Случайната променлива се определя от разпределението. Дискретни случайни променливи

За разлика от дискретната случайна променлива, непрекъснатите случайни променливи не могат да бъдат посочени под формата на таблица на нейния закон за разпределение, тъй като е невъзможно да се изброят и изпишат всички нейни стойности в определена последователност. Един възможен начин за указване на непрекъсната случайна променлива е използването на функция на разпределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцията на разпределение е функция, която определя вероятността една случайна променлива да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точка, разположена вляво от точка x, т.е.

Понякога вместо термина „функция на разпределение“ се използва терминът „интегрална функция“.

Свойства на функцията на разпределение:

1. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат към сегмента: 0F(x)1
2. F(x) е ненамаляваща функция, т.е. F(x 2)F(x 1), ако x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, съдържаща се в интервала (a,b), е равна на увеличението на функцията на разпределение на този интервал:

P(aX

Пример 9. Случайната променлива X е дадена от функцията на разпределение:

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0;2): P(0

Решение: Тъй като в интервала (0;2) по условие, F(x)=x/4+1/4, тогава F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Така че P(0

Следствие 2. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една специфична стойност е нула.

Следствие 3. Ако възможните стойности на случайна променлива принадлежат към интервала (a;b), то: 1) F(x)=0 за xa; 2) F(x)=1 при xb.
Валидни са следните гранични отношения:

Графиката на функцията на разпределение се намира в лентата, ограничена от правите y=0, y=1 (първо свойство). С нарастването на x в интервала (a; b), който съдържа всички възможни стойности на случайната променлива, графиката се "издига нагоре". При xa ординатите на графиката са равни на нула; при xb ординатите на графиката са равни на едно:

Снимка 1

Пример 10. Дискретна случайна променлива X е дадена от таблица на разпределение:

х	1	4	8
П	0.3	0.1	0.6

Намерете функцията на разпределение и я начертайте.
Решение: Функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва:

Фигура-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плътността на разпределението на вероятността на непрекъсната случайна променлива X е функцията f(x) - първата производна на функцията на разпределение F(x): f(x)=F"(x)

От това определение следва, че функцията на разпределение е антипроизводна на плътността на разпределение.

Теорема. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (a;b), е равна на определен интеграл от плътността на разпределение, взет в диапазона от a до b:

(8)

Свойства на разпределението на плътността на вероятността:

1. Плътността на вероятността е неотрицателна функция: f(x)0.
2. Определеният интеграл от -∞ до +∞ на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива е равен на 1: f(x)dx=1.
3. Определеният интеграл от -∞ до x на вероятностната плътност на непрекъсната случайна променлива е равен на функцията на разпределение на тази променлива: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Дадена е плътността на разпределение на вероятността на случайна променлива X

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,5;1).

Решение: Изисквана вероятност:

Нека разширим дефиницията на числените характеристики на дискретни величини до непрекъснати величини. Нека една непрекъсната случайна променлива X е определена от плътността на разпределение f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат към сегмента, се нарича определен интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос Ox, тогава:

M(x)=xf(x)dx (10)

Режимът M 0 (X) на непрекъсната случайна променлива X е нейната възможна стойност, на която съответства локалният максимум на плътността на разпределението.

Медианата M e (X) на непрекъсната случайна променлива X е нейната възможна стойност, която се определя от равенството:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсията на непрекъсната случайна променлива е математическото очакване на квадрата на нейното отклонение. Ако възможните стойности на X принадлежат към сегмента, тогава:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос x, тогава.

Случайна величинаПроменлива се нарича променлива, която в резултат на всеки тест приема една неизвестна преди това стойност в зависимост от случайни причини. Случайните променливи се означават с главни латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според вида си случайните променливи могат да бъдат отделенИ непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е случайна променлива, чиито стойности не могат да бъдат повече от изброими, т.е. крайни или изброими. Под изброимост имаме предвид, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат номерирани.

Пример 1 . Ето примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на падналите емблеми при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, пристигащи на борда (изброим набор от стойности).

г) броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойности $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, чийто първи ред показва стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$, а вторият ред съдържа вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези ценности.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, хвърлени при хвърляне на зар. Такава случайна променлива $X$ може да приема следните стойности: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\край (масив)$

Коментирайте. Тъй като в закона за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуват пълна група от събития, тогава сборът на вероятностите трябва да е равен на единица, т.е. \sum(p_i)=1$.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Очакване на случайна променливазадава своето „централно“ значение. За дискретна случайна променлива математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на математическото очакване$M\ляво(X\дясно)$:

1. $M\left(X\right)$ се намира между най-малката и най-голямата стойност на случайната променлива $X$.
2. Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ се намира между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с еднакви математически очаквания могат да се разпръснат по различен начин около техните средни стойности. Например в две студентски групи средната оценка на изпита по теория на вероятностите се оказа 4, но в едната всички се оказаха добри студенти, а в другата имаше само тройници и отличници. Следователно има нужда от числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайната променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е равно на:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.

Дисперсионни свойства$D\ляво(X\дясно)$:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
2. Дисперсията на константата е нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
3. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\ляво(CX\дясно)=C^2D\ляво(X\дясно)$.
4. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
5. Дисперсията на разликата между независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+(((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\над (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\над (12))\приблизително 2,92.$$

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

Разпределителна функцияслучайна променлива $X$ се нарича функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\ ляво(x\дясно)=P\ляво(X< x\right)$

Свойства на функцията на разпределение:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$

Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително за $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ в\ 4< x\le 5,\\
1,\ за\ x > 6.
\end(матрица)\right.$

4. Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

Непрекъсната случайна променлива може да бъде определена с помощта на функцията на разпределение Е(х) . Този метод на възлагане не е единственият. Непрекъсната случайна променлива може също да бъде определена с помощта на друга функция, наречена плътност на разпределение или плътност на вероятността (понякога наричана диференциална функция).

Определение 4.1: Плътност на разпределение на непрекъсната случайна променлива хизвикайте функцията f (х) - първата производна на функцията на разпределението Е(х) :

f ( х ) = Е "( х ) .

От това определение следва, че функцията на разпределение е антипроизводна на плътността на разпределение. Обърнете внимание, че плътността на разпределението не е приложима за описание на вероятностното разпределение на дискретна случайна променлива.

Вероятност непрекъсната случайна променлива да попадне в даден интервал

Познавайки плътността на разпределението, можете да изчислите вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на даден интервал.

Теорема: Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме стойности, принадлежащи на интервала (а, b), е равен на определен интеграл от плътността на разпределението, взет в диапазона отапредиb :

Доказателство:Използваме съотношението

П(а ≤ хb) = Е(b) – Е(а).

Според формулата на Нютон-Лайбниц,

По този начин,

.

защото П(а ≤ х b)= П(а х b) , тогава най-накрая получаваме

.

Геометрично полученият резултат може да се тълкува по следния начин: вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на интервала (а, b), равна на площта на криволинейния трапец, ограничен от оставол, крива на разпределениеf(х) и направох = аИх = b.

коментар:По-специално, ако f(х) – функцията е четна и краищата на интервала са симетрични спрямо началото, тогава

.

Пример.Дадена е плътността на вероятността на случайна променлива х

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности, принадлежащи към интервала (0,5, 1).

Решение:Необходима вероятност

.

Намиране на функцията на разпределение от известна плътност на разпределение

Познаване на плътността на разпространение f(х) , можем да намерим функцията на разпределение Е(х) според формулата

.

Наистина ли, Е(х) = П(х х) = П(-∞ х х) .

следователно

.

По този начин, Като знаете плътността на разпределението, можете да намерите функцията на разпределение. Разбира се, от известна функция на разпределение може да се намери плътността на разпределение, а именно:

f(х) = Е"(х).

Пример.Намерете функцията на разпределение за дадената плътност на разпределение:

Решение:Нека използваме формулата

Ако х ≤ а, Че f(х) = 0 , следователно, Е(х) = 0 . Ако а , тогава f(x) = 1/(b-a),

следователно,

.

Ако х > b, Че

.

И така, необходимата функция на разпределение

коментар:Получихме функцията на разпределение на равномерно разпределена случайна променлива (виж равномерно разпределение).

Свойства на плътността на разпределение

Свойство 1:Плътността на разпределение е неотрицателна функция:

f ( х ) ≥ 0 .

Свойство 2:Неправилният интеграл на плътността на разпределението в диапазона от -∞ до ∞ е равен на единица:

.

коментар:Графиката на плътността на разпределението се нарича крива на разпределение.

коментар:Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива се нарича още закон на разпределение.

Пример.Плътността на разпределение на случайната променлива има следния вид:

Намерете постоянен параметър а.

Решение:Плътността на разпределение трябва да отговаря на условието, така че ще изискваме равенството да бъде изпълнено

.

Оттук
. Нека намерим неопределения интеграл:

.

Нека изчислим неправилния интеграл:

По този начин необходимият параметър

.

Вероятно значение на плътността на разпространение

Позволявам Е(х) – функция на разпределение на непрекъсната случайна величина х. По дефиницията на плътността на разпределение, f(х) = Е"(х) , или

Разлика Е(х+∆x) -Е(х) определя вероятността, че хще приеме стойност, принадлежаща на интервала (х, х+∆x). По този начин границата на съотношението на вероятността, че непрекъсната случайна променлива ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (х, х+∆x), до дължината на този интервал (при ∆х→0) е равна на стойността на плътността на разпределение в точката х.

Така че функцията f(х) определя плътността на разпределение на вероятността за всяка точка х. От диференциалното смятане е известно, че нарастването на функция е приблизително равно на диференциала на функцията, т.е.

защото Е"(х) = f(х) И dx = ∆ х, Че Е(х+∆ х) - Е(х) ≈ f(х)∆ х.

Вероятностното значение на това равенство е: вероятността случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на интервала (х, х+∆ х) е приблизително равно на произведението от плътността на вероятността в точка x и дължината на интервала ∆x.

Геометрично този резултат може да се тълкува по следния начин: вероятността случайна променлива да приеме стойност, принадлежаща на интервала (х, х+∆ х) е приблизително равна на площта на правоъгълник с основа ∆х и височинаf(х).

5. Типични разпределения на дискретни случайни променливи

5.1. Разпределение на Бернули

Определение 5.1: Случайна стойност х, приемайки две стойности 1 И 0 с вероятности („успех“) стри („провал“) р, Наречен Бернулиевская:

, Където к=0,1.

5.2. Биномиално разпределение

Нека се произвежда н независими изпитания, във всяко от които събитието Аможе или не може да се появи. Вероятността за възникване на събитие във всички опити е постоянна и еднаква стр(оттук и вероятността да не се случи р = 1 - стр).

Помислете за случайната променлива х– брой появявания на събитието Ав тези тестове. Случайна стойност хприема стойности 0,1,2,… нс вероятности, изчислени по формулата на Бернули: , Където к = 0,1,2,… н.

Определение 5.2: Биномсе нарича вероятностно разпределение, определено от формулата на Бернули.

Пример.Изстрелват се три изстрела по целта, като вероятността за попадение на всеки изстрел е 0,8. Помислете за случайна променлива х– брой попадения в целта. Намерете серията му за разпространение.

