Максималните и минималните точки на функция. Какво представляват екстремумите на функция: критични точки на максимум и минимум

Много задачи изискват изчисляване на максималната или минималната стойност на квадратична функция. Максимумът или минимумът могат да бъдат намерени, ако оригиналната функция е написана в стандартна форма: или чрез координатите на върха на параболата: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Освен това максимумът или минимумът на всяка квадратична функция може да се изчисли с помощта на математически операции.

стъпки

Квадратната функция е записана в стандартна форма

Напишете функцията в стандартна форма.Квадратична функция е функция, чието уравнение включва променлива x 2 (\displaystyle x^(2)). Уравнението може или не може да включва променлива x (\displaystyle x). Ако дадено уравнение включва променлива с показател, по-голям от 2, то не описва квадратична функция. Ако е необходимо, предоставете подобни условия и ги пренаредете, за да напишете функцията в стандартна форма.

• Например, като се има предвид функцията f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Добавете термини с променлива x 2 (\displaystyle x^(2))и членове с променлива x (\displaystyle x)за да напишете уравнението в стандартна форма:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Графиката на квадратична функция е парабола. Клоните на параболата са насочени нагоре или надолу. Ако коефициентът a (\displaystyle a)с променлива x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Тук a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Следователно тук параболата е насочена надолу.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Тук a = 1 (\displaystyle a=1), така че параболата е насочена нагоре.
   • Ако параболата е насочена нагоре, трябва да потърсите нейния минимум. Ако параболата сочи надолу, потърсете нейния максимум.

2. Изчислете -b/2a.Смисъл − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))е координатата x (\displaystyle x)върховете на параболата. Ако квадратична функция е записана в стандартна форма a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), използвайте коефициентите за x (\displaystyle x)И x 2 (\displaystyle x^(2))по следния начин:

   • Във функциите коефициенти a = 1 (\displaystyle a=1)И b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Като втори пример, разгледайте функцията. Тук a = − 3 (\displaystyle a=-3)И b = 6 (\displaystyle b=6). Следователно, изчислете координатата "x" на върха на параболата, както следва:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Намерете съответната стойност на f(x).Включете намерената стойност на „x“ в оригиналната функция, за да намерите съответната стойност на f(x). По този начин ще намерите минимума или максимума на функцията.

   • В първия пример f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)сте изчислили, че координатата x на върха на параболата е x = − 5 (\displaystyle x=-5). В оригиналната функция, вместо x (\displaystyle x)заместител − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Във втория пример f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)открихте, че координатата x на върха на параболата е x = 1 (\displaystyle x=1). В оригиналната функция, вместо x (\displaystyle x)заместител 1 (\displaystyle 1)за да намерите максималната му стойност:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Запишете отговора си.Прочетете отново изложението на проблема. Ако трябва да намерите координатите на върха на парабола, запишете и двете стойности в отговора си x (\displaystyle x)И y (\displaystyle y)(или f (x) (\displaystyle f(x))). Ако трябва да изчислите максимума или минимума на функция, запишете само стойността в отговора си y (\displaystyle y)(или f (x) (\displaystyle f(x))). Погледнете отново знака на коефициента a (\displaystyle a)за да проверите дали сте изчислили максимума или минимума.

   • В първия пример f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)значение a (\displaystyle a)положителен, така че сте изчислили минимума. Върхът на параболата лежи в точката с координати (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), а минималната стойност на функцията е − 26 (\displaystyle -26).
   • Във втория пример f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)значение a (\displaystyle a)отрицателен, значи сте намерили максимума. Върхът на параболата лежи в точката с координати (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), а максималната стойност на функцията е − 1 (\displaystyle -1).

5. Определете посоката на параболата.За да направите това, погледнете знака на коефициента a (\displaystyle a). Ако коефициентът a (\displaystyle a)положителен, параболата е насочена нагоре. Ако коефициентът a (\displaystyle a)отрицателна, параболата е насочена надолу. Например:

   • . Тук a = 2 (\displaystyle a=2), тоест коефициентът е положителен, така че параболата е насочена нагоре.
   • . Тук a = − 3 (\displaystyle a=-3), тоест коефициентът е отрицателен, така че параболата е насочена надолу.
   • Ако параболата е насочена нагоре, трябва да изчислите минималната стойност на функцията. Ако параболата е насочена надолу, трябва да намерите максималната стойност на функцията.

6. Намерете минималната или максималната стойност на функцията.Ако функцията е записана чрез координатите на върха на параболата, минимумът или максимумът е равен на стойността на коефициента k (\displaystyle k). В горните примери:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Тук k = − 4 (\displaystyle k=-4). Това е минималната стойност на функцията, тъй като параболата е насочена нагоре.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Тук k = 2 (\displaystyle k=2). Това е максималната стойност на функцията, тъй като параболата е насочена надолу.

7. Намерете координатите на върха на параболата.Ако задачата изисква намиране на върха на парабола, нейните координати са (h, k) (\displaystyle (h,k)). Моля, обърнете внимание, че когато квадратична функция се записва чрез координатите на върха на парабола, операцията за изваждане трябва да бъде оградена в скоби (x − h) (\displaystyle (x-h)), така че стойността h (\displaystyle h)се приема с обратен знак.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Тук операцията на събиране (x+1) е оградена в скоби, което може да се пренапише по следния начин: (x-(-1)). По този начин, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Следователно координатите на върха на параболата на тази функция са равни на (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Тук в скоби е изразът (x-2). следователно h = 2 (\displaystyle h=2). Координатите на върха са (2,2).

Как да изчислим минимум или максимум с помощта на математически операции

1. Първо, нека разгледаме стандартната форма на уравнението.Напишете квадратичната функция в стандартна форма: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ако е необходимо, добавете подобни членове и ги пренаредете, за да получите стандартно уравнение.

   • Например: .

2. Намерете първата производна.Първата производна на квадратна функция, която е записана в стандартна форма, е равна на f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Първата производна на тази функция се изчислява, както следва:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Приравнете производната на нула.Спомнете си, че производната на функция е равна на наклона на функцията в определена точка. При минимум или максимум наклонът е нула. Следователно, за да се намери минималната или максималната стойност на функция, производната трябва да бъде зададена на нула. В нашия пример.

77419. Намерете максималната точка на функцията y=x 3 –48x+17

Нека намерим нулите на производната:

Нека вземем корените:

Нека определим знаците на производната на функцията, като заместим стойности от интервалите в получената производна и изобразяваме поведението на функцията на фигурата:

Открихме, че в точка –4 производната променя знака си от положителен на отрицателен. Така точка x=–4 е желаната максимална точка.

Отговор: –4

77423. Намерете максималната точка на функцията y=x 3 –3x 2 +2

Нека намерим производната на дадената функция:

Нека приравним производната на нула и решим уравнението:

В точката x=0 производната променя знака от положителен на отрицателен, което означава, че това е максималната точка.

77427. Намерете максималната точка на функцията y=x 3 +2x 2 +x+3

Нека намерим производната на дадената функция:

Когато изравним производната на нула и решим уравнението:

Нека да определим знаците на производната на функцията и да изобразим на фигурата интервалите на нарастване и намаляване на функцията, като заместим стойностите от всеки интервал в израза на производната:

В точката x=–1 производната променя знака от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.

Отговор: –1

77431. Намерете максималната точка на функцията y=x 3 –5x 2 +7x–5

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим нулите на производната:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точката x = 1 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.

77435. Намерете максималната точка на функцията y=7+12x–x 3

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим нулите на производната:

12 – 3x 2 = 0

Решавайки квадратното уравнение, получаваме:

*Това са точки на възможен максимум (минимум) на функцията.

Нека построим числова ос и отбележим нулите на производната. Нека определим знаците на производната, като заместим произволна стойност от всеки интервал в израза на производната на функцията и схематично изобразяваме нарастването и намаляването на интервалите:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

В точката x = 2 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.

*За същата функция минималната точка е точката x = – 2.

77439. Намерете максималната точка на функцията y=9x 2 – x 3

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим нулите на производната:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Решавайки уравнението, получаваме:

*Това са точки на възможен максимум (минимум) на функцията.

Нека построим числова ос и отбележим нулите на производната. Нека определим знаците на производната, като заместим произволна стойност от всеки интервал в израза на производната на функцията и схематично изобразяваме нарастването и намаляването на интервалите:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

В точката x=6 производната променя знака си от положителен на отрицателен, което означава, че това е желаната максимална точка.

*За същата функция минималната точка е точката x = 0.

