Разделете кръста на форми от 5 клетки. Проблеми с рязане.docx - проблеми с рязане

1. Един квадрат съдържа 16 клетки. Разделете квадрата на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на клетките. (Методите за разрязване на квадрат на две части ще се считат за различни, ако частите на квадрата, получени по един метод на разрязване, не са равни на частите, получени по друг метод.) Колко общи решения има задачата?
2. Правоъгълник 3X4 съдържа 12 клетки. Намерете пет начина за разрязване на правоъгълник на две равни части, така че линията на рязане да минава покрай страните на клетките (методите на рязане се считат за различни, ако частите, получени чрез един метод на рязане, не са равни на частите, получени чрез друг метод).
3. Правоъгълник 3X5 съдържа 15 клетки и централната клетка е премахната. Намерете пет начина да разрежете останалата фигура на две равни части, така че линията на рязане да минава покрай страните на клетките.
4. Квадрат 6x6 е разделен на 36 еднакви квадрата. Намерете пет начина да разрежете квадрат на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на квадратите. Забележка: задачата има повече от 200 решения.
5. Разделете квадрата 4x4 на четири равни части, като линията на рязане минава по страните на квадратите. Колко различни метода на рязане можете да намерите?
6. Разделете фигурата (фиг. 5) на три равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите.

7. Разделете фигурата (фиг. 6) на четири равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите.

8. Разделете фигурата (фиг. 7) на четири равни части, така че линиите на разреза да минават по страните на квадратите. Намерете възможно най-много решения.

9. Разделете квадрата 5x5 с централния квадрат, изрязан на четири равни части.

10. Нарежете фигурите, показани на фиг. 8, на две равни части по линията на мрежата, като всяка част трябва да има кръг.

11. Фигурите, показани на фиг. 9, трябва да бъдат разрязани по линията на мрежата на четири равни части, така че всяка част да има кръг. Как да го направим?

12. Разрежете фигурата, показана на фиг. 10, по линията на мрежата на четири равни части и ги сгънете в квадрат, така че кръговете и звездите да са разположени симетрично по отношение на всички оси на симетрия на квадрата.

13. Изрежете този квадрат (фиг. 11) по протежение на страните на клетките, така че всички части да са с еднакъв размер и форма и така че всяка да съдържа един кръг и звездичка.

14. Нарежете карирания хартиен квадрат 6x6, показан на фигура 12, на четири равни части, така че всяко парче да съдържа три защриховани квадрата.

10. Квадратен лист карирана хартия е разделен на по-малки квадрати чрез сегменти, минаващи по страните на квадратите. Докажете, че сборът от дължините на тези отсечки се дели на 4. (Дължината на страната на клетката е 1).

Решение: Нека Q е квадратен лист хартия, L(Q) е сумата от дължините на онези страни на клетките, които лежат вътре в него. Тогава L(Q) се дели на 4, тъй като всички разглеждани страни са разделени на четири страни, получени една от друга чрез завъртания на 90 0 и 180 0 спрямо центъра на квадрата.

Ако квадратът Q е разделен на квадрати Q 1, ..., Q n, тогава сумата от дължините на разделителните сегменти е равна на

L (Q) - L (Q 1) - … - L (Q n). Ясно е, че това число се дели на 4, тъй като числата L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) се делят на 4.

4. Инварианти

11. Дадена шахматна дъска. Разрешено е да пребоядисате всички клетки на всяка хоризонтална или вертикална линия в различен цвят наведнъж. Може ли това да доведе до дъска с точно едно черно поле?

Решение: Когато преоцветите хоризонтална или вертикална линия, съдържаща k черни и 8-k бели клетки, получавате 8-k черни и k бели клетки. Следователно броят на черните клетки ще се промени на (8-k)-k=8-2k, т.е. до четно число. Тъй като равенството на броя на черните клетки се запазва, от първоначалните 32 черни клетки не можем да получим една черна клетка.

12. Дадена шахматна дъска. Разрешено е наведнъж да пребоядисате в различен цвят всички клетки, разположени вътре в квадрат с размер 2 x 2. Може ли това да остави точно една черна клетка на дъската?

Решение: Ако преоцветите квадрат 2 x 2, съдържащ k черни и 4-k бели клетки, ще получите 4-k черни и k бели клетки. Следователно броят на черните клетки ще се промени на (4-k)-k=4-2k, т.е. до четно число. Тъй като равенството на броя на черните клетки се запазва, от първоначалните 32 черни клетки не можем да получим една черна клетка.

13. Докажете, че изпъкнал многоъгълник не може да бъде разрязан на краен брой неизпъкнали четириъгълници.

Решение: Да предположим, че изпъкнал многоъгълник M е разрязан на неизпъкнали четириъгълници M 1,..., M n. За всеки многоъгълник N присвояваме число f(N), равно на разликата между сумата от вътрешните му ъгли, по-малки от 180, и сумата от ъглите, които допълват до 360 неговите ъгли, по-големи от 180. Нека сравним числата A = f(M) и B = f(M 1)+...+ f(M n). За да направите това, разгледайте всички точки, които са върховете на четириъгълниците M 1 ..., M n. Те могат да бъдат разделени на четири вида.

1. Върхове на многоъгълника M. Тези точки имат равен принос към A и B.

2. Точки от страните на многоъгълника M или M 1. Приносът на всяка такава точка към B на

180 повече, отколкото в А.

3. Вътрешни точки на многоъгълник, в които се срещат ъглите на четириъгълника,

по-малко от 180. Приносът на всяка такава точка към B е с 360 повече, отколкото към A.

4. Вътрешни точки на многоъгълник M, в които се събират ъглите на четириъгълниците и един от тях е по-голям от 180. Такива точки дават нулев принос на A и B.

В резултат на това получаваме А<В. С другой стороны, А>0 и B=0. Неравенството A >0 е очевидно и за доказване на равенството B=0 е достатъчно да се провери, че ако N-неизпъкнал четириъгълник, тогава f(N)=0. Нека ъглите N са равни на a>b>c>d. Всеки неизпъкнал четириъгълник има точно един ъгъл, по-голям от 180, така че f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Получава се противоречие, следователно един изпъкнал многоъгълник не може да бъде разрязан на краен брой неизпъкнали четириъгълници.

14. В центъра на всяко поле на шахматната дъска има фигура. Чиповете бяха пренаредени така, че разстоянията по двойки между тях да не намаляват. Докажете, че в действителност разстоянията по двойки не са се променили.

Решение: Ако поне едно от разстоянията между токените се увеличи, тогава сумата от всички разстояния по двойки между токените ще се увеличи, но сумата от всички разстояния по двойки между токените не се променя с никаква пермутация.

15. Квадратното поле е разделено на 100 еднакви квадратни секции, 9 от които са обрасли с бурени. Известно е, че за една година плевелите се разпространяват само в тези и само тези области, в които поне две съседни (т.е. имащи обща страна) площи вече са обрасли с плевели. Докажете, че полето никога няма да бъде напълно обрасло с плевели.

Решение: Лесно е да се провери дали дължината на границата на цялата площ (или няколко зони), обрасла с плевели, няма да се увеличи. В началния момент то не надвишава 4*9=36, така че в крайния момент не може да бъде равно на 40.

Следователно полето никога няма да бъде напълно обрасло с плевели.

16. Даден е изпъкнал 2m-ъгълник A 1 ...A 2 m. Вътре в него е взета точка P, която не лежи на нито един от диагоналите. Докажете, че точка P принадлежи на четен брой триъгълници с върхове в точки A 1,..., A 2 m.

Решение: Диагоналите разделят многоъгълника на няколко части. Ще се обадим съседнитези, които имат обща страна. Ясно е, че от всяка вътрешна точка на многоъгълника можете да стигнете до всяка друга, като всеки път се движите само от съседната част към съседната. Частта от равнината, разположена извън многоъгълника, също може да се счита за една от тези части. Броят на разглежданите триъгълници за точките на тази част е нула, така че е достатъчно да се докаже, че при преминаване от съседна част към съседна се запазва четността на броя на триъгълниците.

Нека общата страна на две съседни части лежи върху диагонала (или страната) PQ. Тогава на всички разглеждани триъгълници, с изключение на триъгълниците със страна PQ, и двете части принадлежат или не принадлежат едновременно. Следователно, когато се движите от една част към друга, броят на триъгълниците се променя с k 1 -k 2, където k 1 е броят на върховете на многоъгълника, лежащ от едната страна на PQ. Тъй като k 1 +k 2 =2m-2, тогава числото k 1 -k 2 е четно.

4. Помощни страници за оцветяване в шахматен ред

17. Във всяка клетка на дъската 5 x 5 има бръмбар. В даден момент всички бръмбари пълзят върху съседни (хоризонтални или вертикални) клетки. Това задължително ли оставя празна клетка?

Решение: Тъй като общият брой клетки на шахматна дъска от 5 x 5 клетки е нечетен, не може да има равен брой черни и бели клетки. Нека има повече черни клетки, за да сте сигурни. Тогава има по-малко бръмбари, които седят на белите клетки, отколкото на черните клетки. Следователно поне една от черните клетки остава празна, тъй като само бръмбари, седнали на бели клетки, пълзят върху черните клетки.

19. Докажете, че дъска с размери 10 х 10 квадрата не може да бъде нарязана на Т-образни фигури, състоящи се от четири квадрата.

Решение: Да предположим, че дъска от 10 x 10 клетки е разделена на следните фигури. Всяка фигура съдържа 1 или 3 черни клетки, т.е. винаги нечетно число. Самите фигури трябва да са 100/4 = 25 броя. Следователно те съдържат нечетен брой черни клетки и общо има 100/2 = 50 черни клетки. Получи се противоречие.

5. Проблеми за книжки за оцветяване

20. Самолетът е боядисан в два цвята. Докажете, че има две точки от един и същи цвят, разстоянието между които е точно 1.

Решение: Да разгледаме правилен триъгълник със страна 1.

Препис

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Москва, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Проблеми с рязане. М.: МЦНМО, стр.: ил. Серия: „Тайните на преподаването на математика“. Тази книга е първата книга от поредицата „Тайните на преподаването на математика“, предназначена да представи и обобщи натрупания опит в областта на математическото обучение. Този сборник представлява една от частите на курса „Логика на развитието в 5–7 клас“. За всички задачи, дадени в книгата, са дадени решения или инструкции. Книгата се препоръчва за извънкласна работа по математика. LBC ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MCNMO, 2002.

3 Въведение Понастоящем традиционната представа за състава на предметите, изучавани от учениците, се преразглежда и изяснява. В училищната програма се въвеждат различни нови предмети. Един от тези предмети е логиката. Изучаването на логиката допринася за разбирането на красотата и благодатта на разсъжденията, способността за разсъждение, творческото развитие на личността и естетическото възпитание на човека. Всеки културен човек трябва да е запознат с логически задачи, пъзели и игри, които са известни от няколко века или дори хилядолетия в много страни по света. Развитието на интелигентност, изобретателност и независимо мислене е необходимо за всеки човек, ако иска да успее и да постигне хармония в живота. Нашият опит показва, че систематичното изучаване на формална логика или фрагменти от математическа логика трябва да се отложи до по-горните класове на средното училище. В същото време е необходимо да се развие логическото мислене възможно най-рано. Всъщност, когато се изучават учебни предмети в училище, разсъждението и доказателството се появяват едва в 7 клас (когато започва системният курс по геометрия). За много ученици резкият преход (без разсъждения се превърна в много разсъждения) е непоносимо труден. В курса по логика на развитието за 5-7 клас е напълно възможно да научите учениците да разсъждават, доказват и намират модели. Например, когато решавате математически пъзели, трябва не само да познаете (изберете) няколко отговора, но и да докажете, че сте получили пълен списък с възможни отговори. Това е напълно осъществимо за петокласник. Но в процеса на преподаване на логика в 5-7 клас на средните училища учителите са изправени пред определени трудности: липсата на учебници, учебни материали, наръчници и визуални материали. Всичко това трябва да бъде съставено, написано и нарисувано от самия учител. Една от целите на този сборник е да улесни учителите при подготовката и провеждането на часовете. Ще дадем някои препоръки за провеждане на уроци преди работа с колекцията.

4 4 Въведение Препоръчително е да започнете да преподавате логика на учениците в пети клас, а може и по-рано. Преподаването на логика трябва да се извършва в спокоен, почти импровизационен стил. Тази привидна лекота всъщност изисква много сериозна подготовка от учителя. Недопустимо е например да се чете интересна и занимателна задача от дебел ръкописен тефтер, както понякога правят учителите. Препоръчваме провеждането на занятия в нестандартна форма. В уроците е необходимо да се използва възможно най-много нагледен материал: различни карти, снимки, набори от фигури, илюстрации за решаване на проблеми, диаграми. Не трябва да изучавате една тема с по-малките ученици дълго време. Когато анализирате дадена тема, трябва да се опитате да подчертаете основните логически етапи и да постигнете разбиране (а не запаметяване) на тези точки. Необходимо е непрекъснато връщане към покрития материал. Това може да стане в самостоятелна работа, отборни състезания (по време на уроците), тестове в края на тримесечието, устни и писмени олимпиади, матбой (извънкласни часове). Също така е необходимо да се използват забавни и хумористични задачи в часовете, понякога е полезно да се промени посоката на дейност. Тази колекция е една от частите на курса „Логика на развитието в 5-7 клас“ „Задачи за рязане“. Тази част е тествана в уроци по логика в 5-7 клас в училището-лицей 74 в Омск. Много учени се интересуват от проблемите на рязане от древни времена. Решения на много прости проблеми с рязане са намерени от древните гърци и китайци, но първият систематичен трактат по тази тема принадлежи на перото на Абул-Веф, известният персийски астроном от 10 век, който е живял в Багдад. Геометрите започнаха сериозно да решават проблемите с разрязването на фигури на най-малък брой части и след това да съставят една или друга нова фигура от тях едва в началото на 20 век. Един от основателите на този завладяващ клон на геометрията е известният създател на пъзели Хенри

5 Въведение 5 E. Dudeney. Особено голям брой съществуващи преди това рекорди за рязане на фигури бяха счупени от експерт в Австралийското патентно ведомство Хари Линдгрен. Той е водещ специалист в областта на изрязването на форми. В днешно време любителите на пъзели се стремят към решаване на режещи задачи преди всичко, защото няма универсален метод за решаване на такива задачи и всеки, който се заеме с решаването им, може напълно да демонстрира своята изобретателност, интуиция и способност за творческо мислене. Тъй като не изисква задълбочени познания по геометрия, аматьорите понякога дори могат да надминат професионалните математици. Задачите за рязане обаче не са несериозни или безполезни, те не са толкова далеч от сериозните математически задачи. От проблемите с разрязването дойде теоремата на Болай Гервин, че всеки два многоъгълника с еднакъв размер са еквивалентни (обратното е очевидно), а след това и третият проблем на Хилберт: вярно ли е подобно твърдение за полиедри? Задачите за рязане помагат на учениците да формират геометрични концепции възможно най-рано, като използват различни материали. При решаването на такива проблеми възниква усещане за красота, законност и ред в природата. Колекцията „Проблеми с рязане” е разделена на два раздела. При решаването на задачи от първия раздел учениците няма да се нуждаят от познания по основи на планиметрията, но ще се нуждаят от изобретателност, геометрично въображение и доста проста геометрична информация, която е известна на всички. Вторият раздел са задачи по избор. Това включваше задачи, които изискват познаване на основна геометрична информация за фигурите, техните свойства и характеристики, както и познаване на някои теореми. Всеки раздел е разделен на параграфи, в които се опитахме да комбинираме задачи по една тема, а те от своя страна са разделени на уроци, всеки от които съдържа хомогенни задачи в ред на нарастване на трудността. Първият раздел съдържа осем параграфа. 1. Задачи върху карирана хартия. Този раздел съдържа задачи, при които изрязването на форми (предимно квадрати и правоъгълници) се извършва по страните на клетките. Параграфът съдържа 4 урока, препоръчваме ги за изучаване от ученици от 5. клас.

6 6 Въведение 2. Пентамино. Този параграф съдържа проблеми, свързани с фигури пентомино, така че за тези уроци е препоръчително да раздадете комплекти от тези фигури на децата. Тук има два урока, препоръчваме ги за изучаване от ученици от 5-6 клас. 3. Трудни задачи за рязане. Тук са събрани задачи за изрязване на фигури с по-сложни форми, например с граници, които са дъги, и по-сложни задачи за изрязване. В този параграф има два урока; препоръчваме да ги преподавате в 7 клас. 4. Преграждане на самолета. Тук са събрани задачи, в които трябва да намерите непрекъснати разделения на правоъгълници на правоъгълни плочки, задачи за композиране на паркети, задачи за най-плътно подреждане на фигури в правоъгълник или квадрат. Препоръчваме да изучавате този параграф в 6-7 клас. 5. Танграм. Тук са събрани задачи, свързани с древния китайски пъзел "Танграм". За провеждане на този урок е препоръчително да имате този пъзел, поне направен от картон. Препоръчваме този параграф за изучаване в 5 клас. 6. Проблеми, свързани с рязане в пространството. Тук учениците се запознават с развитието на куб и триъгълна пирамида, правят се паралели и се показват разликите между фигури на равнина и обемни тела, а оттам и разликите в решаването на задачи. Параграфът съдържа един урок, който препоръчваме за изучаване на учениците от 6. клас. 7. Задачи за оцветяване. Това показва как оцветяването на фигурата помага за решаването на проблема. Не е трудно да се докаже, че решаването на проблема с разрязването на фигура на парчета е възможно; достатъчно е да се осигури някакъв метод за рязане. Но по-трудно е да се докаже, че рязането е невъзможно. Оцветяването на фигурата ни помага да направим това. В този параграф има три урока. Препоръчваме ги за изучаване от учениците в 7. клас. 8. Проблеми с оцветяването в състоянието. Тук са събрани задачи, в които трябва да оцветите фигура по определен начин, да отговорите на въпроса: колко цвята ще са необходими за такова оцветяване (най-малкото или най-голямото число) и т.н. В параграфа има седем урока. Препоръчваме ги за изучаване от учениците в 7. клас. Вторият раздел включва задачи, които могат да се решават в допълнителните часове. Съдържа три параграфа.

7 Въведение 7 9. Трансформация на фигури. Съдържа задачи, в които една фигура се нарязва на части, от които се прави друга фигура. В този параграф има три урока, първият разглежда „преобразуването“ на различни фигури (тук са събрани доста лесни задачи), а вторият урок разглежда геометрията на преобразуването на квадрат. 10. Различни задачи за рязане. Това включва различни задачи за рязане, които се решават по различни методи. В този параграф има три урока. 11. Площ на фигурите. В този параграф има два урока. Първият урок разглежда задачи, в които трябва да нарежете фигури на части и след това да докажете, че фигурите са еднакво съставени; във втория урок, задачи, в които трябва да използвате свойствата на площите на фигурите.

8 Раздел 1 1. Задачи върху карирана хартия Урок 1.1 Тема: Рязане на задачи върху карирана хартия. Цел: Да се ​​развият комбинаторни умения (да се разгледат различни начини за конструиране на линия за рязане на фигури, правилата, които ви позволяват да не губите решения при конструирането на тази линия), да развиете идеи за симетрия. Решаваме задачи в клас задача 1.5 за вкъщи Квадратът съдържа 16 клетки. Разделете квадрата на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на клетките. (Методите за разрязване на квадрат на две части ще се считат за различни, ако частите на квадрата, получени по един метод на разрязване, не са равни на частите, получени по друг метод.) Колко общи решения има задачата? Забележка. Намирането на множество решения на този проблем не е толкова трудно. На фиг. 1 са показани някои от тях, а решения b) и c) са еднакви, тъй като получените в тях фигури могат да се комбинират чрез припокриване (ако завъртите квадрат c) на 90 градуса). Ориз. 1 Но да намерите всички решения и да не загубите нито едно решение вече е по-трудно. Имайте предвид, че прекъснатата линия, разделяща квадрата на две равни части, е симетрична по отношение на центъра на квадрата. Това наблюдение позволява стъпката

9 Урок по стъпка за начертаване на полилиния в двата края. Например, ако началото на прекъсната линия е в точка А, то нейният край ще бъде в точка В (фиг. 2). Уверете се, че за този проблем началото и краят на полилинията могат да бъдат начертани по два начина, показани на фиг. 2. Когато конструирате полилиния, за да не загубите решение, можете да се придържате към това правило. Ако следващата връзка на прекъсната линия може да бъде начертана по два начина, тогава първо трябва да подготвите втори подобен чертеж и да изпълните тази стъпка в единия чертеж по първия начин, а в другия по втория начин (фиг. 3 показва две продължения на фиг. 2 (а)). Трябва да направите същото, когато няма два, а три метода (фиг. 4 показва три продължения на фиг. 2 (b)). Посочената процедура помага да се намерят всички решения. Ориз. 2 Фиг. 3 Фиг. Правоъгълник 3 4 съдържа 12 клетки. Намерете пет начина за разрязване на правоъгълник на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на клетките (методите на рязане се считат за различни, ако частите, получени с един метод на рязане, не са равни на частите, получени с друг метод) A 3 5 правоъгълник съдържа 15 клетки и една централна клетка е премахната. Намерете пет начина да изрежете останалата фигура

10 10 1. Задачи върху карирана хартия разрежете на две равни части, така че линията на разреза да минава по страните на клетките Квадрат 6 6 е разделен на 36 еднакви квадрата. Намерете пет начина да разрежете квадрат на две равни части, така че линията на срязване да минава по страните на квадратите. Задача 1.4 има повече от 200 решения. Намерете поне 15 от тях. Урок 1.2 Тема: Рязане на задачи върху карирана хартия. Цел: Продължете да развивате идеи за симетрия, подготовка за темата „Пентамино“ (разглеждане на различни фигури, които могат да бъдат изградени от пет клетки). Задачи: Възможно ли е да се разреже квадрат от 5 5 клетки на две равни части, така че линията на срязване да минава по страните на клетките? Обосновете отговора си. Разделете квадрата 4 4 на четири равни части, така че линията на изрязване да минава по страните на клетките. Колко различни метода на рязане можете да намерите? 1.8. Разделете фигурата (фиг. 5) на три равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите. Ориз. 5 Фиг. 6 Фиг. Разделете фигурата (Фиг. 6) на четири равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите Разделете фигурата (Фиг. 7) на четири равни части, така че линиите на среза да минават по страните на квадратите. квадратите. Намерете възможно най-много решения.

Урок 11 Разделете квадрата с 5 5 клетки, като централната клетка е изрязана на четири равни части. Урок 1.3 Тема: Рязане на задачи върху карирана хартия. Цел: Продължете да развивате идеи за симетрия (аксиална, централна). Задачи Изрежете фигурите, показани на фиг. 8, на две равни части по линиите на мрежата, като всяка част трябва да има кръг. Ориз. 8 Фиг. Фигурите, показани на Фиг. 9, трябва да изрежете по линиите на мрежата на четири равни части, така че във всяка част да има кръг. Как да го направим? Изрежете фигурата, показана на фиг. 10, по линиите на мрежата на четири равни части и ги сгънете в квадрат, така че кръговете и звездите да са разположени симетрично спрямо всички оси на симетрия на квадрата. Ориз. 10

12 12 1. Задачи върху карирана хартия Изрежете този квадрат (фиг. 11) по протежение на страните на клетките, така че всички части да са с еднакъв размер и форма и така че всяка да съдържа един кръг и звездичка Изрежете квадрата 6 6 от карираната хартия, показана на фиг. 12, на четири еднакви части, така че всяка от тях да съдържа три защриховани клетки. Урок 1.4 Фиг. 11 Фиг. 12 Тема: Задачи за изрязване върху карирана хартия. Цел: Научете се да разрязвате правоъгълник на две равни части, от които да сгънете квадрат и друг правоъгълник. Научете се да определяте кои правоъгълници могат да бъдат превърнати в квадрат, като ги изрежете. Задачи Допълнителни задачи 1.23, 1.24 (тези задачи могат да бъдат разгледани в началото на урока за загряване) Разрежете правоъгълник от 4 9 клетки от страните на клетките на две равни части, така че след това да могат да бъдат сгънати на квадрат. Възможно ли е да разрежете правоъгълник от 4 8 клетки на две части по дължината на страните на клетките, така че да могат да се използват за образуване на квадрат? От правоъгълник с 10 7 клетки се изрязва правоъгълник с 1 6 клетки, както е показано на фиг. 13. Разрежете получената фигура на две части, така че да могат да се сгънат в квадрат.Защрихованите фигури бяха изрязани от правоъгълник с 8 9 клетки, както е показано на фиг. 14. Разрежете получената фигура на две равни части, така че да можете да ги сгънете в правоъгълник 6 10.

13 Урок Фиг. 13 Фиг. Върху карирана хартия е начертан квадрат с размери 5 5 клетки. Покажете как да го разрежете по страните на квадратите на 7 различни правоъгълника. Нарежете квадрата на 5 правоъгълника по страните на квадратите, така че всичките десет числа, изразяващи дължините на страните на правоъгълниците, да са различни цели числа. Разделете показаните фигури на фиг. 15, на две равни части. (Можете да режете не само по клетъчните линии, но и по техните диагонали.) Фиг. 15

14 14 2. Пентомино Изрежете фигурите, показани на фиг. 16, на четири равни части. 2. Пентамино Фиг. 16 Урок 2.1 Тема: Пентамино. Цел: Развитие на комбинаторните умения на учениците. Задачи Фигурите на домино, тримино, тетромино (игра с такива фигури се нарича тетрис), пентомино са съставени от две, три, четири, пет квадрата, така че всеки квадрат да има обща страна с поне един квадрат. От два еднакви квадрата можете да направите само една фигура на домино (виж фиг. 17). Тримино фигурите могат да бъдат получени от една фигура на домино чрез добавяне на друг квадрат към нея по различни начини. Ще получите две тримино фигури (фиг. 18). Ориз. 17 Фиг Направете всякакви фигури тетромино (от гръцката дума „тетра“ четири). Колко от тях получихте? (Формите, получени чрез завъртане или симетрично показване от други, не се считат за нови).

Урок 15 Направете всички възможни фигури пентомино (от гръцкото „пента“ пет). Колко от тях получихте? 2.3. Направете фигурите, показани на фиг. 19, от фигури пентомино. Колко решения има задачата за всяка фигура? Фиг. Сгънете правоъгълник 3 5, като използвате фигури пентомино. Колко различни решения можете да измислите? 2.5. Направете фигурите, показани на фиг. 20, от фигури пентомино. Ориз. 20

16 16 2. Пентамино Урок 2.2 Тема: Пентамино. Цел: Развитие на идеи за симетрия. Задачи В задача 2.2 съставихме всички възможни фигури пентомино. Вижте ги на фиг. 21. Фиг. 21 Фигура 1 има следното свойство. Ако го изрежете от хартия и го огънете по права линия a (фиг. 22), тогава една част от фигурата ще съвпадне с другата. Казват, че фигурата е симетрична спрямо правата ос на симетрия. Фигура 12 също има ос на симетрия, дори две са прави b и c, но фигура 2 няма оси на симетрия. Фиг. Колко оси на симетрия има всяка фигура пентомино? 2.7. От всичките 12 фигури пентомино сгънете правоъгълник. Разрешено е да се обръщат асиметрични части. Сгънете дванадесет фигури пентомино в правоъгълник 6 10 и така, че всеки елемент да докосва някоя страна на този правоъгълник.

Урок 17 Изрежете правоъгълника, показан на фиг. 23 (а), по вътрешните линии на две такива части, от които може да се сгъне фигура с три квадратни дупки с размер на една клетка (фиг. 23 (б)). Фиг. От фигурите пентомино сгънете квадрат 8 8 с квадрат 2 2, изрязан в средата. Намерете няколко решения. Дванадесет пентомино са поставени в правоъгълник. Възстановете границите на фигурите (фиг. 24), ако всяка звезда падне в точно едно пентомино. Ориз. 24 Фиг. Дванадесет фигури пентомино са поставени в кутия 12 10, както е показано на Фиг. 25. Опитайте да поставите друг комплект пентомино върху оставащото свободно поле.

18 18 3. Трудни задачи за изрязване 3. Трудни задачи за изрязване Урок 3.1 Тема: Задачи за изрязване на фигури от по-сложни форми с граници, които са дъги. Цел: Научете се да изрязвате фигури от по-сложни форми с граници, които са дъги, и да правите квадрат от получените части. Задачи на фиг. 26 показва 4 фигури. С един разрез разделете всяка от тях на две части и оформете от тях квадрат. Карираната хартия ще ви улесни при решаването на проблема. Фиг. Нарежете квадрата 6 6 на парчета и ги съберете във формите, показани на Фиг. 27. Фиг. 27

Урок 19 На фиг. 28 е показана част от крепостната стена. Един от камъните има толкова странна форма, че ако го извадите от стената и го поставите по друг начин, стената ще стане равна. Нарисувайте този камък За какво ще се използва повече боя: квадрат или този необичаен пръстен (фиг. 29)? Ориз. 28 Фиг. Изрежете вазата, показана на Фиг. 30, на три части, от които можете да сгънете ромб. Ориз. 30 Фиг. 31 Фиг. 32 Урок 3.2 Тема: По-сложни задачи за рязане. Цел: Упражнение за решаване на по-сложни задачи за рязане. Решаваме задачи в час, задача 3.12 вкъщи Разрежете фигурата (фиг. 31) с два прави разреза на парчета, от които можете да сгънете квадрат Изрежете фигурата, показана на фиг. 32 фигура на четири равни части, от които може да се сгъне квадрат.Изрежете буквата Е, показана на фиг. 33, на пет части и ги сгънете на квадрат. Не обръщайте частите назад

20 20 4. Допуска се разделяне на равнини. Възможно ли е да се мине с четири части, ако позволите частите да се обръщат? 3.9. Кръст, съставен от пет квадрата, трябва да бъде нарязан на парчета, от които може да се направи едно квадратче, равно по размер на кръста (т.е. еднакво по площ).Дадени са две шахматни дъски: обикновена, с 64 квадрата, и друг с 36 квадрата. Необходимо е всяка от тях да се разреже на две части, така че от всички получени четири части да се направи нова шахматна дъска от клетки.Клавероделецът разполага с част от шахматна дъска от 7 7 клетки, изработена от скъпоценен махагон. Той иска, без да губи материал и да извършва Фиг. 33 разрязва само по ръбовете на квадратите, разрязва дъската на 6 части, така че да направи три нови квадрата от тях, всички с различни размери. Как да го направим? Възможно ли е да се реши задача 3.11, ако броят на частите е 5 и общата дължина на разфасовките е 17? 4. Разделяне на равнина Урок 4.1 Тема: Плътни дялове на правоъгълници. Цел: Научете се да изграждате непрекъснати деления на правоъгълници с правоъгълни плочки. Отговорете на въпроса при какви условия правоъгълникът позволява такова разделяне на равнината. Задачи (а) се решават в клас. Задачи 4.5 (б), 4.6, 4.7 могат да бъдат оставени у дома. Да предположим, че имаме неограничен запас от правоъгълни плочки с размер 2 1 и искаме да поставим правоъгълен под с тях и нито една плочка не трябва да се застъпва.Поставете 2 1 плочки на пода в стая с размери 5 6. Ясно е че ако подът в правоъгълна стая p q е постлан с плочки 2 1, то p q е четен (тъй като площта се дели на 2). И обратно: ако p q е четен, тогава подът може да бъде постлан с 2 1 плочки.

Урок 21 Наистина, в този случай едно от числата p или q трябва да е четно. Ако, например, p = 2r, тогава подът може да бъде разположен, както е показано на фиг. 34. Но в такива паркети има линии на счупване, които пресичат цялата „стая“ от стена до стена, но не пресичат плочките. Но в практиката се използват паркети без такива линии – масивни паркети. Фиг Подредете плочки 2 1 непрекъснат паркет на стаята Опитайте се да намерите непрекъснато разделение на плочки 2 1 а) правоъгълник 4 6; б) квадрат Разпределете плочки 2 1 масивен паркет а) стаи 5 8; б) стаи 6 8. Естествено възниква въпросът: за какви p и q правоъгълникът p q допуска непрекъснато разделяне на плочки 2 1? Вече знаем необходимите условия: 1) p q се дели на 2, 2) (p, q) (6, 6) и (p, q) (4, 6). Можете също така да проверите още едно условие: 3) p 5, q 5. Оказва се, че тези три условия също са достатъчни. Плочки с други размери Подредете плочки 3 2 без прекъсвания: а) правоъгълник 11 18; б) правоъгълник Разпределете квадрата на плочки без прекъсвания, ако е възможно.Възможно ли е, като вземете квадрат от карирана хартия с размери 5 5 клетки, да изрежете 1 клетка от него, така че останалата част да можете да нарежете на плочи 1 3 клетки? Урок 4.2 Тема: Паркети.

22 22 4. Разделяне на самолета Цел: Научете се да покривате самолета с различни фигури (като паркетът може да бъде с прекъснати линии или плътен), или докажете, че това е невъзможно. Проблеми Един от най-важните въпроси в теорията за равнинното разделяне е: „Каква форма трябва да бъде една плочка, така че нейните копия да могат да покриват равнината без празнини или двойни покрития?“ Доста очевидни форми веднага идват на ум. Може да се докаже, че има само три правилни многоъгълника, които могат да покрият равнина. Това са равностранен триъгълник, квадрат и шестоъгълник (виж фиг. 35). Има безкраен брой неправилни многоъгълници, които могат да се използват за покриване на равнина. Фиг. Разделете произволен тъп триъгълник на четири равни и подобни триъгълника. В задача 4.8 разделяме триъгълника на четири еднакви и подобни триъгълника. Всеки от четирите получени триъгълника може на свой ред да бъде разделен на четири равни и подобни триъгълника и т.н. Ако се движите в обратна посока, тоест добавете четири равни тъпоъгълни триъгълника, така че да получите един триъгълник, подобен на тях, но четири пъти по-голям в областта и т.н., тогава равнината може да бъде облицована с такива триъгълници. Равнината може да бъде покрита с други фигури, например трапецовидни, успоредници Покрийте равнината със същите фигури, показани на фиг. 36.

23 Урок Подредете равнината със същите „скоби“, показани на фиг. 37. Фиг. 36 Фиг. Има четири квадрата със страна 1, осем със страна 2, дванадесет със страна 3. Възможно ли е да ги сгънете в един голям квадрат? Възможно ли е да се направи квадрат с произволен размер от дървените плочки, показани на фиг. 38 вида, използвайки и двата вида плочки? Урок 4.3 Тема: Задачи за най-плътната опаковка. Ориз. 38 Цел: Формиране на концепция за оптимално решение. Задачи Какъв е най-големият брой ленти с размери 1 5 клетки, които могат да бъдат изрязани от квадрат от карирана хартия с 8 8 клетки? Майсторът разполага с лист тенекия с размери кв. дм. Майсторът иска да изреже от него възможно най-много правоъгълни заготовки с размери 3-5 квадратни метра. дм. Помогнете му. Възможно ли е да нарежете правоъгълник от клетка, без да оставите остатък, на правоъгълници с размери 5 7? Ако е възможно, как? Ако не, защо не? На лист карирана хартия с размерите на клетките маркирайте разрезите, с помощта на които можете да получите колкото се може повече цели фигури, показани на фиг. 39. Фигурите, показани на фиг. 39 (b, d), може да се обърне.

24 24 5. Танграм Фиг Танграм Урок 5.1 Тема: Танграм. Цел: Да запознае учениците с китайския пъзел „Танграм“. Практикувайте геометрични изследвания и дизайн. Развивайте комбинаторни умения. Задачи Говорейки за задачи за рязане, не можем да не споменем древния китайски пъзел „Танграм“, който произхожда от Китай преди 4 хиляди години. В Китай се нарича chi tao tu или умствен пъзел от седем части. Насоки. За провеждане на този урок е препоръчително да имате раздавателни материали: пъзел (който учениците могат да направят сами), рисунки на фигурите, които ще трябва да бъдат сгънати. Фиг. Направете пъзела сами: прехвърлете квадрат, разделен на седем части (фиг. 40) върху плътна хартия и го изрежете. Използвайки всичките седем части на пъзела, направете фигурите, показани на фиг. 41.

25 Урок Фиг. 41 Фиг. 42 Методически препоръки. На децата могат да се дадат рисунки в реален размер на фигури а), б) И следователно ученикът може да реши проблема, като наслагва части от пъзела върху чертежа на фигурата и по този начин избира необходимите части, което опростява задачата. И рисунки на фигури

26 26 6. Задачи за разрязване в пространството в), г) могат да бъдат дадени в по-малък мащаб; следователно тези проблеми ще бъдат по-трудни за разрешаване. На фиг. Дадени са още 42 фигури, които можете да съставите сами. Опитайте се да измислите своя фигура, като използвате всичките седем части на танграма. В танграма сред седемте му части вече има триъгълници с различни размери. Но от неговите части все още можете да добавите различни триъгълници. Сгънете триъгълник, като използвате четирите части на танграм: а) един голям триъгълник, два малки триъгълника и квадрат; б) един голям триъгълник, два малки триъгълника и успоредник; в) един голям триъгълник, един среден триъгълник и два малки триъгълника Възможно ли е да се направи триъгълник само с две части на танграм? Три части? Пет части? Шест части? Всичките седем части на танграма? 5.6. Очевидно всичките седем части на танграма образуват квадрат. Възможно ли е или не може да се направи квадрат от две части? От тримата? От четири? 5.7. Какви са различните части на танграм, които могат да се използват за направата на правоъгълник? Какви други изпъкнали многоъгълници могат да бъдат направени? 6. Задачи за разрязване в пространство Урок 6.1 Тема: Задачи за разрязване в пространство. Цел: Развиване на пространственото въображение. Научете се да конструирате развития на триъгълна пирамида, куб и да определяте кои развития са неправилни. Практикувайте решаването на задачи за разрязване на тела в пространството (решаването на такива задачи се различава от решаването на задачи за разрязване на фигури в равнина). Проблеми Буратино имаше хартия, покрита с полиетилен от едната страна. Той направи заготовката, показана на фиг. 43, за да залепите от него торбички за мляко (триъгълни пирамиди). А лисицата Алиса може да направи друга подготовка. Кое?

27 Урок Ориз Котаракът Базилио също има хартия като тази, но иска да лепи кубчета (кефирени торбички). Той направи заготовките, показани на фиг. 44. И лисицата Алиса казва, че някои могат да бъдат изхвърлени веднага, защото не са добри. тя права ли е Фиг Хеопсовата пирамида има квадрат в основата си, а страничните й стени са равни равнобедрени триъгълници. Пинокио ​​се изкачи и измери ъгъла на лицето в горната част (AMD, на фиг. 45). Оказа се 100. А лисицата Алиса казва, че е прегрял на слънце, защото това не може да бъде. тя права ли е 6.4. Какъв е минималният брой плоски разрези, необходими за разделянето на куба на 64 малки кубчета? След всяко рязане ви е позволено да пренаредите части от куба, както желаете Дървеният куб беше боядисан отвън с бяла боя, след това всеки от неговите ръбове Фиг. 45 бяха разделени на 5 равни части, след което бяха разрязани, така че да се получат малки кубчета, чийто ръб е 5 пъти по-малък от този на оригиналния куб. Колко малки кубчета получихте? Колко кубчета имат три оцветени страни? Две страни? Един ръб? Колко неоцветени кубчета са останали? 6.6. Динята се разрязва на 4 части и се изяжда. Получиха се 5 кори. Възможно ли е това?

28 28 7. Задачи за оцветяване 6.7. На какъв най-голям брой парчета може да се нареже една палачинка с три прави разреза? Колко парчета можете да получите от три разфасовки на един хляб? 7. Проблеми с оцветяване Урок 7.1 Тема: Оцветяването помага при решаването на проблеми. Цел: Научете се да доказвате, че някои задачи за рязане нямат решения, като използвате добре подбрано оцветяване (например оцветяване на шахматна дъска), като по този начин подобрявате логическата култура на учениците. Проблеми Не е трудно да се докаже, че решението на проблема с разрязването на фигура на части е възможно: достатъчно е да се осигури някакъв метод за рязане. Намирането на всички решения, тоест всички методи на рязане, вече е по-трудно. И доказването, че рязането е невъзможно, също е доста трудно. В някои случаи оцветяването на фигурата ни помага да направим това.Взехме квадрат от карирана хартия с размери 8 × 8 и отрязахме два квадрата от него (долния ляв и горния десен). Възможно ли е да покриете напълно получената фигура с правоъгълници „домино“ 1 2? 7.2. На шахматната дъска има фигура камила, която с всеки ход мести три квадрата вертикално и едно хоризонтално, или три хоризонтално и едно вертикално. Може ли „камила“, след като направи няколко хода, да влезе в клетка, съседна на оригиналната отстрани? 7.3. Бръмбар седи във всяка клетка на квадрат 5 5. По команда всеки бръмбар пропълзя до една от клетките, съседни отстрани. Възможно ли е след това отново да има точно по един бръмбар във всяка клетка? Ами ако оригиналният квадрат имаше размери 6 6? 7.4. Възможно ли е да се изреже квадрат от тартанова хартия 4 на 4 на един пиедестал, един квадрат, един стълб и един зигзаг (фиг. 46)?

М. А. Екимова, Г. П. Кукин МЦНМО Москва, 2002 г. UDC 514.11 BBK 22.151.0 E45 E45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Проблеми с рязане. М.: МЦНМО, 2002. 120 с.: ил. Серия: „Тайните на преподаването на математика“. Това

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, И.В. Ященко КАКВО ДА БЪДЕ ВИЗУАЛНА ГЕОМЕТРИЯ В 5-6 КЛАС Резултатите от държавния изпит и единния държавен изпит по математика показват, че основният проблем на геометричната подготовка на учениците е свързан с недостатъчната

Задачи върху решетки В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов 1 Решетъчни бази 1. Двойка вектори a = me 1 + ne 2 и b = ke 1 + le 2, където m, n, k, l са цели числа, тогава и само тогава генерира ли същата решетка,

I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Рязане Геометричните фигури се наричат ​​равни, ако могат да се наслагват една върху друга, така че напълно да съвпадат. 1. Нарежете всяка форма на

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Ръководство за подготовка за GIA Проблеми за избор на правилни твърдения 2015 1 ВЪВЕДЕНИЕ Това ръководство е предназначено за подготовка за решаване на геометрични задачи на Държавния изпит по математика.

Тест 448 Вертикални ъгли 1. Ако ъглите не са вертикални, значи не са равни. 2. Еднаквите ъгли са вертикални само ако са централно симетрични. 3. Ако ъглите са равни и обединението им има

I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Примери и конструкции 1. (Vseross., 2018, ШЭ, 5.2) Момичето замени всяка буква в името си с нейния номер в руската азбука. Полученото число е 2011533.

ЛЕКЦИЯ 24 РАВНИНСКИ ГРАФИ 1. Формула на Ойлер за равнинни графики Дефиниция 44: Равнинна графа е образ на графика в равнина без самосечения. Забележка: Графиката не е същата като равнинната.

Средно (пълно) общо образование М. И. Башмаков Математика 11 клас Сборник задачи 3 издание УДК 372.851 (075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 клас. Сборник задачи: среден (пълен)

В.А. Смирнов 1. Разпознаване на фигури 1. Кой многостен се нарича куб? 2. Колко върхове, ръбове, лица има един куб? 3. Начертайте куб на карирана хартия. 4. Кой многостен се нарича паралелепипед?

В.А. Смирнов, И.В. Ященко ФИГУРИ В ПРОСТРАНСТВОТО Ръководство за подготовка за Единния държавен изпит 2013 ВЪВЕДЕНИЕ Това ръководство е предназначено за подготовка за решаване на геометрични задачи на Единния държавен изпит по математика. Неговите цели са:

1 се научават да използват геометричен език и геометрична символика, за да опишат обекти в заобикалящия свят; провеждайте прости разсъждения и обосновки в процеса на решаване на предвидените проблеми

МАТЕМАТИКА 5.1-5.3 клас (технологичен профил) Банка задачи Модул „Геометрия” „Триъгълници и четириъгълници. Прави линии и кръгове. Симетрия. Полиедри" Необходима е основна теоретична информация

Задачи за Третия градски открит турнир на младите математици в Минск 2016 (младша лига, 5-7 клас) 10-12 март 2016 г. Предварителни заявки, в които се посочва образователната институция, директорът, неговият телефонен номер

Общинска бюджетна предучилищна образователна институция "Детска градина 30" на Централния район на Барнаул КОНСУЛТАТИВЕН И ПРЕПОРЪЧИТЕЛЕН МАТЕРИАЛ ЗА УЧИТЕЛИ по темата: "Въвеждане на деца в предучилищна възраст

1 Правило на крайностите Игор Жук (Алфа, 1(4), 1999) Нека първо разгледаме следните три проблема: Задача1. На безкраен лист карирана хартия във всяка клетка е написано определено естествено число. Знае се

Знанието е най-превъзходното притежание. Всеки се стреми към него, то не идва от само себе си. Абу-р-Райхан ал-буруни „Концепцията за площта на многоъгълник“ Геометрия клас 8 1 ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ПОЛИНОМИ Затворена прекъсната линия,

Обяснителна бележка 1. Обща характеристика на курса Тази програма е съставена в съответствие с изискванията на Федералния държавен образователен стандарт за основно общо образование и е предназначена

Майсторски клас „Геометрия и стереометрия на Единния държавен изпит по математика, част 1. Октомври 2017 г. За решаване на задачи са ви необходими знания за геометричните фигури и техните свойства, изчисляване на площите на равнинни фигури, обеми

Общинско бюджетно учебно заведение "СОУ 2" Приложение 3.20. Работна програма за курса „Визуална геометрия“ 5-6 клас Разработчици: Овчинникова Н.В.,

Тема 1. Паритет 1. На масата има 13 зъбни колела, свързани в затворена верига. Могат ли всички зъбни колела да се въртят едновременно? 2. Може ли права линия, която не съдържа върховете на затворена 13-звена начупена линия

Анализ на задачите от третата част на задачите 1 2 Електронно училище Znika Анализ на задачите от третата част на задачите 4 клас 6 7 8 9 10 A B A B D Задача 6 Вътре в тунела има контролни точки на всеки 10 м.

IX Всеруска сесия „Млад математик“. Общоруски детски център "Орльонок" VI Турнир по математически игри. Математическа игра "Дуел". Младша лига. Решения. 08.09.2013 г. 1. Двете групи имат еднакъв брой ученици

Занимателни задачи с кубчета. Задача 1. Номерирайте 8-те върха на куба с поредни номера (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), така че сумата от числата на всяка от шестте му страни да е еднаква (фиг. 1а).

Банка задачи по математика 6 клас “Многоъгълници и многостени” 1. Многостенът е затворена повърхнина, съставена от: успоредници, многоъгълници и триъгълници, многоъгълници, многоъгълници.

ДЪРЖАВЕН КОМИТЕТ НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ЗА ВИСШЕ ОБРАЗОВАНИЕ НОВОСИБИРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Задочно училище ОТДЕЛ МАТЕМАТИКА ПАРАЛЕЛЕН ДИЗАЙН Клас 0, задача 3. Новосибирск

Работна програма на учебния предмет „Светът на знаците и числата” 5 клас 1. Планирани резултати от усвояването на учебния предмет „Светът на знаците и числата” овладяване на геометричния език, използването му за описание

Извънкласен урок по нагледна геометрия в 7 клас. Тема: „Геометрия на ножицата. Задачи за изрязване и сгъване на форми"

ТЯХ. СМИРНОВА, В.А. СМИРНОВ ГЕОМЕТРИЯ ВЪРХУ ПРОВЕРЕНА ХАРТИЯ Учебник за образователни институции Москва 2009 ПРЕДГОВОР Предлаганото ръководство съдържа петдесет и шест задачи за конструиране и

РАБОТНА ТЕТРАДКА 2 ТРАНСФОРМАЦИИ 1 Понятие за трансформация Пример 1. Трансформация на концентрични окръжности една в друга. Кръгът c 1 се трансформира в концентричен кръг c 2, както е показано

Есенен интензив по физика и математика “100 часа” ПОЛИМИНО Игри и пъзели с карирани фигури Хозин Михаил Анатолиевич Дзержинск, 29 октомври 2 ноември 2016 г. КАКВО Е ПОЛИМИНО? Всеки знае домино

7 фигури са нарисувани с точки, както е показано на снимките по-долу. C A G B F Покажете как да направите фигурите на снимките по-долу от тези елементи D E A) (точка 0 точки) B) (точка 0 точки) C) (3 точки

Единен държавен изпит 2010. Математика. Задача B9. Работна тетрадка Смирнов V.A. (под редакцията на A.L. Semenov и I.V. Yashchenko) М.: Издателство МЦНМО; 2010 г., 48 стр. Работна тетрадка по математика от поредицата “Единен държавен изпит 2010 г. Математика”

1) IDm2014_006 отговори от състезателния кръг 2) Ръководител на отбора Олга Сергеевна Пояркова 3) Технически ръководител (координатор) не 4) URL на уеб страницата с отговорите от състезателния кръг (ако има такива) не 5) Таблица

10.1 (технологичен профил), 10.2 (ниво на профил) 2018-2019 учебна година Приблизителна банка от задачи за подготовка за тестване по математика, раздел „Геометрия“ (учебник Атанасян Л.С., ниво на профил)

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов Правилни, полуправилни и звездовидни полиедри Москва Издателство МЦНМО 010 UDC 514.11 BBK.151.0 C50 Съдържание C50 Смирнова И. М., Смирнов В. А. Правилни, полуправилни

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ЦЕНТЪР Математика клас 0 ПАРАЛЕЛЕН ДИЗАЙН Новосибирск I. Дизайн

2016 2017 учебна година 5 клас 51 Подредете 2 2 2 2 2 скоби и знаци за действие в записите така, че да се получи 24 52 Аня лъже във вторник, сряда и четвъртък и казва истината през всички останали дни от седмицата

Тема 16. Полиедри 1. Призма и нейните елементи: Призма е многостен, две от чиито стени са равни многоъгълници, разположени в успоредни равнини, а останалите стени са успоредници.

Геометрията преди геометрията. PDA, Геометрия, Трети урок (Максимов Д.В.) 28 юни 2017 г. Визуална геометрия Куб 3x3x3 се състои от 13 бели и 14 тъмни кубчета. Коя снимка го показва? Показано по-долу

7 клас 7.1. Може ли да се окаже, че тази задача ще бъде решена правилно от 1000 олимпиади и сред тях ще има 43 повече момчета, отколкото момичета? 7.2. Лада и Лера пожелаха естествено число. Ако

Комитет на администрацията на район Змеиногорск на Алтайския край по въпросите на образованието и младежта Общинска бюджетна образователна институция „Средно училище Змеиногорск с напреднали

Приемният изпит във вечерната школа по математика към Факултета по изчислителна математика и математика на Московския държавен университет „М.В. Ломоносов“ (29 септември 2018 г.) 8-9 клас 1. Отборите „Математици“, „Физици“ и „Програмисти“ играха футбол

Общинска бюджетна образователна институция на град Абакан „Средно училище 11” ПРОГРАМА за извънкласни дейности на кръга „Млад математик” за 1-4 клас Програма за извънкласни дейности

Тема I. Паритетна задача 1. Квадратна таблица 25 25 е оцветена в 25 цвята, така че всички цветове да са представени във всеки ред и всяка колона. Докажете, че ако подредбата на цветовете е симетрична по отношение на

1. Комплекти. Операции върху множества 1. Вярно ли е, че за произволни множества A, B е изпълнено равенството A \ (A \ B) A B? 2. Вярно ли е, че за всякакви множества A, B е в сила равенството (A \ B) (B \ A)?

Код на раздела Изисквания (умения), проверявани със задачи от дипломната работа Отворена банка със задачи по предмета „Математика” за четвърти клас Задачи 4. ПРОСТРАНСТВЕНИ ОТНОШЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕН

Изображение на многостени. Изображението на фигура се приема като фигура, подобна на нейната проекция върху определена равнина. Избрано е изображение, което дава правилна представа за формата на фигурата, е

Задачи за 5 клас Сайт за елементарна математика от Дмитрий Гушчин www.mathnet.spb.ru в кутия 5. Кой ще спечели, ако играе най-добре? 2. В квадрата 5 са ​​начертани 5 линии, които го разделят на

Отдел по образованието на администрацията на Красногвардейския район Общинска образователна институция "Средно училище Калиновская" Одобрено от: Директор на MBOU "Средно училище Калиновска" Белоусова

Дванадесета общоруска олимпиада по геометрия на името на. И. Ф. Шаригина Четиринадесета устна олимпиада по геометрия Москва, 17 април 2016 г. Решения на задачи 8 9 клас 1. (А. Блинков) В шестоъгълник равен

Задачи G -11.5.16. S страна = P основна. * H формула за намиране на странична повърхност на призма Г -11.5.17. S страна = 1 P основен. * h формула за намиране на странична 2 повърхност на пирамида 6. Различни задачи G-10.6.1.

VIII отборно-личен турнир „Математически многобой” 2 7 ноември 2015 г., Москва Геометрия (решения) Юношеска лига 1. Дадена е окръжност и нейната хорда. Допирателните се начертават към окръжността в краищата на хордата

1. Начертайте фигура върху карирана хартия. Разделете го на 4 равни части
части по линиите на карирана хартия. Намерете всички възможни фигури, за които
можете да изрежете тази фигура според условията на проблема.
Решение.
2. От квадрат 5 5 е изрязана централна клетка. Нарежете полученото
оформете на две равни части по два начина.
Решение.

3. Разделете правоъгълника 3×4 на две равни части. Намерете колкото е възможно повече
повече начини. Можете да режете само по страната на квадрат 1 × 1 и методи
се считат за различни, ако получените цифри не са равни за всяка
начин.
Решение.
4. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на 2 равни части.
Решение.
5. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на 2 равни части.

Решение.
6. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на две равни части
линии на мрежата и трябва да има кръг във всяка част.
Решение.
7. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на четири равни части

Решение.

8. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на четири равни части
по линиите на мрежата, като във всяка част трябва да има кръг.
Решение.
9. Изрежете този квадрат по страните на клетките, така че всички части
да са с еднакъв размер и форма и всеки да съдържа по един
чаша и кръст.
Решение.

10. Изрежете фигурата, показана на фигурата, по линията на мрежата
четири равни части и ги сгънете на квадрат, така че кръговете и кръстовете
разположени симетрично спрямо всички оси на симетрия на квадрата.
Решение.
11. Разрежете квадрата 6 6, показан на фигурата, на четири
еднакви части, така че всяка от тях да съдържа три защриховани клетки.

Решение.
12. Възможно ли е да разрежете квадрат на четири части, така че всяка част
е бил в контакт с останалите три (частите са в контакт, ако имат общ
граничен участък)?
Решение.
13. Възможно ли е да се разреже правоъгълник от 9 4 клетки на две равни части по

тогава как да направя това?
Решение Площта на такъв квадрат е 36 клетки, т.е. страната му е 6
клетки. Методът на рязане е показан на фигурата.

14. Възможно ли е да се разреже правоъгълник от 5 10 клетки на две равни части по
страни на клетките, така че да могат да бъдат оформени в квадрат? Ако отговорът е да,
тогава как да направя това?
Решение Площта на такъв квадрат е 50 клетки, т.е. неговата страна е
повече от 7, но по-малко от 8 цели клетки. Така че, изрежете такъв правоъгълник
по необходимия начин отстрани на клетките е невъзможно.
15. Имаше 9 листа хартия. Някои от тях бяха разрязани на три части. Обща сума
станаха 15 листа. Колко листа хартия изрязахте?
Решение Изрязваме 3 листа: 3 ∙ 3 + 6 = 15.