Какво представляват собствените вектори и собствените стойности. Собствени стойности (числа) и собствени вектори. Примери за решения

Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да следите актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

СИСТЕМА ОТ ЕДНОРОДНИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Система от хомогенни линейни уравнения е система от формата

Ясно е, че в случая , защото всички елементи на една от колоните в тези детерминанти са равни на нула.

Тъй като неизвестните се намират по формулите , то в случай, когато Δ ≠ 0, системата има единствено нулево решение х = г = z= 0. В много задачи обаче интересният въпрос е дали една хомогенна система има решения, различни от нула.

Теорема. За да има система от линейни хомогенни уравнения ненулево решение, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.

Така че, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение. Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни еднородни уравнения има безкраен брой решения.

Примери.

Собствени вектори и собствени стойности на матрица

Нека е дадена квадратна матрица , х– някаква матрица-колона, чиято височина съвпада с реда на матрицата А. .

В много задачи трябва да разгледаме уравнението за х

където λ е определено число. Ясно е, че за всяко λ това уравнение има нулево решение.

Числото λ, за което това уравнение има ненулеви решения, се нарича собствена стойностматрици А, А хза такива λ се нарича собствен векторматрици А.

Нека намерим собствения вектор на матрицата А. Тъй като д∙X = X, тогава матричното уравнение може да бъде пренаписано като или . В разширена форма това уравнение може да бъде пренаписано като система от линейни уравнения. Наистина ли .

И следователно

И така, получихме система от хомогенни линейни уравнения за определяне на координатите х 1, х 2, х 3вектор х. За да има една система ненулеви решения е необходимо и достатъчно детерминантата на системата да е равна на нула, т.е.

Това е уравнение от трета степен за λ. Нарича се характеристично уравнениематрици Аи служи за определяне на собствените стойности на λ.

Всяка собствена стойност λ съответства на собствен вектор х, чиито координати се определят от системата при съответната стойност на λ.

Примери.

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕТО ЗА ВЕКТОР

При изучаването на различни клонове на физиката има величини, които са напълно определени чрез уточняване на техните числени стойности, например дължина, площ, маса, температура и др. Такива величини се наричат ​​скаларни. Освен тях обаче има и величини, за определянето на които освен числовата стойност е необходимо да се знае и посоката им в пространството, например силата, действаща върху тялото, скоростта и ускорението на тялото, когато се движи в пространството, силата на магнитното поле в дадена точка от пространството и др. Такива величини се наричат ​​векторни величини.

Нека въведем строга дефиниция.

Насочен сегментДа наречем сегмент, спрямо краищата на който се знае кой от тях е първи и кой втори.

векторнаречен насочен сегмент с определена дължина, т.е. Това е сегмент с определена дължина, в който една от ограничаващите го точки се приема за начало, а втората за край. Ако А– началото на вектора, бе неговият край, тогава векторът се обозначава със символа; освен това векторът често се обозначава с една буква. На фигурата векторът е обозначен със сегмент, а посоката му със стрелка.

Модулили дължинаВектор се нарича дължината на насочения сегмент, който го определя. Означава се с || или ||.

Като вектори ще включим и така наречения нулев вектор, чието начало и край съвпадат. Обозначава се. Нулевият вектор няма определена посока и модулът му е нула ||=0.

Векторите се наричат колинеарен, ако са разположени на една права или на успоредни прави. Освен това, ако векторите и са в една и съща посока, ще напишем , срещуположно.

Наричат ​​се вектори, разположени на прави линии, успоредни на една и съща равнина компланарен.

Двата вектора се наричат равен, ако са колинеарни, имат еднаква посока и са еднакви по дължина. В този случай те пишат.

От дефиницията за равенство на векторите следва, че вектор може да се транспортира успоредно на себе си, поставяйки началото си във всяка точка на пространството.

Например .

ЛИНЕЙНИ ОПЕРАЦИИ ВЪРХУ ВЕКТОРИ

Умножение на вектор по число.

Продуктът на вектор и числото λ е нов вектор, така че:

Произведението на вектор и число λ се означава с .

Например, има вектор, насочен в същата посока като вектора и имащ дължина наполовина по-голяма от вектора.

Въведената операция има следните свойства:

Векторно добавяне.

Нека и са два произволни вектора. Нека вземем произволна точка Ои конструирайте вектор. След това от точката Анека оставим настрана вектора. Нарича се векторът, свързващ началото на първия вектор с края на втория количествоот тези вектори и се обозначава .

Формулираната дефиниция на векторно събиране се нарича правило на успоредник, тъй като същата сума от вектори може да бъде получена както следва. Да отложим от точката Овектори и . Нека построим успоредник върху тези вектори OABC. Тъй като вектори, тогава вектор, който е диагонал на успоредник, изтеглен от върха О, очевидно ще бъде сбор от вектори.

Лесно е да проверите следните свойства на добавянето на вектори.

Векторна разлика.

Вектор, колинеарен на даден вектор, равен по дължина и противоположно насочен, се нарича противоположноствектор за вектор и се означава с . Противоположният вектор може да се разглежда като резултат от умножаването на вектора по числото λ = –1: .

Собствен вектор на квадратна матрица е този, който, когато се умножи по дадена матрица, води до колинеарен вектор. С прости думи, когато една матрица се умножи по собствен вектор, последният остава същият, но умножен по определено число.

Определение

Собственият вектор е ненулев вектор V, който, когато се умножи по квадратна матрица M, сам се увеличава с някакво число λ. В алгебрична нотация изглежда така:

M × V = λ × V,

където λ е собствената стойност на матрицата M.

Нека да разгледаме числен пример. За по-лесно записване числата в матрицата ще бъдат разделени с точка и запетая. Нека имаме матрица:

• М = 0; 4;
• 6; 10.

Нека го умножим по колонен вектор:

• V = -2;

Когато умножим една матрица по вектор колона, ние също получаваме вектор колона. На строг математически език формулата за умножаване на матрица 2 × 2 по вектор на колона ще изглежда така:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 означава елемента на матрицата M, разположен в първия ред и първата колона, а M22 означава елемента, разположен във втория ред и втората колона. За нашата матрица тези елементи са равни на M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. За колонен вектор тези стойности са равни на V11 = –2, V21 = 1. Според тази формула, получаваме следния резултат от произведението на квадратна матрица с вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

За удобство нека напишем вектора на колоната в ред. И така, умножихме квадратната матрица по вектора (-2; 1), което доведе до вектора (4; -2). Очевидно това е същият вектор, умножен по λ = -2. Ламбда в този случай означава собствената стойност на матрицата.

Собствен вектор на матрица е колинеарен вектор, тоест обект, който не променя позицията си в пространството, когато се умножи по матрица. Концепцията за колинеарност във векторната алгебра е подобна на термина паралелизъм в геометрията. В геометрична интерпретация колинеарните вектори са успоредно насочени сегменти с различни дължини. От времето на Евклид знаем, че една права има безкраен брой успоредни прави, така че е логично да приемем, че всяка матрица има безкраен брой собствени вектори.

От предишния пример става ясно, че собствените вектори могат да бъдат (-8; 4), и (16; -8), и (32, -16). Всички те са колинеарни вектори, съответстващи на собствената стойност λ = -2. Когато умножим оригиналната матрица по тези вектори, пак ще получим вектор, който се различава от оригинала 2 пъти. Ето защо при решаването на задачи за намиране на собствен вектор е необходимо да се намират само линейно независими векторни обекти. Най-често за n × n матрица има n на брой собствени вектори. Нашият калкулатор е предназначен за анализ на квадратни матрици от втори ред, така че почти винаги резултатът ще намери два собствени вектора, освен в случаите, когато те съвпадат.

В примера по-горе знаехме собствения вектор на оригиналната матрица предварително и ясно определихме ламбда числото. На практика обаче всичко се случва обратното: първо се намират собствените стойности и едва след това собствените вектори.

Алгоритъм за решение

Нека погледнем оригиналната матрица M отново и се опитаме да намерим и двата й собствени вектора. Така че матрицата изглежда така:

• М = 0; 4;
• 6; 10.

Първо трябва да определим собствената стойност λ, което изисква изчисляване на детерминантата на следната матрица:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Тази матрица се получава чрез изваждане на неизвестното λ от елементите на главния диагонал. Детерминантата се определя по стандартната формула:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Тъй като нашият вектор трябва да е различен от нула, ние приемаме полученото уравнение като линейно зависимо и приравняваме нашата детерминанта detA към нула.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Нека отворим скобите и да получим характеристичното уравнение на матрицата:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Това е стандартно квадратно уравнение, което трябва да се реши с помощта на дискриминант.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Коренът на дискриминанта е sqrt(D) = 14, следователно λ1 = -2, λ2 = 12. Сега за всяка ламбда стойност трябва да намерим собствения вектор. Нека изразим коефициентите на системата за λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

В тази формула E е матрицата на идентичност. Въз основа на получената матрица създаваме система от линейни уравнения:

2x + 4y = 6x + 12y,

където x и y са елементите на собствения вектор.

Нека съберем всички X отляво и всички Y отдясно. Очевидно - 4x = 8y. Разделете израза на - 4 и получете x = –2y. Сега можем да определим първия собствен вектор на матрицата, като вземем всякакви стойности на неизвестните (помнете безкрайността на линейно зависимите собствени вектори). Да вземем y = 1, тогава x = –2. Следователно първият собствен вектор изглежда като V1 = (–2; 1). Върнете се в началото на статията. Това беше този векторен обект, по който умножихме матрицата, за да демонстрираме концепцията за собствен вектор.

Сега нека намерим собствения вектор за λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Нека създадем същата система от линейни уравнения;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Сега приемаме x = 1, следователно y = 3. Така вторият собствен вектор изглежда като V2 = (1; 3). При умножаване на оригиналната матрица по даден вектор, резултатът винаги ще бъде един и същ вектор, умножен по 12. Това е мястото, където алгоритъмът за решение завършва. Сега знаете как да определите ръчно собствения вектор на матрица.

• определител;
• следа, тоест сумата от елементите на главния диагонал;
• ранг, тоест максималният брой линейно независими редове/колони.

Програмата работи по горния алгоритъм, съкращавайки максимално процеса на решаване. Важно е да се отбележи, че в програмата ламбда се обозначава с буквата “c”. Нека да разгледаме числен пример.

Пример как работи програмата

Нека се опитаме да определим собствените вектори за следната матрица:

• М = 5; 13;
• 4; 14.

Нека въведем тези стойности в клетките на калкулатора и да получим отговора в следната форма:

• Ранг на матрицата: 2;
• Матрична детерминанта: 18;
• Следа на матрицата: 19;
• Изчисляване на собствения вектор: c 2 − 19.00c + 18.00 (характеристично уравнение);
• Изчисление на собствения вектор: 18 (първа ламбда стойност);
• Изчисление на собствения вектор: 1 (втора ламбда стойност);
• Система от уравнения за вектор 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Система от уравнения за вектор 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Собствен вектор 1: (1; 1);
• Собствен вектор 2: (-3,25; 1).

Така получихме два линейно независими собствени вектора.

Заключение

Линейната алгебра и аналитичната геометрия са стандартни предмети за всеки първокурсник по инженерна специалност. Големият брой вектори и матрици е ужасяващ и е лесно да се направят грешки в такива тромави изчисления. Нашата програма ще позволи на учениците да проверят своите изчисления или автоматично да решат задачата за намиране на собствен вектор. В нашия каталог има и други калкулатори за линейна алгебра; използвайте ги в обучението или работата си.

Определение 9.3.вектор хсе нарича собствен вектор на матрицата А, ако има такъв номер λ, че е в сила равенството: Ах = λх,тоест резултатът от прилагането на хлинейна трансформация, зададена от матрицата А, е умножението на този вектор по числото λ . Самото число λ се нарича собствена стойност на матрицата А.

Заместване във формули (9.3) x` j = λx j,получаваме система от уравнения за определяне на координатите на собствения вектор:

. (9.5)

Тази линейна хомогенна система ще има нетривиално решение само ако нейният основен детерминант е 0 (правило на Крамър). Като напишете това условие във формата:

получаваме уравнение за определяне на собствените стойности λ , наречено характеристично уравнение. Накратко може да се представи по следния начин:

| A - λE | = 0, (9.6)

тъй като лявата му страна съдържа детерминантата на матрицата A-λE. Относителен полином λ | A - λE| се нарича характерен полином на матрица A.

Свойства на характеристичния полином:

1) Характеристичният полином на линейна трансформация не зависи от избора на базис. Доказателство. (виж (9.4)), но следователно, . По този начин не зависи от избора на основа. Това означава, че | A-λE| не се променя при преминаване към нова основа.

2) Ако матрицата Алинейната трансформация е симетрична (т.е. и ij =a ji), тогава всички корени на характеристичното уравнение (9.6) са реални числа.

Свойства на собствените стойности и собствените вектори:

1) Ако изберете базис от собствените вектори x 1, x 2, x 3, съответстващи на собствените стойности λ 1, λ 2, λ 3матрици А, тогава в тази база линейната трансформация A има матрица с диагонална форма:

(9.7) Доказателството за това свойство следва от дефиницията на собствените вектори.

2) Ако собствените стойности на трансформацията Аса различни, тогава съответните им собствени вектори са линейно независими.

3) Ако характеристичният полином на матрицата Аима три различни корена, тогава в някакъв базис матрицата Аима диагонален вид.

Нека намерим собствените стойности и собствените вектори на матрицата. Нека създадем характеристично уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Нека намерим координатите на собствените вектори, съответстващи на всяка намерена стойност λ. От (9.5) следва, че ако х (1) ={x 1, x 2, x 3) – съответен собствен вектор λ 1 =-2, тогава

- кооперативна, но несигурна система. Неговото решение може да бъде записано във формата х (1) ={а,0,-а), където a е произволно число. По-специално, ако изискваме | х (1) |=1, х (1) =

Заместване в системата (9.5) λ 2 =3, получаваме система за определяне на координатите на втория собствен вектор - х (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, където х (2) ={b,-b,b) или при условие | х (2) |=1, х (2) =

За λ 3 = 6 намерете собствения вектор х (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, х (3) ={° С,2c,c) или в нормализирана версия

x(3) = Може да се забележи, че х (1) х (2) = аб–аб= 0, х (1) х (3) = ac-ac= 0, х (2) х (3) = пр.н.е- 2пр.н.е= 0. Следователно собствените вектори на тази матрица са по двойки ортогонални.

Лекция 10.

Квадратни форми и връзката им със симетрични матрици. Свойства на собствените вектори и собствените стойности на симетрична матрица. Намаляване на квадратна форма до канонична форма.

Определение 10.1.Квадратична форма на реални променливи x 1, x 2,…, x nсе нарича полином от втора степен в тези променливи, който не съдържа свободен член и членове от първа степен.

Примери за квадратни форми:

(н = 2),

(н = 3). (10.1)

Нека си припомним дефиницията на симетрична матрица, дадена в миналата лекция:

Определение 10.2.Квадратната матрица се нарича симетрична, ако , т.е. ако елементите на матрицата, които са симетрични спрямо главния диагонал, са равни.

Свойства на собствените стойности и собствените вектори на симетрична матрица:

1) Всички собствени стойности на симетрична матрица са реални.

Доказателство (за н = 2).

Нека матрицата Аима формата: . Нека създадем характеристично уравнение:

(10.2) Нека намерим дискриминанта:

Следователно уравнението има само реални корени.

2) Собствените вектори на симетрична матрица са ортогонални.

Доказателство (за н= 2).

Координатите на собствените вектори и трябва да удовлетворяват уравненията.