Намерете най-голямата скорост на нарастване на функцията. Как да намерим градиента на функция

Градиент функции– векторна величина, чието определяне е свързано с определянето на частните производни на функцията. Посоката на градиента показва пътя на най-бързия растеж на функцията от една точка на скаларното поле до друга.

Инструкции

1. За решаване на проблема с градиента на функция се използват методи на диференциално смятане, а именно намиране на частични производни от първи ред по отношение на три променливи. Предполага се, че самата функция и всички нейни частни производни притежават свойството на непрекъснатост в областта на дефиниране на функцията.

2. Градиентът е вектор, чиято посока показва посоката на най-бързото нарастване на функцията F. За целта на графиката се избират две точки M0 и M1, които са краищата на вектора. Големината на градиента е равна на скоростта на нарастване на функцията от точка M0 до точка M1.

3. Функцията е диференцируема във всички точки на този вектор; следователно проекциите на вектора върху координатните оси са всичките му частични производни. Тогава формулата на градиента изглежда така: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, където i, j, k са координатите на единичния вектор . С други думи, градиентът на функция е вектор, чиито координати са нейните частни производни grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Пример 1. Нека е дадена функцията F = sin(x z?)/y. Изисква се да се открие градиентът му в точката (?/6, 1/4, 1).

5. Решение Определете частните производни по всяка променлива: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Заменете известните координатни стойности на точката: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Приложете формулата за градиент на функцията: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Пример 2. Намерете координатите на градиента на функцията F = y arсtg (z/x) в точка (1, 2, 1).

9. Решение.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.град = (- 1, ?/4, 1).

Градиентът на скаларното поле е векторна величина. По този начин, за да го намерите, е необходимо да се определят всички компоненти на съответния вектор, въз основа на познаването на разделението на скаларното поле.

Инструкции

1. Прочети в някой учебник по висша математика какво е градиент на скаларно поле. Както знаете, тази векторна величина има посока, характеризираща се с максималната скорост на затихване на скаларната функция. Тази интерпретация на тази векторна величина е оправдана от израза за определяне на нейните компоненти.

2. Не забравяйте, че всеки вектор се определя от величините на неговите компоненти. Компонентите на вектора всъщност са проекции на този вектор върху една или друга координатна ос. По този начин, ако се разглежда триизмерното пространство, тогава векторът трябва да има три компонента.

3. Запишете как се определят компонентите на вектор, който е градиент на дадено поле. Всички координати на такъв вектор са равни на производната на скаларния потенциал по отношение на променливата, чиято координата се изчислява. Тоест, ако трябва да изчислите компонента „x“ на вектора на градиента на полето, тогава трябва да диференцирате скаларната функция по отношение на променливата „x“. Моля, обърнете внимание, че производната трябва да е частична. Това означава, че по време на диференцирането останалите променливи, които не участват в него, трябва да се считат за константи.

4. Напишете израз за скаларното поле. Както е известно, този термин предполага само скаларна функция на няколко променливи, които също са скаларни величини. Броят на променливите на една скаларна функция е ограничен от размерността на пространството.

5. Диференцирайте скаларната функция отделно по отношение на всяка променлива. В резултат на това ще получите три нови функции. Запишете произволна функция в израза за градиентния вектор на скаларното поле. Всяка от получените функции всъщност е индикатор за единичен вектор на дадена координата. Така крайният вектор на градиента трябва да изглежда като полином с експоненти под формата на производни на функцията.

Когато разглеждаме въпроси, включващи градиентно представяне, обичайно е да мислим за функциите като за скаларни полета. Поради това е необходимо да се въведе подходящо обозначение.

Ще имаш нужда

• – бум;
• - химилка.

Инструкции

1. Нека функцията е зададена с три аргумента u=f(x, y, z). Частичната производна на функция, например по отношение на x, се определя като производната по отношение на този аргумент, получена чрез фиксиране на останалите аргументи. Подобно за други аргументи. Нотацията за частичната производна е записана във формата: df/dx = u’x ...

2. Общият диференциал ще бъде равен на du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Частичните производни могат да се разбират като производни по посоките на координатните оси. Следователно възниква въпросът за намиране на производната по отношение на посоката на даден вектор s в точката M(x, y, z) (не забравяйте, че посоката s се определя от единичния вектор s^o). В този случай вектор-диференциалът на аргументите (dx, dy, dz) = (дscos(алфа), dscos(бета), dscos(гама)).

3. Като се има предвид формата на общия диференциал du, можем да заключим, че производната по посока s в точка M е равна на: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(бета) +((df/dz)|M) cos(гама). Ако s= s(sx,sy,sz), тогава косинусите на посоката (cos(алфа), cos(бета) ), cos( гама)) се изчисляват (виж Фиг. 1а).

4. Дефиницията на производната по посока, разглеждайки точка M като променлива, може да бъде пренаписана под формата на скаларно произведение: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(алфа) , cos(бета), cos (гама)))=(град u, s^o). Този израз ще бъде обективен за скаларно поле. Ако една функция се разглежда лесно, тогава gradf е вектор с координати, съвпадащи с частните производни f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Тук (i, j, k) са единичните вектори на координатните оси в правоъгълна декартова координатна система.

5. Ако използваме диференциалния векторен оператор на Hamilton Nabla, тогава gradf може да се запише като умножение на този операторен вектор по скалара f (виж Фиг. 1b). От гледна точка на връзката между gradf и производната по посока, равенството (gradf, s^o)=0 е приемливо, ако тези вектори са ортогонални. Следователно gradf често се определя като посоката на най-бързата метаморфоза на скаларното поле. И от гледна точка на диференциалните операции (gradf е една от тях), свойствата на gradf точно повтарят свойствата на диференциращите функции. По-специално, ако f=uv, тогава gradf=(vgradu+u gradv).

Видео по темата

ГрадиентТова е инструмент, който в графичните редактори запълва силует с плавен преход от един цвят към друг. Градиентможе да придаде на силует резултат от обем, да имитира осветление, отблясъци от светлина върху повърхността на обект или резултат от залез на фона на снимка. Този инструмент се използва широко, така че за обработка на снимки или създаване на илюстрации е много важно да се научите как да го използвате.

Ще имаш нужда

• Компютър, графичен редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net или друг.

Инструкции

1. Отворете изображение в програмата или вземете ново. Направете силует или изберете желаната област в изображението.

2. Включете инструмента за градиент в лентата с инструменти на графичния редактор. Поставете курсора на мишката върху точката в избраната област или силует, където ще започне първият цвят на градиента. Щракнете и задръжте левия бутон на мишката. Преместете курсора до точката, където искате градиентът да се промени до крайния цвят. Пуснете левия бутон на мишката. Избраният силует ще бъде запълнен с градиентно запълване.

3. ГрадиентМожете да зададете прозрачност, цветове и тяхното съотношение в определена точка от запълването. За да направите това, отворете прозореца за редактиране на градиента. За да отворите прозореца за редактиране във Photoshop, щракнете върху примера за градиент в панела с опции.

4. Прозорецът, който се отваря, показва наличните опции за градиентно запълване под формата на примери. За да редактирате една от опциите, изберете я с щракване на мишката.

5. В долната част на прозореца се показва пример за градиент под формата на широка скала, върху която са разположени плъзгачи. Плъзгачите показват точките, в които градиентът трябва да има зададени съпоставки, а в интервала между плъзгачите цветът равномерно преминава от цвета, посочен в първата точка, към цвета на втората точка.

6. Плъзгачите, разположени в горната част на скалата, задават прозрачността на градиента. За да промените прозрачността, щракнете върху желания плъзгач. Под скалата ще се появи поле, в което въвеждате необходимата степен на прозрачност като процент.

7. Плъзгачите в долната част на скалата задават цветовете на градиента. Като щракнете върху един от тях, ще можете да изберете желания цвят.

8. Градиентможе да има няколко преходни цвята. За да зададете друг цвят, щракнете върху свободното място в долната част на скалата. На него ще се появи друг плъзгач. Придайте му необходимия цвят. Скалата ще покаже пример за градиента с още една точка. Можете да местите плъзгачите, като ги задържите с левия бутон на мишката, за да постигнете желаната комбинация.

9. ГрадиентПредлагат се в няколко вида, които могат да придадат форма на плоски силуети. Например, за да придадете на кръг формата на топка, се използва радиален градиент, а за да придадете формата на конус, се използва конусообразен градиент. За да придадете на повърхността илюзия за изпъкналост, можете да използвате огледален градиент, а градиент с форма на диамант може да се използва за създаване на акценти.

Видео по темата

Видео по темата

Ако във всяка точка от пространството или част от пространството се определя стойността на определено количество, тогава те казват, че полето на това количество е определено. Едно поле се нарича скаларно, ако разглежданата величина е скаларна, т.е. напълно характеризиран с числовата си стойност. Например температурното поле. Скаларното поле е дадено от скаларната точкова функция u = /(M). Ако в пространството се въведе декартова координатна система, тогава има функция от три променливи x, yt z - координатите на точка M: Определение. Повърхнината на нивото на скаларно поле е набор от точки, в които функцията f(M) приема една и съща стойност. Уравнение на нивелирана повърхност Пример 1. Намерете нивелирни повърхнини на скаларно поле ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхнини и нивелирни линии Производна на посоката Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиент Правила за изчисляване на градиент -4 Според дефиницията , уравнението на равна повърхност ще бъде. Това е уравнението на сфера (с Ф 0) с център в началото. Скаларното поле се нарича плоско, ако полето е еднакво във всички равнини, успоредни на определена равнина. Ако посочената равнина се приеме за равнина xOy, тогава полевата функция няма да зависи от координатата z, т.е., тя ще бъде функция само на аргументите x и y. Равнинното поле може да се характеризира с помощта на линии на ниво - a набор от точки на равнината, в които функцията /(x, y) има едно, а също и значението. Уравнение на линия на ниво - Пример 2. Намерете линии на ниво на скаларно поле Линиите на ниво са дадени с уравнения.При c = 0 получаваме двойка прави линии, получаваме семейство хиперболи (фиг. 1). 1.1. Производна по посока Нека има скаларно поле, дефинирано от скаларната функция u = /(Af). Нека вземем точка Afo и изберем посоката, определена от вектор I. Нека вземем друга точка M, така че вектор M0M да е успореден на вектор 1 (фиг. 2). Нека означим дължината на MoM вектора с A/, а увеличението на функцията /(Af) - /(Afo), съответстваща на движението на D1, с Di. Съотношението определя средната скорост на изменение на скаларното поле на единица дължина в дадена посока.Нека сега клони към нула, така че векторът M0M да остане успореден на вектора I през цялото време.Определение. Ако при D/O има крайна граница на отношението (5), то тя се нарича производна на функцията в дадена точка Afo спрямо дадената посока I и се означава със символа 3!^. Така че, по дефиниция, това определение не е свързано с избора на координатна система, т.е. има **вариантен характер. Нека намерим израз за производната по посока в декартовата координатна система. Нека функцията / е диференцируема в точка. Нека разгледаме стойността на /(Af) в точка. Тогава общото нарастване на функцията може да се запише в следния вид: където и символите означават, че частните производни се изчисляват в точката Afo. Следователно тук величините jfi, ^ са насочващите косинуси на вектора. Тъй като векторите MoM и I са еднопосочни, техните косинуси на посоката са еднакви: Тъй като M Afo, като винаги е на права линия, успоредна на вектор 1, ъглите са постоянни, следователно Накрая, от равенствата (7) и (8) получаваме Eamuan е 1. Частичните производни са производни на функцията и по посоките на координатните оси, така че-Пример 3. Намерете производната на функцията по посока към точката Векторът има дължина. Неговите насочващи косинуси: Съгласно формула (9), ще имаме Фактът, че означава, че скаларното поле в точка в дадена посока на възраст - За плоско поле, производната по отношение на посоката I в точка е изчислено по формулата където a е ъгълът, образуван от вектора I с оста Oh. Зммчмм 2. Формула (9) за изчисляване на производната по посока I в дадена точка Afo остава в сила, когато точка M клони към точка Mo по крива, за която вектор I се допира в точката PrIShr 4. Изчислете производната на скалара поле в точка Afo(l, 1). принадлежащи на парабола по посока на тази крива (по посока на нарастване на абсцисата). Посоката ] на парабола в точка се счита за посока на допирателната към параболата в тази точка (фиг. 3). Нека допирателната към параболата в точка Afo образува ъгъл o с оста Ox. Тогава откъде идват насочващите косинуси на тангенса? Нека изчислим стойностите на и в точката. Имаме Сега използвайки формула (10) получаваме. Намерете производната на скаларното поле в точка по посока на окръжността.Векторното уравнение на окръжност има формата. Намираме единичния вектор m на допирателната към окръжността. Точката съответства на стойността на параметъра. Стойността на r в точката Afo ще бъде равна. От тук получаваме насочващите косинуси на допирателната към окръжността в Нека изчислим стойностите на частните производни на даденото скаларно поле в точката.Това означава желаната производна. Градиент на скаларно поле Нека скаларното поле се дефинира от скаларна функция, за която се приема, че е диференцируема. Определение. Градиентът на скаларното поле "в дадена точка M е вектор, обозначен със символа grad и и определен от равенството. Ясно е, че този вектор зависи както от функцията /, така и от точката M, в която се изчислява нейната производна. Нека 1 е единичен вектор по посока.