Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване. Smo с дефиниции и неуспехи на формули

Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване

Трябва да решите задачи 1–3. Изходните данни са дадени в табл. 2–4.

Някои обозначения, използвани в теорията на опашките за формули:

n – брой канали в QS;

λ – интензивност на входящия поток от заявки P in;

v – интензивност на изходящия поток заявки P изх.;

μ – интензивност на обслужващия поток P об;

ρ – индикатор за натоварване на системата (трафик);

m – максималният брой места в опашката, ограничаващ дължината на опашката от приложения;

i – брой източници на приложение;

p k – вероятност за k-то състояние на системата;

p o – вероятността за бездействие на цялата система, т.е. вероятността всички канали да са свободни;

p syst – вероятност за приемане на приложение в системата;

p reject – вероятност за отказ на приложение да бъде прието в системата;

p ob – вероятността приложението да бъде обслужено;

А е абсолютният капацитет на системата;

Q – относителен капацитет на системата;

Och – среден брой заявки в опашката;

About – среден брой заявки в услуга;

Syst – среден брой приложения в системата;

Och – средно време за чакане на заявка на опашката;

About – средното време за обслужване на приложение, отнасящо се само за обслужвани приложения;

Sys е средното време, през което едно приложение остава в системата;

Ож – средно ограничение на времето за чакане на заявка на опашката;

– среден брой заети канали.

Абсолютната производителност на QS A е средният брой заявки, които системата може да обслужи за единица време.

Относителният капацитет на QS Q е съотношението на средния брой приложения, обслужени от системата за единица време, към средния брой заявления, получени през това време.

Когато решавате проблеми с опашката, трябва да се придържате към следната последователност:

1) определяне на типа QS съгласно табл. 4.1;

2) избор на формули в съответствие с вида на QS;

3) решаване на проблеми;

4) формулиране на изводи по проблема.

1. Схема на смъртта и размножаването.Знаем, че при дадена обозначена графика на състоянието можем лесно да напишем уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието, а също така да напишем и решим алгебрични уравнения за крайните вероятности. За някои случаи последните уравнения са възможни

решете предварително, под формата на писмо. По-специално, това може да се направи, ако графиката на състоянието на системата е така наречената „схема за смърт и възпроизвеждане“.

Графиката на състоянието за схемата на смъртта и размножаването има формата, показана на фиг. 19.1. Особеността на тази графика е, че всички състояния на системата могат да бъдат начертани в една верига, в която всяко от средните състояния ( С 1 , С 2 ,…,С n-1) е свързан с права и обратна стрелка с всяко от съседните състояния - дясно и ляво, и крайните състояния (С 0 , С n) - само с една съседна държава. Терминът „схема на смъртта и размножаването“ произхожда от биологични проблеми, където подобна схема описва промените в размера на популацията.

Схемата на смъртта и размножаването много често се среща в различни практически проблеми, по-специално в теорията на масовото обслужване, така че е полезно веднъж завинаги да се намерят окончателните вероятности на състоянията за нея.

Да приемем, че всички потоци от събития, които пренасят системата по стрелките на графиката, са най-прости (за краткост ще наричаме системата Си протичащият в него процес са най-прости).

Използвайки графиката на фиг. 19.1, ще съставим и решим алгебрични уравнения за крайните вероятности на състоянието), съществуването следва от факта, че от всяко състояние може да се премине едно към друго, в краен брой състояния). За първото състояние С 0 имаме:

(19.1)

За второто състояние S1:

По силата на (19.1) последното равенство се свежда до вида

Където кприема всички стойности от 0 до П.И така, окончателните вероятности p 0 , p 1 ,..., p n удовлетворяват уравненията

(19.2)

освен това е необходимо да се вземе предвид условието за нормализиране

стр 0 + стр 1 + стр 2 +…+ стр n =1. (19.3)

Нека решим тази система от уравнения. От първото уравнение (19.2) изразяваме стр 1 чрез Р 0 :

стр 1 = стр 0. (19.4)

От втория, като вземем предвид (19.4), получаваме:

(19.5)

От третото, като се вземе предвид (19.5),

(19.6)

и като цяло, за всеки к(от 1 до н):

(19.7)

Нека обърнем внимание на формула (19.7). Числителят е произведението на всички интензитети, стоящи при стрелките, водещи отляво надясно (от началото до даденото състояние С k), а в знаменателя - произведението на всички интензитети, стоящи при стрелките, водещи отдясно наляво (от началото до S k).

По този начин всички вероятности на състоянието Р 0 , стр 1 , ..., р nизразено чрез един от тях ( Р 0). Нека заместим тези изрази в условието за нормализиране (19.3). Получаваме, като го извадим от скоби Р 0:

от тук получаваме израза за Р 0 :

(вдигнахме скобата на степен -1, за да не пишем двуетажни дроби). Всички други вероятности се изразяват чрез Р 0 (виж формули (19.4) - (19.7)). Имайте предвид, че коефициентите за Р 0 във всеки от тях не са нищо повече от последователни членове на реда след един във формула (19.8). И така, изчисляване Р 0 , ние вече намерихме всички тези коефициенти.

Получените формули са много полезни при решаването на най-простите проблеми на теорията на масовото обслужване.

^ 2. Формула на Литъл.Сега ще изведем една важна формула, свързваща (за ограничаващия, стационарен режим) средния брой приложения Лсистеми, разположени в системата за опашка (т.е. обслужвани или стоящи на опашка) и средното време, през което една заявка остава в системата Усист.

Нека разгледаме всеки QS (едноканален, многоканален, Markov, не-Markov, с неограничена или ограничена опашка) и два потока от събития, свързани с него: потокът от заявки, пристигащи в QS, и потокът от заявки, напускащи QS. Ако в системата е установен ограничаващ, стационарен режим, тогава средният брой приложения, пристигащи в QS за единица време, е равен на средния брой приложения, които го напускат: и двата потока имат еднаква интензивност λ.

Да обозначим: X(t) -броя на приложенията, пристигнали в QS до момента T. Y(T) - брой приложения, които са напуснали CMO

до момента T.И двете функции са произволни и се променят рязко (увеличават се с единица), когато пристигнат поръчки (Х(T)) и оттегляне на заявления (Y(t)).Тип функции X(t) и Y(t)показано на фиг. 19.2; и двете линии са стъпаловидни, горната е X(t),нисък- Y(t).Очевидно за всеки момент Tтяхната разлика З(T)= X(t) - Y(t)не е нищо повече от броя на приложенията в CMO. Когато линиите X(t)И Y(t)са обединени, няма приложения в системата.

