Решете диференциално уравнение от 1-ви ред. Диференциални уравнения от първи ред

Диференциалното уравнение е уравнение, което включва функция и една или повече от нейните производни. В повечето практически задачи функциите са физически величини, производните съответстват на скоростите на изменение на тези величини, а уравнението определя връзката между тях.

Тази статия обсъжда методи за решаване на някои видове обикновени диференциални уравнения, чиито решения могат да бъдат записани във формата елементарни функции, тоест полиномни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции, както и техните обратни функции. Много от тези уравнения се срещат в реалния живот, въпреки че повечето други диференциални уравнения не могат да бъдат решени с тези методи и за тях отговорът се записва като специални функции или степенни редове, или се намира чрез числени методи.

За да разберете тази статия, трябва да знаете диференциалното и интегралното смятане, както и да имате известна представа за частните производни. Препоръчва се също така да се познават основите на линейната алгебра, приложена към диференциалните уравнения, особено диференциалните уравнения от втори ред, въпреки че познаването на диференциалното и интегралното смятане е достатъчно за решаването им.

Предварителна информация

• Диференциалните уравнения имат обширна класификация. Тази статия говори за обикновени диференциални уравнения, тоест за уравнения, които включват функция на една променлива и нейните производни. Обикновените диференциални уравнения са много по-лесни за разбиране и решаване от частични диференциални уравнения, които включват функции на няколко променливи. Тази статия не разглежда частични диференциални уравнения, тъй като методите за решаване на тези уравнения обикновено се определят от тяхната специфична форма.
  • По-долу са някои примери за обикновени диференциални уравнения.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • По-долу са някои примери за частични диференциални уравнения.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Поръчкадиференциалното уравнение се определя от порядъка на най-високата производна, включена в това уравнение. Първото от горните обикновени диференциални уравнения е от първи ред, докато второто е от втори ред. Степенна диференциално уравнение се нарича най-високата степен, на която е повдигнат един от членовете на това уравнение.
  • Например уравнението по-долу е от трети ред и втора степен.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ надясно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Диференциалното уравнение е линейно диференциално уравнениеако функцията и всички нейни производни са на първа степен. В противен случай уравнението е нелинейно диференциално уравнение. Линейните диференциални уравнения са забележителни с това, че от техните решения могат да бъдат направени линейни комбинации, които също ще бъдат решения на това уравнение.
  • По-долу са някои примери за линейни диференциални уравнения.
  • По-долу са някои примери за нелинейни диференциални уравнения. Първото уравнение е нелинейно поради синуса.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Общо решениеобикновеното диференциално уравнение не е уникално, то включва произволни константи на интегриране. В повечето случаи броят на произволните константи е равен на реда на уравнението. На практика стойностите на тези константи се определят от дадените начални условия, тоест по стойностите на функцията и нейните производни при x = 0. (\displaystyle x=0.)Броят на началните условия, които са необходими за намиране частно решениедиференциално уравнение, в повечето случаи също е равно на реда на това уравнение.
  • Например тази статия ще разгледа решаването на уравнението по-долу. Това е линейно диференциално уравнение от втори ред. Неговото общо решение съдържа две произволни константи. За да се намерят тези константи, е необходимо да се знаят началните условия при x (0) (\displaystyle x(0))И x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обикновено началните условия се дават в точката x = 0, (\displaystyle x=0,), въпреки че това не е задължително. Тази статия също ще разгледа как да намерим конкретни решения за дадени начални условия.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

стъпки

Част 1

Уравнения от първи ред

Когато използвате тази услуга, част от информацията може да бъде прехвърлена към YouTube.

1. Линейни уравнения от първи ред.Този раздел разглежда методите за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред в общи и специални случаи, когато някои членове са равни на нула. Нека се преструваме, че y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))И q (x) (\displaystyle q(x))са функции х . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Според една от основните теореми на математическия анализ, интегралът на производната на функция също е функция. По този начин е достатъчно просто да интегрирате уравнението, за да намерите неговото решение. В този случай трябва да се има предвид, че при изчисляване на неопределения интеграл се появява произволна константа.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Използваме метода разделяне на променливи. В този случай различни променливи се прехвърлят към различни страни на уравнението. Например, можете да прехвърлите всички членове от y (\displaystyle y)в едно и всички членове с x (\displaystyle x)от другата страна на уравнението. Членовете също могат да бъдат премествани d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)И d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), които са включени в производни изрази, но трябва да се помни, че това е само конвенция, която е удобна при диференциране на сложна функция. Обсъждане на тези термини, които се наричат диференциали, е извън обхвата на тази статия.

   • Първо, трябва да преместите променливите от противоположните страни на знака за равенство.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ние интегрираме двете страни на уравнението. След интегрирането от двете страни се появяват произволни константи, които могат да бъдат прехвърлени в дясната страна на уравнението.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.1.В последната стъпка използвахме правилото e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))и заменен e C (\displaystyle e^(C))На C (\displaystyle C), защото също е произволна константа на интегриране.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(подравнено)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)За да намерим общото решение, въведохме интегриращ факторкато функция на x (\displaystyle x)да редуцираме лявата страна до обща производна и по този начин да решим уравнението.

   • Умножете двете страни по μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • За да се намали лявата страна до обща производна, трябва да се направят следните трансформации:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Последното равенство означава това d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Това е интегриращ фактор, който е достатъчен за решаване на всяко линейно уравнение от първи ред. Сега можем да изведем формула за решаване на това уравнение по отношение на µ , (\displaystyle \mu ,)въпреки че за обучение е полезно да се направят всички междинни изчисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.2.В този пример разглеждаме как да намерим конкретно решение на диференциално уравнение с дадени начални условия.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Решаване на линейни уравнения от първи ред (записано от Intuit – Национален Отворен Университет).

2. Нелинейни уравнения от първи ред. В този раздел се разглеждат методите за решаване на някои нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Въпреки че няма общ метод за решаване на такива уравнения, някои от тях могат да бъдат решени с помощта на методите по-долу.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Ако функцията f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))може да се раздели на функции на една променлива, такова уравнение се нарича разделимо диференциално уравнение. В този случай можете да използвате горния метод:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )х)
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ начало (подравнено)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(подравнено)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Нека се преструваме, че g (x, y) (\displaystyle g(x, y))И h (x, y) (\displaystyle h(x, y))са функции x (\displaystyle x)И y . (\displaystyle y.)Тогава хомогенно диференциално уравнениее уравнение, в което g (\displaystyle g)И h (\displaystyle h)са хомогенни функциисъщата степен. Тоест функциите трябва да отговарят на условието g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Където k (\displaystyle k)се нарича степен на хомогенност. Всяко хомогенно диференциално уравнение може да бъде дадено чрез подходящо промяна на променливите (v = y / x (\displaystyle v=y/x)или v = x / y (\displaystyle v=x/y)), за да преобразувате в уравнение с разделими променливи.

   • Пример 1.4.Горното описание на хомогенността може да изглежда неясно. Нека разгледаме тази концепция с пример.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Като начало трябва да се отбележи, че това уравнение е нелинейно по отношение на y . (\displaystyle y.)Виждаме също, че в този случай е невъзможно да се разделят променливите. Това диференциално уравнение обаче е хомогенно, тъй като и числителят, и знаменателят са хомогенни със степен 3. Следователно можем да направим промяна на променливите v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В резултат на това имаме уравнение за v (\displaystyle v)със споделени променливи.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Това Диференциално уравнение на Бернули- специален вид нелинейно уравнение от първа степен, чието решение може да бъде написано с помощта на елементарни функции.

   • Умножете двете страни на уравнението по (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Използваме правилото за диференциране на сложна функция от лявата страна и трансформираме уравнението в линейно уравнение по отношение на y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)които могат да бъдат решени с горните методи.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)Това общо диференциално уравнение. Необходимо е да се намери т.нар потенциална функция φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), което отговаря на условието d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • За да се изпълни това условие е необходимо да има тотална производна. Общата производна отчита зависимостта от други променливи. За изчисляване на общата производна φ (\displaystyle \varphi )от x , (\displaystyle x,)предполагаме, че y (\displaystyle y)може също да зависи от х . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Сравняването на термини ни дава M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))И N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Това е типичен резултат за уравнения с няколко променливи, където смесените производни на гладки функции са равни една на друга. Понякога този случай се нарича Теорема на Клеро. В този случай диференциалното уравнение е уравнение в общите диференциали, ако е изпълнено следното условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Методът за решаване на уравнения в общите диференциали е подобен на намирането на потенциални функции при наличието на няколко производни, които ще обсъдим накратко. Първо се интегрираме M (\displaystyle M)от х . (\displaystyle x.)Тъй като M (\displaystyle M)е функция и x (\displaystyle x), И y , (\displaystyle y,)при интегриране получаваме непълна функция φ , (\displaystyle \varphi ,)етикетиран като φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Резултатът включва и зависимите от y (\displaystyle y)константа на интеграция.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • След това, за да получите c (y) (\displaystyle c(y))можете да вземете частната производна на получената функция по отношение на y , (\displaystyle y,)приравнете резултата N (x, y) (\displaystyle N(x, y))и интегрирайте. Човек също може да се интегрира първо N (\displaystyle N), и след това вземете частичната производна по отношение на x (\displaystyle x), което ще ни позволи да намерим произволна функция d(x). (\displaystyle d(x).)И двата метода са подходящи и обикновено за интегриране се избира по-простата функция.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ частично (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Пример 1.5.Можете да вземете частни производни и да проверите дали уравнението по-долу е общо диференциално уравнение.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ако диференциалното уравнение не е общо диференциално уравнение, в някои случаи можете да намерите интегриращ фактор, който ще ви позволи да го преобразувате в общо диференциално уравнение. Въпреки това, такива уравнения рядко се използват на практика, въпреки че интегриращият фактор съществува, разберете, че се случва Не е лесно, така че тези уравнения не се разглеждат в тази статия.

Част 2

Уравнения от втори ред

1. Хомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Тези уравнения се използват широко в практиката, така че тяхното решаване е от първостепенно значение. В този случай не говорим за хомогенни функции, а за факта, че от дясната страна на уравнението има 0. В следващия раздел ще покажем как съответните разнороднидиференциални уравнения. По-долу a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)са константи.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение. Това диференциално уравнение е забележително с това, че може да бъде решено много лесно, ако обърнете внимание какви свойства трябва да притежават неговите решения. От уравнението се вижда, че y (\displaystyle y)и неговите производни са пропорционални една на друга. От предишните примери, които бяха разгледани в раздела за уравнения от първи ред, знаем, че само експоненциалната функция има това свойство. Следователно е възможно да се изложи анзац(обосновано предположение) какво ще бъде решението на даденото уравнение.

   • Решението ще бъде под формата на експоненциална функция e r x , (\displaystyle e^(rx),)Където r (\displaystyle r)е константа, чиято стойност трябва да се намери. Заместете тази функция в уравнението и получете следния израз
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Това уравнение показва, че произведението на експоненциална функция и полином трябва да бъде нула. Известно е, че показателят не може да бъде равен на нула за никакви стойности на степента. Оттук заключаваме, че полиномът е равен на нула. Така сведохме проблема за решаване на диференциално уравнение до много по-прост проблем за решаване на алгебрично уравнение, което се нарича характеристично уравнение за дадено диференциално уравнение.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Имаме два корена. Тъй като това диференциално уравнение е линейно, общото му решение е линейна комбинация от частични решения. Тъй като това е уравнение от втори ред, знаем, че това е наистина лиобщо решение и няма други. По-строгата обосновка за това е в теоремите за съществуването и уникалността на решението, които могат да бъдат намерени в учебниците.
   • Полезен начин да проверите дали две решения са линейно независими е да изчислите Вронскиан. Вронскиан W (\displaystyle W)- това е детерминантата на матрицата, в колоните на която има функции и техните последователни производни. Теоремата за линейната алгебра гласи, че функциите във Wronskian са линейно зависими, ако Wronskian е равен на нула. В този раздел можем да проверим дали две решения са линейно независими, като се уверим, че Wronskian не е нула. Wronskian е важен при решаването на нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез метода на вариация на параметрите.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • От гледна точка на линейната алгебра, множеството от всички решения на дадено диференциално уравнение образува векторно пространство, чиято размерност е равна на реда на диференциалното уравнение. В това пространство може да се избере основа от линейно независимирешения един от друг. Това е възможно поради факта, че функцията y (x) (\displaystyle y(x))валиден линеен оператор. Производна елинеен оператор, тъй като трансформира пространството на диференцируемите функции в пространството на всички функции. Уравненията се наричат ​​хомогенни в случаите, когато за някой линеен оператор L (\displaystyle L)изисква се да се намери решение на уравнението L [y] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Нека сега се обърнем към няколко конкретни примера. Случаят на множество корени на характеристичното уравнение ще бъде разгледан малко по-късно, в раздела за намаляване на реда.

   Ако корените r ± (\displaystyle r_(\pm ))са различни реални числа, диференциалното уравнение има следното решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Два сложни корена.От основната теорема на алгебрата следва, че решенията на полиномиални уравнения с реални коефициенти имат корени, които са реални или образуват спрегнати двойки. Следователно, ако комплексното число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )тогава е коренът на характеристичното уравнение r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )също е коренът на това уравнение. По този начин решението може да бъде записано във формата c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)това обаче е комплексно число и е нежелателно при решаването на практически проблеми.