Тогава формулата за производната по посока може да бъде записана в следния вид: . Така производната на функцията u по посока 1 е равна на скаларното произведение на градиента на функцията u(M) и единичния вектор 1° на посока I. 2.1. Основни свойства на градиента Теорема 1. Градиентът на скаларното поле е перпендикулярен на повърхността на нивото (или на линията на нивото, ако полето е плоско). (2) Нека начертаем нивелирна повърхност u = const през произволна точка M и да изберем върху тази повърхност гладка крива L, минаваща през точката M (фиг. 4). Нека I е вектор, допирателна към кривата L в точка М. Тъй като на повърхността на нивото u(M) = u(M|) за всяка точка Mj e L, тогава от друга страна, = (граду, 1°). Ето защо. Това означава, че векторите grad и и 1° са ортогонални. По този начин векторът grad и е ортогонален на всяка допирателна към повърхността на нивото в точка М. Следователно, той е ортогонален на самата повърхност на нивото в точка М. Теорема 2. градиентът е насочен към увеличаване на функцията на полето. По-рано доказахме, че градиентът на скаларното поле е насочен по нормалата към повърхността на нивото, която може да бъде ориентирана или в посока на нарастване на функцията u(M), или в посока на нейното намаляване. Нека означим с n нормалата на повърхността на нивото, ориентирана по посока на нарастване на функцията ti(M), и да намерим производната на функцията u по посока на тази нормала (фиг. 5). Имаме Тъй като според условието на фиг. 5 и следователно ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхнини и линии на ниво Производна по посока Производна Градиент на скаларното поле Основни свойства на градиента Инвариантно определение на градиента Правила за изчисляване на градиента От това следва, че grad е насочена в същата посока като тази, която избрахме нормално n, т.е. в посока на нарастваща функция u(M). Теорема 3. Дължината на градиента е равна на най-голямата производна по отношение на посоката в дадена точка от полето (тук проверката се извършва по всички възможни посоки в дадена точка М). Имаме къде е ъгълът между векторите 1 и grad n. Тъй като най-голямата стойност е Пример 1. Намерете посоката на най-голямата промяна на скаларното поле в дадена точка, както и големината на тази най-голяма промяна в определената точка. Посоката на най-голяма промяна в скаларното поле е обозначена с вектор. Имаме, така че Този вектор определя посоката на най-голямото увеличение на полето в дадена точка. Големината на най-голямата промяна на полето в тази точка е 2,2. Инвариантна дефиниция на градиента Величините, които характеризират свойствата на изследвания обект и не зависят от избора на координатна система, се наричат ​​инварианти на даден обект. Например, дължината на една крива е инвариант на тази крива, но ъгълът на допирателната към кривата с оста Ox не е инвариант. Въз основа на трите свойства на градиента на скаларното поле, доказани по-горе, можем да дадем следната инвариантна дефиниция на градиента. Определение. Градиентът на скаларното поле е вектор, насочен нормално към повърхността на нивото в посока на нарастване на полевата функция и имащ дължина, равна на най-голямата производна по посока (в дадена точка). Нека е единичен нормален вектор, насочен в посока на нарастващо поле. След това Пример 2. Намерете градиента на разстоянието - някаква фиксирана точка и M(x,y,z) - текущата. 4 Имаме къде е единичният вектор на посоката. Правила за изчисляване на градиента, където c е постоянно число. Дадените формули се получават директно от дефиницията на градиента и свойствата на производните. Съгласно правилото за диференциране на продукта доказателството е подобно на доказателството на свойството Нека F(u) е диференцируема скаларна функция. След това 4 По дефиниция на фадиента имаме Приложете правилото за диференциране на сложна функция към всички членове от дясната страна. Получаваме По-специално Формула (6) следва от формулата Пример 3. Намерете производната по отношение на посоката на радиус вектора r от функцията Използвайки формула (3) и използвайки формулата В резултат на това получаваме, че Пример 4 Нека е дадено равнинно скаларно поле - разстояния от някаква точкова равнина до две неподвижни точки на тази равнина. Нека разгледаме произволна елипса с фокуси Fj и F] и докажем, че всеки светлинен лъч, излизащ от единия фокус на елипсата, след отражение от елипсата, попада в другия й фокус. Линиите на нивото на функция (7) са ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхности и линии на ниво Производна на посока Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиента Правила за изчисляване на градиента Уравнения (8) описват семейство от елипси с фокуси при точки F) и Fj. Съгласно резултата от пример 2 имаме. Така градиентът на дадено поле е равен на вектора PQ на диагонала на ромба, построен върху единичните вектори r? и радиус вектори. начертан до точката P(x, y) от фокусите F| и Fj, и следователно лежи върху ъглополовящата на ъгъла между тези радиус вектори (фиг. 6). Според Tooromo 1, градиентът PQ е перпендикулярен на елипсата (8) в точката. Следователно Фиг. 6. нормалата към елипсата (8) във всяка точка разполовява ъгъла между радиус векторите, начертани към тази точка. От това и от факта, че ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение, получаваме: лъч светлина, излизащ от един фокус на елипсата, отразен от него, със сигурност ще попадне в друг фокус на тази елипса.