Как да изчислим площта на паралелепипед. Странична повърхност на различни пирамиди

Когато се подготвят за Единния държавен изпит по математика, учениците трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчисля площта на пирамида. Освен това, започвайки от основата и страничните ръбове до цялата повърхност. Ако ситуацията със страничните лица е ясна, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.

Как да намерите площта на основата на пирамидата?

Това може да бъде абсолютно всяка фигура: от произволен триъгълник до n-gon. И тази основа, освен разликата в броя на ъглите, може да бъде правилна фигура или неправилна. В задачите на Единния държавен изпит, които интересуват учениците, има само задачи с правилни цифри в основата. Затова ще говорим само за тях.

Правилен триъгълник

Тоест равностранен. Тази, в която всички страни са равни и се обозначават с буквата „а“. В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:

S = (a 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формулата за изчисляване на неговата площ е най-простата, тук "a" отново е страната:

Произволен правилен n-ъгълник

Страната на многоъгълник има същата нотация. За броя на ъглите се използва латинската буква n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Какво да направите, когато изчислявате страничната и общата повърхност?

Тъй като основата е правилна фигура, всички лица на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, ще ви е необходима формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на членовете се определя от броя на страните на основата.

Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от продукта на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Обозначението му е "А". Общата формула за страничната повърхност е:

S = ½ P*A, където P е периметърът на основата на пирамидата.

Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоският ъгъл при нейния връх (α). След това трябва да използвате следната формула, за да изчислите страничната площ на пирамидата:

S = n/2 * в 2 sin α .

Задача No1

Състояние.Намерете общата площ на пирамидата, ако нейната основа има страна 4 cm, а апотемата има стойност √3 cm.

Решение.Трябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P = 3*4 = 12 см. Тъй като апотемата е известна, можем веднага да изчислим площта на цялата странична повърхност: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

За триъгълника в основата получавате следната стойност на площта: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

За да определите цялата площ, ще трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Отговор. 10√3 cm 2.

Проблем No2

Състояние. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на основата е 7 мм, на страничния ръб е 16 мм. Необходимо е да се установи неговата повърхност.

Решение.Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, основата му е квадрат. След като знаете площта на основата и страничните стени, ще можете да изчислите площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А за страничните лица са известни всички страни на триъгълника. Следователно можете да използвате формулата на Heron, за да изчислите техните площи.

Първите изчисления са прости и водят до следното число: 49 mm 2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че при изчисляване на крайното число ще трябва да го умножите по 4.

Оказва се: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Отговор. Желаната стойност е 267,576 mm 2.

Проблем No3

Състояние. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. Известно е, че страната на квадрата е 6 cm, а височината е 4 cm.

Решение.Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметър и апотема. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-сложно.

Ще трябва да си спомним Питагоровата теорема и да вземем предвид Тя се формира от височината на пирамидата и апотемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на многостена попада в средата му.

Необходимата апотема (хипотенуза на правоъгълен триъгълник) е равна на √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Сега можете да изчислите необходимата стойност: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Отговор. 96 см 2.

Проблем No4

Състояние.Дадена е правилната страна Страните на основата му са 22 мм, страничните ръбове са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полиедър?

Решение.Разсъждението в нея е същото като описаното в задача No2. Само там е дадена пирамида с квадрат в основата, а сега е шестоъгълник.

Първо, основната площ се изчислява по горната формула: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Сега трябва да откриете полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е страничната страна. (22+61*2):2 = 72 см. Остава само да се използва формулата на Heron, за да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник, след което да се умножи по шест и да се добави към получената за основата.

Изчисления по формулата на Херон: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Изчисления, които ще дадат площ на страничната повърхност: 660 * 6 = 3960 cm 2. Остава да ги съберем, за да разберем цялата повърхност: 5217,47≈5217 cm 2.

Отговор.Основата е 726√3 cm2, страничната повърхност е 3960 cm2, цялата площ е 5217 cm2.

Цилиндърът е фигура, състояща се от цилиндрична повърхност и два кръга, разположени успоредно. Изчисляването на площта на цилиндър е проблем в геометричния клон на математиката, който може да бъде решен доста просто. Има няколко метода за решаването му, които в крайна сметка винаги се свеждат до една формула.

