Как да изчислим площта на паралелепипед. Странична повърхност на различни пирамиди

При подготовката за изпита по математика учениците трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчисля площта на пирамида. Освен това, започвайки от основата и страничните повърхности до цялата повърхност. Ако ситуацията е ясна със страничните лица, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.

Какво да направите, когато намерите площта на основата на пирамидата?

Това може да бъде абсолютно всяка фигура: от произволен триъгълник до n-gon. И тази основа, освен разликата в броя на ъглите, може да бъде правилна фигура или неправилна. В задачите на USE, които представляват интерес за учениците, има само задачи с правилните цифри в основата. Затова ще говорим само за тях.

правоъгълен триъгълник

Това е равностранно. Такъв, в който всички страни са равни и се обозначава с буквата "а". В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:

S = (a 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формулата за изчисляване на неговата площ е най-простата, тук "a" отново е страната:

Произволен правилен n-ъгълник

Страната на многоъгълник има същото обозначение. За броя на ъглите се използва латинската буква n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как да процедираме при изчисляване на страничната и общата повърхност?

Тъй като основата е правилна фигура, всички лица на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, ви е необходима формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на членовете се определя от броя на страните на основата.

Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от продукта на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Обозначението му е "А". Общата формула за страничната повърхност е:

S \u003d ½ P * A, където P е периметърът на основата на пирамидата.

Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоският ъгъл при нейния връх (α). Тогава се предполага, че се използва такава формула за изчисляване на страничната площ на пирамидата:

S = n/2 * в 2 sin α .

Задача №1

Състояние.Намерете общата площ на пирамидата, ако нейната основа е със страна 4 cm, а апотемата има стойност √3 cm.

Решение.Трябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P \u003d 3 * 4 \u003d 12 см. Тъй като апотемата е известна, можете веднага да изчислите площта на цялата странична повърхност: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

За триъгълник в основата ще се получи следната стойност на площта: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

За да определите цялата площ, ще трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Отговор. 10√3 cm2.

Задача №2

Състояние. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на страната на основата е 7 мм, страничният ръб е 16 мм. Трябва да знаете неговата повърхност.

Решение.Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, тогава основата му е квадрат. След като научите площите на основата и страничните лица, ще бъде възможно да изчислите площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А при страничните стени са известни всички страни на триъгълника. Следователно можете да използвате формулата на Heron, за да изчислите техните площи.

Първите изчисления са прости и водят до това число: 49 mm 2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че когато изчислявате окончателното число, ще трябва да го умножите по 4.

Оказва се: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Отговор. Желаната стойност е 267,576 mm 2.

Задача №3

Състояние. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. В него страната на квадрата е 6 см, а височината е 4 см.

Решение.Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметъра и апотемата. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-трудно.

Ще трябва да си спомним Питагоровата теорема и да разгледаме. Тя се образува от височината на пирамидата и апотемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на многостена попада в средата му.

Желаната апотема (хипотенузата на правоъгълен триъгълник) е √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Сега можете да изчислите желаната стойност: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Отговор. 96 см2.

Задача №4

Състояние.Правилната страна на основата му е 22 мм, страничните ребра са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полиедър?

Решение.Разсъжденията в нея са същите като описаните в задача No2. Само там е дадена пирамида с квадрат в основата, а сега е шестоъгълник.

На първо място, площта на основата се изчислява по горната формула: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Сега трябва да намерите полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е странично лице. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Остава да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник, като се използва формулата на Херон, след което да се умножи по шест и да се добави към този, който се оказа за база.

Изчисления по формулата на Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Изчисления, които ще дадат площ на страничната повърхност: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Остава да ги съберем, за да разберем цялата повърхност: 5217,47≈5217 cm 2.

Отговор.Основа - 726√3 cm 2, странична повърхност - 3960 cm 2, цялата площ - 5217 cm 2.

Цилиндърът е фигура, състояща се от цилиндрична повърхност и два кръга, разположени успоредно. Изчисляването на площта на цилиндър е проблем в геометричния клон на математиката, който се решава доста просто. Има няколко метода за решаването му, които в резултат винаги се свеждат до една формула.

