Диференциални уравнения от по-високи редове с постоянни коефициенти. Диференциални уравнения от втори и по-високи редове

Често само споменаване диференциални уравнениякара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаване на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на дифури става просто мъчение. Не е ясно какво да правите, как да решите, откъде да започнете?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че дифурите не са толкова трудни, колкото изглежда.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х трябва да намерите функция в тях y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

д диференциални уравненияимат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма връзка със света около нас. Много реални природни процеси се описват с диференциални уравнения. Например, вибрациите на струна, движението на хармоничен осцилатор, използвайки диференциални уравнения в задачите на механиката, намерете скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производни на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и частни решения на дистанционното управление.

Общо решение на диференциално уравнение е общ набор от решения, които трансформират уравнението в идентичност. Частично решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Редът на диференциалното уравнение се определя от най-високия ред на неговите производни.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Нека разгледаме най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Такова уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Разделими уравнения

Най-общо този тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Когато решавате такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрирате двете части и да получите решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения изглеждат така:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е желаната функция. Ето пример за такова уравнение:

При решаването на такова уравнение най-често те използват метода на промяна на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима известна подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „с един поглед“.

Пример за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека разгледаме решението на един от тях. Нека това е уравнение с разделими променливи.

Първо, нека пренапишем производната в по-позната форма:

След това разделяме променливите, тоест в едната част на уравнението събираме всички „I“, а в другата – „X“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общо решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете какъв тип уравнение е това и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да бъдат направени с него, за да доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността за диференциране и интегриране. А за да успееш да решиш DE ти трябва практика (както във всичко). И ако в момента нямате време да разберете как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши е заседнал като кост в гърлото ви, или не знаете, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще Ви предоставим готово и детайлно решение, с чиито подробности можете да се запознаете по всяко удобно за Вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема „Как да решаваме диференциални уравнения“:

Теория на изчисленията нехомогенни диференциални уравнения(DU) няма да бъдат дадени в тази публикация; от предишните уроци можете да намерите достатъчно информация, за да намерите отговора на въпроса "Как да решим нехомогенно диференциално уравнение?"Степента на нехомогенните DE не играе голяма роля тук; няма много методи, които позволяват да се изчисли решението на такива DE. За да ви е по-лесно да прочетете отговорите в примерите, основният акцент е поставен само върху метода на изчисление и съвети, които ще улеснят извеждането на крайната функция.

Пример 1. Решете диференциално уравнение
Решение: Дадено хомогенно диференциално уравнение от трети ред,Освен това той съдържа само втората и третата производна и няма функция и нейната първа производна. В такива случаи приложете метода за намаляване на степентадиференциално уравнение. За да направите това, въведете параметър - нека обозначим втората производна чрез параметъра p

тогава третата производна на функцията е равна на

Оригиналният хомогенен DE ще бъде опростен до формата

Тогава го записваме в диференциали редуцирайте до уравнение с отделена променливаи намерете решението чрез интегриране

Не забравяйте, че параметърът е втората производна на функцията

следователно, за да намерим формулата за самата функция, ние интегрираме намерената диференциална зависимост два пъти

Във функцията стойностите C 1 , C 2 , C 3 са равни на произволни стойности.
Ето как изглежда проста схемата: намерете общото решение на хомогенно диференциално уравнение чрез въвеждане на параметър.Следните задачи са по-сложни и от тях ще се научите да решавате нехомогенни диференциални уравнения от трети ред. Има известна разлика между хомогенните и хетерогенните системи за управление по отношение на изчисленията, както ще видите сега.

Пример 2. намирам
Решение: Имаме трета поръчка. Следователно решението му трябва да се търси под формата на сбор от две - решение на еднородно уравнение и частно решение на нехомогенно уравнение

Първо да решим

Както можете да видите, той съдържа само второто и третото производни на функцията и не съдържа самата функция. Този вид диф. уравнения се решават чрез въвеждане на параметър, който вна свой ред намалява и опростява намирането на решение на уравнението. На практика това изглежда така: нека втората производна е равна на определена функция, тогава третата производна формално ще има нотацията

Разглежданото хомогенно диференциално уравнение от 3-ти ред се трансформира в уравнение от първи ред

откъдето, разделяйки променливите, намираме интеграла
x*dp-p*dx=0;

Препоръчваме формулите да се номерират в такива задачи, тъй като решението на диференциално уравнение от 3-ти ред има 3 константи, четвърти ред има 4 константи и т.н. по аналогия. Сега се връщаме към въведения параметър: тъй като второто производно има формата, след което го интегрираме, след като имаме зависимост за производното на функцията

и чрез многократно интегриране намираме обща форма на хомогенна функция

Частично решение на уравнениетоНека го запишем като променлива, умножена по логаритъм. Това следва от факта, че дясната (нехомогенна) част на DE е равна на -1/x и за да се получи еквивалентна нотация

решението трябва да се търси във формата

Нека намерим коефициента А, за това изчисляваме производните от първи и втори ред

Нека заместим намерените изрази в оригиналното диференциално уравнение и приравняваме коефициентите при същите степени на x:

Стойността на стоманата е равна на -1/2 и има формата

Общо решение на диференциално уравнениезапишете го като сбор от намереното

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи, които могат да бъдат прецизирани с помощта на проблема на Коши.

Пример 3. Намерете интеграла от DE от трети ред
Решение: Търсим общия интеграл на нехомогенно диференциално уравнение от трети ред под формата на сбор от решения на хомогенно и частично нехомогенно уравнение. Първо, за всеки тип уравнение, което започваме анализира хомогенно диференциално уравнение

Той съдържа само втората и третата производна на неизвестната в момента функция. Въвеждаме промяна на променливи (параметър): означаваме с втората производна

Тогава третата производна е равна на

Същите трансформации бяха извършени и в предишната задача. Това позволява редуцирайте диференциално уравнение от трети ред до уравнение от първи ред от формата

Чрез интегриране намираме

Припомняме, че в съответствие с промяната на променливите това е само втората производна

и за да се намери решение на хомогенно диференциално уравнение от трети ред, то трябва да бъде интегрирано два пъти

Въз основа на типа на дясната страна (неравномерна част =x+1), Търсим частично решение на уравнението във формата

Как да разберете в каква форма да търсите частично решение Трябва да сте научили в теоретичната част на курса по диференциални уравнения. Ако не, тогава можем само да предложим да бъде избран израз за функцията, така че при заместване в уравнението членът, съдържащ най-високата производна или по-малката, да е от същия ред (подобен) на нехомогенната част на уравнението

Мисля, че сега ви е по-ясно откъде идва типът частно решение. Нека намерим коефициентите A, B, за това изчисляваме втората и третата производна на функцията

и го заместете в диференциалното уравнение. След групиране на подобни членове, получаваме линейното уравнение

от което за същите степени на променливата съставете система от уравнения

и намиране на непознати стомани. След тяхното заместване се изразява чрез зависимостта

Общо решение на диференциално уравнениее равна на сумата от хомогенни и частични и има формата

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи.

Пример 4. П решаване на диференциално уравнение
Решение: Имаме решение, което ще намерим чрез сбора. Знаете схемата за изчисление, така че нека преминем към разглеждане хомогенно диференциално уравнение

По стандартния метод въведете параметъра
Първоначалното диференциално уравнение ще приеме формата, откъдето, разделяйки променливите, намираме

Не забравяйте, че параметърът е равен на втората производна
Чрез интегриране на DE получаваме първата производна на функцията

Чрез многократна интеграция намерете общия интеграл на хомогенно диференциално уравнение

Търсим частично решение на уравнението във формата, тъй като дясната страна е равна
Нека намерим коефициента A - за да направите това, заместете y* в диференциалното уравнение и приравнете коефициента при същите степени на променливата

След заместване и групиране на членовете получаваме зависимостта

от които стоманата е равна на A=8/3.
Така можем да пишем частично решение на DE

Общо решение на диференциално уравнениеравна на сбора от намерените

където C 1, C 2, C 3 са произволни константи. Ако е дадено условието на Коши, тогава можем много лесно да ги дефинираме.

Вярвам, че материалът ще ви бъде полезен при подготовка за практически занятия, модули или контролни работи. Проблемът на Коши не беше обсъждан тук, но от предишните уроци като цяло знаете как да го направите.

Диференциални уравнения от по-висок ред

Основна терминология на диференциалните уравнения от по-висок ред (DEHE).

Уравнение от формата , където н >1 (2)

се нарича диференциално уравнение от по-висок ред, т.е. н-та поръчка.

зона на дефиниране на DU, нна ред има регион .

В този курс ще бъдат разгледани следните видове системи за управление:

Проблем на Коши DU VP:

Нека се даде дистанционното управление,
и начални условия n/a: числа .

Трябва да намерите непрекъсната и n пъти диференцируема функция
:

1)
е решение на дадената DE на , т.е.
;

2) удовлетворява зададените начални условия: .

За DE от втори ред геометричната интерпретация на решението на задачата е следната: търси се интегрална крива, минаваща през точката (х 0 , г 0 ) и допирателна към права линия с ъглов коефициент к = г 0 ́ .

Теорема за съществуване и уникалност(решения на проблема на Коши за DE (2)):

ако 1)
непрекъснато (общо (н+1) аргументи) в района
; 2)
непрекъснато (над съвкупността от аргументи
) в , тогава ! решение на задачата на Коши за DE, удовлетворяващо зададените начални условия n/a: .

Регионът се нарича регион на уникалност на DE.

Общо решение за дистанционно управление VP (2) – н -параметричнифункция,
, Където
– произволни константи, отговарящи на следните изисквания:

1)

– решение на DE (2) на ;

2) n/a от областта на уникалността!
:
удовлетворява дадените начални условия.

Коментирайте.

Преглед на връзката
, което неявно определя общото решение на DE (2) се нарича общ интеграл DU.

Частно решение DE (2) се получава от общото му решение за конкретна стойност .

Интегриране на VP дистанционно управление.

Диференциалните уравнения от по-висок ред по правило не могат да бъдат решени с точни аналитични методи.

Нека идентифицираме определен тип DUVP, който позволява редукции в ред и може да бъде намален до квадратури. Нека таблицираме тези типове уравнения и методи за намаляване на техния ред.

VP DU, които позволяват намаления на поръчки

		Метод за намаляване на поръчката
	Системата за контрол е непълна, не съдържа . Например,	и т.н. След нМножествената интеграция дава общо решение на DE.
	Уравнението е непълно; очевидно не съдържа необходимата функция и тя първи производни. Например,	Заместване намалява реда на уравнението с кединици.
	Непълно уравнение; очевидно не съдържа аргументи желаната функция. Например,	Заместване редът на уравнението се намалява с единица.
	Уравнението е в точни производни; то може да бъде пълно или непълно. Такова уравнение може да се преобразува във формата (*) ́= (*)́, където дясната и лявата страна на уравнението са точни производни на някои функции.	Интегрирането на дясната и лявата страна на уравнението върху аргумента намалява реда на уравнението с единица.
		Заместване намалява реда на уравнението с единица.

Дефиниция на хомогенна функция:

функция
наречени хомогенни по променливи
, Ако


във всяка точка от областта на дефиниране на функцията
;

– ред на хомогенност.

Например, е хомогенна функция от 2-ри ред по отношение на
, т.е. .

Пример 1:

Намерете общото решение на дистанционното управление
.

DE от 3-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Ние последователно интегрираме уравнението три пъти.

,

– общо решение на дистанционното управление.

Пример 2:

Решете проблема на Коши за дистанционно управление
при

.

DE от втори ред, непълна, не съдържа изрично .

Заместване
и негово производно
ще намали реда на дистанционното управление с единица.

. Получихме DE от първи ред – уравнението на Бернули. За да решим това уравнение, използваме заместването на Бернули:

,

и го включете в уравнението.

На този етап решаваме проблема на Коши за уравнението
:
.

– уравнение от първи ред с разделими променливи.

Заменяме началните условия в последното равенство:

Отговор:
е решение на задачата на Коши, което отговаря на началните условия.

Пример 3:

Решете DE.

– DE от 2-ри ред, непълен, не съдържа изрично променливата и следователно позволява редът да бъде намален с единица чрез заместване или
.

Получаваме уравнението
(позволявам
).

– DE от 1-ви ред с разделителни променливи. Нека ги разделим.

– общ интеграл на DE.

Пример 4:

Решете DE.

Уравнението
има уравнение в точни производни. Наистина ли,
.

Нека интегрираме лявата и дясната страна по отношение на , т.е.
или . Получихме DE от 1-ви ред с разделими променливи, т.е.
– общ интеграл на DE.

Пример5:

Решете проблема на Коши за
при .

DE от 4-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Забелязвайки, че това уравнение е в точни производни, получаваме
или
,
. Нека заместим началните условия в това уравнение:
. Да вземем дистанционно управление
3-ти ред от първи тип (виж таблицата). Нека го интегрираме три пъти и след всяко интегриране ще заместваме началните условия в уравнението:

Отговор:
- решение на задачата на Коши на оригиналния DE.

Пример 6:

Решете уравнението.

– DE от 2-ри ред, пълен, съдържа хомогенност по отношение на
. Заместване
ще понижи реда на уравнението. За да направим това, нека намалим уравнението до формата
, разделяйки двете страни на първоначалното уравнение на . И диференцирайте функцията стр:

.

Да заместим
И
при дистанционно управление:
. Това е уравнение от първи ред с разделими променливи.

Като се има предвид това
, получаваме дистанционно управление или
– общо решение на оригиналния DE.

Теория на линейните диференциални уравнения от по-висок ред.

Основна терминология.

– НЛДУ ти ред, където са непрекъснати функции на определен интервал.

Нарича се интервал на непрекъснатост на дистанционното управление (3).

Нека въведем (условен) диференциален оператор от ти ред

Когато действа върху функцията, получаваме

Това е лявата страна на линейно диференциално уравнение от ти порядък.

В резултат на това LDE може да бъде написан

Линейни свойства на оператора
:

1) – свойство на адитивност

2)
– число – свойство хомогенност

Свойствата се проверяват лесно, тъй като производните на тези функции имат подобни свойства (крайна сума от производни е равна на сумата от краен брой производни; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната).

Че.
– линеен оператор.

Нека разгледаме въпроса за съществуването и уникалността на решение на задачата на Коши за LDE
.

Нека решим LDE по отношение на
: ,
, – интервал на непрекъснатост.

Функция, непрекъсната в областта, производни
непрекъснато в областта

Следователно областта на уникалност, в която проблемът с LDE на Коши (3) има уникално решение и зависи само от избора на точка
, всички други стойности на аргументи
функции
може да се вземе произволно.

Обща теория на OLDE.

– интервал на непрекъснатост.

Основни свойства на OLDE решенията:

1. Свойство на адитивност

(
– решение на OLDE (4) на )
(
– решение на OLDE (4) на ).

Доказателство:

– решение на OLDE (4) на

– решение на OLDE (4) на

Тогава

2. Свойство хомогенност

( – решение на OLDE (4) на ) (
(– числово поле))

– решение на OLDE (4) на .

Доказателството е подобно.

Свойствата на адитивност и хомогенност се наричат ​​линейни свойства на OLDE (4).

Последица:

(
– решение на OLDE (4) на )(

– решение на OLDE (4) на ).

3. ( – комплексно решение на OLDE (4) на )(
са реални решения на OLDE (4) на ).

Доказателство:

Ако е решение на OLDE (4) на , тогава когато се замести в уравнението, то го превръща в идентичност, т.е.
.

Поради линейността на оператора, лявата страна на последното равенство може да бъде записана по следния начин:
.

Това означава, че , т.е. са реални решения на OLDE (4) на .

Последващите свойства на решенията за OLDE са свързани с концепцията „ линейна зависимост”.

Определяне на линейната зависимост на крайна система от функции

За система от функции се казва, че е линейно зависима от това дали има нетривиаленнабор от числа
така че линейната комбинация
функции
с тези числа е идентично равен на нула на , т.е.
.n което е неправилно. Теоремата е доказана.диференц уравненияпо-високпорядъци(4 часа...

Диференциални уравнения от втори и по-високи редове.
Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Нека преминем към разглеждане на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-висок ред. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни концепции за дифузи от първи ред автоматично се разширяват към диференциални уравнения от по-висок ред, следователно много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че дистанционното управление на 2-ра, 3-та и други поръчки е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това е грешно . Да се ​​научите да решавате дифузи от по-висок ред едва ли е по-трудно от „обикновените“ DE от 1-ви ред. А на места е още по-просто, тъй като решенията активно използват материал от училищната програма.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. Към диференциално уравнение от втори ред Задължителновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциалните уравнения от трети ред в практическите задачи са много по-рядко срещани, според моите субективни наблюдения те биха получили около 3-4% от гласовете в Държавната дума.

Към диференциално уравнение от трети ред Задължителновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: – татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин можете да дефинирате диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. При практически проблеми такива системи за управление рядко се провалят, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения, които могат да бъдат редуцирани в ред. Хайде!

2) Втора група – линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения: хомогенно уравнениеИ нехомогенно уравнение.

Хомогенен DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма:
, където и са константи (числа), а от дясната страна – строгонула.

Както можете да видите, няма особени трудности с хомогенни уравнения, основното е решавайте правилно квадратното уравнение.

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа, различна от единица (и, естествено, различна от нула). Алгоритъмът за решение не се променя изобщо, трябва спокойно да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение ще бъде написано по обичайната схема: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, може да се получат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С „лоши“ спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, все пак има общо решение. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-високи редове

Всичко е много, много подобно.

Линейно хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да създадете характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то Така или иначеТо има точно трикорен

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение ще бъде написано, както следва:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случай, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение, съответно, е следното:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Нека съставим и решим характеристичното уравнение:

, – получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.