Как да намерите площта на цилиндър - правила за изчисление

• За да разберете площта на цилиндъра, трябва да добавите двете области на основата с площта на страничната повърхност: S = Sside + 2Sbase. В по-подробна версия тази формула изглежда така: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площта на страничната повърхност на дадено геометрично тяло може да се изчисли, ако са известни неговата височина и радиусът на окръжността, лежаща в основата му. В този случай можете да изразите радиуса от обиколката, ако е даден. Височината може да се намери, ако стойността на генератора е посочена в условието. В този случай образуващата ще бъде равна на височината. Формулата за страничната повърхност на това тяло изглежда така: S= 2 π rh.
• Площта на основата се изчислява по формулата за намиране на площта на кръг: S osn= π r 2 . В някои задачи радиусът може да не е даден, но обиколката може да бъде дадена. С тази формула радиусът се изразява доста лесно. С=2π r, r= С/2π. Трябва също да запомните, че радиусът е половината от диаметъра.
• При извършване на всички тези изчисления числото π обикновено не се превежда в 3,14159... То просто трябва да се добави до числената стойност, получена в резултат на изчисленията.
• След това просто трябва да умножите намерената площ на основата по 2 и да добавите към полученото число изчислената площ на страничната повърхност на фигурата.
• Ако проблемът показва, че цилиндърът има аксиално сечение и че е правоъгълник, тогава решението ще бъде малко по-различно. В този случай ширината на правоъгълника ще бъде диаметърът на кръга, лежащ в основата на тялото. Дължината на фигурата ще бъде равна на образуващата или височината на цилиндъра. Необходимо е да се изчислят необходимите стойности и да се заменят във вече известната формула. В този случай ширината на правоъгълника трябва да бъде разделена на две, за да се намери площта на основата. За да се намери страничната повърхност, дължината се умножава по два радиуса и числото π.
• Можете да изчислите площта на дадено геометрично тяло чрез неговия обем. За да направите това, трябва да извлечете липсващата стойност от формулата V=π r 2 h.
• Няма нищо сложно при изчисляването на площта на цилиндъра. Просто трябва да знаете формулите и да можете да извлечете от тях количествата, необходими за извършване на изчисления.

Площ на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме проблемите с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Надморската височина на този триъгълник, изтеглена от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF - апотема:

В вида на проблема, представен по-долу, трябва да намерите площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. В блога вече бяха обсъдени няколко проблема с правилни пирамиди, където въпросът беше за намирането на елементите (височина, основен ръб, страничен ръб).

Задачите на единния държавен изпит обикновено разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Нека разгледаме задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Можем да изчислим площта на страната на пирамидата, като използваме:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 22, страничните ръбове са равни на 61. Намерете страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Нека намерим площта на триъгълника, използвайки формулата на Heron:

Така площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да се намери с помощта на друга формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамидата, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

*Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, прекарана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- основен периметър, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извличат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност. В статията ще говорим за това как да намерим площта на цилиндър и, използвайки формулата, ще решим няколко проблема като пример.

Цилиндърът има три повърхности: горна, основа и странична повърхност.

Горната част и основата на цилиндъра са кръгове и лесно се разпознават.

Известно е, че площта на кръга е равна на πr 2. Следователно формулата за площта на два кръга (горната и основата на цилиндъра) ще бъде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да си представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновена тенекия, която няма горен капак или дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от върха до дъното на кутията (стъпка 1 на фигурата) и се опитайте да отворите (изправите) получената фигура колкото е възможно повече (стъпка 2).

След като полученият буркан е напълно отворен, ще видим позната фигура (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Върхът на оригиналния цилиндър е кръг и знаем, че обиколката се изчислява по формулата: L = 2πr. На фигурата е отбелязано в червено.

Когато страничната стена на цилиндъра е напълно отворена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Формула за площта на страничната повърхност на цилиндър
S страна = 2πrh

Обща повърхност на цилиндър

И накрая, ако добавим площта на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндър. Повърхностната площ на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = ​​πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва идентичен с формулата 2πr (r + h).

Формула за общата повърхност на цилиндър
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус на цилиндъра, h – височина на цилиндъра

Примери за изчисляване на повърхността на цилиндър

За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндър, като използваме примери.

1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2πrh

S страна = 2 * 3,14 * 2 * 3

S страна = 6,28 * 6

S страна = 37,68

Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.

2. Как да намерим повърхността на цилиндър, ако височината е 4 и радиусът е 6?

Общата площ на повърхността се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

е многостранна фигура, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако основата е квадрат, тогава се нарича пирамида четириъгълна, ако е триъгълник – тогава триъгълна. Височината на пирамидата се изчертава от върха й перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площ апотема– височината на страничното лице, спусната от върха му.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на нейните странични лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апотема a = 5 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Нека намерим периметъра. Тъй като всички ръбове на основата са равни, периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега можете да намерите страничната област на пирамидата:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи правилен триъгълник и три странични стени, които са еднакви по площ.
Формулата за площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида може да се изчисли по различни начини. Можете да приложите обичайната формула за изчисление, като използвате периметъра и апотемата, или можете да намерите площта на едно лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, прилагаме формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължината на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена е пирамида с апотема a = 4 см и лице на основата b = 2 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете областта на една от страничните повърхности. В този случай ще бъде:
Заместете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. Съответно:

Площ на пресечена пирамида

СъкратенПирамидата е многостен, който се състои от пирамида и нейното напречно сечение, успоредно на основата.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сумата на периметрите на основите и апотемата: