Симетрията като критерий за външна красота. Асиметрия на лицето: причини за патологични нарушения и методи за тяхното коригиране

)
Дата на: 2017-10-17 Прегледи: 18 963 степен: 5.0

Цел на обучението:коригиране на лицевата асиметрия в 3 точки (вежди, очи, устни).

Лицето на човек не е симетрично, точно както тялото, и това не е изненадващо.

Но има случаи, когато асиметрията на лицето е тежка и ви причинява психологически дискомфорт. Нека направя резервация веднага, че не всички видове асиметрия могат да бъдат коригирани с упражнения.

Асиметрията не може да се коригира с упражнения, ако:

• причинена е от костни деформации;
• патологични деформации;
• много "стар" неврит на лицевия нерв;
• в някои случаи последствията от инжекциите Botex са така наречените странични ефекти.

Причини за асиметрия

Също така асиметрията на лицето до голяма степен зависи от състоянието на вашето тяло. За връзката между лице и тяло.

С две думи, при сколиоза, лордоза, тазови изкривявания и други изменения в опорно-двигателния апарат се получава асиметрия и нейното коригиране трябва да започне от петите!

Но АСИМЕТРИЯТА може да бъде следствие от прекомерни изражения на лицето, лицеви лудории и поведенчески навици. Всичко това става ясно, когато погледнете внимателно лицето си на видео, например.

Усмихвайте се, говорете, дъвчете само от едната страна или постоянно повдигайте една от веждите си. Помните ли съществуването на мускулна памет? И тя си спомня за теб и дърпа активната си вежда нагоре през цялото време и прави едното око да изглежда по-малко.

Как да измерим асиметрията?

Как да проверите симетрията на лицето? Трябва снимка! Отместете косата си от лицето си и помолете да ви снимат. Снимката е като паспорт: не се усмихваме, не се опитваме да изглеждаме страхотно на снимката.

Взимаме линийка и начертаваме хоризонтална линия покрай очите (зениците), веждите и устните. Започнете с очите. В края на краищата нашият вътрешен либел (нивелир) клони към хоризонта точно в областта на очите, за да можете да ходите гладко и да не падате.

Сега нека да разгледаме 3-те получени реда. Може би едната вежда ще бъде по-висока, а другата по-ниска, ъглите на устните може да не са на една и съща линия.

Не забравяйте, че има приемливи стойности за асиметрия и това е абсолютно естествено и не изисква корекция.

Там, където има отклонения от хоризонта, трябва да работите с мускулите, а за някои ще бъде достатъчно да коригирате поведенческите стереотипи и всичко ще си дойде на мястото на лицето.

Упражнения за лице за асиметрия

Да преминем към упражненията, които между другото могат да се комбинират с всеки от комплексите: , . Просто ги добавете към вашата програма за обучение. Например, докато правите, след това правете упражнения за коригиране на асиметрията на същата зона.

В примера обмислям варианта за коригиране на едностранна асиметрия на лицето, когато частта от лицето, разположена по-ниско спрямо половината му, работи по-зле, усещате го по-малко! Например лявата вежда, лявото око, левият ъгъл на устната са разположени по-ниско, отколкото от дясната страна на лицето - такава асиметрия се нарича ЕДНОСТРАННА.

Асиметрията на лицето може да бъде диагонална или сложна. В такива случаи е по-добре да изберете упражнения индивидуално.

Препоръчват се 30 повторения, при последното броене има статично забавяне от 5 секунди. Обучението се основава на изпълнение на „БАЗА” - основни упражнения с добавяне на специални упражнения за коригиране на асиметрията на определена зона.

Чело. Корекция на позицията на веждите

Упражнение №1: Повдигане на веждите нагоре

Това е базово упражнение. Когато го изпълнявате, обърнете внимание на веждите си? Кое става по-лошо? Кое чувстваш по-малко?

Поставете пръстите си над веждите. Избутайте веждите си със сила, като използвате пръстите си, за да се съпротивлявате. Уверете се, че по време на упражнението няма хоризонтални бръчки на челото, опитайте се да отпуснете раменете си и да ги спуснете надолу, плътно фиксирайте кожата над веждите. След като завършите упражнението, почукайте с пръсти по челото си.

Нека да преминем към набор от упражнения за коригиране на различни позиции на височината на веждите:

Упражнение No2: последователно повдигане на вежди

Поставете пръстите си на челото, над веждите и леко прихванете кожата с фалангите, за да не се събира на гънки. Сега повдигнете веждите си последователно: ту лявата, ту дясната.

Почувствайте коя от веждите се повдига по-зле или когато повдигнете една от веждите им, възниква напрежение и дискомфорт. Веждата, която се издига по-зле, трябва да се удължи на 2 точки: 1-повдигната, 2-удължена. След като завършите упражнението, почукайте с пръсти по челото си.

Упражнение No3: повдигане на едната вежда

След като сте намерили вежда, която работи по-зле и е разположена по-ниско, трябва да я „обучите“ отделно.

Фиксираме веждата, която се намира отгоре, с ръка, а другата повдигаме нагоре, като държим кожата над веждата с фалангите на пръстите си, за да не се събира в гънки. След като завършите упражнението, почукайте с пръсти по челото си.

очи

Общо видео:

Упражнение No1: за укрепване на горния клепач

Това е базово упражнение. Докато изпълнявате, наблюдавайте усещанията под показалеца си; под един от пръстите ви пулсацията; мускулните тремори ще бъдат по-слабо изразени. Когато затворите това око, опитайте се да натиснете долния клепач малко по-силно с горния клепач. ВАЖНО! Не натискайте прекалено силно с пръсти и не разтягайте кожата в различни посоки!

Държим ъглите на очите с пръсти и затваряме очите си с малко усилие, като притискаме горния клепач към долния. Опитайте се да държите веждите си на място и да не пълзят надолу зад горния клепач, и отпуснете челото си. След това отваряме очи. След като завършите упражнението, мигайте с очи.

Упражнение № 2: алтернативна работа на очите

Да затворим очи един по един. Поставяме показалеца и средния пръст в ъглите на очите, без да натискаме или дърпаме кожата. Затваряме очи последователно: наляво, надясно, наляво... Когато затворите едното око, трябва да държите другото отворено. Не забравяйте да отпуснете челото си, така че веждата да не падне заедно с горния клепач. След като завършите упражнението, мигайте с очи.

Ъглите на устните

Общо видео:

Упражнение No1: помага за повдигане на увисналите ъгълчета на устните

Това е базово упражнение. Използвайте пръстите си, за да фиксирате назолабиалната област (от ъгъла на устата до ноздрите). Повдигнете ъглите на устните си нагоре, сякаш се усмихвате, оказвайте съпротива с пръсти, движението на ъглите на устните ви се издига под очите ви, докато центърът на устните ви е отпуснат. Опитайте се да не позволявате на пръстите ви да минават по лицето ви; когато повдигнете, ъгълът на устната ви лежи върху пръстите ви.

Упражнение No2: последователно повдигане на ъглите на устните

Използвайте пръстите си, за да фиксирате назолабиалната област (от ъгъла на устата до ноздрите). Повдигаме ъгълчетата на устните нагоре РЕДУВАНЕ, сякаш се усмихваме с едното ъгълче на устните си, оказваме съпротивление с пръстите си, движението на ъгълчетата на устните ни се движи нагоре под очите, докато центърът на устните ни е отпуснат. Опитайте се да не позволявате на пръстите ви да минават по лицето ви; когато повдигнете, ъгълът на устната ви лежи върху пръстите ви.

Упражнение No3: повдигане на единия ъгъл на устната

С пръсти фиксираме назолабиалната област (от ъгъла на устата до ноздрата) от страната на ъгъла на устната, който се намира отдолу. Просто фиксираме противоположния ъгъл на устата с ръка, за да не се включва в работата. Повдигаме ъгъла на устните си нагоре, сякаш се усмихваме с единия ъгъл на устните си, оказваме съпротива с пръсти, движението на ъгъла на устните ни се издига под окото, докато центърът на устните ни е отпуснат . Опитайте се да не позволявате на пръстите ви да минават по лицето ви; когато повдигнете, ъгълът на устната ви лежи върху пръстите ви.

P.S.Разработвам индивидуални програми за фейсбилдинг обучение и водя часове по Skype. Ако си заинтересован -

Установяването на лицева асиметрия се превърна в нещо като сензация, тъй като асиметрията рядко се забелязва. Оказа се, че хората се различават както по степента на асиметрия, така и по чертите на лицето. Това беше потвърдено не само чрез измервания, но и чрез сравнение на портрети, съставени от снимки на дясната и лявата половина (една от тях трябва да бъде обърната с главата надолу при отпечатване) с обикновен портрет на човек, направен точно отпред. Резултатите са съвсем различни лица.

В света няма идеална симетрия. Грешка е да се смята, че симетрията на лицето е задължително условие за неговата красота. Смесицата от наследствени черти не може да не се отрази върху лицето на детето. За оценка на красотата на едно лице е важна комбинацията от черти и лека асиметрия, която между другото е присъща на лицата на всички хора и изобщо не омаловажава достойнствата на портрета. Дори в скулптурните изображения на Венера Милоска и Аполон Белведерски лицата им нямат пълна симетрия. С пълно основание можем да кажем, че няма нито едно лице с неоспорима строга симетрия на дясната и лявата половина. Това вероятно е причината Клавдий Гален да пише, че „истинската красота се изразява в съвършенството на целта и че първата цел на всички части е целесъобразността на структурата“. Несъмнено П. Ф. Лесгафт е прав, когато пише, че „с хармоничното развитие на всички мускули и мускулни групи лицето ще загуби определеното си изражение. Индивидуалността на чертите на лицето се придобива чрез честото използване на съответните мускули.

Мишел Монахан

И така, трябва да признаем като факт асиметрията на лицето, тоест несъответствието на дясната и лявата му половина: едната от тях като правило е по-широка, другата е по-тясна, едната е по-висока, другата е по-ниска. . Причината за асиметрията в повечето случаи е неравенството на структурните елементи на костите на черепа. На човешкото лице повишената асиметрия се определя от спецификата на изражението на лицето (физиологична асиметрия).

Наоми Уотс

Има научни трудове, в които учените идентифицират следните модели на асиметрия на лицето. Ако едната половина на лицето е по-висока, значи е и по-тясна. В този случай веждата е разположена по-високо, отколкото на противоположната, по-широка половина на лицето, а очната фисура е по-голяма. Окото като цяло изглежда обърнато нагоре. Лявата половина на лицето обикновено е по-висока от дясната. Много автори все още смятат, че дясната половина на лицето е по-голяма от лявата, изпъква по-рязко и изразява мъжественост. Лявата половина като цяло е по-мека, отразявайки женствеността.

Кейт Босуърт

Лицевата асиметрия отдавна се наблюдава като отражение на цялостната асиметрия на тялото. Бяха направени опити да се възстанови лицето на портрета, като се използва точната половина на снимката и нейното огледално изображение. Дясната и лявата половина създават различни изображения. Те не съвпаднаха с първоначалната версия. Мимическата асиметрия, макар и наслоена върху диспропорциите на дясната и лявата половина на лицевия череп, също има свои собствени характеристики. Установено е, че нервната регулация на десните лицеви мускули е по-богата, движенията на главата и очите вдясно се възпроизвеждат по-лесно. Дори кривогледството на дясното око се оказва по-привично.

Кандидат на медицинските науки, пластичен хирург ""

Още през 15-ти век Леонардо да Винчи създава рисунки, изобразяващи „божествените” пропорции на човешкото лице и тяло, които все още са стандарт (фиг. 1). Тези пропорции обаче не отчитат факта, че в живата природа няма абсолютно симетрични обекти: във всеки от тях винаги има единство на симетрия и асиметрия.

Ориз. 1.

През цялата история хората са се опитвали да „измерят“ красотата, да я опишат с помощта на математически формули или геометрични пропорции, като по този начин са направили възможно нейното пресъздаване. Така в Древна Гърция редът и хармонията, наблюдавани в природата, са олицетворени в блестящите образи на богове и богини, увековечени в красиви статуи.

Според гръцките скулптори симетрията характеризира хармонията, пропорционалността и хармонията на естествените тела и човешкото тяло. Следователно понятията за симетрия и красота са идентични. Достатъчно е да си припомним строго симетричната конструкция на архитектурните паметници, естествено повтарящите се модели на традиционните орнаменти, удивителната хармония на гръцките вази (фиг. 2).

Фактът за асиметрията на човешкото лице и тяло е бил известен на художниците и скулпторите от древния свят и е бил използван от тях, за да придадат изразителност и духовност на творбите, които създават.

Ярък пример за асиметрия е лицето на Венера Милоска (фиг. 3). Привържениците на симетрията критикуваха асиметрията на формите на този общоприет стандарт за женска красота, вярвайки, че лицето на Венера би било по-красиво, ако беше симетрично. Гледайки обаче композиционни снимки, виждаме, че това не е така.

Самата концепция за "симетрия" е пряко свързана с хармонията.Произлиза от старогръцката дума συμμετρία (пропорционалност) и означава нещо хармонично и пропорционално в даден обект. Концепцията за "огледална" симетрия е приложима за хората. Тази симетрия е основният източник на нашето естетическо възхищение от добре пропорционалното човешко тяло.

Тази симетрия е не само красива, но и функционална. По този начин симетричните крайници ви позволяват лесно да се движите в пространството, местоположението на очите ви позволява да създадете правилния визуален образ, а правата носна преграда осигурява адекватно дишане. Въпреки това, симетрията на живите организми не се проявява с математическа точност поради неравномерността на развитието и функционирането.

Симетрия на лицето и стандарти за красота

С течение на времето стандартите за красота са се променили, но принципите и параметрите, които определят съотношенията и пропорциите на лицето и съответно неговата привлекателност, са запазени от древни времена. За да бъде едно лице хармонично, различните му части трябва да са съотнесени в определена пропорция, чрез която се постига общ баланс. Нито една част от лицето не съществува или функционира изолирано от останалите. Всяка промяна в която и да е конкретна част от лицето ще има реален или привиден ефект върху възприемането на други части и лицето като цяло.

Естествено е, че всички пропорции на човешкото лице са само приблизителни за неговата естетикапоради няколко причини:

• Първо, пропорциите на лицето се променят в зависимост от възрастта, пола, физическото развитие на човека и до голяма степен се определят от индивидуалните структурни характеристики
• Второ, оценката на пропорционалността става по-трудна в зависимост от позицията на главата
• Третата трудност се крие в асиметрията на човешкото лице, която често се проявява във формата на носа, положението на очните цепки и веждите, положението на ъглите на устата. Двете страни на лицето не създават еднакъв огледален образ, дори ако лицето се възприема от нас като съвършено правилно.

По този начин днес е общоприет фактът на асиметрия на лицето, изразяваща се в несъответствието на дясната и лявата половина, едната от които по правило е по-широка и по-висока, другата по-тясна и по-ниска.

От снимките, представени на фиг. 4, става ясно, че абсолютно симетричните лица ясно се различават от оригиналното изображение на лице с естествена асиметрия. Според нас „синтетичен“ симетричните лица изглеждат по-малко привлекателни, както в оригиналните снимки, въпреки че избрахме лицата на актьори, чиято външност беше оценена най-високо, за да създадем съставни портрети. Освен това именно тези лица се отличават с по-изразена симетрия, отколкото се наблюдава при повечето хора, но леката асиметрия само подчертава тяхната привлекателност.

Красота в асиметрия?

И така, асиметрията, присъща на всички нас, наистина ли е красива или не? Съвсем очевидно е, че не смятаме за привлекателни значителни нарушения на симетрията в структурата на лицето. Малките отклонения от симетрията обаче не внасят дисхармония, а само благоприятно подчертават индивидуалността.

Повечето пациенти, които се обръщат към пластичен хирург, не забелязват асиметрията на пропорциите на лицето и тялото си. Ето защо една от важните задачи на хирурга по време на консултацията е да привлече вниманието на пациента към характеристиките на неговите пропорции и да опише подробно предстоящите промени в резултат на операцията. Корекцията на асиметрията на лицето е значително улеснена от използването на минимално инвазивни методи, като и.

Така че изразената асиметрия обикновено се счита за неестетична и в такива случаи желанието за постигане на по-симетричен външен вид е съвсем естествено и може да служи като индикация за пластична хирургия. Въпреки това, леката асиметрия на лицето само го прави привлекателен и индивидуален, така че не трябва да се стремите към абсолютна симетрия.

Симетрията и пропорционалността са важни компоненти на външната красота на човек, а в някои случаи и показатели за здравето. Но не всеки знае как да оцени пропорциите и симетрията на лицето и тялото си. Точно за това ще говорим.

Може ли дългият нос изобщо да не разваля външния вид на човек? Определено да. Ако носът е пропорционален на лицето му.

За да оцените пропорциите на лицето си, трябва да отидете до огледалото и да измерите три разстояния:
от линията на косата на челото до моста на носа
от моста на носа до горната устна
от горната устна до брадичката.

Ако те са равни, вие сте щастлив собственик на пропорционално лице.

Ако не, тогава има диспропорция, която изобщо не е повод за униние. Първо, това може да съдържа известна привлекателност и оригиналност на лицето, и второ, пропорциите могат да се променят.

Увеличаване или намаляване на първото разстояние може да се постигне с помощта на прическа, както и придаване на определена форма на веждите. Второто разстояние почти винаги се коригира чрез промяна на дължината на носа. Третото разстояние може да бъде визуално повлияно от правилно подбрано червило или по-трайна мярка - увеличаване на устните.

Симетрията на лицето също е лесна за оценка. Трябва да обърнете внимание на местоположението и формата на сдвоени анатомични образувания: вежди, очи, уши, назолабиални гънки.

Ако са разположени на едно ниво и имат еднаква форма, тогава лицето е симетрично. Симетрията на лицето е много важна не само от естетическа гледна точка. Внезапното му прекъсване е важен диагностичен признак за редица сериозни неврологични заболявания.

Най-лесният начин да прецените пропорциите на тялото е по неговия обем: гърди, талия и ханш.

При пропорционално изграден мъж преобладава обемът на гърдите. Геометрично идеалната мъжка фигура е равнобедрен триъгълник, обърнат с главата надолу.

При пропорционална женска фигура обемите на гърдите и бедрата са приблизително равни един на друг. И размерът на талията ви трябва да бъде с 1/3 по-малък от тези два обема. Достатъчно е да си припомним добре познатия стандарт: 90cm -60cm-90cm. Но съотношението 120см-80см-120см е не по-малко пропорционално. Геометричният израз на идеала е формата на пясъчен часовник.

Визуално необходимите пропорции се постигат чрез облекло, корсет и определени физически упражнения. Има обаче проблемни зони, които са доста трудни за коригиране, например прословутите „бричове“ - горната част на страничните повърхности на бедрата. Правилно извършената липосукция може да помогне ефективно тук.

Симетрията на тялото се оценява и чрез сдвоени образувания. Ключиците, зърната, лопатките, предните горни илиачни шипове и глутеалните гънки трябва да са на едно ниво.

Струва си да се знае, че видимото нарушение на симетрията на тялото винаги е причина за задълбочено изследване на опорно-двигателния апарат.

Като цяло, когато оценявате външния си вид по какъвто и да е параметър, било то пропорционалност, симетрия или нещо друго, не е нужно да сте прекалено придирчиви.

Определени черти, несъвършенства, диспропорции са това, което ни отличава един от друг и следователно ни прави уникални.

Нека засега не разбираме дали наистина съществува абсолютно симетричен човек. Всеки, разбира се, ще има бенка, кичур коса или друг детайл, който нарушава външната симетрия. Лявото око никога не е абсолютно същото като дясното, а ъглите на устата са на различна височина, поне за повечето хора. И все пак това са само малки несъответствия. Никой няма да се съмнява, че външно човек е изграден симетрично: лявата ръка винаги съответства на дясната и двете ръце са абсолютно еднакви! Спри се. Струва си да спрете тук. Ако ръцете ни бяха наистина еднакви, бихме могли да ги променим по всяко време. Би било възможно, да речем, чрез трансплантация да се трансплантира лявата длан върху дясната ръка или, по-просто, тогава лявата ръкавица ще пасне на дясната ръка, но всъщност това не е така.

Е, разбира се, всеки знае, че приликата между нашите ръце, уши, очи и други части на тялото е същата като между предмет и неговото отражение в огледало. Книгата пред вас е посветена на въпросите за симетрията и огледалното отражение.

Много художници обръщаха голямо внимание на симетрията и пропорциите на човешкото тяло, поне докато не бяха водени от желанието да следват природата възможно най-близо в своите творби. Каноните на prodortius, съставени от Албрехт Дюрер и Леонардо да Винчи, са добре известни. Според тези канони човешкото тяло е не само симетрично, но и пропорционално. Леонардо открива, че тялото се вписва в кръг и квадрат. Дюрер търси една-единствена мярка, която да е в определена връзка с дължината на торса или крака (за такава мярка той смята дължината на ръката до лакътя).

В съвременните училища по живопис най-често като единична мярка се приема вертикалният размер на главата. С известно предположение можем да приемем, че дължината на тялото е осем пъти по-голяма от размера на главата. На пръв поглед това изглежда странно. Но не трябва да забравяме, че повечето високи хора имат удължен череп и, напротив, рядко се среща нисък, дебел мъж с удължена глава.

Размерът на главата е пропорционален не само на дължината на тялото, но и на размера на другите части на тялото. Всички хора сме изградени на този принцип, затова като цяло си приличаме. (Ще се върнем към приликата или подобието след няколко страници.) ​​Нашите пропорции обаче са само приблизително последователни и следователно хората са само подобни, но не и еднакви. Във всеки случай всички сме симетрични! В допълнение, някои художници особено подчертават тази симетрия в своите творби.

ПЕРФЕКТНАТА СИМЕТРИЯ Е СКУЧНА

И в облеклото човек, като правило, също се опитва да поддържа впечатлението за симетрия: десният ръкав съответства на левия, десният крачол съответства на левия.

Копчетата на сакото и на ризата стоят точно в средата, а ако се отдалечават от нея, то на симетрични разстояния. Рядко една жена има достатъчно смелост да облече наистина асиметрична рокля (колко големи отклонения от симетрията са допустими, ще видим по-нататък).

Но на фона на тази обща симетрия, в дребните детайли умишлено допускаме асиметрия, например сресване на косата на страничен път - отляво или отдясно. Или, да речем, поставяне на асиметричен джоб на гърдите на костюм, често подчертан от шал. Или поставяне на пръстен на безименния пръст само на едната ръка. Ордените и значките се носят само от едната страна на гърдите (обикновено отляво).

Пълната безупречна симетрия би изглеждала непоносимо скучна. Именно малките отклонения от него дават характерни, индивидуални черти. Известният автопортрет на Албрехт Дюрер на пръв поглед изглежда абсолютно симетричен. Но, като се вгледате по-отблизо, ще забележите малък асиметричен детайл, който придава на картината жизненост и жизненост: кичур коса близо до раздялата.

И в същото време понякога човек се опитва да подчертае и засили разликата между ляво и дясно. През Средновековието мъжете по едно време носели панталони с крачоли в различни цветове (например един червен, а другият черен или бял). И в наши дни дънките с ярки петна или цветни петна бяха популярни. Но такава мода винаги е краткотрайна. Само тактични, скромни отклонения от симетрията остават за дълго време.

КАКВО Е ПОДОБСТВО?

Често казваме, че двама души си приличат. Децата обикновено приличат на родителите си (поне според техните баби). Подобни, но не еднакви!

Нека се опитаме да разберем какво се разбира под прилика или прилика в математиката. За подобни фигури съответните сегменти са пропорционални един на друг. В нашия случай можем да формулираме тази ситуация по следния начин: подобни носове имат еднаква форма, но могат да се различават по размер. В този случай всяка отделна част на носа (например моста на носа) трябва да бъде пропорционална на всички останали.

Този закон на подобието понякога е изпълнен с уловка. Например при проблем като този:

Височината на кула A е 10 м. На известно разстояние X от нея има шестметрова кула B. Ако начертаем прави линии от подножието и върха на кула A през върха на кула B, тогава те ще се срещнат, респ. , подножието и върха на кула С, която е с височина 15м. Какво е разстоянието от кула A до кула B?

Изглежда, че за решаването на този проблем е достатъчно да вземете компас и линийка. Но веднага се оказва, че ще има безкраен брой отговори. С други думи, не може да има ясен отговор на въпроса за стойността на X.

В тази книга често ще срещате проблеми, които изискват мислене. Това има определен педагогически смисъл. Проблеми от този вид, дори и да нямат решение, като предложеното по-горе, се отнасят до някакъв проблем, който е в границите на нашите познания. В по-голямата си част това са самите граници, пред които прочутият „здрав разум“ отстъпва и само строго математическото логическо мислене, съчетано с естествените науки, може да доведе до правилното решение.

Нека се обърнем отново към човека: когато сравняваме живи същества, сходството се усеща ясно, ако техните пропорции съвпадат. Следователно децата и възрастните могат да бъдат подобни. Въпреки че масата и размерът на всяка част от тялото, било то носа или устата, са различни, пропорциите на подобни индивиди са еднакви.

Ярък пример за сходство е визуалната оценка на разстоянието с помощта на палеца. По този начин военните и моряците оценяват разстоянието между две точки на земята или в морето, сравнявайки ги с ширината на пръст или юмрук. В най-простия случай те затварят едното си око и гледат с отворено око пръста на протегната ръка, като го използват като мерник.

При прицелване с палеца на протегната ръка (веднъж с лявото око и другия с дясното), пръстът "отскача" на около 6°

Ако отворите предварително затворено око (и затворите другото), пръстът ще се премести на видимо разстояние встрани. В градуси това разстояние е 6°. И освен това големината на този „скок“ (в границите на допустимата грешка) е еднаква за всички хора! И така, дясната флангова компания, човек с височина два метра, и най-малката - левият фланг, висок само шестдесет метра, сравнявайки тези „скокове“ на пръста, ще получат същата стойност.

Причината за това явление в крайна сметка се крие в сходството на хората и, разбира се, в законите на оптиката, които управляват нашето зрение.

„Правилото на юмрука“ също е известно - в най-буквалния смисъл на думата - за груба оценка на размера на ъгъла. Ако погледнем с едно око юмрука на протегната ръка (този път със същото око), тогава ширината на юмрука ще бъде 10°, а разстоянието между двете кости на фалангите ще бъде 3°. Юмрукът и палецът, протегнати настрани, ще бъдат 15°. Като комбинирате тези измервания, можете приблизително да измерите всички ъгли на земята.

И накрая, още една ъглова мярка на нашето тяло, която може да бъде полезна за домакинска работа. Ъгълът между палеца и малкия пръст на протегнатата длан е 90°. Това изглежда малко вероятно, но можете веднага да проверите всичко сами, като поставите протегнатите пръсти на дланта си върху ъгъла на нашата книга. Поставете малкия си пръст точно успоредно на единия ръб и преместете ръката си надолу по него, докато палецът ви също опре в долния ръб. Сигурен ли си?

Разбира се, тук грешката понякога се оказва сравнително голяма, тъй като в зависимост от възрастта и развитието на ръката, палецът може да се отдалечи на различно разстояние. Но за първия тест, който ви позволява да решите дали измереният ъгъл се отклонява значително от правилния ъгъл, този метод е доста подходящ.

LINELAND И РАВНИНА

Хората, надарени с въображение, отдавна са забелязали, че законите на конгруентността, толкова строги за двуизмерното пространство, когато се прилагат на практика, често изискват използването на трето измерение.

Когато подреждате масата за официален прием, салфетките обикновено се сгъват в триъгълник. Но веднага щом съберете тези триъгълници в купчина, един върху друг, откривате, че има два вида от тези триъгълници: някои веднага „пасват“ един към друг, докато други трябва да бъдат обърнати „от дясната страна“. ” Подобен проблем възниква при щамповане на малки части, когато някой се опита да подреди крайния продукт.

Поетите и писателите са склонни да фантазират около повече или по-малко вероятни ситуации. Така има произведения, в които животът е изобразен в двуизмерно пространство (където не можете да обърнете „салфетката“).

Някои автори отиват още по-далеч и се опитват да си представят живота в едноизмерно пространство, в Страйт Страйт – Лайнленд. Lineland се обитава само от тънки дървени пръчици, които в най-простия случай не се различават една от друга. Въпреки това, веднага щом им дадете глави (кибритите веднага идват на ум!), те веднага имат две възможности.

Или всички кибрити са с глави, обърнати в една и съща посока - тогава комбинирането им не създава никакви затруднения. Или някои от клечките лежат с главите си наляво, а някои с главите си надясно. Математикът от Lineland няма практическа способност да преобразува „левите“ съвпадения в „десни“. Но един математик от Земята на плоскостта - Flatland, който има още едно измерение, веднага ще намери просто решение: той ще обърне клечката в самолета.

Въпреки това, според някои автори, животът във Флатланд не е толкова прост. Нека си представим, че жителите на тази страна са малки правоъгълници с око (а те имат само едно око) в един от ъглите. Такъв правоъгълник, разбира се, може да се види само в равнина и той никога не успява да погледне тази равнина отгоре. Така че никой Flatlander никога няма да може да си представи как изглежда в действителност: това вече изисква поглед от триизмерното пространство. Къщите на Flatlanders биха били подобни на тези в детските рисунки. С тази разлика, че вратите ще са отстрани и ще се отварят само в същата равнина. Но пантите на вратите ще трябва да бъдат направени извън равнината, над или под нея. Освен това ще е необходима сложна система от опори, за да се предотврати срутването на стената на къщата, когато нейните обитатели искат да отворят вратата. А двама флатландци можеха да се спогледат само ако един от тях успееше да се изправи на главата си.

Ситуацията би била още по-сложна, ако Равнина беше населена от два народа. Да кажем лево- и дясноръки флатландци. Нужно е много въображение, за да си представим всички възможни последствия от подобна ситуация, особено като се има предвид, че сме свикнали да мислим триизмерно!

Тъй като и Lineland, и Flatland бяха представени на писателите в хумористична светлина, не е изненадващо, че литературата по тази тема възниква в Англия.

През 1880г Учителят по английски Едуин Ебони Абът написа книга за Flatland и нейните жители ( Abbott E. E. Flatland. В книгата: Abbott E. E. Flatland. Бургер Д. Сферландия. -М .: Мир, 1976). Flatlander на Abbott, озовавайки се насън в Lineland, напразно се опитва да убеди жителите там в съществуването на самолет.

В хода на действието един от Flatlanders успява да разбере триизмерното пространство, за което е признат за „най-лудия от лудите“.

Повече от двадесет години по-късно, през 1907 г., C. G. Hinton публикува романа The Flatland Incident. В него двама души от Флатланд водят война. Тъй като всички Flatlanders са обърнати в една и съща посока, един от хората винаги е в безнадеждно неизгодно положение: той не може да се обърне и да отвърне на удара в правилната посока - омразният враг постоянно седи на врата му. Но в крайна сметка доброто побеждава. Някои умни глави забелязват, че Flatland е разположен на топка и следователно можете да тичате около нея и да влезете зад вражеските линии.

Авторът на романа изгражда историята си върху мълчаливото предположение, че флатландците могат да се движат само по определени общи посоки, които изключват странични обиколки, и че е невъзможно за тях да свалят врага.

Както може да се види, за живота в двумерното пространство са излагани най-сложни теории, но те никога не са намирали приложение. Предполага се, че и тези книги, и техните автори щяха да бъдат забравени отдавна, ако Lineland и Flatland не бяха толкова необходими, за да обяснят теорията за огледалното отражение и ако компилаторите на проблеми с интелекта не трябваше да се обръщат към Flatland отново и отново, за да извличат идеи от неговата двуизмерност (между другото, не толкова отдавна в Унгария беше създаден анимационен филм за пътуването на ученика Адоляр до Равнина).

Освен всичко друго, Flatlanders транспортират стоки чрез търкалящи се платформи върху кръгове. Всеки път, когато товарът премине кръга, транспортният офицер там търкаля кръга напред и го поставя пред платформата.

Тук възникват много интересни проблеми. Но ние се интересуваме само от едно нещо: ако оста на колелото се движи със скорост 10 m в минута, с каква скорост се движи товарът?

За нашата земна кола знаем, че нито едно колело (по-точно нито една ос на колело) не може да се движи по-бързо от цялата кола. Но при равнинно превозно средство колелото не е здраво свързано с товара. След като се замислим, не е трудно да разберем, че товарът тук е свързан с две движения.

Първо, той се движи заедно с оста на въртене на колелото (това е същото като кола). И освен това, товарът все още се търкаля по обиколката на колелото и в същото време със скорост, равна на скоростта на въртене на оста. Следователно, като цяло, товарът се търкаля с два пъти по-голяма скорост от колелото. Разбира се, товарът трябва да се движи по-бързо, защото колелата винаги остават отзад и трябва постоянно да се движат напред.

Някои читатели ще си помислят: „Проблемът наистина е интересен, но какво от това?“

Принципът на работа на равнинния транспорт обаче намира своето място в нашата технология. По този начин дизайнерът, който проектира врата в малка стая (например близо до малък асансьор), е принуден да изостави пантите. Той разделя вратата на две половини (ако, разбира се, му хрумне такъв трик!), които вървят успоредно една на друга. Едната половина на вратата е неподвижно закрепена към оста на ролката, а втората се движи по обиколката на тази ролка. Докато едната половина се движи на половината от ширината на вратата, другата успява да премине през цялата ширина на вратата (с двойна скорост).

Нека не гледаме презрително на Равнината и фантазиите на писателите. Да приемем, че Flatlanders действително живеят на повърхността на топката. Тази повърхност е толкова голяма, че жителите може да не забележат нейната кривина. Естествено, те смятат, че живеят на равнина, тъй като не могат да си представят сфера: в края на краищата третото измерение по принцип не им е познато. Затова равнинните професори развиват равнинната математика, която се изучава в училищата. Децата там наизустяват например следното определение: две успоредни прави се пресичат на крайно разстояние. Или: сборът от ъглите на триъгълник надвишава 180°. Ние, хората на триизмерното пространство, знаем, че сферичната повърхност е двумерно неевклидово пространство, което не се вписва в обичайната евклидова геометрия.

Поглеждайки към земното кълбо, виждаме, че два меридиана, успоредни на екватора, се пресичат на полюса. Гледайки земното кълбо, можете също да видите, че два меридиана образуват ъгъл от 90° с екватора. В точката на пресичане на полюса се появява друг ъгъл. И сумата от трите ъгъла във всеки случай е по-голяма от 180°. Но бедните флатландци, разбира се, дори не могат да си представят всичко това. Те са сигурни, че живеят в самолет.

Един скептичен математик, Карл Фридрих Гаус (1777-1855), сериозно се чудеше дали ние, хората, също не сме в положението на флатландците. Може би, помисли си Гаус, ние също живеем в неевклидов свят, но просто не го забелязваме. Ако това беше така, пространството щеше да е извито (което, разбира се, не бихме могли да си представим) и достатъчно голям триъгълник щеше да има сбор от ъгли, различен от 180°. Гаус измерва триъгълника между Брокен, Инселберг и Хое Хаген, но не открива значително отклонение от 180°. Това, разбира се, не може да служи като неоспоримо доказателство, тъй като триъгълникът все още може да бъде твърде малък.

Въпреки това, не може просто да се сравни неевклидовото пространство, което беше обсъдено, с пространството в теорията на относителността. Вие и аз, флатландците и Гаус, говорим за чисто геометричен, пространствен проблем и дали някои аксиоми са верни (например пресичането на две успоредни прави в безкрайност). Привържениците на теорията на относителността въвеждат времето като четвърта пространствена координата.

ЗА КОНГРУЕНЦИЯТА

Две равни фигури са равни, ако всичките им ъгли и отсечки между съответните точки са равни.

В училище изучаваме теореми за сходството на триъгълници. Установено е например, че площите на триъгълниците са равни, ако имат една страна и два съседни ъгъла съвпадат. Това означава, че въпреки че можете да използвате страна и два съседни ъгъла, за да конструирате триъгълници, триъгълниците трябва да съвпадат във всичките си части.

В разговорната реч (което използваме в тази книга) можем да кажем, че конгруентните равнини са точно насложени една върху друга или, обратно, ако една равнинна фигура е точно насложена върху друга, тогава те са еднакви. Същото важи и за триизмерните тела: ако могат да се комбинират, значи са еднакви.

Погледнете триъгълниците, показани на снимката. Всички те са конгруентни. Очевидно и двата триъгълника, поставени отляво, ще паснат, ако просто ги преместите. Но триъгълникът, поставен отдясно, макар и да е съвпадащ с двата леви, не можем да го комбинираме с тях само чрез движение в равнината. Както и да го въртим в равнината, той никога няма да се изравни с някой от левите триъгълници. За да постигнете това, трябва да повдигнете триъгълника над равнината, да го завъртите в пространството и да го поставите обратно в равнината. Но ако сравним относителните позиции на триъгълници, комбинирани чрез преместване и обръщане, ще видим, че и в двата случая различните им страни съвпадат. При срязване долната повърхност на единия хартиен триъгълник се припокрива с горната повърхност на втория триъгълник. Пространствената ориентация на повърхността на хартиения лист не се е променила. В този случай говорим за идентична конгруентност. Ако при завъртане в пространството двете горни повърхности на хартията са подравнени, плоските фигури се наричат ​​огледално конгруентни.

Конгруентни са плоски фигури, които възприемаме като равни и които могат да се комбинират помежду си чрез изместване в равнина или въртене в пространството.

КОНГРУЕНТНОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ

Конгруентността е свойството на геометричните плоски фигури да съвпадат една с друга по размер и форма.

Идентично конгруентни фигури са тези, които могат да се комбинират една с друга чрез завъртане и/или изместване.

Огледално-конгруентни фигури са тези, чиято комбинация изисква допълнителна операция на огледално отражение.

Има четири признака за съответствие на триъгълника. Триъгълниците са еднакви, ако:

1) три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг (S, S, S);

2) две страни и вътрешният ъгъл на един триъгълник, затворен между тях, са равни на две страни и вътрешният ъгъл на друг триъгълник, затворен между тях (S, W, S);

3) две страни и вътрешният ъгъл срещу по-голямата от единия триъгълник са равни на двете страни и ъгъла срещу по-голямата от другия триъгълник (S, S, W);

4) страната и двата прилежащи към нея вътрешни ъгъла на единия триъгълник са равни на страната и двата прилежащи към нея вътрешни ъгъла на другия триъгълник (W, S, W).

ПОДОБСТВО

Съвпадението на плоски фигури по форма, но не и по големина, се нарича подобие.

Всеки ъгъл на една от фигурите съответства на равен ъгъл на подобна фигура.

В такива фигури съответните сегменти са пропорционални.

Чрез преместване, завъртане и (или) огледално отразяване две подобни фигури могат да бъдат поставени в положение на хомотетия. В това положение съответните страни на двете фигури са успоредни една на друга.

ОСОВА СИМЕТРИЯ

Нека равнината е разделена от права s на две полуравнини. Ако сега завъртим една полуравнина около права 5 на 180°, тогава всички точки на тази полуравнина ще съвпадат с точките на другата полуравнина.

Правата s се нарича ос на симетрия.

Поради факта, че точките на обърнатата полуравнина са в огледална позиция по отношение на първоначалната си позиция, тази инверсия се нарича още огледално отражение. Ако начертаете линии на една полуравнина, указващи определени посоки на въртене, тогава след огледално отражение тази посока ще се промени на противоположната. Следователно една операция по огледално отразяване създава огледално съвпадащи фигури. Две такива операции водят до еднакви конгруентни фигури. Те съответстват на смяна или ротация.

РАДИАЛНА СИМЕТРИЯ

Радиално симетричните фигури могат да бъдат подравнени една спрямо друга чрез въртене около точката S. Тази точка се нарича център на симетрия.

При завъртане съответните точки на фигурите се комбинират. Посоката на въртене не се променя. Фигура, отразена по този начин, е идентично конгруентна.

Последващите операции по завъртане няма да повлияят по никакъв начин на идентичността на фигурите. При ъгъл на завъртане 180° говорим за централна симетрия.

ТРИК ЗАРОВЕ

Учителите казват, че играта с кубчета развива пространственото въображение. И така родителите купуват на своето потомство кутии с ярки кубчета, покрити с фрагменти от снимки от популярни приказки. След като сгънете тези кубчета по правилния начин, ще видите Червената шапчица със сивия вълк или Снежанка със седемте джуджета.

Всъщност този вид кубчета и пъзели развиват пространственото въображение не само на децата, но и на всички – от малки до големи. Понякога можем да сгънем куб от различни форми на трупи.

При по-внимателно разглеждане на тези отделни елементи се оказва, че поне два от тях имат еднаква форма и размер, но са свързани един с друг като лява и дясна ръкавица. Създателите на този тип пъзели очевидно се надяват, че играчите няма веднага да забележат тази разлика. Ако си спомним колко пъти бъркахме дясната и лявата ръкавица, ще трябва да признаем, че подобни надежди не са лишени от основание.

Комбинирането на тези елементи е почти невъзможно. Трябва да се отбележи, че когато използваме израза „практически възможно“ тук (или някъде по-долу), имаме предвид изпълнението на такава задача на практика.

Но има и математически или физически методи, които позволяват да се комбинират елементи, поне теоретично или според външни признаци - това ще бъде предмет на по-нататъшно разглеждане. И тъй като говорихме за комбиниране на един елемент с друг, трябва да се отбележи едно важно обстоятелство. Във Flatland би било възможно да се комбинират плоски фигури, като се извадят от самолета и се завъртят в пространството. В Lineland по същия начин ще е необходимо само още едно измерение: едно завъртане в равнината и сегментите стават съвместими.

Но можем само да въртим пространствени сгради в пространството! И тъй като четвъртото измерение, въпреки всички разсъждения на Гаус, е затворено за нас, трудно е дори да си представим колко практически (!) можем да разположим нашите „тухли“ някъде извън триизмерното пространство, така че да паснат заедно!

В ежедневието много често ни се налага да решаваме подобни пъзели (подчертавам: решавайте ги практически, а не играйте!), Например, когато опаковате различни предмети. Или, например, представете си радиатори за централно отопление. Някои от тях имат регулиращ клапан отляво, а други - отдясно. Как да свържете няколко радиатора в една батерия?

Хладилници, печки и други домакински предмети обикновено са проектирани с дясна и лява дръжка, ключове и кранове. Фантастичната възможност за въртене на подобни обекти в четвъртото измерение би зарадвала много всеки, който се занимава с транспортирането и монтажа им.

ПОГЛЕДНИ В РЕЧНИКА!

В началото на книгата нарекохме човека симетрично същество. Впоследствие терминът "симетрия" вече не се използва. Вероятно обаче вече сте забелязали, че във всички случаи, когато отсечките, плоските фигури или пространствените тела са били подобни, но без допълнителни действия е било невъзможно, „практически“ невъзможно да бъдат комбинирани, се сблъскваме с явлението симетрия. Тези елементи кореспондират един с друг, като картина и нейното огледално изображение. Като лява и дясна ръка. Ако си направим труда да надникнем в „Речника на чуждите думи“, ще открием, че под симетрия се разбира „пропорционалност, пълно съответствие в разположението на частите от цялото спрямо средната линия, центъра... такова разположение на точки спрямо точка (център на симетрия), права линия (ос на симетрия) или равнина (равнина на симетрия), в която всеки две съответстващи точки лежат на една и съща права линия, минаваща през центъра на симетрия, на един и същ перпендикуляр на оста или равнината на симетрия, са на еднакво разстояние от тях..." ( Речник на чуждите думи: Изд. 7-мо, преработено. -М.; Руски език 1980, с. 465)

И това не е всичко, както често се случва с чуждите думи, думата "симетрия" има много значения. Точно това е предимството на такива изрази: те могат да се използват в случаите, когато човек не иска да даде недвусмислено определение или просто не знае ясна разлика между два обекта.