Помислете за много дълъг период от време T(мислено продължавайки графиката далеч отвъд чертежа) и изчислете за нея средния брой приложения в QS. То ще бъде равно на интеграла на функцията Z(t)на този интервал, разделен на дължината на интервала T:

Лсист. = . (19.9) о

Но този интеграл не е нищо повече от площта на фигурата, оцветена на фиг. 19.2. Нека да разгледаме добре тази рисунка. Фигурата се състои от правоъгълници, всеки от които има височина, равна на единица, и основа, равна на времето, през което съответната заявка (първа, втора и т.н.) е прекарала в системата. Нека обозначим тези времена t 1, t 2,...Вярно, в края на интервала Tнякои правоъгълници ще влязат в защрихованата фигура не изцяло, а частично, но с достатъчно голяма Tтези малки неща няма да имат значение. Следователно можем да приемем, че

(19.10)

където сумата се отнася за всички заявления, получени през времето T.

Разделете дясната и лявата страна (.19.10) на дължината на интервала T.Получаваме, като вземем предвид (19.9),

Лсист. = . (19.11)

Разделете и умножете дясната страна на (19.11) по интензитета X:

Лсист. = .

Но величината Tλне е нищо повече от средния брой заявления, получени във времето ^ Т.Ако разделим сбора на всички времена t iчрез средния брой приложения получаваме средното време, през което едно приложение остава в системата Усист. Така,

Лсист. = λ Усист. ,

Усист. = . (19.12)

Това е прекрасната формула на Little: за всяко QS, за всякакво естество на потока от заявки, за всяко разпределение на времето за обслужване, за всяка дисциплина на обслужване средното време, през което едно приложение остава в системата, е равно на средния брой приложения в системата, разделен на интензивността на потока от приложения.

По абсолютно същия начин се извежда втората формула на Литъл, свързваща средното време, през което едно приложение остава в опашката ^W много добреи средния брой приложения в опашката Лточки:

У och = . (19.13)

За изход е достатъчно вместо долния ред на фиг. 19.2 функция за вземане U(t)- броя на заявления, останали преди Tне от системата, а от опашката (ако приложение, което влиза в системата, не влиза в опашката, а веднага влиза в услуга, все пак можем да приемем, че то влиза в опашката, но прекарва нула време в нея).

Формулите на Литъл (19.12) и (19.13) играят голяма роля в теорията на масовото обслужване. За съжаление в повечето съществуващи ръководства тези формули (доказани в обща форма сравнително наскоро) не са дадени 1).

§ 20. Най-простите системи за масово обслужване и техните характеристики

В този раздел ще разгледаме някои от най-простите QS и ще изведем изрази за техните характеристики (индикатори за ефективност). В същото време ще демонстрираме основните методологични похвати, характерни за елементарната, „марковска” теория на масовото обслужване. Няма да преследваме броя QS проби, за които ще бъдат получени окончателни изрази на характеристики; Тази книга не е справочник по теория на масовото обслужване (тази роля се изпълнява много по-добре от специални ръководства). Нашата цел е да запознаем читателя с някои „малки трикове“, които улесняват пътя през теорията на опашките, която в редица съществуващи (дори претендиращи за популярни) книги може да изглежда като несвързан набор от примери.

В този раздел ще разгледаме всички потоци от събития, които прехвърлят QS от състояние в състояние, като най-прости (без да уточняваме това всеки път). Сред тях ще бъде т. нар. „сервизен поток“. Отнася се за потока от заявки, обслужван от един непрекъснато зает канал. В този поток интервалът между събитията, както винаги в най-простия поток, има експоненциално разпределение (в много ръководства вместо това се казва: „времето за обслужване е експоненциално“; ние самите ще използваме този термин в бъдеще).

1) В популярна книга е дадено малко по-различно извеждане на формулата на Литъл в сравнение с горното. Като цяло, запознаването с тази книга („Втори разговор“) е полезно за първоначално запознаване с теорията на опашките.

В този раздел експоненциалното разпределение на времето за обслужване ще се разбира от само себе си, както винаги за „най-простата“ система.

Ще представим характеристиките на ефективността на разглеждания QS, докато продължаваме.

^ 1. П-канал система за опашка с повреди(Проблем с Erlang). Тук ще разгледаме един от първите, „класически“ проблеми на теорията на масовото обслужване;

този проблем възниква от практическите нужди на телефонията и е решен в началото на този век от датския математик Ерлант. Проблемът е формулиран по следния начин: има Пканали (комуникационни линии), които приемат поток от заявки с интензитет λ. Сервизният поток има интензитет μ (реципрочната стойност на средното време за обслужване Tотносно). Намерете крайните вероятности за състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:

^A -абсолютна пропускателна способност, т.е. среден брой приложения, обслужвани за единица време;

Q-относителна производителност, т.е. средният дял на входящите приложения, обслужвани от системата;

^ P отворено- вероятността за отказ, т.е. приложението да остави QS необслужен;

к-среден брой заети канали.

Решение. Състояния на системата ^S(SMO) ще бъдат номерирани според броя на заявките в системата (в този случай съвпада с броя на заетите канали):

S 0 -няма нито едно приложение в CMO,

S 1 -има една заявка в QS (един канал е зает, останалите са свободни),

S k -намиращ се в СМО кприложения ( кканалите са заети, останалите са свободни),

S n -намиращ се в СМО Пприложения (всички нканалите са заети).

Графиката на състоянието на SMO съответства на модела на смъртта по време на възпроизвеждане (фиг. 20.1). Нека маркираме тази графика - маркирайте интензитета на потоците от събития до стрелките. от С 0 инча S 1системата се прехвърля от поток от заявки с интензитет λ (веднага щом пристигне заявка, системата скача от S 0 V S 1).Същият поток от приложения превежда

Системата от всяко ляво състояние до съседното дясно (вижте горните стрелки на фиг. 20.1).

Нека поставим интензитетите на долните стрелки. Нека системата е в държавата ^S 1 (един канал работи). Той произвежда μ услуга за единица време. Поставете го на стрелката С 1 →С 0 интензитет μ. Сега си представете, че системата е в състояние S 2(работят два канала). За да може да отиде при S1,необходимо е или първият канал, или вторият да завърши обслужването; общата интензивност на техните обслужващи потоци е 2μ; Поставяме го до съответната стрелка. Общият обслужващ поток, осигурен от трите канала, има интензитет от 3μ, кканали - kμ.Маркираме тези интензитети в долните стрелки на фиг. 20.1.

И сега, знаейки всички интензитети, ще използваме готови формули (19.7), (19.8) за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването. Използвайки формула (19.8), получаваме:

Условия за разширяване ще бъдат коефициентите за p 0в изрази за стр. 1

Обърнете внимание, че във формули (20.1), (20.2) интензитетите λ и μ не са включени отделно, а само под формата на съотношението λ/μ. Нека обозначим

λ/μ = ρ (20.3)

И ще наречем стойността p „намалената интензивност на потока от приложения“. Значението му е средният брой заявки, получени за средното време на обслужване на една заявка. Използвайки тази нотация, пренаписваме формулите (20.1), (20.2) във формата:

Формулите (20.4), (20.5) за крайните вероятности на състоянията се наричат ​​формули на Ерланг - в чест на основателя на теорията на масовото обслужване. Повечето от другите формули на тази теория (днес ги има повече от гъби в гората) не носят специални имена.