С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с решението, форматирано в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

y=

на сегмента [ ;]

Включете теория

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремума на функция на една променлива

Уравнението f" 0 (x *) = 0 е необходимо условие за екстремума на функция на една променлива, т.е. в точка x * първата производна на функцията трябва да се нулира. То идентифицира стационарни точки x c, в които функцията не увеличаване или намаляване.

Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива

Нека f 0 (x) е два пъти диференцируем по отношение на x, принадлежащ на множеството D. Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Тогава точката x * е точката на локалния (глобален) минимум на функцията.

Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Тогава точка x * е локален (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f’(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y’’=2sin(x), изчисляваме , което означава x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , което означава x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки е необходимо да се използват други методи за изследване на екстремни функции.

Нарастване, намаляване и екстремуми на функция

Намирането на интервалите на нарастване, намаляване и екстремуми на функция е както независима задача, така и съществена част от други задачи, по-специално, пълно функционално изследване. Първоначалната информация за нарастването, намаляването и екстремумите на функцията е дадена в теоретична глава за производната, което силно препоръчвам за предварително проучване (или повторение)– и поради причината, че следващият материал е базиран на самия по същество производно,като хармонично продължение на тази статия. Въпреки че, ако времето е малко, тогава е възможно и чисто формално практикуване на примери от днешния урок.

И днес във въздуха витае дух на рядко срещано единодушие и директно усещам, че всички присъстващи горят от желание научете се да изследвате функция, използвайки нейната производна. Следователно разумна, добра, вечна терминология веднага се появява на екраните на вашите монитори.

За какво? Една от причините е най-практичната: така че да е ясно какво обикновено се изисква от вас в конкретна задача!

Монотонност на функцията. Точки на екстремум и екстремуми на функция

Нека разгледаме някаква функция. Казано по-просто, предполагаме, че тя непрекъснатона цялата числова ос:

За всеки случай, нека веднага да се отървем от възможните илюзии, особено за онези читатели, които наскоро са се запознали с интервали с постоянен знак на функцията. Сега ние НЕ СЕ ИНТЕРЕСУВАМ, как е разположена графиката на функцията спрямо оста (горе, долу, където се пресича оста). За да сте убедителни, мислено изтрийте осите и оставете една графика. Защото там е интересът.

функция се увеличавана интервал, ако за всеки две точки от този интервал, свързани с отношението , неравенството е вярно. Тоест по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията и нейната графика върви „отдолу нагоре“. Демонстрационната функция нараства през интервала.

По същия начин функцията намалявана интервал, ако за всеки две точки от даден интервал, така че , Неравенството е вярно. Тоест, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията, а нейната графика върви „отгоре надолу“. Нашата функция намалява на интервали .

Ако дадена функция нараства или намалява през интервал, тогава тя се извиква строго монотоненна този интервал. Какво е монотонност? Приемете го буквално – монотонност.

Можете също така да определите ненамаляващфункция (спокойно състояние в първата дефиниция) и ненарастващфункция (смекчено условие във 2-ро определение). Ненамаляваща или ненарастваща функция на интервал се нарича монотонна функция на даден интервал (строгата монотонност е специален случай на „обикновена“ монотонност).

Теорията разглежда и други подходи за определяне на нарастването/намаляването на функция, включително на полуинтервали, сегменти, но за да не излеем масло-масло-масло върху главата ви, ще се съгласим да оперираме с отворени интервали с категорични определения - това е по-ясно и напълно достатъчно за решаване на много практически проблеми.

По този начин, в моите статии формулировката „монотонност на функция“ почти винаги ще бъде скрита интервалистрога монотонност(стриктно нарастваща или строго намаляваща функция).

Околност на точка. Думи, след които учениците бягат накъдето могат и се крият ужасени по ъглите. ...Макар и след пост Граници на КошиВероятно вече не се крият, а само леко потръпват =) Не се притеснявайте, сега няма да има доказателства за теоремите на математическия анализ - имах нужда от обкръжението, за да формулирам дефинициите по-стриктно екстремни точки. Да си припомним:

Околност на точкасе нарича интервал, който съдържа дадена точка, като за удобство интервалът често се приема за симетричен. Например точка и нейния стандартен квартал:

Всъщност дефинициите:

Точката се нарича строга максимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . В нашия конкретен пример това е точка.

Точката се нарича строга минимална точка, Ако съществуванейния квартал, за всичкистойности на които, с изключение на самата точка, неравенството . На чертежа има точка "а".

Забележка : изискването за симетрия на квартала изобщо не е необходимо. Освен това е важно самият факт на съществуванеквартал (независимо дали е малък или микроскопичен), който отговаря на определените условия

Точките се наричат строго екстремални точкиили просто екстремни точкифункции. Тоест, това е обобщен термин за максимални точки и минимални точки.

Как разбираме думата „екстремни“? Да, също толкова директно, колкото монотонността. Крайни точки на влакчета.

Както в случая с монотонността, съществуват свободни постулати, които са дори по-често срещани на теория (което, разбира се, попада в разглежданите строги случаи!):

Точката се нарича максимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всички
Точката се нарича минимална точка, Ако съществуваобкръжението му е такова, че за всичкистойности на този квартал, неравенството е в сила.

Обърнете внимание, че според последните две дефиниции, всяка точка на постоянна функция (или „плоско сечение“ на функция) се счита както за максимална, така и за минимална точка! Функцията, между другото, е както ненарастваща, така и ненамаляваща, тоест монотонна. Ние обаче ще оставим тези разсъждения на теоретиците, тъй като на практика почти винаги съзерцаваме традиционните „хълмове“ и „кухини“ (вижте чертежа) с уникален „цар на планината“ или „принцеса на блатото“. Като разновидност се среща бакшиш, насочен нагоре или надолу, например минимумът на функцията в точката.

О, и като говорим за кралски особи:
– смисълът се нарича максимумфункции;
– смисълът се нарича минимумфункции.

Често срещано име - крайностифункции.

Моля, внимавайте с думите си!

Екстремни точки– това са стойности „X“.
Крайности– значения на „игра“.

! Забележка : понякога изброените термини се отнасят до точките „X-Y“, които лежат директно върху ГРАФИКАТА НА САМАТА функция.

Колко екстремуми може да има една функция?

Няма, 1, 2, 3, ... и т.н. до безкрайност. Например синусът има безкрайно много минимуми и максимуми.

ВАЖНО!Терминът "максимална функция" не е идентичентерминът „максимална стойност на функция“. Лесно се забелязва, че стойността е максимална само в местния квартал, а в горния ляв ъгъл има „по-готини другари“. По същия начин „минимум на функция“ не е същото като „минимална стойност на функция“ и на чертежа виждаме, че стойността е минимална само в определена област. В тази връзка се наричат ​​и екстремни точки локални екстремни точки, а екстремумите – локални крайности. Те ходят и се скитат наблизо и глобаленбратя. И така, всяка парабола има връх глобален минимумили глобален максимум. Освен това няма да правя разлика между видовете крайности и обяснението е изразено по-скоро за общообразователни цели - допълнителните прилагателни „местен“/„глобален“ не трябва да ви изненадват.

Нека обобщим нашата кратка екскурзия в теорията с тестова снимка: какво означава задачата „намерете интервалите на монотонност и точките на екстремум на функцията“?

Формулировката ви насърчава да намерите:

– интервали на нарастваща/намаляваща функция (ненамаляваща, ненарастваща се появява много по-рядко);

– максимални и/или минимални точки (ако има такива). Е, за да избегнете провал, по-добре е сами да намерите минимумите/максимумите ;-)

Как да определим всичко това?Използване на производната функция!

Как да намерите интервали на нарастване, намаляване,
точки на екстремум и екстремуми на функцията?

Всъщност много правила вече са известни и разбрани урок за значението на производната.

Тангенсна производна носи радостни новини, че функцията се увеличава навсякъде област на дефиниция.

С котангенс и неговата производна положението е точно обратното.

Арксинусът нараства през интервала - производната тук е положителна: .
Когато функцията е дефинирана, но недиференцируема. В критичната точка обаче има дясна производна и дясна допирателна, а на другия ръб има техните леви двойници.

Мисля, че няма да ви е много трудно да направите подобно разсъждение за аркосинус и неговата производна.

Всички горепосочени случаи, много от които са таблични производни, напомням ви, следвайте директно от производни определения.

Защо да изследваме функция, използвайки нейната производна?

За да разберете по-добре как изглежда графиката на тази функция: къде върви „отдолу нагоре“, къде „отгоре надолу“, къде достига минимуми и максимуми (ако изобщо достига). Не всички функции са толкова прости - в повечето случаи нямаме никаква представа за графиката на определена функция.