Ние използваме термина „пропорционален“ по отношение на човек, картина или който и да е обект, когато незначителни несъответствия не ни позволяват да използваме думата „симетричен“.

Тъй като се ровим в справочниците, нека да разгледаме Енциклопедичния речник ( Съветски енциклопедичен речник - М.: Съветска енциклопедия, 1980, с. 1219-1220). Тук ще намерим шест статии, започващи с думата "симетрия". Освен това тази дума се появява в много други статии.

В математиката думата „симетрия“ има поне седем значения (сред тях симетрични полиноми, симетрични матрици). В логиката има симетрични отношения. Симетрията играе важна роля в кристалографията (ще прочетете повече за това в тази книга). Концепцията за симетрия в биологията се тълкува интересно. Той описва шест различни типа симетрия. Научаваме, например, че гребените са дисиметрични, докато цветята на щракалото са двустранно симетрични. Ще открием, че симетрията съществува в музиката и хореографията (танца). Тук зависи от редуването на ударите. Оказва се, че много народни песни и танци са изградени симетрично.

И така, трябва да се съгласим за какъв вид симетрия ще говорим. Независимо от естеството на разглежданите обекти, основният интерес за нас ще бъде огледалната симетрия - симетрията на ляво и дясно. Ще видим, че това очевидно ограничение ще ни отведе далеч в света на науката и технологиите и ще ни позволи от време на време да тестваме способностите на нашия мозък (тъй като той е програмиран за симетрия).

ИГРА НА ТОЧКИ И ЛИНИИ

Все още не сме напуснали Лийнланд и Флатланд. И има специална причина за това. Дори и да няма жители там, тогава самите прави линии и равнини са съвсем реални!

Нека помислим как стоят нещата със симетрията на права линия. С помощта на две съвпадения можем много просто да си представим два възможни случая. (Вече разгледахме някои аспекти на тази ситуация по-рано.) Кибритените клечки могат да лежат с главите си в една посока. След това лесно се съединяват. Или с главите (или върховете) един срещу друг. В този случай има точка на правата линия, в която огледалото може да бъде поставено по такъв начин, че клечката да изглежда подравнена с отражението си. С други думи, на правата има център на симетрия. Ще трябва да си представим, че огледалото пасва в една точка и в него се отразява половин отсечка от права линия. В математическите разсъждения това е напълно възможно.

Плоските фигури се „отразяват“ в осите на симетрия

Когато конструираме върху равнина, нашето огледало все още може да остане точка или може би права линия. Вероятно е по-правилно да го кажем в обратен ред: права линия или точка ще служи като огледало. В крайна сметка, ако някъде има права линия, тогава е възможен точков център на симетрия върху нея.

Огледалните отражения на половини на равнини изглеждат същите като истинските равнини: чрез завъртане на равнината около права линия - огледалото - тя може да се комбинира с отражението, оттук и изразът "ос на симетрия".

Кръгът има безкраен брой оси на симетрия. „Лист от детелина“ – само един

И така, сега знаем какво са център на симетрия и ос на симетрия, а също и че един обект (да вземем тази неутрална дума) е симетричен, ако едната му половина е свързана с другата, като изображение и неговия огледален образ.

Една окръжност има безкраен брой оси на симетрия и всички те минават през общ център на симетрия. За други фигури броят на осите на симетрия е краен, но все пак всички оси (две или повече) минават през центъра на симетрия. Това означава, че можем да завъртим фигурата на определен ъгъл (максимум 180°) и тя отново ще лежи точно на същото място, както преди завъртането.

Нека продължим нашите разсъждения за огледалната симетрия. Лесно е да се установи, че всяка симетрична плоска фигура може да бъде подравнена сама със себе си с помощта на огледало. Изненадващо е, че такива сложни фигури като петолъчна звезда или равностранен петоъгълник също са симетрични. Тъй като това следва от броя на осите, те се отличават с висока симетрия. И обратното: не е толкова лесно да се разбере защо такава привидно правилна фигура, като наклонен паралелограм, е асиметрична. Първоначално изглежда, че една ос на симетрия може да върви успоредно на една от страните му. Но щом мислено се опитате да го използвате, веднага се убеждавате, че това не е така. Спиралата също е асиметрична.

Колкото и да е странно, такава привидно „симетрична“ фигура, като успоредник, няма не само оси на симетрия, но и огледална симетрия като цяло

Докато симетричните фигури напълно съответстват на тяхното отражение, асиметричните са различни от него: от спирала, усукана от дясно на ляво, в огледалото ще получите спирала, усукана от ляво на дясно. Това свойство често се използва в масови игри и състезания, провеждани по телевизията. Играчите са помолени да се погледнат в огледалото и да нарисуват някаква асиметрична фигура, като например спирала. След това отново нарисувайте „точно същата“ спирала, но без огледалото. Сравнението на двете рисунки показва, че спиралите се оказаха различни: едната се усуква отляво надясно, другата отдясно наляво.

Но това, което тук изглежда като шега, на практика създава много трудности не само за децата, но и за възрастните. Децата често пишат някои букви отвътре навън. Латинското N изглежда като I, вместо S и Z се оказва S и Z. Ако се вгледаме внимателно в буквите на латинската азбука (а това също са по същество плоски фигури!), ще видим сред тях симетрични и асиметричен. Букви като N, S, Z нямат една ос на симетрия (както F, G, J, L, P, Q и R). Но N, S и Z са особено лесни за писане „наобратно“ ( Те имат център на симетрия. - Прибл. редактиране). Всички други главни букви имат поне една ос на симетрия. Буквите A, M, T, U, V, W и Y могат да бъдат разделени наполовина по надлъжната ос на симетрия. Буквите B, C, D, E, I, K - напречната ос на симетрия. Буквите H, O и X имат две взаимно перпендикулярни оси на симетрия.

Ако поставите буквите пред огледало, като го поставите успоредно на линията, ще забележите, че тези, чиято ос на симетрия е хоризонтална, също могат да бъдат прочетени в огледалото. Но тези, чиято ос е вертикална или изобщо липсва, стават „нечетими“.

Въпросът защо буквите с надлъжна ос се държат по различен начин от тези с напречна ос е доста интересен. Може би и вие ще помислите за това. Ще обсъдим причината за това явление по-късно.

Има деца, които пишат с лявата си ръка и всичките им букви излизат в огледална, отразена форма. Дневниците на Леонардо да Винчи са написани с огледален шрифт. Вероятно няма убедителна причина, която да ни принуждава да пишем писма по начина, по който го правим. Малко вероятно е огледалният шрифт да е по-труден за овладяване от нашия обикновен.

Правописът нямаше да бъде по-лесен и някои думи, като OTTO, изобщо нямаше да се променят. Има езици, в които очертанията на знаците се основават на наличието на симетрия. И така, в китайската писменост йероглифът означава истинската среда.

В архитектурата осите на симетрия се използват като средство за изразяване на архитектурен дизайн. В инженерството осите на симетрия са най-ясно обозначени, когато е необходимо да се оцени отклонението от нулевата позиция, например на волана на камион или на волана на кораб.

НАШИЯТ СВЯТ В ОГЛЕДАЛОТО

От Lineland получихме идеята за център на симетрия, а от Flatland получихме идеята за ос на симетрия. В триизмерния свят на пространствените тела, където живеем, има съответно равнини на симетрия. „Огледалото“ винаги има едно измерение по-малко от света, който отразява. Когато гледаме кръгли тела, веднага става ясно, че те имат равнини на симетрия, но колко точно не винаги е лесно да се реши.

Нека поставим топка пред огледалото и започнем да я въртим бавно: изображението в огледалото няма да се различава по никакъв начин от оригинала, разбира се, ако топката няма никакви отличителни черти на повърхността си. Топката за пинг-понг показва безброй равнини на симетрия. Да вземем нож, да отрежем половината топка и да я поставим пред огледалото. Огледалното изображение отново ще завърши тази половина до цяла топка.

Но ако вземем глобус и разгледаме неговата симетрия, като вземем предвид географските контури, отбелязани върху него, тогава няма да намерим нито една равнина на симетрия.

Във Флатланд фигура с безброй оси на симетрия беше кръг. Ето защо не трябва да се учудваме, че в космоса подобни свойства са присъщи на топката. Но ако кръгът е единствен по рода си, тогава в триизмерния свят има цяла поредица от тела с безкраен брой равнини на симетрия: прав цилиндър с кръг в основата, конус с кръгла или полусферична основа, топка или сегмент от топка. Или да вземем примери от живота: цигара, пура, чаша, конусовидна торта със сладолед, парче тел, лула.

Ако разгледаме по-отблизо тези тела, ще забележим, че всички те по един или друг начин се състоят от кръг, през безкраен брой оси на симетрия има безброй равнини на симетрия. Повечето от тези тела (те се наричат ​​тела на въртене) също имат, разбира се, център на симетрия (център на окръжност), през който минава поне една ос на симетрия.

Например, ясно се вижда оста на фунийката на сладоледа. Тя минава от средата на кръга (стърчи от сладоледа!) до острия край на конуса на фунията. Ние възприемаме съвкупността от елементи на симетрия на едно тяло като вид мярка на симетрия. Топката, без съмнение, по отношение на симетрията е ненадминато въплъщение на съвършенството, идеал. Древните гърци са го възприемали като най-съвършеното тяло, а кръгът, естествено, като най-съвършената плоска фигура.

Като цяло тези идеи са доста приемливи и до днес. Освен това гръцките философи стигат до заключението, че Вселената несъмнено трябва да бъде изградена по модела на математически идеал. От това заключение произтичат грешки, последствията от които ще обсъдим по-късно. Ясно е, че древните гърци все още не са имали сладолед! В противен случай такъв прозаичен обект, който има безброй равнини на симетрия, би могъл да наруши тяхната хармонична система.

Ако погледнем куб за сравнение, ще видим, че той има девет равнини на симетрия. Три от тях разполовяват лицата му, а шест минават през върховете. В сравнение с топката това, разбира се, не е достатъчно.

Има ли тела, които по брой равнини заемат междинно положение между сфера и куб? Без съмнение – да. Трябва само да запомните, че кръгът по същество се състои от многоъгълници. Преминахме през това в училище, когато пресмятахме числото π. Ако издигнем n-ъгълна пирамида върху всеки n-ъгълник, можем да начертаем n равнини на симетрия през нея.

Би било възможно да се измисли 32-странна пура, която да има подходящата симетрия!

Но ако все пак възприемаме куба като по-симетричен обект от прословутия сладолед, то това се дължи на структурата на повърхността. Топката има само една повърхност. Кубът има шест от тях - според броя на лицата, като всяко лице е представено от квадрат. Фунията за сладолед се състои от две повърхности: кръг и конусовидна черупка.

В продължение на повече от две хилядолетия (вероятно поради директното възприятие) предпочитанието традиционно се дава на „съизмерими“ геометрични тела. Гръцкият философ Платон (427-347 пр.н.е.) открива, че само пет триизмерни тела могат да бъдат конструирани от правилни еднакви плоски фигури.

От четири правилни (равностранни) триъгълника се получава тетраедър (тетраедър). От осем правилни триъгълника можете да построите октаедър (октаедър) и накрая от двадесет правилни триъгълника - икосаедър. И само от четири, осем или двадесет еднакви триъгълника може да се получи триизмерно геометрично тяло. От квадрати можете да направите само една обемна фигура - хексаедър (хексахедър), а от равностранни петоъгълници - додекаедър (додекаедър).

И какво в нашия триизмерен свят е напълно лишено от огледална симетрия?

Ако във Флатландия беше плоска спирала, то в нашия свят със сигурност ще бъде вита стълба или спирална бормашина. Освен това има още хиляди асиметрични неща и предмети в живота и технологиите около нас. По правило винтът има дясна резба. Но понякога се среща и лявата. Така, за по-голяма безопасност, бутилките с пропан са оборудвани с лява резба, за да не може да се завинти редуцир вентил, предназначен например за бутилка с друг газ. В ежедневието това означава, че когато сте на къмпинг, преди да готвите на походна печка, винаги трябва да опитате накъде се развива цилиндърът.

Между топката и куба, от една страна, и витата стълба, от друга, все още има много степени на симетрия. Можем постепенно да изваждаме равнини на симетрия, оси и център от куба, докато достигнем състояние на пълна асиметрия.

Ние, хората, стоим почти в края на тази поредица от симетрия, като само една равнина на симетрия разделя тялото ни на лява и дясна половина. Нашата степен на симетрия е същата като например тази на обикновения фелдшпат (минерал, който образува гнайс или гранит заедно със слюда и кварц).

ПЕТ ПЛАТОНОВИ ТЕЛА

За правилните полиедри са верни следните твърдения:

1. Във всеки полиедър (включително правилните), сумата от всички ъгли между ръбовете, събиращи се в един връх, винаги е по-малка от 360 °.

2. По теорема на Ойлер за изпъкнали полиедри

където e е броят на върховете, ƒ е броят на лицата и k е броят на ръбовете.

Лицата на правилните многостени могат да бъдат само следните правилни многоъгълници:

3, 4 или 5 равностранни триъгълника с ъгъл 60°. Шест такива триъгълника вече дават 60° X 6 = 360° и следователно не могат да ограничат полиедърен ъгъл.

Три квадрата (90° X 3 = 270°), 3 правилни петоъгълника (108° X 3 = 324°), 3 правилни шестоъгълника (120° X 3 = 360°) определят полиедърен ъгъл.

От теоремата на Ойлер и формата на лицата следва, че има само 5 правилни полиедра:

Таблица с пет правилни многостена

Форми на лицето	Номер				Платонови тела
	лица на един връх	върхове	лица	ребра
Равностранни триъгълници	3	4	4	6	Тетраедър
Един и същ	4	6	8	12	Октаедър
Един и същ	5	12	20	30	Икосаедър
Квадрати	3	8	6	12	Хексаедър (куб)
Правилни петоъгълници	3	20	12	20	Пентагон-додекаедър

(Всяко лице на додекаедъра на Пентагона е петоъгълна фигура, в която четири страни са равни една на друга, но са различни от петата. - Прибл. превод)