Моделиране на динамични системи (метод на Лагранж и графичен подход на Бонд). Метод на умножителя на Лагранж
Метод на множителяЛагранж(в англоезичната литература „Методът на LaGrange на неопределените множители“) ˗ е числен метод за решаване на оптимизационни проблеми, който ви позволява да определите „условния“ екстремум на целевата функция (минимална или максимална стойност)
при наличие на определени ограничения върху неговите променливи под формата на равенства (т.е. определен е обхватът на допустимите стойности)
˗ това са стойностите на аргумента на функцията (контролируеми параметри) в реалната област, при която стойността на функцията клони към екстремум. Използването на името „условен“ екстремум се дължи на факта, че върху променливите се налага допълнително условие, което ограничава обхвата на допустимите стойности при търсене на екстремума на функцията.
Методът на умножителя на Лагранж позволява проблемът за търсене на условен екстремум на целева функция върху набор от допустими стойности да се трансформира в проблем за безусловна оптимизация на функция.
В случай, че функциите 
И 
са непрекъснати заедно с техните частни производни, тогава има такива променливи λ, които не са едновременно равни на нула, при които е изпълнено следното условие:
Така, в съответствие с метода на умножителя на Лагранж, за да намеря екстремума на целевата функция върху множеството от допустими стойности, съставям функцията на Лагранж L(x, λ), която е допълнително оптимизирана:
където λ ˗ е вектор от допълнителни променливи, наречени неопределени множители на Лагранж.
Така проблемът за намиране на условния екстремум на функцията f(x) се свежда до проблема за намиране на безусловния екстремум на функцията L(x, λ).
И 
Необходимото условие за екстремума на функцията на Лагранж се дава от система от уравнения (системата се състои от „n + m“ уравнения):
Решаването на тази система от уравнения ни позволява да определим аргументите на функцията (X), при които стойността на функцията L(x, λ), както и стойността на целевата функция f(x) съответстват на екстремума.
Големината на множителите на Лагранж (λ) е от практически интерес, ако ограниченията са представени във вид със свободен член в уравнението (константа). В този случай можем да разгледаме допълнително (увеличаване/намаляване) стойността на целевата функция чрез промяна на стойността на константата в системата от уравнения. По този начин множителят на Лагранж характеризира скоростта на промяна на максимума на целевата функция при промяна на ограничаващата константа.
Има няколко начина да се определи естеството на екстремума на получената функция:
Първи метод: Нека е координатите на екстремалната точка и е съответната стойност на целевата функция. Взема се точка, близка до точката, и се изчислява стойността на целевата функция:
Ако 
, тогава има максимум в точката.
Ако 
, тогава има минимум в точката.
Втори метод: Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът на втория диференциал на функцията на Лагранж. Вторият диференциал на функцията на Лагранж се дефинира, както следва:
Ако в даден момент 
минимум, ако 
, тогава целевата функция f(x) има условие максимум.
Трети метод: Също така, природата на екстремума на функцията може да се определи чрез разглеждане на Хесиана на функцията на Лагранж. Хесианската матрица е симетрична квадратна матрица от втори частични производни на функция в точката, в която елементите на матрицата са симетрични спрямо главния диагонал.
За да определите вида на екстремума (максимум или минимум на функция), можете да използвате правилото на Силвестър:
1. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с положителен знак 
необходимо е ъгловите минори на функцията да са положителни. При такива условия функцията в тази точка има минимум.
2. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с отрицателен знак 
, необходимо е ъгловите минори на функцията да се редуват, а първият елемент на матрицата трябва да е negativesv. При такива условия функцията в тази точка има максимум.
Под ъглов минор имаме предвид минора, разположен в първите k реда и k колони на оригиналната матрица.
Основното практическо значение на метода на Lagrange е, че ви позволява да преминете от условна оптимизация към безусловна оптимизация и съответно да разширите арсенала от налични методи за решаване на проблема. Въпреки това, проблемът за решаване на системата от уравнения, до която се свежда този метод, в общия случай не е по-прост от първоначалния проблем за намиране на екстремум. Такива методи се наричат индиректни. Използването им се обяснява с необходимостта да се получи решение на екстремален проблем в аналитична форма (например за определени теоретични изчисления). При решаването на конкретни практически проблеми обикновено се използват директни методи, базирани на итеративни процеси на изчисляване и сравняване на стойностите на оптимизираните функции.