   • Вместо това можете да използвате Формула на Ойлер e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), което ви позволява да напишете решението под формата на тригонометрични функции:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Сега можете вместо постоянно c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записвам c 1 (\displaystyle c_(1)), и изразът i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))заменен от c 2 . (\displaystyle c_(2).)След това получаваме следното решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Има друг начин да напишете решението по отношение на амплитудата и фазата, който е по-подходящ за физически проблеми.
   • Пример 2.1.Нека намерим решението на даденото по-долу диференциално уравнение с дадени начални условия. За това е необходимо да вземете получения разтвор, както и неговата производна, и ги заместваме в началните условия, което ще ни позволи да определим произволни константи.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )и)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Решаване на диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти (записано от Intuit - Национален Отворен Университет).

2. Ред за понижаване.Намаляването на реда е метод за решаване на диференциални уравнения, когато е известно едно линейно независимо решение. Този метод се състои в понижаване на реда на уравнението с единица, което позволява уравнението да бъде решено с помощта на методите, описани в предишния раздел. Нека решението е известно. Основната идея за намаляване на поръчката е да се намери решение във формата по-долу, където е необходимо да се дефинира функцията v (x) (\displaystyle v(x)), замествайки го в диференциалното уравнение и намирайки v(x). (\displaystyle v(x).)Нека разгледаме как може да се използва намаляване на реда за решаване на диференциално уравнение с постоянни коефициенти и множество корени.

   
   

   Множество коренихомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Спомнете си, че уравнение от втори ред трябва да има две линейно независими решения. Ако характеристичното уравнение има множество корени, множеството от решения Необразува пространство, тъй като тези решения са линейно зависими. В този случай трябва да се използва намаляване на реда, за да се намери второ линейно независимо решение.

   • Нека характеристичното уравнение има множество корени r (\displaystyle r). Предполагаме, че второто решение може да бъде написано като y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), и го заместете в диференциалното уравнение. В този случай повечето от членовете, с изключение на члена с втората производна на функцията v, (\displaystyle v,)ще бъдат намалени.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Пример 2.2.Дадено е следното уравнение, което има множество корени r = − 4. (\displaystyle r=-4.)При заместване повечето термини се анулират.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\край (подравнено)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Подобно на нашия анзац за диференциално уравнение с постоянни коефициенти, в този случай само втората производна може да бъде равна на нула. Интегрираме два пъти и получаваме желания израз за v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Тогава общото решение на диференциално уравнение с постоянни коефициенти, ако характеристичното уравнение има множество корени, може да се запише в следната форма. За удобство можете да запомните, че за да получите линейна независимост, е достатъчно просто да умножите втория член по x (\displaystyle x). Този набор от решения е линейно независим и по този начин намерихме всички решения на това уравнение.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Намаляването на поръчката е приложимо, ако решението е известно y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), които могат да бъдат намерени или дадени в формулировката на проблема.

   • Търсим решение във формата y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))и го включете в това уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Тъй като y 1 (\displaystyle y_(1))е решение на диференциалното уравнение, всички членове с v (\displaystyle v)се свиват. В резултат на това остава линейно уравнение от първи ред. За да видим това по-ясно, нека променим променливите w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ако интегралите могат да бъдат изчислени, получаваме общото решение като комбинация от елементарни функции. В противен случай решението може да се остави в интегрална форма.

3. Уравнение на Коши-Ойлер.Уравнението на Коши-Ойлер е пример за диференциално уравнение от втори ред с променливикоефициенти, който има точни решения. Това уравнение се използва на практика, например, за решаване на уравнението на Лаплас в сферични координати.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение.Както можете да видите, в това диференциално уравнение всеки член съдържа фактор на мощността, чиято степен е равна на порядъка на съответната производна.

   • Така може да се опита да се търси решение във формуляра y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)къде да се определи n (\displaystyle n), точно както търсихме решение под формата на експоненциална функция за линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. След диференциране и заместване получаваме
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • За да използваме характеристичното уравнение, трябва да приемем, че x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Точка x = 0 (\displaystyle x=0)Наречен правилна особена точкадиференциално уравнение. Такива точки са важни при решаване на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Това уравнение има два корена, които могат да бъдат различни и реални, многократно или комплексно спрегнати.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Два различни реални корена.Ако корените n ± (\displaystyle n_(\pm ))са реални и различни, тогава решението на диференциалното уравнение има следния вид:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Два сложни корена.Ако характеристичното уравнение има корени n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), решението е сложна функция.

   • За да трансформираме решението в реална функция, правим промяна на променливите x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)това е t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)и използвайте формулата на Ойлер. Подобни действия бяха извършени по-рано при дефиниране на произволни константи.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Тогава общото решение може да бъде написано като
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Множество корени.За да се получи второ линейно независимо решение, е необходимо редуцирането отново.

   • Необходими са доста изчисления, но принципът е същият: ние заместваме y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))в уравнение, чието първо решение е y 1 (\displaystyle y_(1)). След редукции се получава следното уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Това е линейно уравнение от първи ред по отношение на v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Неговото решение е v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Така решението може да се запише в следната форма. Доста лесно е да запомните - за да получите второто линейно независимо решение, просто ви трябва допълнителен член с ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Нееднородни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Нехомогенните уравнения имат формата L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Където f (x) (\displaystyle f(x))- т.нар безплатен член. Според теорията на диференциалните уравнения общото решение на това уравнение е суперпозиция частно решение y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))И допълнително решение y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)В този случай обаче конкретно решение не означава решение, дадено от началните условия, а по-скоро решение, което се дължи на наличието на нехомогенност (свободен член). Допълнителното решение е решението на съответното хомогенно уравнение, в което f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Общото решение е суперпозиция на тези две решения, тъй като L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), и оттогава L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)такава суперпозиция е наистина общо решение.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Метод на неопределените коефициенти.Методът на неопределените коефициенти се използва в случаите, когато свободният член е комбинация от експоненциални, тригонометрични, хиперболични или степенни функции. Гарантирано е, че само тези функции имат краен брой линейно независими производни. В този раздел ще намерим конкретно решение на уравнението.

   • Сравнете термините в f (x) (\displaystyle f(x))с термини при игнориране на постоянни фактори. Възможни са три случая.
     • Няма идентични членове.В този случай конкретно решение y p (\displaystyle y_(p))ще бъде линейна комбинация от членове от y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е нула или положително цяло число и този член съответства на единствен корен от характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))ще се състои от комбинация от функцията x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)неговите линейно независими производни, както и други термини f (x) (\displaystyle f(x))и техните линейно независими производни.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член h (x) , (\displaystyle h(x),) което е произведение x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е равно на 0 или положително цяло число и този член съответства на многократникорен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))е линейна комбинация от функцията x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Където s (\displaystyle s)- кратност на корена) и неговите линейно независими производни, както и други членове на функцията f (x) (\displaystyle f(x))и неговите линейно независими производни.
   • Нека запишем y p (\displaystyle y_(p))като линейна комбинация от горните термини. Поради тези коефициенти в линейна комбинация, този метод се нарича "метод на неопределените коефициенти". При поява на съдържащите се в y c (\displaystyle y_(c))техните членове могат да бъдат отхвърлени поради наличието на произволни константи в y c . (\displaystyle y_(c).)След това заместваме y p (\displaystyle y_(p))в уравнение и приравняване на подобни членове.
   • Ние определяме коефициентите. На този етап се получава система от алгебрични уравнения, която обикновено се решава без особени проблеми. Решението на тази система дава възможност да се получи y p (\displaystyle y_(p))и по този начин да реши уравнението.
   • Пример 2.3.Да разгледаме нехомогенно диференциално уравнение, чийто свободен член съдържа краен брой линейно независими производни. Конкретно решение на такова уравнение може да се намери чрез метода на неопределените коефициенти.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(подравнено)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ край (случаи)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Метод на Лагранж.Методът на Лагранж или методът на вариация на произволни константи е по-общ метод за решаване на нехомогенни диференциални уравнения, особено в случаите, когато свободният член не съдържа краен брой линейно независими производни. Например с безплатни членове tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)или x − n (\displaystyle x^(-n))за да се намери конкретно решение, е необходимо да се използва методът на Лагранж. Методът на Лагранж може дори да се използва за решаване на диференциални уравнения с променливи коефициенти, въпреки че в този случай, с изключение на уравнението на Коши-Ойлер, той се използва по-рядко, тъй като допълнителното решение обикновено не се изразява чрез елементарни функции.

   • Да приемем, че решението има следния вид. Производната му е дадена във втория ред.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Тъй като предложеното решение съдържа двенеизвестни количества, е необходимо да се наложи допълнителенсъстояние. Избираме това допълнително условие в следната форма:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Сега можем да получим второто уравнение. След като замените и преразпределите членове, можете да групирате заедно членове с v 1 (\displaystyle v_(1))и членове от v 2 (\displaystyle v_(2)). Тези условия са отменени, защото y 1 (\displaystyle y_(1))И y 2 (\displaystyle y_(2))са решения на съответното хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме следната система от уравнения
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Тази система може да се трансформира в матрично уравнение от вида A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)чието решение е x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)За матрица 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)обратната матрица се намира чрез разделяне на детерминантата, пермутиране на диагоналните елементи и обръщане на знака на недиагоналните елементи. Всъщност детерминантата на тази матрица е Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Изрази за v 1 (\displaystyle v_(1))И v 2 (\displaystyle v_(2))са изброени по-долу. Както при метода на редукция, и в този случай по време на интегрирането се появява произволна константа, която включва допълнително решение в общото решение на диференциалното уравнение.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Лекция на Национален отворен университет Интуит на тема "Линейни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти".

Практическа употреба

Диференциалните уравнения установяват връзка между функция и една или повече от нейните производни. Тъй като такива връзки са толкова често срещани, диференциалните уравнения са намерили широко приложение в голямо разнообразие от области и тъй като живеем в четири измерения, тези уравнения често са диференциални уравнения в частенпроизводни. Този раздел обсъжда някои от най-важните уравнения от този тип.

• Експоненциален растеж и разпад.радиоактивно разпадане. Сложна лихва. Скоростта на химичните реакции. Концентрацията на лекарства в кръвта. Неограничен растеж на населението. Закон на Нютон-Рихман. В реалния свят има много системи, в които скоростта на растеж или разпад във всеки даден момент е пропорционална на количеството в този момент или може да бъде добре приближена чрез модел. Това е така, защото решението на това диференциално уравнение, експоненциалната функция, е една от най-важните функции в математиката и други науки. По-общо, при контролиран растеж на населението, системата може да включва допълнителни условия, които ограничават растежа. В уравнението по-долу, константата k (\displaystyle k)може да бъде по-голямо или по-малко от нула.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Хармонични вибрации.Както в класическата, така и в квантовата механика, хармоничният осцилатор е една от най-важните физически системи поради своята простота и широко приложение за апроксимиране на по-сложни системи като обикновено махало. В класическата механика хармоничните трептения се описват с уравнение, което свързва позицията на материална точка с нейното ускорение чрез закона на Хук. В този случай могат да се вземат предвид и затихването и движещите сили. В израза по-долу x ˙ (\displaystyle (\точка (x)))- времева производна на x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )е параметър, който описва силата на затихване, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ъглова честота на системата, F (t) (\displaystyle F(t))е движеща сила, зависима от времето. Хармоничният осцилатор присъства и в електромагнитните осцилаторни вериги, където може да се реализира с по-голяма точност, отколкото в механичните системи.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Уравнение на Бесел.Диференциалното уравнение на Бесел се използва в много области на физиката, включително решението на уравнението на вълната, уравнението на Лаплас и уравнението на Шрьодингер, особено при наличието на цилиндрична или сферична симетрия. Това диференциално уравнение от втори ред с променливи коефициенти не е уравнение на Коши-Ойлер, така че неговите решения не могат да бъдат записани като елементарни функции. Решенията на уравнението на Бесел са функциите на Бесел, които са добре проучени поради факта, че се използват в много области. В израза по-долу α (\displaystyle \alpha )е константа, която съвпада поръчкаФункции на Бесел.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Уравнения на Максуел.Заедно със силата на Лоренц, уравненията на Максуел формират основата на класическата електродинамика. Това са четири частични диференциални уравнения за електричеството E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))и магнитни B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))полета. В изразите по-долу ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- плътност на заряда, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))е плътността на тока, и ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))И μ 0 (\displaystyle \mu _(0))са съответно електрическата и магнитната константи.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Уравнение на Шрьодингер.В квантовата механика уравнението на Шрьодингер е основното уравнение на движението, което описва движението на частиците в съответствие с промяната на вълновата функция Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))с време. Уравнението на движението се описва от поведението Хамилтонов H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - оператор, който описва енергията на системата. Един от добре познатите примери за уравнението на Шрьодингер във физиката е уравнението за една нерелативистична частица, която е подложена на потенциала V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Много системи се описват от зависимото от времето уравнение на Шрьодингер, като уравнението е от лявата страна E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)Където E (\displaystyle E)е енергията на частицата. В изразите по-долу ℏ (\displaystyle \hbar )е намалената константа на Планк.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• вълново уравнение.Невъзможно е да си представим физиката и техниката без вълни, те присъстват във всички видове системи. Като цяло вълните се описват с уравнението по-долу, в което u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))е желаната функция и c (\displaystyle c)- експериментално определена константа. d'Alembert беше първият, който откри, че за едномерния случай решението на вълновото уравнение е всякаквифункция с аргумент x − c t (\displaystyle x-ct), който описва произволна вълна, разпространяваща се надясно. Общото решение за едномерния случай е линейна комбинация от тази функция с втора функция с аргумент x + c t (\displaystyle x+ct), което описва вълна, разпространяваща се наляво. Това решение е представено във втория ред.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Уравнения на Навие-Стокс.Уравненията на Навие-Стокс описват движението на течности. Тъй като течностите присъстват в почти всяка област на науката и технологиите, тези уравнения са изключително важни за прогнозиране на времето, дизайн на самолети, океански течения и много други приложения. Уравненията на Навие-Стокс са нелинейни частични диференциални уравнения и в повечето случаи е много трудно да се решат, тъй като нелинейността води до турбулентност и за да се получи стабилно решение чрез числени методи, разделяне на много малки клетки е необходимо, което изисква значителна изчислителна мощност. За практически цели в хидродинамиката се използват методи като усредняване на времето за моделиране на турбулентни потоци. Дори по-основните въпроси, като съществуването и уникалността на решенията за нелинейни частични диференциални уравнения, са сложни проблеми, а доказването на съществуването и уникалността на решенията на уравненията на Навие-Стокс в три измерения е сред математическите проблеми на хилядолетието . По-долу са уравнението на потока на несвиваем флуид и уравнението за непрекъснатост.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Много диференциални уравнения просто не могат да бъдат решени с горните методи, особено тези, споменати в последния раздел. Това се прилага, когато уравнението съдържа променливи коефициенти и не е уравнение на Коши-Ойлер, или когато уравнението е нелинейно, освен в няколко много редки случая. Горните методи обаче ви позволяват да решавате много важни диференциални уравнения, които често се срещат в различни области на науката.
• За разлика от диференцирането, което ви позволява да намерите производната на всяка функция, интегралът на много изрази не може да бъде изразен в елементарни функции. Затова не губете време в опити да изчислите интеграла там, където е невъзможно. Вижте таблицата с интегралите. Ако решението на диференциално уравнение не може да бъде изразено чрез елементарни функции, понякога то може да бъде представено в интегрална форма и в този случай няма значение дали този интеграл може да бъде изчислен аналитично.

Предупреждения

• Външен виддиференциалното уравнение може да бъде подвеждащо. Например, по-долу са две диференциални уравнения от първи ред. Първото уравнение се решава лесно с помощта на методите, описани в тази статия. На пръв поглед незначителна промяна y (\displaystyle y)На y 2 (\displaystyle y^(2))във второто уравнение го прави нелинейно и става много трудно за решаване.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Първият ред, който има стандартната форма $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, където $P\left(x\right)$ е непрекъсната функция, се нарича линейно хомогенен. Името "линеен" се обяснява с факта, че неизвестната функция $y$ и нейната първа производна $y"$ влизат в уравнението линейно, тоест на първа степен. Името "хомогенен" се обяснява с факта, че нулата е от дясната страна на уравнението.

Такова диференциално уравнение може да бъде решено чрез метода на разделяне на променливите. Нека го представим в стандартната форма на метода: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, където $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ и $f_(2) \left(y\right)=y$.

Нека изчислим интеграла $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Изчислете интеграла $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

Записваме общото решение като $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, където $\ln \ left |C_(1) \right|$ е произволна константа, взета във вид, удобен за по-нататъшни трансформации.

Нека направим трансформациите:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Използвайки дефиницията на логаритъма, получаваме: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Това равенство от своя страна е еквивалентно на $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Заменяйки произволна константа $C=\pm C_(1) $, получаваме общото решение на линейното хомогенно диференциално уравнение: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Решавайки уравнението $f_(2) \left(y\right)=y=0$, намираме сингулярни решения. Чрез проста проверка се уверяваме, че функцията $y=0$ е специално решение на даденото диференциално уравнение.

Въпреки това, същото решение може да се получи от общото решение $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ чрез задаване на $C=0$ в него.

Така че крайният резултат е: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Общият метод за решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение от първи ред може да бъде представен като следния алгоритъм:

1. За да се реши това уравнение, то първо трябва да бъде представено в стандартната форма на метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Ако това не е постигнато, това диференциално уравнение трябва да бъде решено чрез друг метод.
2. Изчислете интеграла $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Записваме общото решение като $y=C\cdot e^(-I) $ и, ако е необходимо, извършваме опростяващи трансформации.

Задача 1

Намерете общото решение на диференциалното уравнение $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Имаме линейно хомогенно уравнение от първи ред в стандартната форма, за което $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Изчислете интеграла $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Общото решение е: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Линейни нехомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение

Диференциално уравнение от първи ред, което може да бъде представено в стандартната форма $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, където $P\left(x\right) $ и $ Q\left(x\right)$ -- известни непрекъснати функции, се нарича линейно нехомогенно диференциално уравнение. Името "нехомогенно" се обяснява с факта, че дясната страна на диференциалното уравнение е различна от нула.

Решението на едно сложно линейно нехомогенно диференциално уравнение може да се сведе до решението на две по-прости диференциални уравнения. За да направите това, желаната функция $y$ трябва да бъде заменена с произведението на две спомагателни функции $u$ и $v$, тоест да поставите $y=u\cdot v$.

Разграничаваме приетата замяна: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Заместваме получения израз в това диференциално уравнение: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ или $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ дясно] =Q\ляво(x\дясно)$.

Обърнете внимание, че ако се приеме $y=u\cdot v$, тогава една от спомагателните функции може да бъде избрана произволно като част от продукта $u\cdot v$. Избираме спомагателна функция $v$, така че изразът в квадратни скоби да изчезва. За да направите това, достатъчно е да решите диференциалното уравнение $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ по отношение на функцията $v$ и да изберете за него най-простото частно решение $v=v\left(x \right)$ различно от нула. Това диференциално уравнение е линейно хомогенно и се решава по горния метод.

Заместваме полученото решение $v=v\left(x\right)$ в това диференциално уравнение, като вземем предвид факта, че сега изразът в квадратни скоби е равен на нула и получаваме още едно диференциално уравнение, но сега с по отношение на спомагателната функция $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Това диференциално уравнение може да бъде представено като $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, след което става очевидно, че то допуска директна интеграция. За това диференциално уравнение е необходимо да се намери общо решение във формата $u=u\left(x,\; C\right)$.

Сега можем да намерим общото решение на това линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред във формата $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общият метод за решаване на линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред може да бъде представен като следния алгоритъм:

1. За да се реши това уравнение, то първо трябва да бъде представено в стандартната форма на метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Ако това не се постигне, тогава това диференциално уравнение трябва да се реши по различен метод.
2. Изчислете интеграла $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, запишете конкретното решение като $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, изпълнете опростяващи трансформации и изберете най-простия ненулев вариант за $v\left(x\right)$.
3. Изчисляваме интеграла $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, след което записваме израза като $u\left (x, C\дясно)=I_(2) +C$.
4. Записваме общото решение на това линейно нехомогенно диференциално уравнение във формата $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и, ако е необходимо, извършваме опростяващи трансформации.

Задача 2

Намерете общото решение на диференциалното уравнение $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Имаме линейно нехомогенно уравнение от първи ред в стандартната форма, за което $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Изчислете интеграла $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записваме конкретно решение като $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ и извършваме опростяващи трансформации: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ надясно|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Избираме за $v\left(x\right)$ най-простия ненулев вариант: $v\left(x\right)=x$.

Изчислете интеграла $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx=3\cdot x $.

Записваме израза $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Накрая записваме общото решение на това линейно нехомогенно диференциално уравнение във формата $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, т.е. $y=\left(3\ cdot x+C \right)\cdot x$.

Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциалните уравнения. Както всяко диференциално и интегрално смятане, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смяташе това свое откритие за толкова важно, че дори шифрова съобщението, което днес може да се преведе по следния начин: „Всички закони на природата се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.

Огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения направиха математиците Ойлер и Лагранж. Още през 18 век те откриват и развиват това, което сега изучават в старшите курсове на университетите.

Нов крайъгълен камък в изучаването на диференциалните уравнения започва благодарение на Анри Поанкаре. Той създава "качествена теория на диференциалните уравнения", която в комбинация с теорията на функциите на комплексна променлива има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговите свойства.

Какво представляват диференциалните уравнения?

Много хора се страхуват от една фраза, но в тази статия ще опишем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които по своята същност са свързани с това определение. Да започнем с диференциала.

Диференциал

Много хора знаят тази концепция от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графика на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки от сегментите му да приеме формата на права линия. На него вземаме две точки, които са безкрайно близо една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка стойност. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал от y) и dx (диференциал от x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна стойност и това е неговото значение и основна функция.

И сега е необходимо да разгледаме следния елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на концепцията за диференциално уравнение. Това е производно.

Производна

Вероятно всички сме чували тази концепция в училище. Казва се, че производната е скоростта на нарастване или намаляване на функция. Голяма част от това определение обаче става неразбираемо. Нека се опитаме да обясним производната от гледна точка на диференциали. Нека се върнем към безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и за това разстояние, функцията успява да се промени с известна сума. И за да опишат тази промяна, те излязоха с производна, която иначе може да бъде записана като съотношение на диференциали: f (x) "=df / dx.

Сега си струва да разгледаме основните свойства на производното. Има само три от тях:

1. Производната на сбора или разликата може да бъде представена като сбор или разлика на производните: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от продуктите на една функция и производната на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всички тези свойства ще ни бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частната производна на тази функция, да кажем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.

Интеграл

Друго важно понятие е интегралът. Всъщност това е пряката противоположност на производната. Има няколко типа интеграли, но за решаване на най-простите диференциални уравнения са ни необходими най-тривиалните

И така, да кажем, че имаме някаква зависимост на f от x. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F (x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на оригиналната функция. Така F(x)"=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на оригиналната функция.

Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решение.

Уравненията са различни в зависимост от естеството си. В следващия раздел ще разгледаме типовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.

Класове диференциални уравнения

"Diffura" се разделят според реда на производните, участващи в тях. По този начин има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.

В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Също така ще обсъдим примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, тъй като това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и разнородни. След това ще научите как се различават един от друг и как да ги разрешите.

В допълнение, тези уравнения могат да се комбинират, така че след това да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ние също ще разгледаме такива системи и ще научим как да ги решаваме.

Защо разглеждаме само първата поръчка? Защото трябва да започнете с прост и просто е невъзможно да се опише всичко, свързано с диференциалните уравнения, в една статия.

Уравнения с разделими променливи

Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат записани по следния начин: y "=f (x) * f (y). За да решим това уравнение, имаме нужда от формула за представяне на производната като отношение на диференциали: y" = dy / dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, тоест ще прехвърлим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава чрез вземане на интегралите от двете части. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.

Решението на всяка "дифузия" е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако има числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека да разгледаме цялото решение, като използваме конкретен пример:

Прехвърляме променливи в различни посоки:

Сега вземаме интеграли. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица с интеграли. И получаваме:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако не е дадено условие. Може да се даде условие, например, y(n/2)=e. След това просто заместваме стойността на тези променливи в решението и намираме стойността на константата. В нашия пример то е равно на 1.

Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Сега да преминем към по-трудната част. Хомогенните диференциални уравнения от първи ред могат да бъдат записани в обща форма, както следва: y "= z (x, y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости : z върху x и z върху y. Проверете дали уравнението е хомогенно или не е доста просто: правим заместването x=k*x и y=k*y.Сега анулираме всички k.Ако всички тези букви имат е намален, тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да продължите да го решавате. Гледайки напред, кажете: принципът на решаване на тези примери също е много прост.

Трябва да направим замяна: y=t(x)*x, където t е някаква функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y"=t"(x)*x+t. Замествайки всичко това в нашето първоначално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с разделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, просто заместваме y=t(x)*x в нашата предишна замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.

За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверка със смяна всичко е намалено. Така че уравнението наистина е хомогенно. Сега правим друго заместване, за което говорихме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t "(x) * x \u003d -e t. Решаваме получения пример с разделени променливи и получаваме: e -t \u003dln (C * x). Трябва само да заменим t с y / x (защото ако y \u003d t * x, тогава t \u003d y / x), и получаваме отговора: e -y / x \u003d ln (x * C).

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Време е да разгледаме друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейни диференциални уравнения от първи ред в обща форма могат да бъдат записани, както следва: y " + g (x) * y \u003d z (x). Струва си да се изясни, че z (x) и g (x) могат да бъдат постоянни стойности .

А сега пример: y" - y*x=x 2 .

Има два начина за решаване и ние ще анализираме и двата по ред. Първият е методът на вариация на произволни константи.

За да решите уравнението по този начин, първо трябва да приравните дясната страна на нула и да решите полученото уравнение, което след прехвърляне на частите ще приеме формата:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Сега трябва да заменим константата C 1 с функцията v(x), която трябва да намерим.

Нека променим производната:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

Нека заместим тези изрази в оригиналното уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Може да се види, че два члена са отменени от лявата страна. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Да продължим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

За да извлечем интеграла, трябва да приложим интегриране по части тук. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете сами да научите как да извършвате такива действия. Не е трудно и с достатъчно умения и внимание не отнема много време.

Нека се обърнем към втория метод за решаване на нехомогенни уравнения: методът на Бернули. Кой подход е по-бърз и лесен зависи от вас.

Така че, когато решаваме уравнението по този метод, трябва да направим замяна: y=k*n. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y"=k"*n+k*n". Заместваме двете замени в уравнението:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групиране:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Сега трябва да приравним към нула това, което е в скоби. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, която трябва да бъде решена:

Решаваме първото равенство като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:

Взимаме интеграла и получаваме: ln(n)=x 2 /2. Тогава, ако изразим n:

Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

И трансформирайки, получаваме същото равенство като в първия метод:

dk=x 2 /e x2/2.

Ние също няма да анализираме по-нататъшни действия. Струва си да се каже, че първоначално решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. С по-дълбоко потапяне в темата обаче започва да става все по-добре.

Къде се използват диференциалните уравнения?

Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма и формулите, които виждаме, са решението на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: от тях се извличат основните закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи като хищник-плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.

Как диференциалните уравнения ще помогнат в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: няма начин. Ако не сте учен или инженер, едва ли ще са ви полезни. Въпреки това, за общото развитие не боли да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на син или дъщеря "какво е диференциално уравнение?" няма да те обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да отговориш. Съгласете се, винаги е хубаво, когато разберете това, което хората дори се страхуват да разберат.

Основни проблеми в обучението

Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не сте добре да приемате производни и интеграли, тогава вероятно си струва да научите повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да продължите да изучавате материала, описан в статията.

Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да се прехвърля, защото по-рано (в училище) беше заявено, че фракцията dy / dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е отношението на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.

Мнозина не осъзнават веднага, че решението на диференциалните уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да бъде взет, и тази заблуда им създава много проблеми.

Какво друго може да се проучи за по-добро разбиране?

Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например по смятане за студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.

Струва си да се каже, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.

Заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.

Във всеки случай математиката по някакъв начин ни е полезна в живота. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е като без ръце.

Уравнение от първи ред под формата a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) се нарича линейно диференциално уравнение. Ако b (x) ≡ 0, тогава уравнението се нарича хомогенно, в противен случай - разнородни. За линейно диференциално уравнение теоремата за съществуване и уникалност има по-конкретна форма.

Сервизно задание. За проверка на решението може да се използва онлайн калкулатор хомогенни и нехомогенни линейни диференциални уравнениякато y"+y=b(x) .

=

Използвайте заместване на променлива y=u*v
Използвайте метода на произволна постоянна вариация
Намерете конкретно решение за y( ) = .

За да се получи решение, оригиналният израз трябва да бъде намален до формата: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Например, за y"-exp(x)=2*y ще бъде y"-2 *y=exp(x) .

Теорема. Нека a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) са непрекъснати в интервала [α,β], a 1 ≠0 за ∀x∈[α,β]. Тогава за всяка точка (x 0 , y 0), x 0 ∈ [α,β], има уникално решение на уравнението, което удовлетворява условието y(x 0) = y 0 и е дефинирано на целия интервал [α ,β].
Да разгледаме хомогенно линейно диференциално уравнение a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Разделяйки променливите, получаваме или, интегрирайки двете части, Последната връзка, като се вземе предвид записът exp(x) = e x , се записва във формата

Нека сега се опитаме да намерим решение на уравнението в посочения вид, в който функцията C(x) е заместена вместо константата C, тоест във формата

Замествайки това решение в първоначалното решение, след необходимите трансформации, получаваме Интегрирайки последното, имаме

където C 1 е някаква нова константа. Замествайки получения израз за C(x), най-накрая получаваме решението на оригиналното линейно уравнение
.

Пример. Решете уравнението y" + 2y = 4x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y" + 2y = 0. Решавайки го, получаваме y = Ce -2 x. Сега търсим решение на първоначалното уравнение във формата y = C(x)e -2 x . Замествайки y и y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x в оригиналното уравнение, имаме C"(x) = 4xe 2 x, откъдето C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 и y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x е общото решение на първоначалното уравнение. В това решение, y 1 ( x) = 2x-1 - движение на обекта под действието на сила b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - собствено движение на обекта.

Пример #2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение от първи ред y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Това е нехомогенно уравнение. Нека направим промяна на променливите: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решението се състои от две стъпки:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Приравнете u=0, намерете решение за 3v tg(3x)+v" = 0
Представете във формата: v" = -3v tg(3x)

Интегрирайки, получаваме:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Знаейки v, Намерете u от условието: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Интегрирайки, получаваме:
От условието y=u v получаваме:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД

Конспект на лекция за студенти по счетоводство

задочна форма на обучение (НИСПО)

Горки, 2013 г

Диференциални уравнения от първи ред

Концепцията за диференциално уравнение. Общи и частни решения

При изучаване на различни явления често не е възможно да се намери закон, който директно да свързва независимата променлива и желаната функция, но е възможно да се установи връзка между желаната функция и нейните производни.

Отношението, свързващо независимата променлива, търсената функция и нейните производни се нарича диференциално уравнение :

Тук хе независима променлива, ге желаната функция,
са производните на търсената функция. В този случай връзката (1) изисква наличието на поне една производна.

Редът на диференциалното уравнение е порядъкът на най-високата производна в уравнението.

Разгледайте диференциалното уравнение

. (2)

Тъй като това уравнение включва производна само от първи ред, то се нарича е диференциално уравнение от първи ред.

Ако уравнение (2) може да бъде решено по отношение на производната и записано като

, (3)

тогава такова уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред в нормална форма.

В много случаи е целесъобразно да се разглежда уравнение на формата

което се нарича диференциално уравнение от първи ред, написано в диференциална форма.

защото
, тогава уравнение (3) може да бъде написано като
или
, където човек може да разчита
И
. Това означава, че уравнение (3) е преобразувано в уравнение (4).

Записваме уравнение (4) във формата
. Тогава
,
,
, където човек може да разчита
, т.е. се получава уравнение от вида (3). Следователно уравнения (3) и (4) са еквивалентни.

Чрез решаване на диференциалното уравнение (2) или (3) произволна функция се извиква
, което при заместването му в уравнение (2) или (3) го превръща в идентичност:

или
.

Процесът на намиране на всички решения на диференциално уравнение се нарича негов интеграция и графиката на решението
се нарича диференциално уравнение интегрална крива това уравнение.

Ако решението на диференциалното уравнение се получи в неявна форма
, тогава се нарича интегрална дадено диференциално уравнение.

Общо решение диференциално уравнение от първи ред е семейство от функции на формата
, в зависимост от произволна константа СЪС, всяко от които е решение на дадено диференциално уравнение за всяка допустима стойност на произволна константа СЪС. По този начин диференциалното уравнение има безкраен брой решения.

Частно решение диференциално уравнение се нарича решението, получено от общата формула за решение за конкретна стойност на произволна константа СЪС, включително
.

Проблемът на Коши и неговата геометрична интерпретация

Уравнение (2) има безкраен брой решения. За да се отдели едно решение от това множество, което се нарича частно решение, трябва да бъдат посочени някои допълнителни условия.

Задачата за намиране на конкретно решение на уравнение (2) при дадени условия се нарича Проблем с Коши . Този проблем е един от най-важните в теорията на диференциалните уравнения.

Проблемът на Коши се формулира по следния начин: сред всички решения на уравнение (2) намерете такова решение
, в която функцията
приема дадена числова стойност ако независимата променлива х приема дадена числова стойност , т.е.

,
, (5)

Където де областта на функцията
.

Значение Наречен началната стойност на функцията , А – начална стойност на независимата променлива . Извиква се условие (5). начално състояние или Състояние на Коши .

От геометрична гледна точка проблемът на Коши за диференциалното уравнение (2) може да се формулира, както следва: от множеството интегрални криви на уравнение (2) изберете тази, която минава през дадена точка
.

Диференциални уравнения с разделими променливи

Един от най-простите видове диференциални уравнения е диференциално уравнение от първи ред, което не съдържа желаната функция:

. (6)

Като се има предвид това
, записваме уравнението във формата
или
. Интегрирайки двете страни на последното уравнение, получаваме:
или

. (7)

Така (7) е общо решение на уравнение (6).

Пример 1 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Записваме уравнението във формата
или
. Интегрираме двете части на полученото уравнение:
,
. Хайде най-накрая да запишем
.

Пример 2 . Намерете решение на уравнението
предвид това
.

Решение . Нека намерим общото решение на уравнението:
,
,
,
. По условие
,
. Заместител в общия разтвор:
или
. Заместваме намерената стойност на произволна константа във формулата за общото решение:
. Това е конкретното решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява даденото условие.

Уравнението

(8)

Наречен диференциално уравнение от първи ред, което не съдържа независима променлива . Записваме го във формата
или
. Интегрираме двете части на последното уравнение:
или
- общо решение на уравнение (8).

Пример . Намерете общо решение на уравнението
.

Решение . Записваме това уравнение във формата:
или
. Тогава
,
,
,
. По този начин,
е общото решение на това уравнение.

Типово уравнение

(9)

интегриран чрез разделяне на променливи. За да направим това, записваме уравнението във формата
и след това, използвайки операциите умножение и деление, го довеждаме до такава форма, че една част включва само функцията на хи диференциал dx, а във втората част - функция на прии диференциал dy. За да направите това, двете страни на уравнението трябва да бъдат умножени по dxи разделете на
. В резултат на това получаваме уравнението

, (10)

в които променливите хИ приразделени. Ние интегрираме двете части на уравнение (10):
. Получената връзка е общият интеграл на уравнение (9).

Пример 3 . Интегриране на уравнение
.

Решение . Трансформирайте уравнението и разделете променливите:
,
. Нека интегрираме:
,
или е общият интеграл на това уравнение.
.

Нека уравнението е дадено във формата

Такова уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи в симетрична форма.

За да се разделят променливите, двете страни на уравнението трябва да се разделят на
:

. (12)

Полученото уравнение се нарича отделено диференциално уравнение . Интегрираме уравнение (12):

.(13)

Съотношението (13) е общ интеграл на диференциалното уравнение (11).

Пример 4 . Интегрирайте диференциалното уравнение.

Решение . Записваме уравнението във формата

и разделете двете части на
,
. Полученото уравнение:
е уравнение с отделена променлива. Нека го интегрираме:

,
,

,
. Последното равенство е общият интеграл на даденото диференциално уравнение.

Пример 5 . Намерете конкретно решение на диференциално уравнение
, отговарящи на условието
.

Решение . Като се има предвид това
, записваме уравнението във формата
или
. Нека разделим променливите:
. Нека интегрираме това уравнение:
,
,
. Получената връзка е общият интеграл на това уравнение. По условие
. Заместете в общия интеграл и намерете СЪС:
,СЪС=1. Тогава изразът
е частно решение на даденото диференциално уравнение, записано като конкретен интеграл.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Уравнението

(14)

Наречен линейно диференциално уравнение от първи ред . неизвестна функция
и неговата производна влизат линейно в това уравнение, а функциите
И
непрекъснато.

Ако
, тогава уравнението

(15)

Наречен линеен хомогенен . Ако
, тогава се извиква уравнение (14). линейни нехомогенни .

За да се намери решение на уравнение (14), обикновено се използва метод на заместване (Бернули) , чиято същност е следната.

Решението на уравнение (14) ще се търси под формата на произведение на две функции

, (16)

Където
И
- някои непрекъснати функции. Заместител
и производна
в уравнение (14):

функция vще бъдат избрани по такъв начин, че условието
. Тогава
. Следователно, за да се намери решение на уравнение (14), е необходимо да се реши системата от диференциални уравнения

Първото уравнение на системата е линейно хомогенно уравнение и може да се реши чрез метода на разделяне на променливите:
,
,
,
,
. Като функция
може да се вземе едно от частните решения на хомогенното уравнение, т.е. при СЪС=1:
. Заместете във второто уравнение на системата:
или
.Тогава
. По този начин общото решение на линейно диференциално уравнение от първи ред има формата
.

Пример 6 . реши уравнението
.

Решение . Ще търсим решението на уравнението във вида
. Тогава
. Заместете в уравнението:

или
. функция vизберете по такъв начин, че равенството
. Тогава
. Решаваме първото от тези уравнения чрез метода на разделяне на променливи:
,
,
,
,. функция vЗаместете във второто уравнение:
,
,
,
. Общото решение на това уравнение е
.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Какво е диференциално уравнение?

Какъв е редът на диференциалното уравнение?

Кое диференциално уравнение се нарича диференциално уравнение от първи ред?

Как се записва диференциално уравнение от първи ред в диференциална форма?

Какво е решението на диференциално уравнение?

Какво е интегрална крива?

Какво е общото решение на диференциално уравнение от първи ред?

Какво е конкретно решение на диференциално уравнение?

Как се формулира проблемът на Коши за диференциално уравнение от първи ред?

Каква е геометричната интерпретация на проблема на Коши?

Как се записва диференциално уравнение с разделими променливи в симетрична форма?

Кое уравнение се нарича линейно диференциално уравнение от първи ред?

Какъв метод може да се използва за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред и каква е същността на този метод?

Задачи за самостоятелна работа

Решаване на диференциални уравнения с разделими променливи:

а)
; б)
;

V)
; G)
.

2. Решете линейни диференциални уравнения от първи ред:

а)
; б)
; V)
;

G)
; д)
.