Решение:Случайна стойност хприема стойности 0,1,2,3 с вероятности, изчислени с помощта на формулата на Бернули, където н = 3, стр = 0,8 (вероятност за попадение), р = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятност за липса).

По този начин серията на разпространение има следната форма:

Използвайте формулата на Бернули за големи стойности ндоста трудно, следователно, за да изчислите съответните вероятности, използвайте локалната теорема на Лаплас, която ви позволява приблизително да намерите точно вероятността за настъпване на събитие кведнъж на всеки нтестове, ако броят на тестовете е достатъчно голям.

Локална теорема на Лаплас: Ако вероятността стрнастъпване на събитие А
че събитието А ще се появи в нтестове точно кпъти, приблизително равни (колкото по-точно, толкова повече н) стойност на функцията
, Където
, .

Забележка 1:Таблици, съдържащи стойности на функции
, са дадени в Приложение 1, и
. функция е плътността на стандартното нормално разпределение (виж нормално разпределение).

Пример:Намерете вероятността събитието А ще дойде точно 80 веднъж на всеки 400 изпитания, ако вероятността за възникване на това събитие във всяко изпитание е равна на 0,2.

Решение:По условие н = 400, к = 80, стр = 0,2 , р = 0,8 . Нека изчислим стойността, определена от данните на задачата х:
. От таблицата в Приложение 1 намираме
. Тогава търсената вероятност ще бъде:

Ако трябва да изчислите вероятността дадено събитие Аще се появи в нтестове не по-малко к 1 веднъж и не повече к 2 пъти, тогава трябва да използвате интегралната теорема на Лаплас:

Интегрална теорема на Лаплас: Ако вероятността стрнастъпване на събитие Авъв всеки опит е постоянна и различна от нула и единица, тогава вероятността че събитието А ще се появи в нтестове от к 1 преди к 2 пъти, приблизително равно на определен интеграл

, Където
И
.

С други думи, вероятността дадено събитие А ще се появи в нтестове от к 1 преди к 2 пъти, приблизително равни

Където
, И .

Бележка 2:функция
наречена функция на Лаплас (вижте нормалното разпределение). Таблици, съдържащи стойности на функции , са дадени в Приложение 2, и
.

Пример:Намерете вероятността сред 400 произволно избрани части ще се окажат нетествани от 70 до 100 части, ако вероятността частта да не е преминала проверката за контрол на качеството е равна на 0,2.

Решение:По условие н = 400, стр = 0,2 , р = 0,8, к 1 = 70, к 2 = 100 . Нека изчислим долната и горната граница на интегриране:

;
.

Така имаме:

От таблицата в Приложение 2 намираме това
И
. Тогава търсената вероятност е:

Забележка 3:В серия от независими опити (когато n е голямо, p е малко), формулата на Поасон се използва за изчисляване на вероятността дадено събитие да се случи точно k пъти (вижте разпределението на Поасон).

5.3. Поасоново разпределение

Определение 5.3: Извиква се дискретна случайна променлива Поасон,ако неговият закон за разпределение има следната форма:

, Където
И
(постоянна стойност).

Примери за Поасонови случайни променливи:

Брой повиквания към автоматична станция за определен период от време T.

Броят на разпадащите се частици на някакво радиоактивно вещество за определен период от време T.

Брой телевизори, които пристигат в сервиза за определен период от време Tв големия град .

Брой автомобили, които ще пристигнат на стоп линията на кръстовище в голям град .

Забележка 1:Специални таблици за изчисляване на тези вероятности са дадени в Приложение 3.

Бележка 2:В серия от независими тестове (когато нстрахотен, стрне е достатъчно), за да се изчисли точно вероятността за настъпване на събитие кпъти използвайки формулата на Поасон:
, Където
, това означава, че средният брой на събитията остава постоянен.

Забележка 3:Ако има случайна променлива, която е разпределена според закона на Поасон, тогава задължително има случайна променлива, която е разпределена според експоненциалния закон и обратно (виж Експоненциално разпределение).

Пример.Растението изпратено до базата 5000 продукти с добро качество. Вероятността продуктът да бъде повреден при транспортиране е равна на 0,0002 . Намерете вероятността точно три неизползваеми продукта да пристигнат в базата.

Решение:По условие н = 5000, стр = 0,0002, к = 3. Ще намерим λ: λ = н.п.= 5000·0,0002 = 1.

Според формулата на Поасон желаната вероятност е равна на:

, къде е случайната променлива х– брой неизползваеми продукти.

5.4. Геометрично разпределение

Нека се проведат независими тестове, във всеки от които е вероятността събитието да се случи Аравна на стр(0 стр

р = 1 - стр. Предизвикателствата приключват веднага щом се появи събитието А. По този начин, ако едно събитие Асе появи в к-ти тест, след това в предишния к – 1 не се появи на тестове.

Нека означим с хдискретна случайна променлива - броят на опитите, които трябва да бъдат извършени преди първото възникване на събитието А. Очевидно възможните стойности хса естествени числа x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Нека първо к-1 събитие за тестване Ане дойде, но в к-ти тест се появи. Вероятността за това „сложно събитие“, съгласно теоремата за умножение на вероятностите за независими събития, П (х = к) = р к -1 стр.

Определение 5.4: Дискретна случайна променлива има геометрично разпределение, ако неговият закон за разпределение има следната форма:

П ( х = к ) = р к -1 стр , Където
.

Забележка 1:Вярвайки к = 1,2,… , получаваме геометрична прогресия с първия член стри знаменател р (0р. Поради тази причина разпределението се нарича геометрично.

Бележка 2:Редете
се събира и сумата му е равна на единица. Наистина, сборът от серията е равен на
.

Пример.Пистолетът се стреля по целта до първото попадение. Вероятност за попадение в целта стр = 0,6 . Намерете вероятността да се получи попадение при третия изстрел.