Метод на изчисление
1 стъпка: Определяме функцията на Лагранж от дадената целева функция и система от ограничения:
Напред
За да добавите коментар към статията, моля, регистрирайте се на сайта.
| Име на параметъра | Значение |
| Тема на статията: | Метод на Лагранж. |
| Рубрика (тематична категория) | Математика |
Намирането на полином означава определяне на стойностите на неговия коефициент 
. За да направите това, като използвате условието за интерполация, можете да формирате система от линейни алгебрични уравнения (SLAE).
Детерминантата на този SLAE обикновено се нарича детерминанта на Вандермонд. Детерминантата на Vandermonde не е равна на нула за за , т.е. в случая, когато няма съвпадащи възли в справочната таблица. Въпреки това може да се твърди, че SLAE има решение и това решение е уникално. След решаване на SLAE и определяне на неизвестните коефициенти можете да конструирате интерполационен полином.
Полином, който отговаря на условията за интерполация, когато се интерполира по метода на Лагранж, се конструира под формата на линейна комбинация от полиноми от n-та степен:
Обикновено се наричат полиноми основенполиноми. За да Полином на Лагранжудовлетворява условията за интерполация, изключително важно е следните условия да са изпълнени за неговите базисни полиноми:
За 
.
Ако тези условия са изпълнени, тогава за всеки имаме:
Освен това, изпълнението на посочените условия за базисните полиноми означава, че условията за интерполация също са изпълнени.
Нека определим вида на базисните полиноми въз основа на ограниченията, наложени върху тях.
1-во условие:при .
2-ро условие: .
И накрая, за основния полином можем да напишем:
След това, замествайки получения израз за базовите полиноми в оригиналния полином, получаваме крайната форма на полинома на Лагранж:
Конкретна форма на полинома на Лагранж при обикновено се нарича формула за линейна интерполация:
.
Полиномът на Лагранж, взет при обикновено се нарича формула за квадратична интерполация:
Метод на Лагранж. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "метод на Лагранж". 2017 г., 2018 г.
Линейни дистанционни управления. Определение. тип DU, т.е. линейна по отношение на неизвестна функция и нейната производна се нарича линейна. За решение от този тип ще разгледаме два метода: метода на Лагранж и метода на Бернули. Да разгледаме хомогенно диференциално уравнение. Това уравнение е с разделими променливи. Решението на уравнението е общо... .
Определение. Системата за управление се нарича хомогенна, ако функцията може да бъде представена като връзката между нейните аргументи. F-то се нарича хомогенно f-то измерване, ако Примери: 1) - 1-ви ред на хомогенност. 2) - 2-ри ред на хомогенност. 3) - нулев порядък на хомогенност (просто хомогенен... .
Екстремалните проблеми са от голямо значение в икономическите изчисления. Това е изчислението, например, на максимален доход, печалба, минимални разходи в зависимост от няколко променливи: ресурси, производствени активи и др. Теорията за намиране на екстремуми на функции... .
3. 2. 1. DE с разделими променливи S.R. 3. В природните науки, технологиите и икономиката често трябва да се работи с емпирични формули, т.е. формули, съставени въз основа на обработка на статистически данни или...
Методът за определяне на условен екстремум започва с конструирането на спомагателна функция на Лагранж, която в областта на възможните решения достига максимум за същите стойности на променливите х 1 , х 2 , ..., х н , което е същото като целевата функция z . Нека задачата за определяне на условния екстремум на функцията е решена z = f(X) под ограничения φ аз ( х 1 , х 2 , ..., х н ) = 0, аз = 1, 2, ..., м , м < н
Нека съставим функция
което се нарича Функция на Лагранж. х , - постоянни фактори ( Множители на Лагранж). Обърнете внимание, че на множителите на Лагранж може да се даде икономическо значение. Ако f(x 1 , х 2 , ..., х н ) - приходи в съответствие с плана X = (x 1 , х 2 , ..., х н ) , и функцията φ аз (х 1 , х 2 , ..., х н ) - разходи за i-тия ресурс, съответстващ на този план, тогава х , е цената (оценката) на i-тия ресурс, характеризираща изменението на екстремната стойност на целевата функция в зависимост от изменението на размера на i-тия ресурс (пределна оценка). L(X) - функция n+m променливи (х 1 , х 2 , ..., х н , λ 1 , λ 2 , ..., λ н ) . Определянето на стационарните точки на тази функция води до решаване на системата от уравнения
|
|
Лесно е да се види това
. По този начин задачата за намиране на условния екстремум на функцията z = f(X)
се свежда до намиране на локалния екстремум на функцията L(X)
. Ако се намери стационарна точка, тогава въпросът за съществуването на екстремум в най-простите случаи се решава въз основа на достатъчни условия за екстремума - изучаване на знака на втория диференциал д
2
L(X)
в стационарна точка, при условие че променливата нараства Δx
аз
- свързани с връзки
|
|
получен чрез диференциране на уравненията на свързване.
Решаване на система от нелинейни уравнения с две неизвестни чрез инструмента Find Solution
Настройки Намиране на решениеви позволява да намерите решение на система от нелинейни уравнения с две неизвестни:
Където 
- нелинейна функция на променливи х
И
г
,
- произволна константа.
Известно е, че двойката ( х , г ) е решение на система от уравнения (10) тогава и само ако е решение на следното уравнение с две неизвестни:
СЪСот друга страна, решението на система (10) е пресечните точки на две криви: f ] (х, г) = ° С И f 2 (x, y) = C 2 на повърхността XOY.
Това води до метод за намиране на корените на системата. нелинейни уравнения:
Определете (поне приблизително) интервала на съществуване на решение на системата от уравнения (10) или уравнение (11). Тук е необходимо да се вземе предвид вида на уравненията, включени в системата, областта на дефиниране на всяко от техните уравнения и т.н. Понякога се използва избор на първоначално приближение на решението;
Табулирайте решението на уравнение (11) за променливите x и y на избрания интервал или изградете графики на функции f 1 (х, г) = C, и f 2 (x,y) = C 2 (система (10)).
Локализирайте предполагаемите корени на системата от уравнения - намерете няколко минимални стойности от таблицата, представяща корените на уравнение (11), или определете пресечните точки на кривите, включени в системата (10).
4. Намерете корените на системата от уравнения (10) с помощта на добавката Намиране на решение.
Кратка теория
Методът на умножителя на Лагранж е класически метод за решаване на задачи по математическо програмиране (по-специално изпъкнали). За съжаление, практическото приложение на метода може да срещне значителни изчислителни затруднения, стесняващи обхвата на неговото използване. Тук разглеждаме метода на Лагранж главно защото това е апарат, който се използва активно за обосноваване на различни съвременни числени методи, които се използват широко в практиката. Що се отнася до функцията на Лагранж и множителите на Лагранж, те играят независима и изключително важна роля в теорията и приложенията не само на математическото програмиране.
Помислете за класически оптимизационен проблем:
Сред ограниченията на тази задача няма неравенства, няма условия за неотрицателност на променливите, тяхната дискретност, а функциите са непрекъснати и имат частни производни поне от втори ред.
Класическият подход за решаване на проблема предоставя система от уравнения (необходими условия), които трябва да бъдат удовлетворени от точката, която осигурява на функцията локален екстремум върху множеството от точки, които удовлетворяват ограниченията (за проблем с изпъкнало програмиране, намерената точка ще бъде и глобалната екстремна точка).
Да приемем, че в точка функция (1) има локален условен екстремум и рангът на матрицата е равен на . Тогава необходимите условия ще бъдат записани във формата:
има функция на Лагранж; – Множители на Лагранж.
Съществуват и достатъчни условия, при които решението на системата от уравнения (3) определя точката на екстремума на функцията. Този въпрос се решава въз основа на изследването на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж. Достатъчните условия обаче представляват предимно теоретичен интерес.
Можете да зададете следната процедура за решаване на задача (1), (2) с помощта на метода на умножителя на Лагранж:
1) съставете функцията на Лагранж (4);
2) намерете частичните производни на функцията на Лагранж по отношение на всички променливи и ги приравнете
нула. Така ще се получи система (3), състояща се от уравнения Решете получената система (ако това се окаже възможно!) и така намерете всички стационарни точки на функцията на Лагранж;
3) от стационарни точки, взети без координати, изберете точки, в които функцията има условни локални екстремуми при наличие на ограничения (2). Този избор се прави, например, като се използват достатъчни условия за локален екстремум. Често изследването се опростява, ако се използват специфични условия на проблема.
Пример за решение на проблем
Задачата
Фирмата произвежда два вида стоки в количества и . Функцията на полезните разходи се определя от отношението. Цените на тези стоки на пазара са еднакви и съотв.
Определете при какви обеми на продукцията се постига максимална печалба и на каква е тя, ако общите разходи не надвишават
Имате проблеми с разбирането на напредъка на дадено решение? Уебсайтът предлага услуга Решаване на проблеми с помощта на методи за оптимални решения по поръчка
Решението на проблема
Икономически и математически модел на задачата
Функция печалба:
Ограничения на разходите:
Получаваме следния икономико-математически модел:
Освен това според смисъла на задачата
Метод на умножителя на Лагранж
Нека съставим функцията на Лагранж:
Намираме частичните производни от 1-ви ред:
Нека създадем и решим система от уравнения:
От тогава
Максимална печалба:
Отговор
По този начин е необходимо да се освободи храна. стоки от 1-ви вид и бр. стоки от 2-ри вид. В този случай печалбата ще бъде максимална и ще възлиза на 270.
Даден е пример за решаване на задача от квадратично изпъкнало програмиране с помощта на графичен метод.
Решаване на линейна задача по графичен метод
Разгледан е графичен метод за решаване на задача с линейно програмиране (LPP) с две променливи. Използвайки примера на проблем, е дадено подробно описание на конструирането на чертеж и намирането на решение.
Моделът на Уилсън за управление на запасите
Използвайки примера за решаване на проблема, се разглежда основният модел за управление на запасите (модел на Уилсън). Бяха изчислени такива показатели на модела като оптимален размер на партидата на поръчката, годишни разходи за съхранение, интервал между доставките и точка на поставяне на поръчка.
Матрица на съотношението на директните разходи и матрица на входно-изходните данни
Използвайки примера за решаване на проблем, се разглежда междусекторният модел на Леонтиев. Показано е изчисляването на матрицата на коефициентите на преките материални разходи, матрицата на „вложените ресурси“, матрицата на коефициентите на непреките разходи, векторите на крайното потребление и брутната продукция.
Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1)
.
Има три начина за решаване на това уравнение:
- метод на вариация на константата (Лагранж).
Нека разгледаме решаването на линейно диференциално уравнение от първи ред с помощта на метода на Лагранж.
Метод на вариация на константата (Лагранж)
При вариацията на константния метод ние решаваме уравнението в две стъпки. В първата стъпка опростяваме оригиналното уравнение и решаваме хомогенно уравнение. На втория етап заместваме константата на интегриране, получена на първия етап от решението, с функция. След това търсим общо решение на първоначалното уравнение.
Разгледайте уравнението:
(1)
Стъпка 1 Решаване на хомогенно уравнение
Търсим решение на хомогенното уравнение:
Това е разделимо уравнение
Разделяме променливите - умножение по dx, деление на y:
Нека интегрираме:
Интеграл върху y - табличен:
Тогава
Нека потенцираме:
Нека заменим константата e C с C и премахнем знака за модул, което се свежда до умножаване по константа ±1, които ще включим в C:
Стъпка 2 Заменете константата C с функцията
Сега нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)
Тоест ще търсим решение на първоначалното уравнение (1)
като:
(2)
Намиране на производната.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Според правилото за диференциране на продукта:
.
Заместете в оригиналното уравнение (1)
:
(1)
;
.
Двама членове са намалени:
;
.
Нека интегрираме:
.
Заместник в (2)
:
.
В резултат на това получаваме общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред:
.
Пример за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж
Решете уравнението
Решение
Решаваме хомогенното уравнение:
Разделяме променливите:
Умножете по:
Нека интегрираме:
Таблични интеграли:
Нека потенцираме:
Нека заменим константата e C с C и премахнем знаците за модула:
Оттук:
Нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)
Намиране на производната:
.
Заместете в оригиналното уравнение:
;
;
Или:
;
.
Нека интегрираме:
;
Решение на уравнението:
.