Така окончателните вероятности са намерени. Използвайки ги, ще изчислим характеристиките на ефективността на QS. Първо ще намерим ^ P отворено. - вероятността входяща заявка да бъде отхвърлена (няма да бъде обслужена). За това е необходимо всичко Пканалите бяха заети, което означава

Ротворен = Р n = . (20.6)

От тук намираме относителната производителност - вероятността заявката да бъде обслужена:

Q = 1 – Потворен = 1 - (20,7)

Получаваме абсолютната производителност, като умножим интензивността на потока от заявки λ по Q:

A = λQ = λ. (20.8)

Остава само да се намери средният брой заети канали к.Тази стойност може да бъде намерена „директно“, като математическото очакване на дискретна случайна променлива с възможни стойности 0, 1, ..., Пи вероятностите на тези стойности р 0 р 1 , ..., р n:

к = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 + ... + p · пн.

Заместване на изрази (20.5) тук за Рк, (k = 0, 1, ..., П)и извършвайки подходящите трансформации, в крайна сметка ще получим правилната формула за к.Но ние ще го извлечем много по-просто (ето го, един от „малките трикове“!) Всъщност ние знаем абсолютната пропускателна способност А.Това не е нищо повече от интензивността на потока от приложения, обслужвани от системата. Всеки зает i.sal обслужва средно |l заявки за единица време. Това означава, че средният брой заети канали е

k = A/μ, (20.9)

или, като се вземе предвид (20.8),

k = (20.10)

Препоръчваме на читателя да реши примера сам. Има комуникационна станция с три канала ( н= 3), интензивност на потока от приложения λ = 1,5 (приложения в минута); средно време за обслужване на една заявка T rev = 2 (мин.), всички потоци от събития (както в целия този параграф) са най-простите. Намерете крайните вероятности за състояния и характеристики на ефективността на QS: A, Q, Pотворен, к.За всеки случай, ето и отговорите: стр 0 = 1/13, стр 1 = 3/13, стр 2 = 9/26, стр. 3 = 9/26 ≈ 0,346,

А≈ 0,981, Q ≈ 0,654, П otk ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Между другото от отговорите става ясно, че нашата QS е значително претоварена: от три канала средно около два са заети, а от входящите заявки около 35% остават необслужени. Каним читателя, ако е любопитен и не мързелив, да разбере: колко канала ще са необходими, за да се задоволят поне 80% от входящите заявки? И каква част от каналите ще бъдат неактивни?

Вече има някакъв намек за оптимизация.Всъщност поддръжката на всеки канал за единица време струва определена сума. В същото време всяко обслужвано приложение генерира известен доход. Умножете този доход по средния брой приложения а,обслужени за единица време, ще получим средния доход от ООП за единица време. Естествено, с увеличаване на броя на каналите, този доход се увеличава, но разходите, свързани с поддръжката на каналите, също се увеличават. Какво ще надделее - увеличение на приходите или разходите? Това зависи от условията на операцията, „таксата за обслужване на приложението“ и разходите за поддръжка на канала. Познавайки тези стойности, можете да намерите оптималния брой канали, най-рентабилните. Няма да решим такъв проблем, оставяйки на същия „не мързелив и любопитен читател“ да измисли пример и да го реши. Като цяло измислянето на проблеми развива повече от решаването на вече поставени от някого.

^ 2. Едноканален QS с неограничена опашка.На практика често се срещат едноканални медицински услуги с опашка (лекар, обслужващ пациенти; телефонен автомат с една кабина; компютър, изпълняващ потребителски поръчки). В теорията на масовото обслужване едноканалните QS с опашка също заемат специално място (повечето от получените досега аналитични формули за немарковски системи принадлежат към такива QS). Затова ще обърнем специално внимание на едноканалните QS с опашка.

Нека има едноканална QS с опашка, върху която не се налагат ограничения (нито за дължината на опашката, нито за времето за изчакване). Този QS получава поток от заявки с интензитет λ ; обслужващият поток има интензитет μ, обратен на средното време за обслужване на заявката Tотносно. Необходимо е да се намерят крайните вероятности на състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:

Лсист. - среден брой приложения в системата,

Усист. - средно време, през което едно приложение остава в системата,

^ L och- среден брой заявления в опашката,

Умного добре - средно време, което едно приложение прекарва в опашка,

Пзан - вероятността каналът да е зает (натоварване на канала).

Относно абсолютната производителност Аи роднина Q,тогава няма нужда да ги изчислявате:

поради факта, че опашката е неограничена, всяко приложение ще бъде обслужено рано или късно, следователно A = λ,по същата причина Q = 1.

Решение. Както и преди, ще номерираме състоянията на системата според броя на приложенията в QS:

С 0 - каналът е безплатен,

С 1 - каналът е зает (обслужва заявка), няма опашка,

С 2 - каналът е зает, една заявка е на опашка,

С k - каналът е зает, к- 1 заявки са на опашка,

Теоретично броят на състоянията е неограничен (безкраен). Графиката на състоянието има формата, показана на фиг. 20.2. Това е схема на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. По всички стрелки потокът от заявки с интензитет λ премества системата отляво надясно, а отдясно наляво - потокът от услуги с интензитет μ.

Първо, нека се запитаме има ли крайни вероятности в този случай? В крайна сметка броят на състоянията на системата е безкраен и по принцип кога t → ∞Опашката може да расте за неопределено време! Да, така е: крайните вероятности за такъв QS не винаги съществуват, а само когато системата не е претоварена. Може да се докаже, че ако ρ е строго по-малко от едно (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при T→ ∞ расте неограничено. Този факт изглежда особено „неразбираем“, когато ρ = 1. Изглежда, че няма невъзможни изисквания, наложени на системата: по време на обслужването на една заявка пристига средно една заявка и всичко трябва да е наред, но в действителност това не е така. Когато ρ = 1, QS се справя с потока от заявки само ако този поток е регулярен и времето за обслужване също не е произволно, равно на интервала между заявките. В този „идеален“ случай изобщо няма да има опашка, каналът ще бъде постоянно зает и редовно ще издава обслужвани заявки. Но веднага щом потокът от приложения или потокът от услуги стане дори малко случаен, опашката ще расте за неопределено време. На практика това не се случва само защото „безкраен брой приложения в опашката“ е абстракция. Това са грубите грешки, които могат да възникнат от заместването на случайни променливи с техните математически очаквания!

Но нека се върнем към нашия едноканален QS с неограничена опашка. Строго погледнато, ние изведехме формулите за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването само за случая на краен брой състояния, но нека си позволим да ги използваме за безкраен брой състояния. Нека изчислим крайните вероятности на състояния, използвайки формули (19.8), (19.7). В нашия случай броят на членовете във формула (19.8) ще бъде безкраен. Получаваме израз за p 0:

стр 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +….) -1 . (20.11)

Редът във формула (20.11) е геометрична прогресия. Знаем, че за ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p 0 , p 1 , ..., p k , ...съществува само на p<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

стр 0 = 1 - ρ. (20.12)

Вероятности r 1, r 2, ..., r k,... ще се намери с помощта на формулите:

стр. 1 = ρ p 0 , p 2= ρ 2 p 0 ,…,p k = ρ p 0, ...,

Откъдето, като вземем предвид (20.12), най-накрая намираме:

стр. 1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ к(1 - ρ), . . .(20.13)

Както можете да видите, вероятностите p 0, стр. 1, ..., пк,...образуват геометрична прогресия със знаменател p. Колкото и да е странно, максимумът от тях p 0 -вероятността каналът да бъде напълно безплатен. Колкото и да е натоварена една система с опашка, дали изобщо може да се справи с потока от заявки (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Нека намерим средния брой заявления към CMO ^ L сист. . Тук ще трябва да побърникате малко. Случайна стойност Z-брой приложения в системата - има възможни стойности 0, 1, 2, .... к, ...с вероятности p 0, p 1, p 2, ..., p k, ...Математическото му очакване е

Лсистема = 0 · p 0 + 1 · стр 1+2 стр 2 +…+к · стр k +…= (20,14)

(сумата се взема не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, тъй като нулевият член е равен на нула).

Нека заместим във формула (20.14) израза за p k (20.13):

Лсист. =

Сега нека извадим ρ (1-ρ) от знака за сума:

Лсист. = ρ (1-ρ)

Тук отново ще използваме „малък трик“: кρ к-1 не е нищо повече от производната по отношение на ρ от израза ρ к; означава,

Лсист. = ρ (1-ρ)

Обръщайки операциите диференциране и сумиране, получаваме:

Лсист. = ρ (1-ρ) (20.15)

Но сумата във формула (20.15) не е нищо повече от сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член ρ и знаменателя ρ; тази сума

е равно на , а неговата производна , Замествайки този израз в (20.15), получаваме:

Лсистема =. (20.16)

Е, сега прилагаме формулата на Литъл (19.12) и намираме средното време, през което едно приложение остава в системата:

Усист = (20.17)

Нека намерим средния брой приложения в опашката Лмного добре Ще разсъждаваме така: броят на приложенията в опашката е равен на броя на приложенията в системата минус броя на приложенията в процес на обслужване. Това означава (според правилото за добавяне на математически очаквания), средният брой приложения в опашката Л och е равен на средния брой заявки в системата Л syst минус средния брой заявки в процес на обслужване. Броят на обслужваните заявки може да бъде нула (ако каналът е свободен) или едно (ако е зает). Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на вероятността каналът да е зает (означихме го Рзан). очевидно, Р zan е равно на едно минус вероятност p 0че канала е безплатен:

Рзан = 1 - Р 0 = ρ. (20.18)

Следователно средният брой заявки в процес на обслужване е

^L около= ρ, (20.19)

Л och = Лсист – ρ =

и накрая

Л och = (20,20)

Използвайки формулата на Литъл (19.13), намираме средното време, през което едно приложение остава в опашката:

(20.21)

Така са установени всички характеристики на ефективността на QS.

Каним читателя сам да реши пример: едноканална QS е железопътна сортировъчна гара, която получава най-простия поток от влакове с интензивност λ = 2 (влакове на час). Служба (разпускане)

композицията продължава произволно (индикативно) време със средна стойност t rev = 20(мин.). Паркът за пристигане на гарата има две коловози, на които пристигащите влакове могат да чакат за обслужване; ако и двата коловоза са заети, влаковете са принудени да чакат на външните коловози. Изисква се да се намери (за ограничителния, стационарен режим на работа на гарата): среден, брой влакове лсистеми, свързани със станцията, средно време Усистема за присъствие на влак в гарата (на вътрешни коловози, на външни коловози и в ремонт), среден брой Л Pt на влаковете, чакащи на опашка за разпускане (без значение на кои коловози), средно време У Pts оставане на влака в линията. Освен това се опитайте да намерите средния брой влакове, чакащи да се разпуснат на външните коловози Лвъншно и средно време на това чакане У ext (последните две количества са свързани с формулата на Литъл). И накрая, намерете общата дневна глоба Sh, която станцията ще трябва да плати за престой на влак на външни коловози, ако станцията плати глоба a (рубли) за един час престой на един влак. За всеки случай, ето и отговорите: Лсист. = 2 (състав), Усист. = 1 (час), Л och = 4/3 (състав), У och = 2/3 (часа), Л ext = 16/27 (състав), У ext = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средната дневна глоба Ш за изчакване на влакове по външни коловози се получава като се умножат средният брой влакове, пристигащи на гарата на ден, средното време за изчакване на влакове по външни коловози и часовата глоба А: W ≈ 14,2 А.

^ 3. повторно канализиране на QS с неограничена опашка.Доста подобен на проблем 2, но малко по-сложен, проблемът на н-канал QS с неограничена опашка. Номерирането на състоянията отново се основава на броя на приложенията в системата:

S 0- няма заявки в SMO (всички канали са безплатни),

S 1 -един канал е зает, останалите са свободни,

S 2 -два канала са заети, останалите са свободни,

S k- зает кканали, останалите са безплатни,

S n- всички са заети Пканали (без опашка),

S n+1- всички са заети нканали, едно приложение е на опашка,

S n+r -зает тегло Пканали, rприложенията са на опашка,

Графиката на състоянието е показана на фиг. 20.3. Каним читателя да помисли сам и да обоснове стойностите на интензитетите, посочени със стрелките. Графика Фиг. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

има модел на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. Нека докладваме без доказателство естественото условие за съществуването на крайни вероятности: ρ/ н<1. Если ρ/н≥ 1, опашката расте до безкрайност.

Да приемем, че условието ρ/ н < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0ще има поредица от членове, съдържащи факториели, плюс сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател ρ/ н. Обобщавайки го, намираме

(20.22)

Сега нека намерим характеристиките на производителността на QS. Най-лесният начин да намерите средния брой заети канали е к== λ/μ, = ρ (това обикновено е вярно за всяка QS с неограничена опашка). Нека намерим средния брой приложения в системата Лсистема и среден брой приложения в опашка Лмного добре От тях е по-лесно да се изчисли второто, като се използва формулата

Л och =

извършване на съответните трансформации според примера на задача 2

(с диференциране на серията), получаваме:

Л och = (20.23)

Добавяне към него на средния брой на обслужваните заявки (това е и средният брой на заетите канали) k =ρ, получаваме:

Лсистема = Л och + ρ. (20.24)

Разделяне на изрази за Лмного добре Лсистема върху λ , Използвайки формулата на Little, получаваме средното време, през което едно приложение остава в опашката и в системата:

(20.25)

Сега нека решим един интересен пример. Железопътна билетна каса с две гишета е двуканална QS с неограничена опашка, разположена на две гишета наведнъж (ако едно гише се освободи, пътникът, който е най-близо до опашката, го взема). Касата продава билети до две точки: А и IN.Интензивност на потока от заявления (пътници, желаещи да закупят билет) и за двете точки А и Бе една и съща: λ A = λ B = 0,45 (пътници в минута), а сумарно формират общ поток от заявки с интензитет λ A + λ B = 0,9. Един касиер отделя средно две минути за обслужване на пътник. Опитът показва, че се натрупват опашки пред билетните каси, пътниците се оплакват от бавното обслужване.Получено е предложение за рационализация: вместо една каса да продава билети и Аи в IN,създайте две специализирани каси (по един прозорец във всяка), продаващи билети, една - само до точката А, другото - само до точката IN.Мъдростта на това предложение е спорна - някои твърдят, че опашките ще останат същите. Необходимо е да се провери полезността на предложението чрез изчисление. Тъй като можем да изчислим характеристики само за най-простата QS, нека приемем, че всички потоци от събития са най-прости (това няма да повлияе на качествената страна на заключенията).

Е, да се заемем с работата. Нека разгледаме два варианта за организиране на продажба на билети - съществуващи и предложени.

Вариант I (съществуващ). Двуканалната QS получава поток от заявки с интензивност λ = 0,9; интензитет на сервизния поток μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Тъй като ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Средният брой заявления в опашката се намира по формула (20.23): L och ≈ 7,68; средното време, прекарано от приложение в опашката (според първата от формулите (20.25)) е равно на У och ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предложен). Необходимо е да се вземат предвид две едноканални QS (два специализирани прозореца); всеки получава поток от приложения с интензитет λ = 0,45; μ . все още е равно на 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) Л och = 8,1.

Толкова за вас! Дължината на опашката, оказва се, не само не е намаляла, но се е увеличила! Може би средното време за чакане на опашка е намаляло? Да видим. Споделяне Л och при λ = 0,45, получаваме Умного ≈ 18 (минути).

Толкова за рационализацията! Вместо да намалее, както средната дължина на опашката, така и средното време на чакане в нея се увеличиха!

Нека се опитаме да отгатнем защо се случи това? Като се замислихме, стигаме до извода: това се случи, защото при първия вариант (двуканален QS) средната част от времето, през което всеки от двамата касиери бездейства, е по-малко: ако той не е зает да обслужва пътник, купувайки билет до точката а,той може да се ангажира с обслужването на пътник, купуващ билет до точка IN,и обратно. Във втория вариант няма такава взаимозаменяемост: незаетият касиер просто седи със скръстени ръце...

добре , добре - читателят е готов да се съгласи, - увеличението може да се обясни, но защо е толкова значително? Тук има ли грешка в изчислението?

И ние ще отговорим на този въпрос. Няма грешка. Работата е , че в нашия пример и двата QS работят на границата на своите възможности; Веднага щом леко увеличите времето за обслужване (т.е. намалите μ), те вече няма да се справят с потока от пътници и опашката ще започне да се увеличава неограничено. А „допълнителният престой“ на касиера в известен смисъл е еквивалентен на намаляване на неговата производителност μ.

Така резултатът от изчисленията, който на пръв поглед изглежда парадоксален (или дори просто неверен), се оказва правилен и обясним.

Теорията на масовото обслужване е богата на такива парадоксални заключения, причината за които никак не е очевидна. Самият автор многократно беше „изненадан“ от резултатите от изчисленията, които по-късно се оказаха верни.

Размишлявайки върху последния проблем, читателят може да постави въпроса по следния начин: в края на краищата, ако касата продава билети само до една точка, тогава, естествено, времето за обслужване трябва да намалее, добре, не наполовина, но поне малко, но си мислехме, че все още е средната стойност 2 (мин.). Каним такъв придирчив читател да отговори на въпроса: колко трябва да се намали, за да стане печелившо „предложението за рационализация“? Отново се сблъскваме с макар и елементарен, но все пак оптимизационен проблем. С помощта на приблизителни изчисления, дори и на най-простите модели на Марков, е възможно да се изясни качествената страна на явлението - как е изгодно да се действа и как е неизгодно. В следващия раздел ще представим някои елементарни немарковски модели, които допълнително ще разширят нашите възможности.

След като читателят се запознае с методите за изчисляване на крайните вероятности на състоянията и характеристиките на ефективност за най-простата QS (той е усвоил схемата на смъртта и размножаването и формулата на Литъл), могат да му бъдат предложени още две прости QS за независимо разглеждане.

^ 4. Едноканален QS с ограничена опашка.Проблемът се различава от проблем 2 само по това, че броят на заявките в опашката е ограничен (не може да надвишава определено определено T).Ако пристигне нова заявка в момент, когато всички места в опашката са заети, тя оставя QS необслужен (получен отказ).

Трябва да намерим крайните вероятности на състоянията (между другото, в този проблем те съществуват за всяко ρ - в края на краищата броят на състоянията е краен), вероятността за повреда Ротворена, абсолютна производителност а,вероятност каналът да е зает Рзает, средна дължина на опашката Лмного добър, среден брой заявления до CMO Лсист , средно време за чакане на опашка Умного добре , средно време, през което едно приложение остава в CMO Усист. Когато изчислявате характеристиките на опашката, можете да използвате същата техника, която използвахме в Задача 2, с тази разлика, че трябва да сумирате не безкрайна прогресия, а крайна.

^ 5. Затворен QS с един канал и мизточници на приложения.За да бъдем конкретни, нека поставим проблема в следната форма: един работник служи Tмашини, всяка от които изисква настройка (корекция) от време на време. Интензитетът на потока на търсенето на всяка работеща машина е λ . Ако една машина се повреди, докато работникът е свободен, тя веднага влиза в експлоатация. Ако се провали, докато работникът е зает, той се нарежда на опашка и чака работникът да се освободи. Средно време за настройка на машината Tоборот = 1/μ. Интензивността на потока от заявки, идващи към работника, зависи от това колко машини работят. Ако работи кмашини, то е равно кλ. Намерете вероятностите за крайно състояние, средния брой работещи машини и вероятността един работник да бъде зает.

Имайте предвид, че в този QS крайните вероятности

ще съществува за всякакви стойности на λ и μ = 1/ Tоколо, тъй като броят на състоянията на системата е краен.

Задача 1.Контролният панел получава поток от заявки, който е Erlang поток от втори ред. Интензивността на потока от приложения е 6 приложения на час. Ако диспечерът случайно напусне дистанционното управление, тогава при първата следваща заявка той трябва да се върне към дистанционното управление. Намерете плътността на разпределението на времето за изчакване за следващо приложение и постройте неговата графика. Изчислете вероятността диспечерът да отсъства от 10 до 20 минути. Решение. Тъй като потокът Erlang от втори ред е стационарен поток с ограничено последействие, тогава формулата на Palm е валидна за него

Където f1(θ)- плътност на разпределение на вероятността за времето на изчакване за първото най-близко събитие;
λ - интензивност на потока;
- ред на потока;
(θ) - функция на разпределение на вероятността за времето между две съседни събития на Erlang поток - първи ред (E).
Известно е, че функцията на разпределение за потока E има формата

. (2)

Според условията на проблема, потокът от заявки е Erlang order =2. Тогава от (1) и (2) получаваме
.
От последното съотношение за λ=6 ще имаме

f1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

Нека начертаем функцията f1(θ) . При θ <0 ние имаме f1(θ) =0 . При θ =0 , f1(0)=3. Помислете за лимита

При изчисляването на границата за разкриване на несигурността на типа е използвано правилото на L'Hopital. Въз основа на резултатите от изследването изграждаме графика на функцията f1(θ) (Фиг. 1).

Нека обърнем внимание на времевите измерения в текста на задачата: за интензивност това са заявки за час, за време - минути. Нека преминем към една единица за време: 10 минути = 1/6 час, 20 минути = 1/3 час. За тези стойности можем да изчислим f1(θ) и изясняване на природата на кривата

Тези ординати са посочени на графиката над съответните точки на кривата.
От курса по теория на вероятностите знаем, че вероятността за попадение на случайна променлива хв сегмента [α, β] е числено равно на площта под кривата на разпределение на плътността на вероятностите f(x). Тази площ се изразява с определен интеграл

Следователно търсената вероятност е равна на

Този интеграл може лесно да се изчисли по части, ако поставим
U=1+6θИ dV=e-6θdθ. Тогава dU=6dθИ V= .
Използване на формула получаваме

Отговор: вероятността диспечерът да отсъства от 10 до 20 минути е 0,28.

Задача 2.Витрината разполага с 5 дисплея. Потребителският поток е прост. Средният брой потребители, посещаващи витрината на ден е 140. Времето за обработка на информация от един потребител на един дисплей се разпределя по експоненциален закон и е средно 40 минути. Определете дали има стационарен режим на работа на залата; вероятността потребителят да намери всички дисплеи заети; среден брой потребители в изложбената зала; среден брой потребители в опашка; средно време за изчакване за свободен дисплей; средно време, което потребителят прекарва в стаята за показване. Решение.Разгледаната в задачата QS принадлежи към класа на многоканалните системи с неограничена опашка. Брой канали =5. Нека намерим λ-интензитета на потока от приложения: където (часа) - средното време между две последователни заявки от входящия потребителски поток. Тогава потребител/час

Нека намерим интензивността на потока от услуги: , където M[T serv.]=40 min=0.67 часа е средното време за обслужване на един потребител с един дисплей,

Тогава потребител/час

Така класификаторът на тази система има формата QS (5, ∞; 5.85; 1.49).
Нека изчислим коефициента на натоварване на QS . Известно е, че за QS от този клас съществува стационарен режим, ако съотношението на коефициента на натоварване на системата към броя на каналите е по-малко от едно. Откриваме тази връзка
.
Следователно съществува стационарен режим. Граничното вероятностно разпределение на състоянията се изчислява с помощта на формулите

Тъй като =5, имаме

Нека изчислим P* - вероятността потребителят да намери всички дисплеи заети. Очевидно то е равно на сумата от вероятностите за такива събития: всички дисплеи са заети, няма опашка (p5); всички дисплеи са заети, един потребител е на опашка (p6); всички дисплеи са заети, двама потребители са на опашка (p7) и т.н. Тъй като за пълна група събития сумата от вероятностите за тези събития е равна на единица, тогава равенството е вярно

P*=p5+p6+p7+…=1 - po - p1 - p2 - p3 - p4.

Нека намерим тези вероятности: ро=0,014; p1=3,93*0,014; p2=7,72*0,014; p3=10,12*0,014; p4=9,94*0,014.
Като извадим общия множител от скоби, получаваме
P*=1-0.0148*(1+3.93+7.72+10.12+9.94)=1-0.014*32.71=1-0.46=0.54.
Използване на формули за изчисляване на показатели за ефективност? да намерим:

• 1. среден брой потребители в опашка

2. среден брой потребители във витрината

3. средно време за изчакване за безплатен дисплей

4. средно време, което потребителят прекарва в стаята за показване

Отговор: съществува стационарен режим на работа на витрината и се характеризира със следните показатели R*=0,54; потребител; потребител; ; .

Задача 3.Двуканална система за опашка (QS) с неизправности получава стационарен поток на Поасон от заявки. Времето между пристигането на две последователни заявки се разпределя по експоненциален закон с параметър λ=5 заявки в минута. Продължителността на обслужване на всяка заявка е 0.5 минути. Използвайки метода Монте Карло, намерете средния брой заявки, обслужени за време от 4 минути. Указание: Направете три теста. Решение.Нека изобразим статистическо моделиране на работата на даден QS с помощта на времеви диаграми. Нека въведем следното обозначение за времевите оси:
в-входящ поток от приложения, тук ти- моменти на получаване на заявленията; Ти- времеви интервали между две последователни приложения. Очевидно е, че ти=ти-1 +Таз.
K1 е първият обслужващ канал;
К2-втори обслужващ канал; тук дебелите линии на времевата ос показват интервалите на заетост на канала. Ако и двата канала са свободни, тогава заявката се обслужва в канал К1, ако е зает, заявката се обслужва от канал К2.
Ако и двата канала са заети, тогава заявката оставя QS необслужен.
Out OB - изходящ поток от обслужени заявки.
Изходящ PT - изходящ поток от загубени заявки поради откази на QS (случаят на заетост на двата канала).
Статистическото тестване продължава през интервала от време. Очевидно всяко превишаване на времето tmaxвключва изхвърляне на заявката в изходящия поток Output PT. Така че на фиг. 3 приложение № 10, постъпило в системата в момента t10, няма време за връчване до момента tmax, защото t10+Tol.>tmax. Следователно, той не се приема от свободния канал K1 за обслужване и се нулира към изходния PT, като получава отказ.

Ориз. 3

От времевите диаграми става ясно, че е необходимо да се научим как да моделираме интервали Tаз. Нека приложим метода на обратните функции. Тъй като случайната променлива Тиразпределени по експоненциалния закон с параметъра λ =5, тогава плътността на разпределение има формата f(τ)=5е-5τ. След това стойността F(Ti)функцията на разпределение на вероятностите се определя от интеграла

.

Известно е, че диапазонът на функцията на разпределение Е(T) има сегмент. Избираме число от таблицата със случайни числа и определяме Tазот равенство, откъдето. Ако обаче . Следователно можете незабавно да получите реализации от таблицата със случайни числа. следователно
е-5Таз= ри, или –5Tаз= Инри, където . Удобно е да въведете резултатите от изчислението в таблица.
За провеждане на тест № 1 бяха взети произволни числа от Приложение 2, като се започне от първото число на първия ред. След това селекцията беше извършена по редове. Нека направим още два теста.
Обърнете внимание на избора на случайни числа от таблицата в Приложение 2, ако в тест № 1 последното произволно число за приложение № 16 е 0,37 (първото произволно число във втория ред), то тест № 2 започва с следното произволно число 0,54. Опит 2 съдържа последното случайно число 0,53 (петото число в третия ред). Следователно третият опит ще започне с числото 0,19. Като цяло, в рамките на една серия от тестове, произволни числа от таблицата се избират без пропуски или вмъквания в определен ред, например по редове.

Таблица 1. ТЕСТ №1

Приложение № аз	Сл. номер ри		-Ин ри Ти	Момент на получаване на заявлението ti=ti-1+Ti	Момент на край на услугата. ti+0,50		Брояч на приложения
					К1

Таблица 2 ТЕСТ № 2

Приложение № аз	Сл. номер ри		-Ин ри Tаз	Момент на получаване на заявлението ti=ti-1+Ti	Момент на край на услугата. ti+0,50		Брояч на приложения

Таблица №3 ТЕСТ №3

Приложение № аз		Сл. номер ри		-Ин ри Tаз	Момент на получаване на заявлението ti=ti-1+Ti	Момент на край на услугата. ti+0,50		Брояч на приложения
						К1

Така, въз основа на резултатите от три теста, броят на обслужените приложения беше съответно: x1=9, x2=9, x3=8. Нека намерим средния брой обслужени заявки:

Отговор: средният брой приложения, обслужени от QS за 4 минути, е 8,6(6).

При решаването на проблеми с контрола, включително командването и контрола на войските, често възникват редица подобни проблеми:

• оценка на пропускателната способност на съобщително направление, железопътен възел, болница и др.;
• оценка на ефективността на ремонтната база;
• определяне на броя на честотите за радиомрежа и др.

Всички тези задачи са сходни в смисъл, че включват огромно търсене на услуги. Определен набор от елементи участва в задоволяването на това търсене, образувайки система за масово обслужване (QS) (фиг. 2.9).

Елементите на QS са:

• вход (входящ) поток на търсенето(заявки) за обслужване;
• сервизни устройства (канали);
• опашка от приложения, чакащи обслужване;
• почивен ден ( изходящ) потокобработени заявления;
• поток от необслужени заявления;
• опашка от свободни канали (за многоканален QS).

Входящ потоке колекция от заявки за услуги. Често приложението се идентифицира с неговия носител. Например, поток от неизправно радиооборудване, влизащо в цех на сдружение, представлява поток от заявки - изисквания за обслужване в тази QS.

Като правило на практика имаме работа с така наречените повтарящи се потоци - потоци, които имат следните свойства:

• стационарност;
• обикновен;
• ограничено последействие.

Дефинирахме първите две свойства по-рано. Що се отнася до ограниченото последействие, то се състои във факта, че интервалите между входящите приложения са независими случайни променливи.

Има много повтарящи се нишки. Всеки закон за интервално разпределение генерира свой собствен повтарящ се поток. Повтарящите се потоци иначе се наричат ​​Palm потоци.

Поток с пълна липса на последействие, както вече беше отбелязано, се нарича стационарен Поасон. Неговите случайни интервали между поръчките имат експоненциално разпределение:

тук е интензивността на потока.

Името на потока - Поасон - идва от факта, че за това вероятност за потокпоявата на поръчки по време на интервала се определя от закона на Поасон:

Поток от този тип, както беше отбелязано по-рано, също се нарича най-простият. Това е точно потокът, който дизайнерите приемат, когато разработват QS. Това се дължи на три причини.

Първо, поток от този тип в теорията на масовото обслужване е подобен на нормалния закон за разпределение в теорията на вероятностите в смисъл, че най-простият поток се постига чрез преминаване към границата за поток, който е сбор от потоци с произволни характеристики с безкрайно увеличение на условия и намаляване на интензивността им. Тоест сумата от произволни независими (без доминиране) потоци с интензитет е най-простият поток с интензитет

Второ, ако обслужващите канали (устройства) са проектирани за най-простия поток от заявки, тогава обслужването на други видове потоци (със същата интензивност) ще бъде осигурено с не по-малка ефективност.

трето, точно този поток определя марковския процес в системата и следователно опростеността на аналитичния анализ на системата. За други потоци анализът на функционирането на QS е сложен.

Често има системи, в които потокът от входни заявки зависи от броя на обслужваните заявки. Такива SMO се наричат затворен(в противен случай - отворен). Например, работата на асоциационен комуникационен семинар може да бъде представена чрез QS модел със затворен цикъл. Нека тази работилница е предназначена за обслужване на радиостанциите, които са в асоциацията. Всеки от тях има процент на неуспех. Входящият поток на повреденото оборудване ще има следната интензивност:

къде е броят на радиостанциите, които вече са в сервиза за ремонт.

Приложенията може да имат различни критерии за стартиране на услугата. В този случай те казват, че приложенията разнородни. Предимствата на някои потоци от приложения пред други се определят от скалата на приоритета.

Важна характеристика на входния поток е коефициентът на вариация:

където е математическото очакване на дължината на интервала;

Стандартно отклонение на случайна променлива (дължина на интервал).

За най-простия поток

За повечето истински теми.

Когато потокът е регулярен, детерминистичен.

Коефициентът на вариация- характеристика, отразяваща степента на неравномерност в постъпването на заявления.

Сервизни канали (устройства). QS може да има едно или повече обслужващи устройства (канали). Според това QS се наричат ​​едноканални или многоканални.

Многоканален QS може да се състои от еднакви или различни видове устройства. Обслужващите устройства могат да бъдат:

• комуникационни линии;
• ремонтни техници;
• писти;
• превозни средства;
• кейове;
• фризьори, продавачи и др.

Основната характеристика на канала е времето за обслужване. По правило времето за обслужване е произволна стойност.

Обикновено практикуващите смятат, че времето за обслужване има експоненциален закон за разпределение:

където е интензивността на услугата, ;

Математическо очакване на времето за обслужване.

Тоест процесът на обслужване е марковски и това, както вече знаем, осигурява значително удобство при аналитичното математическо моделиране.

В допълнение към експоненциалното разпределение има разпределения на Ерланг, хиперекспоненциални разпределения, триъгълни разпределения и някои други. Това не трябва да ни обърква, тъй като беше показано, че стойността на критериите за ефективност на QS зависи малко от вида на закона за разпределение на вероятностите за времето за обслужване.

Когато изучаваме QS, същността на услугата се губи от внимание, качество на обслужване.

Каналите могат да бъдат абсолютно надежден, тоест да не се проваля. Или по-скоро това може да се приеме по време на изследване. Каналите може да имат крайна надеждност. В този случай QS моделът е много по-сложен.

Опашка за кандидатстване. Поради произволния характер на потока от заявки и услуга, пристигаща заявка може да намери канала(ите) зает(и) с обслужването на предишната заявка. В този случай той или ще остави QS необслужен, или ще остане в системата, чакайки обслужването му да започне. В съответствие с това те разграничават:

• QS с откази;
• SMO с очакване.

CMO с очакванехарактеризиращ се с наличието на опашки. Опашката може да има ограничен или неограничен капацитет: .

Изследователят обикновено се интересува от следните статистически характеристики, свързани с престоя на приложенията в опашката:

• среден брой заявки в опашката по време на интервала на изследване;
• средно прекарано време (чакане) за приложение на опашката. QS с ограничен капацитет на опашканаричан QS от смесен тип.

Често има CMO, в които приложенията имат ограничено време на опашканезависимо от неговия капацитет. Такива QS също се класифицират като QS от смесен тип.

Изходен потоке потокът от обслужвани приложения, напускащи QS.

Има случаи, когато заявките преминават през няколко QS: транзитна комуникация, производствен конвейер и др. В този случай изходящият поток е входящ за следващия QS. Извиква се набор от последователно свързани помежду си QS многофазна система за масово обслужванеили QS мрежи.

Входящият поток на първия QS, преминаващ през следващите QS, е изкривен и това усложнява моделирането. Трябва обаче да се има предвид, че с най-прост входен поток и експоненциална услуга (т.е. в системи на Марков), изходният поток също е най-прост. Ако времето за обслужване има неекспоненциално разпределение, тогава изходящият поток не само не е най-простият, но и не е повтарящ се.

Имайте предвид, че интервалите между заявките на изходящия поток не са същите като сервизните интервали. В крайна сметка може да се окаже, че след края на следващата услуга QS не работи известно време поради липса на приложения. В такъв случай

Потокът от поръчки е Поасон, ако са изпълнени 3 условия:

Интензивност на потока от събития () е средният брой събития за единица време.

Нека да разгледаме някои свойства (типове) на потоците от събития.

Потокът от събития се нарича стационарен, ако неговите вероятностни характеристики не зависят от времето.

По-специално, интензитетът на стационарния поток е постоянен. Потокът от събития неизбежно има кондензации или разреждания, но те не са закономерни, а средният брой събития за единица време е постоянен и не зависи от времето.

Потокът от събития се нарича протече без последствия, ако за всеки два неприпокриващи се участъка от време и (виж Фиг. 2) броят на събитията, които се падат на единия от тях, не зависи от това колко събития се падат на другия. С други думи, това означава, че събитията, които формират потока, се появяват в определени точки от времето независимо една от другаи всяка е причинена от свои собствени причини.

Потокът от събития се нарича обикновени, ако събитията се появяват в него едно по едно, а не в групи от няколко наведнъж.

Потокът от събития се нарича най-простият (или стационарен Поасон),ако има три свойства едновременно:

Вероятността за събитие (пристигане на заявление) в кратък интервал от време е пропорционална на дължината на този интервал.

Вероятността от 2 събития за малък интервал е незначителна.

Убеждението, че дадено заявление е получено, не зависи от предишни събития.

Най-простият поток има най-простото математическо описание. Той играе същата специална роля сред потоците, както законът за нормалното разпределение сред другите закони за разпределение. А именно, при наслагване на достатъчно голям брой независими, стационарни и обикновени потоци (сравними един с друг по интензитет) се получава поток, близък до най-простия.

Най-простите QS и техните характеристики. Многоканални и едноканални системи без загуби с неограничена латентност и източник с безкраен брой изисквания. Условие за съществуване на крайна средна опашка за многоканални системи.

Примери за системи за масово обслужване (QS): телефонни централи, сервизи, билетни каси, информационни гишета, металорежещи машини и други технологични системи, системи за управление на гъвкави производствени системи и др.

Всяка QS се състои от определен брой сервизни единици, които се извикват обслужващи канали(това са машини, транспортни колички, роботи, комуникационни линии, касиери, продавачи и др.). Всеки QS е проектиран да обслужва някакъв вид поток от приложения(изисквания), пристигащи в някои произволни моменти във времето.

Обслужването на заявката продължава известно, най-общо казано, произволно време, след което каналът се освобождава и е готов да приеме следваща заявка. Случайният характер на потока от приложения и времето за обслужване води до факта, че в някои периоди от време на входа на QS се натрупват прекалено голям брой приложения (те или стоят на опашка, или оставят QS необслужен). В други периоди системата ще работи с недостатъчно натоварване или ще бъде напълно бездействаща.

Най-простият QS с изчакване е едноканална система, която получава поток от заявки с определен интензитет.Заявка, която пристига в момент, когато каналът е зает, се поставя в опашка и чака обслужване.

MCU се използват за симулиране на няколко паралелно работещи обекта. Моделирането на MCU е подобно на моделирането на устройство: транзакция влиза в устройството, заема определен брой канали, обслужва се известно време и след това напуска MCU, освобождавайки каналите, които е заела.

Условия в реален обект, необходими за използване на MKU за тяхното представяне в модела:

Обектите трябва да имат една и съща функция за разпределение на времето за обслужване

Същите параметри за тази функция.

За разлика от устройството, капацитетът на котката винаги е равен на единица, капацитетът на MKU d.b. определени от програмиста. За да направите това, използвайте специална команда STORAGE (DEFINE MCU).

Име на отбора СЪХРАНЕНИЕ A

Полето CommandName е символичното име на MCU, а поле A е неговият капацитет (броят канали за обслужване), операнд A може да бъде зададено само като положително цяло число.

Пример: MKU1 STORAGE 5 TRAKT STORAGE 30 (капацитетът на MKU с име MKU1 е определен като 5, MKU с име TRAKT е 30).

Събитието, свързано със заемането на обслужващи канали, се моделира от блока ENTER, а събитието, свързано с освобождаването на канали, се моделира от блока LEAVE.

A е името на MKU. B – брой единици от капацитета на MCU, които котката трябва да заеме (освободи) транзакцията. По подразбиране =1.

Пример: 1) ENTER BLOK3 (въведете MCU с име BLOK3);

2)НАПУСНЕТЕ SEANS,3 (освободете 3 единици капацитет на MCU с името SEANS).

Между блоковете ENTER и LEAVE може да има произволен брой блокове. По-специално, забавянето по време на времето за обслужване в MCU се симулира с помощта на блок ADVANCE.

Ако броят на капацитетните единици, посочени от операнд B на блока LEAVE, надвишава броя на заетите в момента MCU канали, интерпретаторът спира симулацията и показва съобщение за грешка.

За транзакциите, очакващи заемане на MCU, се прилага правилото „първи съвпада с пропуски“.

Когато транзакция навлезе в блока LEAVE, интерпретаторът спира напредъка й, позволявайки на следващата транзакция от веригата на забавяне на този MCU да влезе в блока ENTER и едва след това придвижва транзакцията, която е напуснала MCU в модела. Транзакцията, която напуска веригата на забавяне на MCU, се прехвърля към DTS и става последната в своя приоритетен клас.

MCU имат следните NAV: S - текущо съдържание на MCU; R е свободният капацитет на MCU; SR - коефициент на използване в части от 1000; SA - цяла част от средното съдържание на MKU; SM - максимално съдържание на MCU; SC - брой класове MKU; ST е цяло число от средното време на заемане на MKU.

Блоковете Seize и Release се използват за проектиране на едноканални устройства

ЗАХВЪРВАНЕА(occupy) - заемане на устройството от транзакция. А- име на входната точка на устройството.

ОСВОБОЖДАВАНЕА(освобождаване) – освобождаване на устройството чрез транзакцията след изтичане на сервизното време.