Ролята на логическите и комбинаторните задачи за постигане на метапредметни резултати в обучението по математика на учениците.

Фрагмент от експерименталната работна книга

за развитие на евристични умения за ученици от 5 клас

Урок номер 11 - 12.

Трикове за учене:"разбиване на цялото на части", разделяне на подзадачи, математическа комбинация.

Устна тренировка:

1. Самолетът изминава разстоянието от Киев до Одеса за 1 час и 10 минути. Отнема 70 минути за връщане без промяна на началната скорост. Как да го обясня?

2. Пораснаха 5 върби. Всяка върба има 5 клона. Всеки клон има 5 по-малки клона. И на всеки от тези клони има 5 круши. Колко круши имаше на дървото?

3. Колелото е с 18 спици. Колко празнини има между тях?

Помощ по математика:

Разлагането на подзадачи означава да се отделят в задачата по-прости задачи или съставни фигури, които трябва да бъдат решени или да се вземат предвид техните свойства, връзки, за да се намери решение на сложен проблем

Помощник

Описание на стъпките на разсъждение, действия

Модел на действие

Пример 1. Колко единици ще намерите, ако запишете всички естествени числа от 1 до 200?

Решение: нека анализираме условието: числата от 1 до 200 се разделят на едноцифрени, двуцифрени и трицифрени, като числото 1 може да бъде навсякъде и да се повтаря. Така че имаме следните подзадачи:

1. Колко двуцифрени числа имат 1?

2. Колко двуцифрени числа имат 1 на първо място?

Това са числа от 10 до 19 включително, тоест 10

3. Колко двуцифрени числа имат 1 на второ място?

от втората до деветата десетки такива числа се появяват едно по едно, тоест има 9 от тях

4. Колко единици до 200 в трицифрено число са на първо място?

5. Колко единици са във втората стотица на второ място?

6. Колко единици в трицифрените числа са на трето място?

7. Изчисления:

1+10+9+100+10+10=140

Пример 2. Намерете площта на стената на "древната кула": (Фиг. 1)

ориз. 1 1м

4 м

5 м

Решение: Разгледайте тази фигура и определете от какви известни фигури се състои?

1 правоъгълник и 5 квадрата, като 2 от тези квадрати са изрязани от фигурата.

Извод: площта на фигурата се състои от сумата от площта на правоъгълника и сумата от площите на три квадрата без площта на двата квадрата вътре.

Има няколко прости подзадачи:

1) намерете площта на правоъгълника

Запишете вашите собствени дейности!

2) намерете площта на квадрата

3) намерете площта на кулата (помислете как)

Помислете как можете да разбиете "кулата" на парчета по различен начин.

Опитайте се да направите план и решете.

Проверете резултатите си по два начина.

Алгоритъм-бенчмарк

1. Определете целта на заданието.

2. Анализирайте условията в съответствие с целта.

3. Определете дали условието може да бъде разделено на части.

4. Ако условието не се нарушава, опитайте се да разбиете обекта в задачата.

5. Възможно ли е да се отделят изискванията на задачата (въпросите)?

6. Обмислете частите, какви свойства имат или връзки, връзки в съответствие с целта на задачата.

7. Помислете върху действията за решаване на всяка избрана част (маркирана проста в задачата)

8. Съставете план за решаване на проблема според избраните подзадачи.

Направи го сам :

1. Книгата е с номерирани страници от една до сто седемдесет и две. Колко цифри са отпечатани в номерацията на страниците?

2. За да номерирам страниците на книгата, трябваше да отпечатам 2001 номера. Колко страници има тази книга?

3. Намерете площта на защрихованата част на фигурата, ако AB = AC = 12 (вижте фиг. 2)

Ориз. 2

A C|из|

4. Петя наряза телта на парчета и направи фигура (фиг. 3). Може ли Петя да направи фигура от тази тел (фиг. 4)? (разбиване на подзадачи)

фиг.3 фиг. 4

1 см 1 см | 1см | 1 см 1 см | 3 см 3 см 3 см

2 см

5. Квадратът е разрязан на 4 равни части и съставен от 2 квадрата. Как са го направили?

Мислете в свободното си време:

Опитайте се да нарисувате два квадрата, така че всички малки да са "заключени в клетки".

Ролята на логическите и комбинаторните задачи за постигане на метапредметни резултати в обучението по математика на ученици

Козловская Н.А., учител по математика

МАНОУ "Гимназия №2",

Маринск, Кемеровска област

Модерното училище трябва да подготви своите ученици за живота в новия свят. Прилагането на федералния държавен образователен стандарт също изисква нови подходи към обучението на учениците, използването на такива методи и техники, които формират у учениците умения за самостоятелно придобиване на знания, способността да се излагат хипотези, да се правят изводи и да се правят изводи.

Задачата на учителя е да помогне на учениците да овладеят универсалните методи на действие, обективно да оценят своите възможности, способности, интереси и наклонности. „Необходимо е децата, ако е възможно, да учат сами, а учителят да ръководи този самостоятелен процес и да осигурява материал за него“ – думите на К.Д. Ушински отразяват същността на урока от модерен тип. Изискванията на федералния държавен образователен стандарт не са нещо съвсем ново за практикуващите учители. И все пак, за много учители те предизвикаха безпокойство и несигурност в техните способности. Как да проектираме урок, който да формира не само предметни, но и метапредметни резултати? Кои от задачите, предложени в учебника, трябва да бъдат избрани за урока? Какви методи и техники на работа ще бъдат ефективни? Какви форми на студентска организация трябва да се използват? И накрая, необходимо ли е напълно да се изоставят формите на работа с учениците, приети в традиционния метод на обучение? Това далеч не са всички въпроси, които учителят, който прилага Федералните държавни образователни стандарти LLC, задава днес.

В материалите на стандарта личните, метапредметните и предметните постижения на учениците са резултат от обучението. Ако учителите имат разбиране за лични и предметни резултати, тогава учениците все още трябва да овладеят метапредметните резултати, тяхното формиране и диагностика 1 . Метапредметните резултати се разбират като универсални начини на дейност на учениците - когнитивни, комуникативни - и начини за регулиране на тяхната дейност, включително планиране, контрол и корекция. Студентите овладяват универсални методи на дейност на базата на един, няколко или всички учебни предмети и се използват както в рамките на учебния процес, така и при решаване на проблеми в реални житейски ситуации.

Изучаването на математика в началното училище е насочено към постигане на следните цели в метапредметното направление:

формиране на представи за математиката като част от човешката култура, за значението на математиката в развитието на цивилизацията и съвременното общество;

развитие на идеи за математиката като форма на описание и метод за познание на реалността, създаване на условия за придобиване на първоначален опит в математическото моделиране;

формирането на общи методи за интелектуална дейност, които са характерни за математиката и са в основата на когнитивна култура, която е от значение за различни сфери на човешката дейност.

Оценката на метапредметните резултати е описана като оценка на планираните резултати, представени в разделите: „Регулативни учебни дейности“, „Комуникативни учебни дейности“, „Когнитивни учебни дейности“.

Постигането на метапредметни резултати се осигурява от основните компоненти на образователния процес, т.е. всички учебни предмети, основният план и се използват от учениците както в рамките на образователния процес, така и при решаване на проблеми в реални житейски ситуации.

Основният обект на оценка на метапредметните резултати е формирането на редица регулаторни, комуникативни и когнитивни универсални действия, т.е. такива умствени действия на учениците, които са насочени към анализиране и управление на тяхната познавателна дейност. С други думи, основното съдържание на оценката на метапредметните резултати в училище се изгражда около понятието „способност за учене“. Една от областите на приложение на уменията по математика е укрепването на приложната ориентация, т.е. появата на цял слой практически задачи. Такива задачи се появиха в окончателните KIM по математика (USE, OGE), това са задачи за използване на придобитите математически знания в ежедневието. Подобни задачи позволяват развиване на метапредметни компетентности, показват връзката между математиката и живота, което всъщност води до повишаване на мотивацията за изучаване на този предмет 2 .

Федералният държавен образователен стандарт за основно общо образование съдържа изисквания за резултатите от обучението по метапредмет 3 .

В съответствие с този документ метапредметните резултати от усвояването на основната образователна програма за основно общо образование трябва да отразяват 4:

Способността самостоятелно да определя целите на своето обучение, да поставя и формулира нови задачи за себе си в учебната и познавателната дейност, да развива мотивите и интересите на своята познавателна дейност;

Способността за самостоятелно планиране на начини за постигане на цели, включително алтернативни, за съзнателен избор на най-ефективните начини за решаване на образователни и когнитивни проблеми;

Способността да съпоставят действията си с планираните резултати, да контролират дейността си в процеса на постигане на резултата, да определят методите на действие в рамките на предложените условия и изисквания, да коригират действията си в съответствие с променящата се ситуация;

Способността да се оцени правилността на изпълнението на образователната задача, собствената им способност да я реши;

Притежаване на основите на самоконтрола, самооценката, вземането на решения и осъществяването на съзнателен избор в образователни и познавателни дейности;

Способност за дефиниране на понятия, създаване на обобщения, установяване на аналогии, класифициране, самостоятелен избор на основания и критерии за класифициране, установяване на причинно-следствени връзки, изграждане на логически разсъждения, разсъждения (индуктивни, дедуктивни и по аналогия) и правене на изводи;

Способност за създаване, прилагане и трансформиране на знаци и символи, модели и схеми за решаване на образователни и познавателни проблеми;

семантично четене;

Способност за организиране на учебно сътрудничество и съвместни дейности с учителя и връстниците; работа индивидуално и в група: намиране на общо решение и разрешаване на конфликти въз основа на съгласуване на позициите и отчитане на интересите; формулирайте, аргументирайте и защитавайте мнението си;

Способността за съзнателно използване на речта означава в съответствие със задачата на комуникацията да изразява своите чувства, мисли и нужди, да планира и регулира дейността си; владеене на устна и писмена реч, монологична контекстуална реч;

Формиране и развитие на компетентност за използване на информационни и комуникационни технологии;

Формиране и развитие на екологично мислене, способността за прилагането му в познавателна, комуникативна, социална практика и професионална ориентация.

През всичките години на обучение решаваме много различни задачи, включително комбинаторни и логически. За да се решават успешно проблеми от този тип, човек трябва да може да идентифицира техните общи характеристики, да забелязва модели, да излага хипотези, да ги тества, да изгражда вериги от разсъждения и да прави заключения.

Логическите задачи се различават от обикновените по това, че не изискват изчисления, а се решават чрез разсъждения. Най-често тези задачи са забавни и не изискват голям запас от математически познания, така че привличат дори онези ученици, които не са много любители на математиката.

В обучението по математика ролята на комбинаторните проблеми напоследък се увеличи, тъй като именно в тях се залагат възможности не само за развитието на алгоритмичното и логическото мислене на учениците, но и за подготовката на учениците за решаване на проблеми, възникващи в ежедневието.

Оценката на метапредметните резултати може да се извърши в хода на различни процедури: решаване на задачи от творчески и проучвателен характер, финална тестова работа, комплексна работа на междупредметна основа и др.

Ето няколко примера за такива задачи.

Способността за самостоятелно планиране на начини за постигане на цели, включително алтернативни, за съзнателен избор на най-ефективните начини за решаване на образователни и когнитивни проблеми

Задача 1 5 .Напишете алгоритъм за намиране на площта на триъгълник (вижте фигурата). Намерете площта на триъгълник. Какво може да се каже за броя на начините за решаване на този проблем.

Правилното решение.

Да се ​​допълни дадения триъгълник до правоъгълник, като се построи правоъгълен триъгълник от всяка от страните му;

2. Намерете площите на тези триъгълници и изчислете сбора им;

3. Намерете площта на правоъгълника;

4. Намерете разликата между получените площи. Това е необходимата площ.

Отговор: 6 cm 2; този метод не е единственият.

Коментар . Тук можете да проверите способността за поставяне на цели, създаване на алгоритъм за самостоятелно решаване на учебни математически задачи от ученика.

Способността да се види математически проблем в контекста на проблемна ситуация в други дисциплини, в заобикалящия живот

Задача 1 6 .Карамелът беше поставен в три торби, но в него попаднаха няколко карамелни бонбони. От кой пакет е по-вероятно да извадите карамел на случаен принцип и от кой - по-малко?

Отговор: от зеления пакет - повече шансове, от червения - по-малък шанс.

Коментар: проверяват се овладяването на умението за семантично четене на текст с математическо съдържание, способността за анализ, установяване на връзки и зависимости между обекти, способността за изграждане на логическа верига от разсъждения и избор на правилния отговор.

Задача 2 7 .Чашата, която струва 90 рубли, се продава с 10% отстъпка. При закупуване на 10 от тези чаши купувачът даде на касата 1000 рубли. Колко ресто трябва да получи?

Решение (възможни са и други решения)

90: 100 = 0,9 (търкайте) - с 1%

0,9  10 = 9 (търкайте) - с 10%

90 - 9 \u003d 81 (рубли) - цената на чаша с отстъпка

81  10 \u003d 810 (търкайте) - цената на 10 чаши

1000 - 810 \u003d 190 (rub) - промяна от покупка

Отговор: 190 рубли.

Коментар: проверява се овладяването на умението за семантично четене на текста на математическото съдържание, способността за установяване на причинно-следствени връзки, изграждане на логическа верига от разсъждения

Задача 3.Бисквитите бяха опаковани в опаковки от 250 гр. Опаковките бяха поставени в кутия на 4 слоя. Всеки слой има 5 реда, по 6 пакета всеки. Ще издържи ли кутията, ако максималното тегло, за което е предназначена, е 32 кг?

5  6 \u003d 30 (p) - бисквитки в един слой

30  4 \u003d 120 (p) - бисквитки в 4 слоя

120  250 \u003d 30000 (g) - бисквитки

30000 g \u003d 30 kg - масата на цялата бисквитка

Отговор: издържайте

Коментар . Проверява се способността за съпоставка на получения резултат и поставения въпрос.

Задача 4.Товароносимостта на пътнически асансьор в жилищна сграда обикновено е около 400 кг. Може ли такъв асансьор да повдигне всички членове на вашето семейство? Обяснете.

Отговор. Проблемът не може да бъде решен: не се знае колко са членовете на семейството и какво е теглото на всеки.

Коментар. Проверява се действието на анализа - способността да се прави заключение в дадена ситуация (отсъствието на едно условие не прави възможно решаването), да се алгоритмизира (оценява) хода на решение, да се обясни възможността за решаване на проблем с ученето.

Способността да съпоставят действията си с планираните резултати, да контролират дейността си в процеса на постигане на резултата.

Задача 1 8 .Зарът се хвърля два пъти. Колко елементарни резултата от опита благоприятстват събитието „A = сборът от точки е равен на 5“?

Сборът от точки може да бъде равен на 5 в четири случая: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1".

Коментар. Проверява се готовността за контрол на процеса и резултата от учебната задача: „Сборът от точки може да бъде равен на 5“

Задача 2. Колко трицифрени числа има, чийто сбор от цифрите е две?

Решение: 200, 110, 101

Отговор: 3 числа

Коментар. Проверява се готовността за контрол на процеса и резултата от изпълнението на учебната задача: „Сумата на числата е 2“

Способността да намирате в различни източници информацията, необходима за математически проблеми, и да я представяте в разбираема форма; взема решения в условията на непълна и излишна, точна и вероятностна информация

Задача 1 9 .Михаил реши да посети увеселителния парк. Информация за билети за атракции е представена в таблицата. Някои билети ви позволяват да посетите две атракции наведнъж.

Номер на билета	Посетени атракции	Цена, търкайте.)
	Влакче на ужасите
	Паник стая, влакче в увеселителен парк
	Автодром, влакче в увеселителен парк
	виенско колело
	Виенско колело, автодром
	Автодром

Използвайки таблицата, изберете набор от билети, така че Михаил да посети и четирите атракции: виенското колело, стаята на страха, влакчето в увеселителен парк, автодрома и общата цена на билетите да не надвишава 800 рубли. В отговора си посочете точно един набор от номера на билети без интервали, запетаи или други допълнителни знаци

Няма билет само за стаята на страха, затова трябва да се закупи втори билет, в резултат на което първият и третият билети не са необходими. Остава да вземете или четвъртия и шестия (750 рубли), или само петия (700 рубли).

Отговор: 246 или 25

Коментар . Проверява се способността на учениците да работят с информация, представена под формата на таблица, способността за вземане на решения в условия на излишна информация.

Задача 2.Фактурата, получена преди няколко години в магазина, не е напълно запазена. Възстановяване на акаунта. 10

Проверете
Име	Брой елементи	Цена	Цена
Моливи

Коментар . Проверява се способността на ученика да работи с информация, представена под формата на таблица, способността за вземане на решение в условия на непълна информация.

Верен отговор:

Проверете
Име	Брой елементи	Цена	Цена
Моливи

Задача 3 11 .От къщата до вилата може да се стигне с автобус, влак или такси. Таблицата показва времето, което трябва да отделите за всеки участък от пътя. Какво е най-краткото време за пътуване? Дайте своя отговор след часове.

С автобус	От дома до автогарата - 15 мин	Автобус по пътя: 2 ч. 15 мин.	От автобусната спирка до вилата пеша 5 минути.
С влак	От къщата до гарата - 25 мин.	Влак на път: 1 ч. 45 мин.	От гарата до вилата пеша 20 минути.
Маршрутно такси	От къщата до автобусната спирка - 25 минути.	Маршрутно такси по пътя: 1 ч. 35 мин.	От автобусната спирка до вилата пеша 40 минути

При пътуване с автобус ще отнеме 15 минути. + 2 часа и 15 минути + 5 мин. = 2 часа 35 минути

При пътуване с влак ще отнеме 25 минути. + 1 ч. 45 мин. + 20 мин. = 2 часа и 30 минути = 2,5 часа

При пътуване с микробус ще отнеме 25 минути. + 1 ч. 35 мин. + 40 мин. = 2 часа 40 минути

Коментар . Проверява се разбирането на информацията, представена под формата на таблица, нейното „четене” и анализ, за ​​да се отговори на въпроса на задачата

Способността за разбиране и използване на математически визуални средства (графики, диаграми, таблици, диаграми и др.) за илюстрация, интерпретация, аргументация

Задача 1 12 .Андрей и Иван се състезаваха в 50-метров басейн на дистанция 100 м. Графиките на техните плувания са показани на фигурата. Времето се нанася по хоризонталната ос, а разстоянието на плувеца от старта се нанася по вертикалната ос. Кой преплува първата половина на разстоянието по-бързо? В отговора си запишете с колко секунди по-бързо е преплувал първата половина от разстоянието.

Решение.

От графиката се вижда, че Андрей преплува първата половина на разстоянието по-бързо за 40 s, а Иван за 60 s. Така Андрей преплува първата половина на дистанцията с 60 − 40 = 20 секунди по-бързо.

Коментар. Тества се способността за разбиране на математически нагледни средства, „четене“ и използване на информация, представена под формата на графика

Задача 2 13 .Таблицата показва стандартите за каране на ски за 1 км за 10 клас.

	момчета				момичета
марка
Време (мин. и сек.)

Каква оценка ще получи едно момиче, ако измине 1 км със ски за 6 минути 15 секунди?

Времето за бягане на разстояние от 1 км (за момичета) може да бъде разделено на следните категории:

1) 6 минути или по-малко - получаване на оценка "5";

2) от 6 минути до 6 минути 30 секунди - получаване на оценка "4";

3) от 6 минути 30 секунди до 7 минути 10 секунди - получаване на оценка "3";

4) 7 минути 10 секунди или повече - получаване на оценка "незадоволителна".

Стойността от 6 минути 15 секунди принадлежи към втората и съответства на получаването на оценка "4".

Коментар. Проверява се умението на ученика да работи с информация, представена под формата на таблица.

Задача 3. Диаграмата показва разпределението на площите на океаните. Изберете океана с най-малка площ.

Решение. арктически океан

Коментар. Тества се способността за извличане на информация от диаграми, сравняване на стойности, намиране на най-големите и най-малките стойности.

Задача 4 14. Жилището се състои от стая, кухня, коридор и санитарен възел. Кухнята е с размери 3 м на 3,5 м, банята е 1 на 1,5 м, дължината на коридора е 5,5 м. Намерете площта на стаята. Напишете отговора си в квадратни метри.

Нека намерим площта на целия апартамент: S kvar \u003d 4,5  7 \u003d 31,5 m 2

Да намерим кухненската площ: 3,5  3 \u003d 10,5 m 2

Нека намерим площта на банята и коридора: (1,5 + 5,5)  1 \u003d 7 m 2

Площ на стаята: 31,5 - 10,5 - 7 \u003d 14 m 2

Периметър на многоъгълник

Отговори на страница 42

1. 1) Измерете страните на многоъгълниците и намерете периметъра на всеки от тях в сантиметри.

1) 3 + 4 + 4 + 1 = 12 (cm)
2) 3 + 3 + 4 = 10 (cm)
3) 2 + 5 + 5 + 3 = 15 (cm)

2) Спомнете си как с компас намерихте дължината на прекъсната линия. Кажете ми как можете да намерите периметъра на многоъгълник, без да знаете дължината на всяка от страните му. Намерете периметъра на триъгълника, като използвате този метод.

На права линия е необходимо да отделите сегменти, равни на дължините на страните на многоъгълника, и да измерите общата дължина на сегментите. Това ще бъде периметърът на правоъгълника.

2. Слава огъна парче тел, така че се оказа триъгълник със страни с дължина 8 см, 3 см и 6 см. Колко дълго беше това парче тел? Какъв е периметърът на триъгълника?

8 + 3 + 6 \u003d 17 (cm) - дължината на парчето тел е равна на дължината на периметъра на триъгълника.

3. Сравнете изрази.
1) Сборът на числата 8 и 9 и разликата на числата 20 и 1.

8 + 9 < 20 — 1

2) Разликата между числата 16 и 8 и разликата между числата 16 и 10

16 — 8 > 16 — 10

4. Дима има две монети: 5 рубли. и 2 стр. Купи тетрадка за 3 r. Колко рубли му остават?
Юлия и Слава направиха различни изрази за този проблем.
Юлия: Слава:
(5 + 2) — 3 (5 — 3) + 2
Обяснете как разсъждава всеки от тях.

Юлия намери сумата пари, която имаше Дима (5 + 2), и след това извади от нея цената на тетрадката.
Слава намери ресто, след като купи тетрадка (5 - 3), след което сгъна рестото и останалите пари на Дима.

ТЕРЕННА ЗАДАЧА:

Наберете 13:

13 = 3 + 7 + 3
13 = 4 + 6 + 2 +1 и т.н.