Обсъденият по-горе пример ни позволява да заключим, че стойностите, използвани за анализ, зависят от случайни причини, следователно такива променливи се наричат случаен. В повечето случаи те възникват в резултат на наблюдения или експерименти, които са таблични, в първия ред на които са записани различните наблюдавани стойности на случайната променлива X, а във втория - съответните честоти. Ето защо тази таблица се нарича емпирично разпределение на случайната променлива Xили вариационна серия. За вариационните серии намерихме средната стойност, дисперсията и стандартното отклонение.

непрекъснато, ако стойностите му напълно запълват определен числов интервал.

Случайната променлива се извиква отделен, ако всички негови стойности могат да бъдат номерирани (по-специално, ако приема краен брой стойности).

Трябва да се отбележат две неща характерни свойствадискретни таблици за разпределение на случайни променливи:

Всички числа във втория ред на таблицата са положителни;

Сборът им е равен на едно.

В съответствие с проведеното изследване може да се приеме, че с увеличаване на броя на наблюденията емпиричното разпределение се доближава до теоретичното, дадено в табличен вид.

Важна характеристика на дискретната случайна променлива е нейното математическо очакване.

Математическо очакванедискретна случайна променлива X, приемаща стойности, , ..., .с вероятности , , ..., се нарича числото:

Очакваната стойност се нарича още средна.

Други важни характеристики на случайна променлива включват дисперсия (8) и стандартно отклонение (9).

където: математическо очакване на стойността Х.

. (9)

Графичното представяне на информация е много по-визуално от табличното, така че способността на електронните таблици на MS Excel да представят съдържащите се в тях данни под формата на различни диаграми, графики и хистограми се използва много често. Така че, в допълнение към таблицата, разпределението на случайна променлива също е изобразено с помощта на разпределителен полигон. За целта точките с координати , , ... се конструират върху координатната равнина и се свързват с прави отсечки.

За да получите разпределителен правоъгълник с помощта на MS Excel, трябва:

1. Изберете раздела “Insert” ® “Area Chart” от лентата с инструменти.

2. Активирайте областта на диаграмата, която се появява на листа на MS Excel с десния бутон на мишката и използвайте командата „Избор на данни“ в контекстното меню.

Ориз. 6. Избор на източник на данни

Първо, нека дефинираме диапазона от данни за диаграмата. За да направите това, въведете диапазона C6:I6 в съответната област на диалоговия прозорец „Избор на източник на данни“ (той представя честотните стойности, наречени Series1, фиг. 7).

Ориз. 7. Добавяне на ред 1

За да промените името на серия, трябва да изберете бутона за промяна на областта „Елементи на легендата (серия)“ (вижте Фиг. 7) и да я наименувате.

За да добавите етикет на оста X, трябва да използвате бутона „Редактиране“ в областта „Етикети на хоризонталната ос (Категории)“.
(фиг. 8) и посочете стойностите на серията (диапазон $C$6:$I$6).

Ориз. 8. Краен изглед на диалоговия прозорец „Избор на източник на данни“.

Избиране на бутон в диалоговия прозорец Избор на източник на данни
(фиг. 8) ще ни позволи да получим необходимия полигон на разпределение на случайна променлива (фиг. 9).

Ориз. 9. Полигон на разпределение на случайна величина

Нека направим някои промени в дизайна на получената графична информация:

Нека добавим етикет за оста X;

Нека редактираме етикета на оста Y;

- Нека добавим заглавие за диаграмата “Полигон на разпределение”.

За да направите това, изберете раздела „Работа с диаграми“ в областта на лентата с инструменти, раздела „Оформление“ и в лентата с инструменти, която се показва, съответните бутони: „Заглавие на диаграма“, „Заглавия на оси“ (фиг. 10).

Ориз. 10. Окончателен изглед на полигона на разпределението на случайната променлива

Случайна величинае величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга неизвестна предварително стойност. Има случайни променливи прекъснат (дискретен)И непрекъснатоТип. Възможните стойности на прекъснати количества могат да бъдат изброени предварително. Възможните стойности на непрекъснати количества не могат да бъдат изброени предварително и непрекъснато да запълват определена празнина.