Как да намерите площта на цилиндър - правила за изчисление

• За да разберете площта на цилиндъра, трябва да добавите две основни площи с площта на страничната повърхност: S \u003d S страна + 2 S основна. В по-подробна версия тази формула изглежда така: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площта на страничната повърхност на дадено геометрично тяло може да се изчисли, ако са известни неговата височина и радиусът на окръжността, лежаща под основата. В този случай можете да изразите радиуса от обиколката, ако е даден. Височината може да се намери, ако стойността на генератора е посочена в условието. В този случай образуващата ще бъде равна на височината. Формулата за страничната повърхност на дадено тяло изглежда така: S= 2 π rh.
• Площта на основата се изчислява по формулата за намиране на площта на кръг: S osn= π r 2 . В някои задачи радиусът може да не е даден, но обиколката е дадена. С тази формула радиусът се изразява доста лесно. С=2π r, r= С/2π. Трябва също да се помни, че радиусът е половината от диаметъра.
• Когато извършвате всички тези изчисления, числото π обикновено не се превежда в 3.14159 ... Просто трябва да го добавите до цифровата стойност, получена в резултат на изчисленията.
• Освен това е необходимо само да умножите намерената площ на основата по 2 и да добавите към полученото число изчислената площ на страничната повърхност на фигурата.
• Ако проблемът показва, че цилиндърът има аксиално сечение и това е правоъгълник, тогава решението ще бъде малко по-различно. В този случай ширината на правоъгълника ще бъде диаметърът на кръга, който лежи в основата на тялото. Дължината на фигурата ще бъде равна на образуващата или височината на цилиндъра. Необходимо е да се изчислят желаните стойности и да се заменят във вече известна формула. В този случай ширината на правоъгълника трябва да бъде разделена на две, за да се намери площта на основата. За да се намери страничната повърхност, дължината се умножава по два радиуса и по числото π.
• Можете да изчислите площта на дадено геометрично тяло чрез неговия обем. За да направите това, трябва да извлечете липсващата стойност от формулата V=π r 2 h.
• Няма нищо трудно при изчисляването на площта на цилиндъра. Трябва само да знаете формулите и да можете да извлечете от тях количествата, необходими за изчисленията.

Площта на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме с вас проблеми с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Височината на този триъгълник, изчертана от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF е апотема:

В вида на задачите, представени по-долу, се изисква да се намери площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. Блогът вече разгледа няколко проблема с правилни пирамиди, където беше повдигнат въпросът за намирането на елементи (височина, основен ръб, страничен ръб), .

В задачите на изпита по правило се разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Помислете за задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Площта на страната на пирамидата може да се изчисли, като се използва:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са 22, страничните ръбове са 61. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Намерете площта на триъгълник, като използвате формулата на Heron:

Така че площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да бъде намерена с помощта на различна формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамида, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

* Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, начертана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Така че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 10, страничните ръбове са 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са 10, страничните ръбове са 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- периметър на основата, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извеждат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност. В статията ще говорим за това как да намерим площта на цилиндър и, използвайки формулата, ще решим например няколко задачи.

Цилиндърът има три повърхности: горна, долна и странична повърхност.

Горната и долната част на цилиндъра са кръгове и са лесни за дефиниране.

Известно е, че площта на кръга е равна на πr 2. Следователно формулата за площта на два кръга (отгоре и отдолу на цилиндъра) ще изглежда като πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновена консервна кутия, която няма горен капак и дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от върха до дъното на буркана (Стъпка 1 на фигурата) и се опитайте да отворите (изправите) получената фигура, доколкото е възможно (Стъпка 2).

След пълното разкриване на получения буркан ще видим позната фигура (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Върхът на оригиналния цилиндър е окръжност и знаем, че обиколката на окръжност се изчислява по формулата: L = 2πr. На фигурата е отбелязано в червено.

Когато страничната стена на цилиндъра е напълно разширена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на страничната повърхност на цилиндър.

Формулата за площта на страничната повърхност на цилиндър
S страна = 2 prh

Пълна повърхност на цилиндър

И накрая, ако съберем площта на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндър. Площта на повърхността на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = ​​πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва с идентичната формула 2πr (r + h).

Формулата за общата повърхност на цилиндър
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r е радиусът на цилиндъра, h е височината на цилиндъра

Примери за изчисляване на повърхността на цилиндър

За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндър, като използваме примери.

1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2 prh

S страна = 2 * 3,14 * 2 * 3

S страна = 6,28 * 6

S страна = 37,68

Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.

2. Как да намерим повърхността на цилиндър, ако височината е 4 и радиусът е 6?

Общата повърхност се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Това е многостенна фигура, в основата на която лежи многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако основата е квадрат, тогава се нарича пирамида четириъгълна, ако триъгълникът е триъгълна. Височината на пирамидата се изчертава от върха й перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площта апотемае височината на страничната повърхност, спусната от нейния връх.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на нейните странични лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотемата:

Помислете за пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апотема a = 5 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Нека намерим периметъра. Тъй като всички лица на основата са равни, тогава периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега можете да намерите страничната област на пирамидата:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи правилен триъгълник и три странични стени, които са еднакви по площ.
Формулата за площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида може да се изчисли по много начини. Можете да приложите обичайната формула за изчисляване през периметъра и апотемата или можете да намерите площта на всяко лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, прилагаме формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължината на основата. Помислете за пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена е пирамида с апотема a = 4 см и лице на основата b = 2 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете областта на една от страничните повърхности. В този случай ще бъде:
Заменете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. Съответно:

Площта на пресечената пирамида

СъкратенПирамидата е многостен, образуван от пирамида и нейното сечение, успоредно на основата.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сумата на периметрите на основите и апотемата: