Формула за обема на пирамида с помощта на тристенен ъгъл. Формули за обем на правилна триъгълна пирамида
Една от най-простите триизмерни фигури е триъгълната пирамида, тъй като се състои от най-малкия брой лица, от които може да се образува фигура в пространството. В тази статия ще разгледаме формули, които могат да се използват за намиране на обема на триъгълна правилна пирамида.
Триъгълна пирамида
Според общото определение пирамидата е многоъгълник, всички върхове на който са свързани с една точка, която не се намира в равнината на този многоъгълник. Ако последният е триъгълник, тогава цялата фигура се нарича триъгълна пирамида.
Въпросната пирамида се състои от основа (триъгълник) и три странични стени (триъгълници). Точката, в която са свързани трите странични лица, се нарича връх на фигурата. Перпендикулярът от този връх, спуснат към основата, е височината на пирамидата. Ако пресечната точка на перпендикуляра с основата съвпада с пресечната точка на медианите на триъгълника в основата, тогава говорим за правилна пирамида. В противен случай ще бъде наклонен.
Както беше посочено, основата на триъгълна пирамида може да бъде общ тип триъгълник. Ако обаче е равностранна, а самата пирамида е права, тогава те говорят за правилна триизмерна фигура.
Всеки има 4 лица, 6 ръба и 4 върха. Ако дължините на всички ръбове са равни, тогава такава фигура се нарича тетраедър.
общ тип
Преди да запишем правилна триъгълна пирамида, даваме израз за тази физическа величина за пирамида от общ тип. Този израз изглежда така:
Тук S o е площта на основата, h е височината на фигурата. Това равенство ще бъде валидно за всякакъв тип основа на пирамида многоъгълник, както и за конус. Ако в основата има триъгълник с дължина на страната a и височина h o, спуснат върху него, тогава формулата за обем ще бъде написана, както следва:
Формули за обем на правилна триъгълна пирамида
Triangular има равностранен триъгълник в основата. Известно е, че височината на този триъгълник е свързана с дължината на страната му по равенството:
Замествайки този израз във формулата за обема на триъгълна пирамида, написана в предишния параграф, получаваме:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Обемът на правилна пирамида с триъгълна основа е функция на дължината на страната на основата и височината на фигурата.
Тъй като всеки правилен многоъгълник може да бъде вписан в кръг, чийто радиус ще определи еднозначно дължината на страната на многоъгълника, тогава тази формула може да бъде написана по отношение на съответния радиус r:
Тази формула може лесно да бъде получена от предишната, ако вземем предвид, че радиусът r на описаната окръжност през дължината на страната a на триъгълника се определя от израза:
Задача за определяне на обема на тетраедър
Ще покажем как да използваме горните формули при решаване на конкретни геометрични задачи.
Известно е, че тетраедърът има дължина на ръба 7 см. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида-тетраедър.
Спомнете си, че тетраедърът е правилна триъгълна пирамида, в която всички основи са равни една на друга. За да използвате формулата за обема на правилна триъгълна пирамида, трябва да изчислите две количества:
- дължина на страната на триъгълника;
- височина на фигурата.
Първото количество е известно от условията на задачата:
За да определите височината, вземете предвид фигурата, показана на фигурата.
Отбелязаният триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник, като ъгълът ABC е 90o. Страната AC е хипотенузата и нейната дължина е a. Използвайки прости геометрични разсъждения, може да се покаже, че страната BC има дължина:
Забележете, че дължината BC е радиусът на окръжността, описана около триъгълника.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Сега можете да замените h и a в съответната формула за обем:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Така получихме формулата за обема на тетраедър. Вижда се, че обемът зависи само от дължината на ръба. Ако заместим стойността от условията на проблема в израза, тогава получаваме отговора:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Ако сравним тази стойност с обема на куб със същия ръб, ще открием, че обемът на тетраедъра е 8,5 пъти по-малък. Това показва, че тетраедърът е компактна фигура, която се среща в някои природни вещества. Например, молекулата на метана има тетраедрична форма и всеки въглероден атом в диаманта е свързан с четири други атома, за да образува тетраедър.
Проблем с хомотетичната пирамида
Нека решим една интересна геометрична задача. Да предположим, че има триъгълна правилна пирамида с определен обем V 1. Колко пъти трябва да се намали размерът на тази фигура, за да се получи хомотетична пирамида с три пъти по-малък обем от оригинала?
Нека започнем да решаваме проблема, като напишем формулата за оригиналната правилна пирамида:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Нека обемът на фигурата, изискван от условията на задачата, се получава чрез умножаване на нейните параметри по коефициента k. Ние имаме:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Тъй като съотношението на обемите на фигурите е известно от условието, получаваме стойността на коефициента k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Имайте предвид, че бихме получили подобна стойност за коефициента k за пирамида от всякакъв тип, а не само за правилна триъгълна.
Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).
Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.
Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.
Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.
Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.
Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.
Обем и повърхност на пирамидата
Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:
Свойства на пирамидата
Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да се начертае кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).
Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.
Страничните ръбове са равни, когато образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.
Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише окръжност, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.
Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.
Свойства на правилна пирамида
1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.
2. Всички странични ръбове са равни.
3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.
4. Апотемите на всички странични лица са равни.
5. Площите на всички странични лица са равни.
6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.
7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.
8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.
9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от равнинните ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.
Връзката между пирамидата и сферата
Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.
Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.
Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.
Свързване на пирамида с конус
Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.
В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.
Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.
Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.
Връзка между пирамида и цилиндър
Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.
Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.
Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.
Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.
Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).
Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).
Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.
Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.
Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.
Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.
Определение. Правоъгълен тетраедърсе нарича тетраедър, в който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.
Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.
Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.
Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.
За да намерите обема на пирамида, трябва да знаете няколко формули. Нека да ги разгледаме.
Как да намерим обема на пирамида - 1-ви метод
Обемът на пирамидата може да се намери с помощта на височината и площта на нейната основа. V = 1/3*S*h. Така например, ако височината на пирамидата е 10 cm, а площта на нейната основа е 25 cm 2, тогава обемът ще бъде равен на V = 1/3 * 25 * 10 = 1/3 * 250 = 83,3 см 3
Как да намерим обема на пирамида - 2-ри метод
Ако правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава обемът му може да се намери по следната формула: V = na 2 h/12*tg(180/n), където a е страната на многоъгълника, лежащ в основата , а n е броят на страните му. Например: Основата е правилен шестоъгълник, тоест n = 6. Тъй като е правилен, всичките му страни са равни, тоест всички a са равни. Да кажем a = 10 и h - 15. Вмъкваме числата във формулата и получаваме приблизителен отговор - 1299 cm 3
Как да намерим обема на пирамида - 3-ти метод
Ако равностранен триъгълник лежи в основата на пирамидата, тогава обемът му може да се намери по следната формула: V = ha 2 /4√3, където a е страната на равностранния триъгълник. Например: височината на пирамидата е 10 см, страната на основата е 5 см. Обемът ще бъде равен на V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обикновено това, което е в знаменателя не се изчислява и се оставя в същия вид. Можете също така да умножите както числителя, така и знаменателя по 4√ 3. Получаваме 1000√ 3/48. Чрез намаляване получаваме 125√ 3/6 cm 3.
Как да намерим обема на пирамида - 4-ти метод
Ако има квадрат в основата на пирамидата, тогава нейният обем може да се намери по следната формула: V = 1/3*h*a 2, където a е страните на квадрата. Например: височина – 5 см, квадратна страна – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3
Как да намерим обема на пирамида - 5-ти метод
Ако пирамидата е тетраедър, т.е. всичките й лица са равностранни триъгълници, можете да намерите обема на пирамидата, като използвате следната формула: V = a 3 √2/12, където a е ръбът на тетраедъра. Например: ръб на тетраедър = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3
Думата "пирамида" неволно се свързва с величествените гиганти в Египет, които вярно пазят мира на фараоните. Може би затова всички, дори децата, безпогрешно разпознават пирамидата.
Въпреки това, нека се опитаме да му дадем геометрична дефиниция. Нека си представим няколко точки от равнината (A1, A2,..., An) и още една (E), която не й принадлежи. Така че, ако точка E (връх) е свързана с върховете на многоъгълника, образуван от точки A1, A2,..., An (основа), получавате полиедър, който се нарича пирамида. Очевидно многоъгълникът в основата на пирамидата може да има произволен брой върхове и в зависимост от техния брой пирамидата може да се нарече триъгълна, четириъгълна, петоъгълна и т.н.
Ако се вгледате внимателно в пирамидата, ще стане ясно защо тя се определя и по друг начин - като геометрична фигура с многоъгълник в основата си и триъгълници, обединени от общ връх като странични лица.
Тъй като пирамидата е пространствена фигура, тя има и следната количествена характеристика, изчислена от добре познатата равна трета от произведението на основата на пирамидата и нейната височина:
При извеждането на формулата обемът на пирамидата първоначално се изчислява за триъгълна, като се взема за основа постоянно съотношение, свързващо тази стойност с обема на триъгълна призма със същата основа и височина, което, както се оказва, е три пъти този обем.
И тъй като всяка пирамида е разделена на триъгълници и нейният обем не зависи от конструкциите, извършени по време на доказателството, валидността на дадената формула за обем е очевидна.
Отделно от всички пирамиди са правилните, които имат в основата си. Що се отнася до, тя трябва да "завършва" в центъра на основата.
В случай на неправилен многоъгълник в основата, за да изчислите площта на основата, ще ви трябва:
- разбийте го на триъгълници и квадрати;
- изчислете площта на всеки от тях;
- сумирайте получените данни.
В случай на правилен многоъгълник в основата на пирамидата, неговата площ се изчислява с помощта на готови формули, така че обемът на правилната пирамида се изчислява доста просто.
Например, за да се изчисли обемът на четириъгълна пирамида, ако тя е правилна, дължината на страната на правилен четириъгълник (квадрат) в основата се повдига на квадрат и, умножена по височината на пирамидата, полученият продукт се разделя на три.
Обемът на пирамидата може да се изчисли с други параметри:
- като една трета от произведението на радиуса на топка, вписана в пирамида, и нейната обща повърхност;
- като две трети от произведението на разстоянието между два произволно избрани пресичащи се ръба и площта на успоредника, който образува средните точки на останалите четири ръба.
Обемът на пирамидата се изчислява просто в случай, че нейната височина съвпада с един от страничните ръбове, тоест в случай на правоъгълна пирамида.
Говорейки за пирамиди, не можем да пренебрегнем пресечените пирамиди, получени чрез разрязване на пирамидата с равнина, успоредна на основата. Техният обем е почти равен на разликата между обемите на цялата пирамида и отрязания връх.
Демокрит пръв намира обема на пирамидата, макар и не точно в съвременния й вид, а равен на 1/3 от обема на известната ни призма. Архимед нарича своя метод на изчисление „без доказателство“, тъй като Демокрит разглежда пирамидата като фигура, съставена от безкрайно тънки подобни плочи.
Векторната алгебра също „разглежда“ въпроса за намиране на обема на пирамида, използвайки координатите на нейните върхове. Пирамида, изградена върху тройка от вектори a, b, c, е равна на една шеста от модула на смесеното произведение на дадени вектори.
Тук ще разгледаме примери, свързани с понятието обем. За да решите такива задачи, трябва да знаете формулата за обема на пирамида:
С
h – височина на пирамидата
Основата може да бъде произволен многоъгълник. Но в повечето задачи на Единния държавен изпит условието обикновено е за правилни пирамиди. Нека ви припомня едно от свойствата му:
Върхът на правилната пирамида се проектира в центъра на нейната основа
Вижте проекцията на правилните триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди (ИЗГЛЕД ОТГОРЕ):
Можете в блога, където бяха обсъдени проблеми, свързани с намирането на обема на пирамида.Нека разгледаме задачите:
27087. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида, чиято основа е равна на 1 и височината е равна на корен от три.
С– площ на основата на пирамидата
ч– височина на пирамидата
Нека намерим площта на основата на пирамидата, това е правилен триъгълник. Нека използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях, което означава:
Отговор: 0,25
27088. Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, чиито основни страни са равни на 2 и чийто обем е равен на корен от три.
Понятия като височината на пирамидата и характеристиките на нейната основа са свързани с формулата за обем:
С– площ на основата на пирамидата
ч– височина на пирамидата
Знаем самия обем, можем да намерим площта на основата, тъй като знаем страните на триъгълника, който е основата. Познавайки посочените стойности, можем лесно да намерим височината.
За да намерим площта на основата, използваме формулата - площта на триъгълник е равна на половината от произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях, което означава:
По този начин, като заместим тези стойности във формулата за обем, можем да изчислим височината на пирамидата:
Височината е три.
Отговор: 3
27109. В правилна четириъгълна пирамида височината е 6, а страничният ръб е 10. Намерете нейния обем.
Обемът на пирамидата се изчислява по формулата:
С– площ на основата на пирамидата
ч– височина на пирамидата
Ние знаем височината. Трябва да намерите площта на основата. Нека ви напомня, че върхът на правилната пирамида е проектиран в центъра на нейната основа. Основата на правилната четириъгълна пирамида е квадрат. Можем да намерим неговия диагонал. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в синьо):
Отсечката, свързваща центъра на квадрата с точка B, е катет, равен на половината от диагонала на квадрата. Можем да изчислим този крак с помощта на Питагоровата теорема:
Това означава BD = 16. Нека изчислим площта на квадрата, използвайки формулата за площта на четириъгълник:
Следователно:
Така обемът на пирамидата е:
Отговор: 256
27178. В правилна четириъгълна пирамида височината е 12, а обемът е 200. Намерете страничния ръб на тази пирамида.
Височината на пирамидата и нейният обем са известни, което означава, че можем да намерим площта на квадрата, който е основата. Познавайки площта на квадрат, можем да намерим неговия диагонал. След това, като разглеждаме правоъгълен триъгълник, използвайки Питагоровата теорема, изчисляваме страничния ръб:
Нека намерим площта на квадрата (основата на пирамидата):
Нека изчислим диагонала на квадрата. Тъй като неговата площ е 50, страната ще бъде равна на корен от петдесет и според Питагоровата теорема:
Точка O разделя диагонала BD наполовина, което означава, че катетът на правоъгълния триъгълник OB = 5.
Така можем да изчислим на какво е равен страничният ръб на пирамидата:
Отговор: 13
245353. Намерете обема на пирамидата, показана на фигурата. Основата му е многоъгълник, чиито съседни страни са перпендикулярни, а един от страничните ръбове е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на 3.
Както е казано много пъти, обемът на пирамидата се изчислява по формулата:
С– площ на основата на пирамидата
ч– височина на пирамидата
Страничният ръб, перпендикулярен на основата, е равен на три, което означава, че височината на пирамидата е три. Основата на пирамидата е многоъгълник, чиято площ е равна на:
По този начин:
Отговор: 27
27086. Основата на пирамидата е правоъгълник със страни 3 и 4. Обемът му е 16. Намерете височината на тази пирамида.