Пример за дискретни случайни променливи:

1) Броят пъти, в които гербът се появява при три хвърляния на монети. (възможни стойности 0;1;2;3)

2) Честота на появяване на герба в същия експеримент. (възможни стойности)

3) Броят на повредените елементи в устройство, състоящо се от пет елемента. (Възможни стойности 0;1;2;3;4;5)

Примери за непрекъснати случайни променливи:

1) Абсцисата (ордината) на точката на попадение при изстрел.

2) Разстояние от точката на удара до центъра на целта.

3) Време на работа на устройството (радио тръба).

Случайните променливи се означават с главни букви, а възможните им стойности - със съответните малки букви. Например, X е броят на попаденията с три изстрела; възможни стойности: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Нека разгледаме прекъсната случайна променлива X с възможни стойности X 1, X 2, ..., X n. Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността X може да приеме всяка от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността на X ще приеме една от тези стойности, тоест ще се случи едно от пълната група несъвместими събития.

Нека означим вероятностите за тези събития с буквите p със съответните индекси:

Тъй като несъвместимите събития образуват пълна група, тогава

това означава, че сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайна променлива е равна на 1. Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако дефинираме това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. (Това ще установи така наречения закон за разпределение на случайните променливи.)

Закон за разпределение на случайна величинае всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответната вероятност. (Ще кажем за случайна променлива, че тя се подчинява на даден закон за разпределение)

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности.

Маса 1.

Случайни променливи. Разпределителен полигон Случайни величини: дискретни и непрекъснати. При провеждане на стохастичен експеримент се формира пространство от елементарни събития - възможни резултати от този експеримент. Смята се, че на това пространство от елементарни събития има даденост произволна стойност X, ако е даден закон (правило), според който всяко елементарно събитие се свързва с число. По този начин случайната променлива X може да се разглежда като функция, дефинирана в пространството на елементарни събития. ■ Случайна променлива- величина, която при всяко изпитване приема една или друга числена стойност (не е известно предварително каква), в зависимост от случайни причини, които не могат да бъдат предварително взети предвид. Случайните променливи се обозначават с главни букви на латинската азбука, а възможните стойности на случайна променлива се обозначават с малки букви. И така, когато хвърляте зар, възниква събитие, свързано с числото x, където x е броят на хвърлените точки. Броят на точките е случайна променлива, а числата 1, 2, 3, 4, 5, 6 са възможните стойности на тази стойност. Разстоянието, което снарядът ще измине при изстрел от пистолет, също е случайна променлива (в зависимост от инсталирането на мерника, силата и посоката на вятъра, температурата и други фактори), а възможните стойности на тази стойност принадлежат до определен интервал (a; b). ■ Дискретна случайна променлива– случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен. ■ Непрекъсната случайна променлива– случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен. Например, броят точки, хвърлени при хвърляне на зар, резултатът за тест са отделни случайни променливи; разстоянието, което снарядът лети при изстрел от пистолет, грешката на измерване на индикатора за време за усвояване на учебен материал, височината и теглото на човек са непрекъснати случайни променливи. Закон за разпределение на случайна величина– съответствие между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности, т.е. Всяка възможна стойност x i е свързана с вероятността p i, с която случайната променлива може да приеме тази стойност. Законът за разпределение на случайна величина може да бъде определен таблично (под формата на таблица), аналитично (под формата на формула) и графично. Нека дискретна случайна променлива X приема стойности x 1 , x 2 , …, x n с вероятности p 1 , p 2 , …, p n съответно, т.е. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Когато посочвате закона за разпределение на това количество в таблица, първият ред на таблицата съдържа възможните стойности x 1 , x 2 , ..., x n , а вторият ред съдържа техните вероятности х х 1 х 2 … x n стр стр. 1 p2 … p n В резултат на теста дискретна случайна променлива X приема една и само една от възможните стойности, следователно събитията X=x 1, X=x 2, ..., X=x n образуват пълна група от двойки несъвместими събития и следователно сумата от вероятностите за тези събития е равна на единица, т.е. p 1 + p 2 +… + p n =1. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Разпределителен полигон (многоъгълник). Както знаете, случайната променлива е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а стойностите им се означават със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати. Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности. Закон за разпределение на дискретна случайна величинае функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини. 1. Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата: където λ>0, k = 0, 1, 2, … . в) използване на функцията на разпределение F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x). Свойства на функцията F(x) 3. Законът за разпределение може да се посочи графично – чрез многоъгълник на разпределение (многоъгълник) (виж задача 3). Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или няколко числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на „средна стойност“ на случайна променлива или число, показващо средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива. Основни числени характеристики на дискретна случайна променлива: Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i . За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ Дисперсия на дискретна случайна променлива D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване. За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ Средно квадратично отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X). · За яснота на представяне на вариационна серия, нейните графични изображения са от голямо значение. Графично една вариационна серия може да бъде изобразена като многоъгълник, хистограма и кумулация. · Разпределителен многоъгълник (букв. разпределителен многоъгълник) се нарича начупена линия, която е построена в правоъгълна координатна система. Стойността на атрибута се нанася по абсцисата, съответните честоти (или относителните честоти) - по ординатата. Точките (или) се свързват с прави сегменти и се получава разпределителен многоъгълник. Най-често полигоните се използват за изобразяване на дискретни вариационни серии, но могат да се използват и за интервални серии. В този случай точките, съответстващи на средните точки на тези интервали, се нанасят върху абсцисната ос.

Тази таблица се нарича близко разпространениеслучайни променливи.

За да придадат на серията разпределение по-визуален вид, те прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. (За по-голяма яснота, получените точки са свързани с прави сегменти.)

Фигура 1 – разпределителен полигон

Тази фигура се нарича разпределителен полигон. Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, напълно характеризира случайната променлива; това е една от формите на закона за разпределение.

Пример:

провежда се един експеримент, в който може да се появи или да не се появи събитие А. Вероятността за събитие А = 0,3. Разглеждаме случайна променлива X - броят на появяванията на събитие A в даден експеримент. Необходимо е да се построи серия и полигон на разпределението на стойността X.

Таблица 2.

Фигура 2 - Функция на разпределение

Разпределителна функцияе универсална характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, тоест тя е една от формите на закона за разпределение.

За количествено характеризиране на това вероятностно разпределение е удобно да се използва не вероятността за събитие X=x, а вероятността за събитие X

Функцията на разпределение F(x) понякога се нарича още кумулативна функция на разпределение или кумулативен закон на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение на случайна величина

1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за ;

2. При минус безкрайност:

3. На плюс безкрайност:

Фигура 3 – графика на функцията на разпределение

Графика на функцията на разпределениекато цяло това е графика на ненамаляваща функция, чиито стойности започват от 0 и отиват до 1.

Познавайки реда на разпределение на случайна променлива, е възможно да се конструира функцията на разпределение на случайната променлива.

Пример:

за условията на предишния пример, конструирайте функцията на разпределение на случайната променлива.

Нека изградим функцията на разпределение X:

Фигура 4 – функция на разпределение X

Разпределителна функцияна всяка прекъсната дискретна случайна променлива винаги има прекъсната стъпкова функция, чиито скокове се случват в точки, съответстващи на възможните стойности на случайната променлива и са равни на вероятностите на тези стойности. Сумата от всички скокове на функцията на разпределение е равна на 1.

Тъй като броят на възможните стойности на случайна променлива се увеличава и интервалите между тях намаляват, броят на скоковете става по-голям, а самите скокове стават по-малки:

Фигура 5

Стъпалообразната крива става по-плавна:

Фигура 6

Случайната променлива постепенно се доближава до непрекъсната стойност, а нейната функция на разпределение се доближава до непрекъсната функция. Има и случайни променливи, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал, но за които функцията на разпределение не е непрекъсната навсякъде. И в определени моменти се чупи. Такива случайни променливи се наричат ​​смесени.

Фигура 7

Проблем 14.В паричната лотария се играят 1 печалба от 1 000 000 рубли, 10 печалби от 100 000 рубли. и 100 печалби по 1000 рубли всяка. с общ брой билети 10 000. Намерете закона за разпределение на случайните печалби хза притежателя на един лотариен билет.

Решение. Възможни стойности за х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Техните вероятности са съответно равни: Р 2 = 0,01; Р 3 = 0,001; Р 4 = 0,0001; Р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следователно законът за разпределение на печалбите хможе да се даде от следната таблица:

Проблем 15. Дискретна случайна променлива хсе дава от закона за разпределение:

Построете многоъгълник на разпределение.

