътрешният ъгъл срещу най-голямата от тях в единия триъгълник са равни на две страни и ъгълът срещу най-голямата от тях в другия триъгълник (S, S, W);

4) страната и двата прилежащи към нея вътрешни ъгъла на един триъгълник са равни на страната и двата прилежащи към нея вътрешни ъгъла на друг триъгълник (W, S, W).

ПОДОБСТВО

Съвпадението на равнинни фигури по форма, но не и по големина, се нарича подобие.

Всеки ъгъл на една от фигурите съответства на равен ъгъл на подобна фигура.

В подобни фигури съответните сегменти са пропорционални.

Чрез преместване, завъртане и (или) огледално отразяване две подобни фигури могат да бъдат поставени в положение на хомотетия. В това положение съответните страни на двете фигури са успоредни една на друга.

ОСОВА СИМЕТРИЯ

Нека една равнина е разделена от права s на две полуравнини. Ако сега завъртим една полуравнина около права 5 на 180°, тогава всички точки от тази полуравнина ще съвпаднат с точки от другата полуравнина.

Правата s се нарича ос на симетрия.

Тъй като точките на обърнатата полуравнина са в огледална позиция спрямо първоначалната си позиция, това обръщане се нарича още огледално изображение. Ако линиите, показващи някои посоки на въртене, се приложат към една полуравнина, тогава след огледално отражение тази посока ще се промени на противоположната. Следователно една операция по огледално отразяване създава огледално съвпадащи фигури. Две такива операции водят до еднакви конгруентни фигури. Те съответстват на смяна или ротация.

РАДИАЛНА СИМЕТРИЯ

Радиално симетричните фигури могат да бъдат подравнени една спрямо друга чрез въртене около точката S. Тази точка се нарича център на симетрия.

При завъртане съответните точки на фигурите се комбинират. Посоката на въртене не се променя. Фигурата, отразена по този начин, е идентично конгруентна.

Последващите операции по завъртане няма да повлияят по никакъв начин на идентичността на фигурите. При ъгъл на завъртане от 180° се говори за централна симетрия.

ТРИК ЗАРОВЕ

Учителите казват, че играта с кубчета развива пространственото въображение. И сега родителите купуват на своите потомци кутии с ярки кубчета, залепени с фрагменти от снимки от популярни приказки. Ако поставите тези кубчета по правилния начин, ще видите Червената шапчица със сив вълк или Снежанка със седем джуджета.

Всъщност този вид кубчета и пъзели развиват пространственото въображение не само на децата, но и на всички – от малки до големи. Понякога трябва да сгънем куб от различни форми на трупи.

При по-внимателно разглеждане на тези отделни елементи се оказва, че поне два от тях са с еднаква форма и размер, но са свързани един с друг като лява и дясна ръкавица. Създателите на пъзели от този вид очевидно се надяват, че играчите няма веднага да уловят това отличие. Ако си спомним колко пъти сме бъркали дясната и лявата ръкавица, ще трябва да признаем, че подобни надежди не са напразни.

Комбинирането на тези елементи е почти невъзможно. Трябва да се отбележи, че използвайки тук (или някъде по-долу) израза "практически възможно", имаме предвид изпълнението на такава задача на практика.

Но има и математически или физически методи, които позволяват да се комбинират елементи поне теоретично или според външни признаци - това ще бъде предмет на по-нататъшно разглеждане. И тъй като тук беше обсъдено съчетаването на един елемент с друг, трябва да се отбележи едно важно обстоятелство. Във Флатланд би било възможно да комбинирате плоски фигури, като ги извадите от самолета и ги завъртите в пространството. В Lineland, по същия начин, ще отнеме само едно измерение повече: едно завъртане в равнината и сегментите стават съвместими.

Но пространствените конструкции можем да въртим само в пространството! И тъй като четвъртото измерение, въпреки всички разсъждения на Гаус, е затворено за нас, дори е трудно да си представим как практически (!) нашите „тухли“ могат да бъдат разположени някъде извън триизмерното пространство, така че да са подравнени с всяко друго!

В ежедневието много често се налага да решаваме такива пъзели (подчертавам: да решаваме практически, а не да играем!), Например, когато опаковаме различни предмети. Или, например, представете си радиатори за централно отопление. При някои от тях клапанът за настройка е отляво, при други - отдясно. Как да свържете няколко радиатора в една батерия?

Хладилници, печки и други предмети от бита обикновено се изработват с дясна и лява дръжка, ключове, кранове. Фантастичната възможност за превръщане на подобни обекти в четвъртото измерение би зарадвала много всеки, който се занимава с транспортирането и монтажа им.

ПОГЛЕДНЕТЕ РЕЧНИКА!

В началото на книгата нарекохме човека симетрично същество. В бъдеще терминът "симетрия" вече не се използва. Вероятно обаче вече сте забелязали, че във всички случаи, когато отсечките, плоските фигури или пространствените тела са били подобни, но без допълнителни действия е било невъзможно, „практически“ невъзможно да бъдат комбинирани, се сблъскваме с явлението симетрия. Тези елементи съвпадаха един с друг, като картина и нейното огледално изображение. Като лява и дясна ръка. Ако си направим труда да надникнем в Речника на чуждите думи, ще открием, че симетрия означава „пропорционалност, пълно съответствие в разположението на частите от цялото спрямо средната линия, центъра... такова разположение на точките спрямо точка (център на симетрия), права линия (ос на симетрия) или равнина (равнина на симетрия), в която всеки две съответни точки лежат на една и съща права линия, минаваща през центъра на симетрия, на същия перпендикуляр на оста или равнина на симетрия, са на същото разстояние от тях ... "( Речник на чуждите думи: Изд. 7-мо, преработено. -М.; Руски език 1980, с. 465)

И това не е всичко, както често се случва с чуждите думи, думата "симетрия" има много значения. Това е предимството на такива изрази, че могат да се използват, когато не искат да дадат недвусмислена дефиниция или просто не знаят ясна разлика между два обекта.

Ние използваме термина "пропорционален" по отношение на човек, картина или всеки обект, когато незначителни несъответствия не ни позволяват да използваме думата "симетричен".

Тъй като се ровим в справочници, нека да разгледаме Енциклопедичния речник ( Съветски енциклопедичен речник - М.: Съветска енциклопедия, 1980, с. 1219-1220). Тук намираме шест статии, започващи с думата "симетрия". Освен това тази дума се среща в много други статии.

В математиката думата "симетрия" има поне седем значения (сред тях са симетрични полиноми, симетрични матрици). В логиката има симетрични отношения. Симетрията играе важна роля в кристалографията (ще прочетете нещо за това по-късно в тази книга). Концепцията за симетрия в биологията се тълкува по интересен начин. Той описва шест различни вида симетрия. Научаваме, например, че гребените са асиметрични, докато цветята на щракалото са двустранно симетрични. Ще открием, че симетрията съществува в музиката и хореографията (в танца). Тук зависи от редуването на циклите. Оказва се, че много народни песни и танци са изградени симетрично.

И така, трябва да се съгласим за какъв вид симетрия ще говорим. Независимо от естеството на разглежданите обекти, основният интерес за нас ще бъде огледалната симетрия - симетрията на лявото и дясното. Ще видим, че това привидно ограничение ще ни отведе далеч в света на науката и технологиите и ще ни позволи от време на време да тестваме способностите на нашия мозък (тъй като той е програмиран за симетрия).

ИГРА НА ТОЧКИ И ЛИНИИ

Още не сме напуснали Лийнланд и Флатланд. И има специална причина за това. Дори и да няма жители там, тогава самите прави линии и равнини са съвсем реални!

Нека помислим за ситуацията със симетрията на правата. С помощта на две съвпадения можем много просто да си представим два възможни случая. (Вече разгледахме някои аспекти на тази ситуация по-рано.) Кибритените клечки могат да лежат с главите си в една посока. След това лесно се съединяват. Или глави (или съвети) един към друг. В този случай има точка на линията, в която огледалото може да бъде поставено по такъв начин, че съвпадението да изглежда съвпадащо с неговото отражение. С други думи, на правата има център на симетрия. Ще трябва да си представим, че огледалото се побира в една точка и тя отразява половин отсечка. В математическите разсъждения това е напълно възможно.

Равнинните фигури се "отразяват" в осите на симетрия

Когато конструираме върху равнина, нашето огледало може да остане точка или може да бъде права линия. Вероятно е по-правилно да го кажем в обратен ред: права линия или точка ще служи като огледало. В крайна сметка, ако някъде има права линия, тогава е възможен точков център на симетрия върху нея.

Огледалните отражения на половините на равнините изглеждат по същия начин като истинските равнини: чрез завъртане на равнината около права линия - огледало - тя може да се комбинира с отражение, откъдето възниква изразът "ос на симетрия".

Кръгът има безкраен брой оси на симетрия. „Лист от детелина“ – само един

И така, сега знаем какво представлява центърът на симетрия и оста на симетрия, а също и че някакъв обект (вземете тази неутрална дума) е симетричен, ако едната му половина е свързана с другата, като изображение и неговия огледален образ.

Една окръжност има безкраен брой оси на симетрия и всички те минават през общ център на симетрия. Други фигури имат краен брой оси на симетрия, но все пак всички оси (две или повече от тях) минават през центъра на симетрия. Това означава, че можем да завъртим фигурата на определен ъгъл (максимум 180°) и тя отново ще лежи точно на същото място, както преди завъртането.

Нека продължим нашите разсъждения за огледалната симетрия. Лесно е да се установи, че всяка симетрична плоска фигура може да се комбинира сама със себе си с помощта на огледало. Изненадващо е, че такива сложни фигури като петолъчна звезда или равностранен петоъгълник също са симетрични. Както следва от броя на осите, те се отличават именно с високата си симетрия. И обратното: не е толкова лесно да се разбере защо такава привидно правилна фигура, като наклонен успоредник, не е симетрична. Първоначално изглежда, че една ос на симетрия може да върви успоредно на една от страните му. Но си струва мислено да се опитате да го използвате, тъй като веднага се убеждавате, че това не е така. Асиметрични и спираловидни.

Колкото и да е странно, такава "симетрична" изглеждаща фигура, като успоредник, не само няма оси на симетрия, но и огледална симетрия като цяло.

Докато симетричните фигури напълно съответстват на тяхното отражение, несиметричните са различни от него: от спирала, усукана от дясно на ляво, спирала, усукана от ляво на дясно, ще се окаже в огледало. Това свойство често се използва в масови игри и състезания, провеждани от телевизията. Играчите са поканени, гледайки се в огледалото, да нарисуват някаква асиметрична фигура, например спирала. И след това отново нарисувайте „точно същата“ спирала, но без огледало. Сравнението на двете рисунки показва, че спиралите се оказаха различни: едната се усуква отляво надясно, другата отдясно наляво.

Но това, което тук изглежда като шега, на практика създава много трудности не само на децата, но и на възрастните. Често децата пишат някои букви "отвътре навън". Тяхното латинско N изглежда като And, вместо S и Z, те получават S и Z. Ако се вгледаме внимателно в буквите на латинската азбука (и това всъщност също са плоски фигури!), Ще видим симетрични и асиметрични такива сред тях. Букви като N, S, Z нямат ос на симетрия (нито пък F, G, J, L, P, Q и R). Но N, S и Z са особено лесни за изписване „обратно“ ( Те имат център на симетрия. - Прибл. изд). Останалите главни букви имат поне една ос на симетрия. Буквите A, M, T, U, V, W и Y могат да бъдат разделени наполовина от надлъжната ос на симетрия. Буквите B, C, D, E, I, K - напречната ос на симетрия. Буквите H, O и X имат две взаимно перпендикулярни оси на симетрия.

Ако поставите буквите пред огледалото, успоредно на линията, ще забележите, че тези букви, чиято ос на симетрия е хоризонтална, също могат да бъдат прочетени в огледалото. Но тези, в които оста е разположена вертикално или напълно отсъства, стават „нечетими“.

Въпросът защо буквите с надлъжна ос се държат по различен начин от тези с напречна е доста интересен. Може би ще се замислите. Причината за това явление ще бъде обсъдена по-късно.

Има деца, които пишат с лявата ръка и получават всички букви в огледална, отразена форма. Дневниците на Леонардо да Винчи са написани с огледален шрифт. Вероятно няма основателна причина да пишем писма по начина, по който го правим. Малко вероятно е огледалният шрифт да е по-труден за овладяване от нашия обичаен.

Това няма да улесни правописа и някои думи, като OTTO, изобщо няма да се променят. Има езици, в които надписването на знаци се основава на наличието на симетрия. Така че в китайската писменост йероглифът означава точно истинската среда.

В архитектурата осите на симетрия се използват като средство за изразяване на архитектурно намерение. В инженерството осите на симетрия са най-ясно посочени там, където е необходимо отклонение от нулата, като например на кормилото на камион или на кормилото на кораб.

НАШИЯТ СВЯТ В ОГЛЕДАЛОТО

От Lineland взехме концепцията за центъра на симетрия, а от Flatland - за оста на симетрия. В триизмерния свят на пространствените тела, където живеем, има равнини на симетрия, респ. „Огледалото“ винаги има едно измерение по-малко от света, който отразява. Когато гледаме кръгли тела, веднага става ясно, че те имат равнини на симетрия, но колко точно не винаги е лесно да се реши.

Нека поставим топка пред огледалото и започнем бавно да я въртим: изображението в огледалото няма да се различава по никакъв начин от оригинала, разбира се, ако топката няма никакви отличителни черти на повърхността си. Топката за пинг-понг разкрива безброй равнини на симетрия. Вземете нож, отрежете половината от топката и я поставете пред огледалото. Огледалното отражение отново ще допълни тази половина до цяла топка.

Но ако вземем глобус и разгледаме неговата симетрия, като вземем предвид географските контури, отбелязани върху него, тогава няма да намерим нито една равнина на симетрия.

Във Флатландия фигурата с безброй оси на симетрия беше кръгът. Ето защо не трябва да се учудваме, че в космоса подобни свойства са присъщи на топката. Но ако кръгът е единственият по рода си, тогава в триизмерния свят има множество тела, които имат безкраен брой равнини на симетрия: прав цилиндър с кръг в основата, конус с кръгла или полусферична основа, топка или сегмент от топка. Или да вземем примери от живота: цигара, пура, чаша, фунийка сладолед, парче тел, лула.

Ако разгледаме по-отблизо тези тела, ще забележим, че всички те по един или друг начин се състоят от кръг, през безкраен брой оси на симетрия, от които преминават безкраен брой равнини на симетрия. Повечето от тези тела (те се наричат ​​тела на въртене) също имат, разбира се, център на симетрия (център на окръжност), през който минава поне една ос на симетрия.

Ясно се вижда например оста на фунийката на сладоледа. Протича от средата на кръга (стърчи от сладоледа!) до острия край на фънкия конус. Ние възприемаме набора от елементи на симетрия на тялото като вид мярка на симетрия. Топката, без съмнение, по отношение на симетрията е ненадминато въплъщение на съвършенството, идеал. Древните гърци са го възприемали като най-съвършеното тяло, а кръгът, разбира се, като най-съвършената плоска фигура.

Като цяло тези идеи са доста приемливи и до днес. Освен това гръцките философи стигнаха до заключението, че Вселената, разбира се, трябва да бъде изградена по модела на математически идеал. Това заключение доведе до грешки, последствията от които ще опишем по-късно. Ясно е, че древните гърци все още не са имали шушулки за сладолед! В противен случай такъв прозаичен обект, притежаващ безброй равнини на симетрия, би могъл да наруши тяхната хармонична система.

Ако за сравнение разгледаме куб, ще видим, че той има девет равнини на симетрия. Три от тях разполовяват лицата му, а шест минават през върховете. В сравнение с топката това, разбира се, не е достатъчно.

Но има ли тела, които заемат междинно положение между топка и куб по отношение на броя на равнините? Без съмнение, да. Човек трябва само да запомни, че кръгът по същество изглежда се състои от многоъгълници. Минахме през това в училище, когато пресмятахме числото пи. Ако издигнем n-ъгълна пирамида върху всеки n-ъгълник, тогава можем да начертаем n равнини на симетрия през нея.

Може да се измисли 32-странна пура, която да има подходящата симетрия!

Но ако все пак възприемаме куба като по-симетричен обект от прословутия сладолед, то това се дължи на структурата на повърхността. Една сфера има само една повърхност. Кубът има шест от тях - според броя на лицата, като всяко лице е представено от квадрат. Funtik със сладолед се състои от две повърхности: кръг и конусовидна черупка.

Повече от две хилядолетия (вероятно поради прякото възприятие) традиционно се предпочитат "пропорционалните" геометрични тела. Гръцкият философ Платон (427-347 г. пр.н.е.) открива, че само пет триизмерни тела могат да бъдат изградени от правилни еднакви равнинни фигури.

От четири правилни (равностранни) триъгълника се получава тетраедър (тетраедър). От осем правилни триъгълника можете да изградите октаедър (октаедър) и накрая от двадесет правилни триъгълника - икосаедър. И само от четири, осем или двадесет еднакви триъгълника можете да получите триизмерно геометрично тяло. От квадрати можете да направите само една триизмерна фигура - хексаедър (хексахедър), а от равностранни петоъгълници - додекаедър (додекаедър).

И какво в нашия триизмерен свят е напълно лишено от огледална симетрия?

Ако във Флатландия беше плоска спирала, то в нашия свят със сигурност ще бъде вита стълба или спирална бормашина. Освен това има хиляди асиметрични неща и предмети в живота и технологиите около нас. По правило винтът има дясна резба. Но понякога има и ляво. Така че, за по-голяма безопасност, бутилките с пропан са оборудвани с лява резба, така че клапан-редуктор, предназначен например за бутилка с друг газ, да не може да се завинти върху тях. В ежедневието това означава, че на къмпинг, преди да готвите на къмпинг печка, винаги трябва да опитате накъде се отвива бутилката.

Между топката и куба, от една страна, и витата стълба, от друга, все още има много степени на симетрия. От куба можете постепенно да премахнете равнините на симетрия, осите и центъра, докато стигнем до състояние на пълна асиметрия.

Почти в края на този ред на симетрия стоим ние, хората, само с една равнина на симетрия, разделяща тялото ни на лява и дясна половина. Степента на симетрия, която имаме, е същата като например тази на обикновения фелдшпат (минерал, който образува гнайс или гранит заедно със слюда и кварц).

ПЕТ ПЛАТОНА

За правилните полиедри са верни следните твърдения:

1. Във всеки полиедър (включително правилния), сумата от всички ъгли между ръбовете, събиращи се в един връх, винаги е по-малка от 360°.

2. По теоремата на Ойлер за изпъкнали многостени

където e е броят на върховете, ƒ е броят на лицата и k е броят на ръбовете.

Лицата на правилните многостени могат да бъдат само следните правилни многоъгълници:

3, 4 или 5 60° равностранни триъгълника. Шест такива триъгълника вече дават 60° X 6 = 360° и следователно не могат да ограничат полиедричния ъгъл.

Три квадрата (90° X 3 = 270°), 3 правилни петоъгълника (108° X 3 = 324°), 3 правилни шестоъгълника (120° X 3 = 360°) ограничават полиедричния ъгъл.

От теоремата на Ойлер и формата на лицата следва, че има само 5 правилни полиедъра:

Таблица с пет правилни многостена

Форми на лицето	Номер				Платонови тела
	лица в един връх	върхове	лица	ребра
Равностранни триъгълници	3	4	4	6	Тетраедър
Един и същ	4	6	8	12	Октаедър
Един и същ	5	12	20	30	икосаедър
квадрати	3	8	6	12	Хексаедър (куб)
Правилни петоъгълници	3	20	12	20	Петоъгълник додекаедър

(Всяко лице на петоъгълника-додекаедър е петоъгълна фигура, в която четири страни са равни една на друга, но различни от петата. - Прибл. превод)