Решение:По условие стр = 0,6, р = 1 – 0,6 = 0,4, к = 3. Необходимата вероятност е:

П (х = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Хипергеометрично разпределение

Нека разгледаме следния проблем. Пуснете партито нналични продукти Мстандартен (Мн). Взети произволно от партидата нпродукти (всеки продукт може да бъде извлечен със същата вероятност), а избраният продукт не се връща в партидата, преди да бъде избран следващият (следователно формулата на Бернули не е приложима тук).

Нека означим с хслучайна величина – число мстандартни продукти сред низбрани. След това възможните стойности хще бъде 0, 1, 2,…, min ; Нека ги етикетираме и... отстойностите на независимата променлива (Fonds) използвайте бутона ( глава ...

Учебно-методически комплекс по дисциплината „Обща психологическа работилница”

Учебно-методичен комплекс

... методически инструкции отизпълнение на практическа работа 5.1 Методическипрепоръки отизпълнение на образователни проекти 5.2 Методическипрепоръки от... чувствителност), едноизмерени многоизмерно... случаенкомпонент в размер... С раздел"Производителност...

Учебно-методически комплекс по дисциплината физика (заглавие)

Учебно-методичен комплекс

... секциив учебниците. Разрешаване на проблем отвсяка тема. Разработване методически инструкцииза лабораторна работа от ... случаени инструментална грешка при измерване 1.8 Обекти на изпитвания и методически инструкции от...Частица в едноизмеренпотенциална дупка. ...

Ръководство за лабораторни упражнения по дисциплината информатика

Насоки

... Методически инструкцииза ЛАБОРАТОРНА РАБОТА от ... размер, а най-голямата сума количества... масив случаенчисла... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 а) едноизмеренмасив б) двумерен масив Фиг. 2– Файловете... са описани в разделизпълнение след...

9. Непрекъсната случайна величина, нейните числени характеристики

Непрекъсната случайна променлива може да бъде определена с помощта на две функции. Интегрална функция на вероятностно разпределение на случайната променлива Xсе нарича функция, определена от равенството
.

Интегралната функция осигурява общ начин за указване както на дискретни, така и на непрекъснати случайни променливи. В случай на непрекъсната случайна променлива. Всички събития: имат еднаква вероятност, равна на увеличението на интегралната функция на този интервал, т.е. Например за дискретната случайна променлива, посочена в пример 26, имаме:

По този начин графиката на интегралната функция на разглежданата функция е обединение на два лъча и три сегмента, успоредни на оста Ox.

Пример 27. Непрекъснатата случайна променлива X се определя от интегралната функция на вероятностното разпределение

.

Постройте графика на интегралната функция и намерете вероятността в резултат на теста случайната величина X да приеме стойност в интервала (0,5;1,5).

Решение. На интервала
графиката е правата линия y = 0. В интервала от 0 до 2 има парабола, дадена от уравнението
. На интервала
Графиката е правата линия y = 1.

Вероятността случайната променлива X в резултат на теста да приеме стойност в интервала (0,5;1,5) се намира по формулата.

По този начин, .

Свойства на интегралната функция на вероятностното разпределение:

Удобно е да се определи законът за разпределение на непрекъсната случайна променлива, като се използва друга функция, а именно, функция на плътността на вероятността
.

Вероятността стойността, приета от случайната променлива X, да попада в интервала
, се определя от равенството
.

Графиката на функцията се нарича крива на разпределение. Геометрично, вероятността случайна променлива X да попадне в интервала е равна на площта на съответния криволинеен трапец, ограничен от кривата на разпределение, оста Ox и прави линии
.

Свойства на функцията за плътност на вероятността:

9.1. Числени характеристики на непрекъснати случайни величини

Очаквана стойност(средна стойност) на непрекъсната случайна променлива X се определя от равенството
.

M(X) се означава с А. Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива има свойства, подобни на тези на дискретна случайна променлива:

Дисперсиядискретна случайна променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване, т.е. . За непрекъсната случайна променлива дисперсията се дава по формулата
.

Дисперсията има следните свойства:

Последното свойство е много удобно за използване за намиране на дисперсията на непрекъсната случайна променлива.

Концепцията за стандартно отклонение се въвежда по подобен начин. Стандартното отклонение на непрекъснатотослучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията, т.е.
.

Пример 28. Непрекъсната случайна променлива X се определя от функция за плътност на вероятността
в интервала (10;12), извън този интервал стойността на функцията е 0. Намерете 1) стойността на параметъра а, 2) математическо очакване M(X), дисперсия
, стандартно отклонение, 3) интегрална функция
и построяване на графики на интегрални и диференциални функции.

1). За да намерите параметъра Аизползвайте формулата
. Ще го вземем. По този начин,
.

2). За намиране на математическото очакване използваме формулата: , от която следва, че
.

Ще намерим дисперсията по формулата:
, т.е. .

Нека намерим стандартното отклонение, използвайки формулата: , от която получаваме това
.

3). Интегралната функция се изразява чрез функцията за плътност на вероятността, както следва:
. следователно
при
, = 0 ат
u = 1 at
.

Графиките на тези функции са представени на фиг. 4. и фиг. 5.

Фиг.4 Фиг.5.

9.2. Равномерно вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива

Вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X равномернона интервала, ако неговата плътност на вероятността е постоянна на този интервал и равна на нула извън този интервал, т.е. . Лесно е да се покаже това в този случай
.

Ако интервалът
се съдържа в интервала, тогава
.

Пример 29.Едно моментно сигнално събитие трябва да се случи между един и пет часа. Времето за изчакване на сигнала е случайна променлива X. Намерете вероятността сигналът да бъде открит между два и три часа следобед.

Решение. Случайната променлива X има равномерно разпределение и използвайки формулата намираме, че вероятността сигналът да бъде между 2 и 3 часа следобед е равна на
.

В учебната и друга литература често се обозначава в литературата чрез
.

9.3. Нормално вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива

Вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива се нарича нормално, ако неговият закон за разпределение на вероятностите се определя от плътността на вероятността
. За такива количества А- очаквана стойност,
- стандартно отклонение.

Теорема. Вероятност нормално разпределена непрекъсната случайна променлива да попадне в даден интервал
определена по формулата
, Където
- Функция на Лаплас.

Следствие от тази теорема е правилото на трите сигми, т.е. Почти сигурно е, че нормално разпределена, непрекъсната случайна променлива X приема своите стойности в интервала
. Това правило може да се изведе от формулата
, което е частен случай на формулираната теорема.

Пример 30.Експлоатационният живот на телевизора е случайна величина X, подчинена на нормалния закон за разпределение, с гаранционен срок от 15 години и стандартно отклонение от 3 години. Намерете вероятността телевизорът да издържи от 10 до 20 години.

Решение. Според условията на задачата математическото очакване А= 15, стандартно отклонение.

Да намерим . По този начин вероятността телевизорът да работи от 10 до 20 години е повече от 0,9.

9.4 Неравенство на Чебишев

Възниква Лема на Чебишев. Ако случайна променлива X приема само неотрицателни стойности и има математическо очакване, тогава за всяко положително V
.

Като се има предвид, че като сума от вероятностите за противоположни събития, получаваме това
.

Теорема на Чебишев. Ако случайната променлива X има крайна дисперсия
и математическо очакване M(X), тогава за всеки положителен неравенството е вярно
.

Откъдето следва, че
.

Пример 31.Произведена е партида части. Средната дължина на частите е 100 cm, а стандартното отклонение е 0,4 cm. Оценете под вероятността дължината на произволно взета част да бъде най-малко 99 cm. и не повече от 101см.

Решение. Дисперсия. Математическото очакване е 100. Следователно, за да оценим отдолу вероятността за въпросното събитие
нека приложим неравенството на Чебишев, в което
, Тогава
.

10. Елементи на математическата статистика

Статистически агрегатназовават набор от еднородни обекти или явления. Номер Пелементи от това множество се нарича обем на колекцията. Наблюдавани стойности признак X се нарича настроики. Ако опциите са подредени в нарастваща последователност, тогава получаваме дискретни вариационни серии. В случай на групиране, опцията по интервали се оказва интервални вариационни серии. Под честота tхарактерните стойности разбират броя на членовете на популацията с даден вариант.

Съотношението на честотата към обема на статистическа съвкупност се нарича относителна честотазнак:
.

Връзката между вариантите на вариационна серия и техните честоти се нарича статистическо разпределение на извадката. Графично представяне на статистическото разпределение може да бъде многоъгълникчестота

Пример 32.При анкетиране на 25 първолаци са получени следните данни за тяхната възраст:
. Съставете статистическо разпределение на учениците по възраст, намерете диапазона на вариация, конструирайте честотен многоъгълник и съставете поредица от разпределения на относителните честоти.

Решение. Използвайки данните, получени от проучването, ще създадем статистическо разпределение на извадката

Диапазонът на вариационната извадка е 23 – 17 = 6. За да конструирате честотен полигон, конструирайте точки с координати
и ги свържете последователно.

Редът на относително честотно разпределение има формата:

10.1.Числени характеристики на вариационния ред

Нека извадката е дадена чрез поредица от честотни разпределения на характеристиката X:

Сумата от всички честоти е равна П.

Средно аритметично на извадкатаназовете количеството
.

Дисперсияили мярката за дисперсия на стойностите на характеристика X по отношение на нейната средна аритметична се нарича стойност
. Стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията, т.е. .

Отношението на стандартното отклонение към средноаритметичното на извадката, изразено като процент, се нарича коефициент на вариация:
.

Емпирична функция на относително честотно разпределениеизвикване на функция, която определя за всяка стойност относителната честота на събитието
, т.е.
, Където - брой опции, по-малък х, А П– размер на извадката.

Пример 33.При условията на пример 32 намерете числените характеристики
.

Решение. Нека намерим средноаритметичната стойност на извадката, използвайки формулата, тогава .

Дисперсията на признака X се намира по формулата: , т.е. Стандартното отклонение на извадката е
. Коефициентът на вариация е
.

10.2. Оценка на вероятността чрез относителна честота. Доверителен интервал

Нека се изпълни Пнезависими опити, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие А е постоянна и равна на Р. В този случай вероятността относителната честота да се различава от вероятността за възникване на събитие А във всеки опит в абсолютна стойност е не повече от , е приблизително равна на удвоената стойност на интегралната функция на Лаплас:
.

Интервална оценканаричаме такава оценка, която се определя от две числа, които са краищата на интервала, покриващ оценения параметър на статистическата съвкупност.

Доверителен интервале интервал, който с дадена доверителна вероятност покрива оценения параметър на статистическата съвкупност. Разглеждане на формулата, в която заместваме неизвестното количество Рдо приблизителната му стойност получени от примерните данни, получаваме:
. Тази формула се използва за оценка на вероятността чрез относителна честота. Числа
И
наречени долни и съответно горни граници на доверие, - максималната грешка за дадена доверителна вероятност
.

Пример 34. Заводският цех произвежда електрически крушки. При проверка на 625 лампи са открити 40 дефектни. Намерете с доверителна вероятност от 0,95 границите, в които се намира процентът на дефектните електрически крушки, произведени от фабричния цех.

Решение. Според условията на задачата. Използваме формулата
. Използвайки таблица 2 от приложението, намираме стойността на аргумента, в която стойността на интегралната функция на Лаплас е равна на 0,475. Разбираме това
. По този начин, . Следователно можем да кажем с вероятност от 0,95, че делът на дефектите, произведени от цеха, е висок, а именно варира от 6,2% до 6,6%.

10.3. Оценка на параметрите в статистиката

Нека количествената характеристика X на цялата изследвана популация (генерална популация) има нормално разпределение.

Ако стандартното отклонение е известно, тогава доверителният интервал, покриващ математическото очакване А

, Където П– размер на извадката, - средна аритметична извадка, Tе аргументът на интегралната функция на Лаплас, при който
. В този случай числото
наречена точност на оценката.

Ако стандартното отклонение е неизвестно, тогава от примерните данни е възможно да се конструира случайна променлива, която има разпределение на Стюдънт с П– 1 степен на свобода, която се определя само от един параметър Пи не зависи от неизвестни АИ . t-разпределение на Стюдънт дори за малки извадки
дава доста задоволителни оценки. След това доверителният интервал, покриващ математическото очакване Ана тази характеристика с дадена доверителна вероятност се намира от условието

, където S е коригираният среден квадрат, - Коефициент на студент, определен от данните
от таблица 3 от приложението.

Доверителният интервал, покриващ стандартното отклонение на тази характеристика с доверителна вероятност, се намира с помощта на формулите: и , където
намерени от таблицата със стойности р Според .

10.4. Статистически методи за изследване на зависимости между случайни величини

Корелационната зависимост на Y от X е функционалната зависимост на условната средна стойност от Х.Уравнението
представлява регресионното уравнение на Y върху X, и
- регресионно уравнение на X върху Y.

Корелационната зависимост може да бъде линейна и криволинейна. В случай на линейна корелационна зависимост уравнението на правата регресионна линия има формата:
, където наклонът Аправа линия на регресия Y върху X се нарича примерен регресионен коефициент Y върху X и се обозначава
.

За малки извадки данните не са групирани, параметрите
се намират с помощта на метода на най-малките квадрати от системата от нормални уравнения:

, Където П– брой наблюдения на стойности на двойки взаимосвързани величини.

Примерен коефициент на линейна корелация показва тясната връзка между Y и X. Коефициентът на корелация се намира с помощта на формулата
, и
, а именно:

Примерното уравнение на правата регресионна линия Y върху X има формата:

.

При голям брой наблюдения на характеристики X и Y се съставя корелационна таблица с два входа с еднаква стойност хнаблюдаваното пъти, същото значение принаблюдаваното пъти, същата двойка
наблюдаваното веднъж.

Пример 35.Дадена е таблица на наблюденията на знаците X и Y.

Намерете примерното уравнение на правата регресионна линия Y върху X.

Решение. Връзката между изследваните характеристики може да се изрази чрез уравнението на права линия на регресия на Y върху X: . За да изчислим коефициентите на уравнението, нека създадем таблица за изчисление:

Наблюдение №

Глава 6. Непрекъснати случайни променливи.

§ 1. Плътност и функция на разпределение на непрекъсната случайна величина.

Наборът от стойности на непрекъсната случайна променлива е неизброим и обикновено представлява някакъв краен или безкраен интервал.

Извиква се случайна променлива x(w), дефинирана във вероятностно пространство (W, S, P). непрекъснато(абсолютно непрекъснато) W, ако има неотрицателна функция, така че за всяко x функцията на разпределение Fx(x) може да бъде представена като интеграл

Функцията се нарича функция плътности на разпределение на вероятностите.

Дефиницията предполага свойствата на функцията за плътност на разпределението:

1..gif" width="97" height="51">

3. В точките на непрекъснатост плътността на разпределението е равна на производната на функцията на разпределение: .

4. Плътността на разпределение определя закона за разпределение на случайна променлива, тъй като определя вероятността случайна променлива да попадне в интервала:

5. Вероятността една непрекъсната случайна променлива да приеме определена стойност е нула: . Следователно са валидни следните равенства:

Графиката на функцията на плътността на разпределението се нарича крива на разпределение, а площта, ограничена от кривата на разпределение и оста x, е равна на единица. Тогава, геометрично, стойността на функцията на разпределение Fx(x) в точка x0 е площта, ограничена от кривата на разпределение и оста x и лежаща отляво на точка x0.

Задача 1.Функцията на плътност на непрекъсната случайна променлива има формата:

Определете константата C, конструирайте функцията на разпределение Fx(x) и изчислете вероятността.

Решение.Константата C се намира от условието Имаме:

откъдето C=3/8.

За да конструирате функцията на разпределение Fx(x), имайте предвид, че интервалът разделя диапазона от стойности на аргумента x (числова ос) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

тъй като плътността x на полуоста е нула. Във втория случай

И накрая, в последния случай, когато x>2,

Тъй като плътността изчезва на полуоста. Така се получава функцията на разпределение

Вероятност Нека изчислим по формулата. По този начин,

§ 2. Числени характеристики на непрекъсната случайна величина

Очаквана стойностза непрекъснато разпределени случайни променливи се определя по формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ако интегралът отдясно се сближава абсолютно.

дисперсия x може да се изчисли с помощта на формулата , а също, както в дискретния случай, по формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Всички свойства на математическото очакване и дисперсията, дадени в глава 5 за дискретни случайни променливи, са валидни и за непрекъснати случайни променливи.

Проблем 2. За случайната променлива x от задача 1 изчислете математическото очакване и дисперсията .

Решение.

А това означава

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

За графика на равномерно разпределение на плътността вижте фиг. .

Фиг.6.2. Функция на разпределение и плътност на разпределение. единен закон

Функцията на разпределение Fx(x) на равномерно разпределена случайна променлива е равна на

Fx(x)=

Очакване и дисперсия; .

Експоненциално (експоненциално) разпределение.Непрекъсната случайна променлива x, приемаща неотрицателни стойности, има експоненциално разпределение с параметър l>0, ако разпределението на плътността на вероятността на случайната променлива е равно на

рx(x)=

Ориз. 6.3. Функция на разпределение и плътност на разпределение на експоненциалния закон.

Функцията на разпределение на експоненциалното разпределение има формата

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и ако плътността му на разпределение е равна на

.

Чрез означава множеството от всички случайни променливи, разпределени по нормален закон с параметри параметри и .

Функцията на разпределение на нормално разпределена случайна променлива е равна на

.

Ориз. 6.4. Функция на разпределение и нормална плътност на разпределение

Параметрите на нормалното разпределение са математическото очакване https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

В специалния случай, когато https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормалното разпределение се нарича стандартен, а класът на такива дистрибуции се обозначава с https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

и разпределителната функция

Такъв интеграл не може да се изчисли аналитично (не се взема в „квадратури“) и затова за функцията са съставени таблици. Функцията е свързана с функцията на Лаплас, въведена в глава 4

,

по следната връзка . В случай на произволни стойности на параметрите https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функцията на разпределение на случайна променлива е свързана с функцията на Лаплас, използвайки връзката:

.

Следователно вероятността случайна променлива с нормално разпределение да попадне в интервал може да се изчисли с помощта на формулата

.

Неотрицателна случайна променлива x се нарича логаритмично нормално разпределена, ако нейният логаритъм h=lnx се подчинява на нормалния закон. Очакваната стойност и дисперсия на логаритмично нормално разпределена случайна променлива са Mx= и Dx=.

Задача 3.Нека е дадена случайна променлива https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Решение.Тук https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Разпределение на Лаплассе дава от функцията fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и ексцесът е gx=3.

Фиг.6.5. Функция на плътността на разпределението на Лаплас.

Случайната променлива x е разпределена върху Закон на Уейбул, ако има функция за плътност на разпространение, равна на https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Разпределението на Weibull управлява времената за безотказна работа на много технически устройства. При задачи от този профил важна характеристика е степента на отказ (смъртност) l(t) на изследваните елементи на възраст t, определена от връзката l(t)=. Ако a=1, то разпределението на Уейбул се превръща в експоненциално разпределение, а ако a=2 - в т.нар. Рейли.

Математическо очакване на разпределението на Вейбул: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, където Г(а) е Ойлер функция..

В различни проблеми на приложната статистика често се срещат така наречените „пресечени“ разпределения. Например данъчните власти се интересуват от разпределението на доходите на тези лица, чийто годишен доход надвишава определен праг c0, установен от данъчните закони. Оказва се, че тези разпределения приблизително съвпадат с разпределението на Парето. Разпределение на Паретодадени от функции

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> на случайна променлива x и монотонна диференцируема функция ..gif" width="200" height="51">

Тук https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Задача 4.Случайната променлива е равномерно разпределена върху сегмента. Намерете плътността на случайна променлива.

Решение.От условията на проблема следва, че

След това функцията е монотонна и диференцируема функция на интервал и има обратна функция , чиято производна е равна на Следователно,

§ 5. Двойка непрекъснати случайни променливи

Нека са дадени две непрекъснати случайни променливи x и h. Тогава двойката (x, h) определя „случайна“ точка на равнината. Двойката (x, h) се нарича произволен векторили двумерна случайна променлива.

Съвместна разпределителна функцияслучайни променливи x и h и функцията се нарича F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. плътност на ставатавероятностно разпределение на случайни променливи x и h се нарича функция, такава че .

Значението на това определение за плътност на разпределение на ставите е следното. Вероятността "случайна точка" (x, h) да попадне в област на равнина се изчислява като обем на триизмерна фигура - "криволинеен" цилиндър, ограничен от повърхността https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Най-простият пример за съвместно разпределение на две случайни променливи е двумерното равномерно разпределение на снимачната площадкаА. Нека е дадено ограничено множество M с площ, което се дефинира като разпределението на двойката (x, h), определено от следната плътност на ставите:

Задача 5.Нека двумерен произволен вектор (x, h) е равномерно разпределен вътре в триъгълника. Изчислете вероятността на неравенството x>h.

Решение.Площта на посочения триъгълник е равна на (виж фиг. №?). По силата на определението за двумерно равномерно разпределение общата плътност на случайните променливи x, h е равна на

Едно събитие съответства на набор на равнина, т.е. полуравнина. Тогава вероятността

В полуравнината B плътността на фугите е нула извън множеството https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Така, полуравнина B е разделена на две групи и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , а вторият интеграл е равен на нула, тъй като плътността на фугата там е равна на нула. Ето защо

Ако е дадена съвместната плътност на разпределение за двойка (x, h), тогава плътностите на двата компонента x и h се наричат частни плътностии се изчисляват по формулите:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

За непрекъснато разпределени случайни променливи с плътности рx(х), рh(у) независимостта означава, че

Задача 6.В условията на предишната задача определете дали компонентите на случайния вектор x и h са независими?

Решение. Нека изчислим частичните плътности и . Ние имаме:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно в нашия случай https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> е общата плътност на величините x и h и j( x, y) тогава е функция на два аргумента

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Задача 7.В условията на предишната задача изчислете .

Решение.Според горната формула имаме:

.

Представяне на триъгълника като

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Плътност на сумата от две непрекъснати случайни величини

Нека x и h са независими случайни променливи с плътност https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плътността на случайната променлива x + h се изчислява по формула намотка

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Изчислете плътността на сумата.

Решение.Тъй като x и h са разпределени по експоненциалния закон с параметъра, техните плътности са равни

следователно

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ако x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">е отрицателна и следователно . Следователно, ако https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Така получихме отговора:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> се разпределя нормално с параметри 0 и 1. Случайните променливи x1 и x2 са независими и имат нормално разпределения с параметри съответно a1 и a2. Докажете, че x1 + x2 има нормално разпределение. Случайните променливи x1, x2, ... xn са разпределени и независими и имат една и съща функция на плътност

.

Намерете функцията на разпределение и плътността на разпределение на стойностите:

а) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Случайните променливи x1, x2, ... xn са независими и равномерно разпределени в интервала [a, b]. Намерете функции на разпределение и функции на плътност на разпределения на количества

x(1) = min (x1,x2, ... xn) и x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Докажете, че Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Случайната величина се разпределя по закона на Коши Намерете: а) коефициент a; б) разпределителна функция; в) вероятността за попадане в интервала (-1, 1). Покажете, че математическото очакване на x не съществува. Случайната променлива се подчинява на закона на Лаплас с параметър l (l>0): Намерете коефициента a; конструират графики на плътност на разпределение и функции на разпределение; намерете Mx и Dx; намерете вероятностите за събития (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Напишете формула за плътността на разпределение, намерете Mx и Dx.

Изчислителни задачи.

Произволна точка A има равномерно разпределение в окръжност с радиус R. Намерете математическото очакване и дисперсията на разстоянието r от точката до центъра на окръжността. Покажете, че стойността r2 е равномерно разпределена върху отсечката.

Плътността на разпределение на случайна променлива има формата:

Изчислете константата C, функцията на разпределение F(x) и вероятността Плътността на разпределение на случайна променлива има формата:

Изчислете константата C, функцията на разпределение F(x) и вероятността Плътността на разпределение на случайна променлива има формата:
Изчислете константата C, функцията на разпределение F(x), , дисперсия и вероятност. Случайната променлива има функция на разпределение

Изчислете плътността на случайна променлива, математическо очакване, дисперсия и вероятност Проверете дали функцията =
може да бъде функция на разпределение на случайна променлива. Намерете числените характеристики на това количество: Mx и Dx. Случайната променлива е равномерно разпределена върху сегмента. Запишете плътността на разпределение. Намерете функцията на разпределение. Намерете вероятността случайна променлива да попадне върху сегмента и върху сегмента. Плътността на разпределение x е равна на

.

Намерете константата c, плътността на разпределение h = и вероятността

P (0,25

Времето за безотказна работа на компютъра се разпределя по експоненциален закон с параметър l = 0,05 (откази на час), т.е. има функция на плътност

p(x) = .

Решаването на определен проблем изисква безпроблемна работа на машината в продължение на 15 минути. Ако възникне повреда при решаването на проблем, грешката се открива едва след като решението приключи и проблемът се решава отново. Намерете: а) вероятността по време на решаването на проблема да не възникне нито един отказ; б) средното време, за което проблемът ще бъде решен.

Пръчка с дължина 24 см се счупва на две части; Ще приемем, че точката на счупване е разпределена равномерно по цялата дължина на пръта. Каква е средната дължина на по-голямата част от пръта? Парче с дължина 12 см произволно се разрязва на две части. Точката на рязане е равномерно разпределена по цялата дължина на сегмента. Каква е средната дължина на малката част от отсечката? Случайната променлива е равномерно разпределена върху сегмента. Намерете плътността на разпределение на случайната величина а) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Покажете, че ако x има непрекъсната функция на разпределение

F(x) = P(x

Намерете функцията на плътност и функцията на разпределение на сумата от две независими величини x и h с равномерни закони на разпределение на отсечките и съответно. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени на отсечките и съответно. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени на отсечките и съответно. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните величини x и h са независими и равномерно разпределени на отсечките и съответно. Изчислете плътността на сумата x+h. Случайните променливи са независими и имат експоненциално разпределение с плътност . Намерете плътността на разпределение на тяхната сума. Намерете разпределението на сумата от независими случайни променливи x и h, където x има равномерно разпределение на интервала, а h има експоненциално разпределение с параметър l. Намерете P , ако x има: а) нормално разпределение с параметри a и s2; б) експоненциално разпределение с параметър l; в) равномерно разпределение на отсечката [-1;1]. Съвместното разпределение на x, h е равномерно на квадрат
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Намерете вероятността . Независими ли са x и h? Двойка случайни променливи x и h са равномерно разпределени в триъгълника K=. Изчислете плътностите x и h. Независими ли са тези случайни променливи? Намерете вероятността. Случайните променливи x и h са независими и равномерно разпределени на отсечките и [-1,1]. Намерете вероятността. Двумерна случайна променлива (x, h) е равномерно разпределена в квадрат с върхове (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Намерете стойността на общата функция на разпределение в точка (1, -1). Произволен вектор (x, h) е равномерно разпределен в окръжност с радиус 3 с център в началото. Напишете израз за плътността на разпределение на ставите. Определете дали тези случайни променливи са зависими. Изчислете вероятността. Двойка случайни променливи x и h са равномерно разпределени вътре в трапец с върхове в точки (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Намерете общата плътност на разпределение за тази двойка случайни променливи и плътността на компонентите. Зависят ли x и h? Произволна двойка (x, h) е равномерно разпределена вътре в полукръг. Намерете плътностите x и h, проучете въпроса за тяхната зависимост. Съвместната плътност на две случайни променливи x и h е равна на .
Намерете плътностите x, h. Проучете въпроса за зависимостта на x и h. Случайна двойка (x, h) е равномерно разпределена в множеството. Намерете плътностите x и h, проучете въпроса за тяхната зависимост. Намерете M(xh). Случайните променливи x и h са независими и се разпределят по експоненциалния закон с параметъра Find