Решение. Нека изградим правоъгълна координатна система и ще начертаем възможните стойности по абсцисната ос x i,а по ординатната ос - съответните вероятности p i. Нека начертаем точките М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) и М 4 (8;0,3). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

§2. Числени характеристики на случайни величини

Случайната променлива се характеризира напълно със своя закон на разпределение. Осреднено описание на случайна променлива може да се получи чрез използване на нейните числени характеристики

2.1. Очаквана стойност. дисперсия.

Нека една случайна променлива приема стойности със съответните вероятности.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните вероятности:

Свойства на математическото очакване.

Дисперсията на случайна променлива около средната стойност се характеризира с дисперсия и стандартно отклонение.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

Следната формула се използва за изчисления

Свойства на дисперсията.

2. , където са взаимно независими случайни променливи.

3. Стандартно отклонение.

Проблем 16.Намерете математическото очакване на случайна променлива З = X+ 2Y, ако са известни математическите очаквания на случайни променливи хИ Y: М(х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Ние използваме свойствата на математическото очакване. Тогава получаваме:

М(X+ 2Y)= М(х) + М(2Y) = М(х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Проблем 17.Дисперсия на случайна променлива хе равно на 3. Намерете дисперсията на случайните величини: а) –3 Х;б) 4 х + 3.

Решение. Нека приложим свойства 3, 4 и 2 на дисперсията. Ние имаме:

а) д(–3х) = (–3) 2 д(х) = 9д(х) = 9 . 3 = 27;

б) д(4X+ 3) = д(4х) + д(3) = 16д(х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Проблем 18.Дадена е независима случайна променлива Y– броя точки, получени при хвърляне на зар. Намерете закона за разпределение, математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Y.

Решение.Таблица за разпределение на случайни променливи Yима формата:

Тогава М(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

д(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Проблем 14.В паричната лотария се играят 1 печалба от 1 000 000 рубли, 10 печалби от 100 000 рубли. и 100 печалби по 1000 рубли всяка. с общ брой билети 10 000. Намерете закона за разпределение на случайните печалби хза притежателя на един лотариен билет.

Решение. Възможни стойности за х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Техните вероятности са съответно равни: Р 2 = 0,01; Р 3 = 0,001; Р 4 = 0,0001; Р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следователно законът за разпределение на печалбите хможе да се даде от следната таблица:

Построете многоъгълник на разпределение.

Решение. Нека изградим правоъгълна координатна система и ще начертаем възможните стойности по абсцисната ос x i,а по ординатната ос - съответните вероятности p i. Нека начертаем точките М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) и М 4 (8;0,3). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

§2. Числени характеристики на случайни величини

Случайната променлива се характеризира напълно със своя закон на разпределение. Осреднено описание на случайна променлива може да се получи чрез използване на нейните числени характеристики

2.1. Очаквана стойност. дисперсия.

Нека една случайна променлива приема стойности със съответните вероятности.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните вероятности:

.

Свойства на математическото очакване.

Дисперсията на случайна променлива около средната стойност се характеризира с дисперсия и стандартно отклонение.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

Следната формула се използва за изчисления

Свойства на дисперсията.

2. , където са взаимно независими случайни променливи.

3. Стандартно отклонение .

Проблем 16.Намерете математическото очакване на случайна променлива З = X+ 2Y, ако са известни математическите очаквания на случайни променливи хИ Y: М(х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Ние използваме свойствата на математическото очакване. Тогава получаваме:

М(X+ 2Y)= М(х) + М(2Y) = М(х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Проблем 17.Дисперсия на случайна променлива хе равно на 3. Намерете дисперсията на случайните величини: а) –3 Х;б) 4 х + 3.

Решение. Нека приложим свойства 3, 4 и 2 на дисперсията. Ние имаме:

а) д(–3х) = (–3) 2 д(х) = 9д(х) = 9 . 3 = 27;

б) д(4X+ 3) = д(4х) + д(3) = 16д(х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Проблем 18.Дадена е независима случайна променлива Y– броя точки, получени при хвърляне на зар. Намерете закона за разпределение, математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Y.

Решение.Таблица за разпределение на случайни променливи Yима формата:

Тогава М(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

д(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.