Време е да преминем към по-смислени примери и да помислим алгоритъм за намиране на интервали на монотонност и екстремуми на функция:

Пример 1

Намерете интервали на нарастване/намаляване и екстремуми на функцията

Решение:

1) Първата стъпка е да намерите област на функция, а също така вземете под внимание точките на прекъсване (ако съществуват). В този случай функцията е непрекъсната на цялата числова ос и това действие е до известна степен формално. Но в редица случаи тук пламват сериозни страсти, така че нека се отнасяме към параграфа без пренебрежение.

2) Втората точка от алгоритъма се дължи на

необходимо условие за екстремум:

Ако има екстремум в дадена точка, тогава или стойността не съществува.

Объркани сте от края? Екстремум на функцията “модул x”. .

Условието е необходимо, но не достатъчно, а обратното не винаги е вярно. Така че от равенството все още не следва, че функцията достига максимум или минимум в точка . Класически пример вече беше подчертан по-горе - това е кубична парабола и нейната критична точка.

Но както и да е, необходимото условие за екстремум диктува необходимостта от намиране на подозрителни точки. За да направите това, намерете производната и решете уравнението:

В началото на първата статия относно функционалните графикиКазах ви как бързо да изградите парабола, използвайки пример : “...взимаме първата производна и я приравняваме на нула: ...И така, решението на нашето уравнение: - именно в тази точка се намира върхът на параболата...”. Сега мисля, че всеки разбира защо върхът на параболата се намира точно в тази точка =) Като цяло трябва да започнем с подобен пример тук, но е твърде прост (дори за чайник). Освен това има аналог в самия край на урока за производна на функция. Затова нека увеличим градуса:

Пример 2

Намерете интервали на монотонност и екстремуми на функцията

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и приблизителен окончателен образец на задачата в края на урока.

Настъпи дългоочакваният момент на среща с дробно-рационални функции:

Пример 3

Изследвайте функция, използвайки първата производна

Обърнете внимание колко променливо може да се преформулира една и съща задача.

Решение:

1) Функцията търпи безкрайни прекъсвания в точки.

2) Откриваме критични точки. Нека намерим първата производна и я приравним към нула:

Да решим уравнението. Една дроб е нула, когато нейният числител е нула:

Така получаваме три критични точки:

3) Начертаваме ВСИЧКИ открити точки на числовата ос и интервален методдефинираме знаците на ПРОИЗВОДНАТА:

Напомням ви, че трябва да вземете някаква точка от интервала и да изчислите стойността на производната в нея и определете неговия знак. По-изгодно е дори да не броите, а да „оценявате“ устно. Да вземем, например, точка, принадлежаща на интервала, и да извършим заместването: .

Следователно два „плюса“ и един „минус“ дават „минус“, което означава, че производната е отрицателна през целия интервал.

Действието, както разбирате, трябва да се извърши за всеки от шестте интервала. Между другото, имайте предвид, че числителят и знаменателят са строго положителни за всяка точка във всеки интервал, което значително опростява задачата.

И така, производната ни каза, че САМАТА ФУНКЦИЯ се увеличава с и намалява с . Удобно е да свързвате интервали от един и същи тип с иконата за свързване.

В момента функцията достига своя максимум:
В момента функцията достига минимум:

Помислете защо не трябва да преизчислявате втората стойност ;-)

При преминаване през точка производната не сменя знака, така че функцията там НЯМА ЕКСТРЕМУМ - хем намаляваше, хем оставаше намаляваща.

! Нека повторим важна точка: точките не се считат за критични - те съдържат функция неопределен. Съответно тук По принцип не може да има крайности(дори ако производната промени знака).

Отговор: функцията се увеличава с и намалява с В точката, в която е достигнат максимумът на функцията: , а в точката – минимумът: .

Познаване на интервали на монотонност и екстремуми, съчетани с установени асимптотивече дава много добра представа за външния вид на функционалната графика. Човек със средна подготовка може устно да определи, че графиката на функция има две вертикални асимптоти и една наклонена асимптота. Ето го нашия герой:

Опитайте отново да свържете резултатите от изследването с графиката на тази функция.
В критичната точка няма екстремум, но има инфлексна точка(което по правило се случва в подобни случаи).

Пример 4

Намерете екстремумите на функцията

Пример 5

Намерете интервали на монотонност, максимуми и минимуми на функцията

…това е почти като някакъв празник „X в куб“ днес....
Тааааа, кой от галерията предложи да пие за това? =)

Всяка задача има своите съществени нюанси и технически тънкости, които се коментират в края на урока.