Избройте свойствата на събирането, докато се четат. Свойства на събиране, умножение, изваждане и деление на цели числа

Нека начертаем на кариран лист правоъгълник със страни 5 см и 3 см. Разделим го на квадрати със страни 1 см (фиг. 143). Нека преброим броя на клетките, разположени в правоъгълника. Това може да стане, например, така.

Броят на квадратите със страна 1 см е 5 * 3. Всеки такъв квадрат се състои от четири клетки. Следователно общият брой клетки е (5 * 3) * 4.

Същият проблем може да бъде решен по различен начин. Всяка от петте колони на правоъгълника се състои от три квадрата със страна 1 см. Следователно една колона съдържа 3 * 4 клетки. Следователно ще има общо 5 * (3 * 4) клетки.

Преброяването на клетките на фигура 143 илюстрира по два начина асоциативно свойство на умножениетоза числата 5, 3 и 4. Имаме: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

За да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото число.

(ab)c = a(bc)

От комутативните и комбинаторните свойства на умножението следва, че при умножаване на няколко числа факторите могат да бъдат разменени и поставени в скоби, като по този начин се определя редът на изчисленията.

Например следните равенства са верни:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На фигура 144 отсечката AB разделя правоъгълника, разгледан по-горе, на правоъгълник и квадрат.

Нека преброим броя на квадратите със страна 1 см по два начина.

От една страна, полученият квадрат съдържа 3 * 3 от тях, а правоъгълникът съдържа 3 * 2. Общо получаваме 3 * 3 + 3 * 2 квадрата. От друга страна, във всяка от трите линии на този правоъгълник има 3 + 2 квадрата. Тогава общият им брой е 3 * (3 + 2).

Равно на 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 илюстрира разпределително свойство на умножението спрямо събирането.

За да умножите число по сумата от две числа, можете да умножите това число по всяко събираемо и да добавите получените продукти.

В буквална форма това свойство се записва, както следва:

a(b + c) = ab + ac

От разпределителното свойство на умножението спрямо събирането следва, че

ab + ac = a(b + c).

Това равенство позволява формулата P = 2 a + 2 b да намери периметъра на правоъгълник, който трябва да бъде написан в следната форма:

P = 2 (a + b).

Обърнете внимание, че свойството за разпространение е валидно за три или повече срока. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането също е вярно: ако b > c или b = c, тогава

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Изчислете по удобен начин:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Използваме комутативните и след това асоциативните свойства на умножението:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Имаме:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Опростете израза:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Използвайки комутативните и асоциативните свойства на умножението, получаваме:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Използвайки разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането, получаваме:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишете израза 5 (2 m + 7) така, че да не съдържа скоби.

Според разпределителното свойство на умножението спрямо събирането имаме:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Тази трансформация се нарича отваряне на скоби.

Пример 4 . Изчислете стойността на израза 125 * 24 * 283 по удобен начин.

Решение. Ние имаме:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Извършете умножението: 3 дни 18 часа * 6.

Решение. Ние имаме:

3 дни 18 часа * 6 = 18 дни 108 часа = 22 дни 12 часа.

При решаването на примера е използвано разпределителното свойство на умножението спрямо събирането:

3 дни 18 часа * 6 = (3 дни + 18 часа) * 6 = 3 дни * 6 + 18 часа * 6 = 18 дни + 108 часа = 18 дни + 96 часа + 12 часа = 18 дни + 4 дни + 12 часа = 22 дни 12 часа.

Могат да се отбележат редица резултати, присъщи на това действие. Тези резултати се наричат свойства на събиране на естествени числа. В тази статия ще анализираме подробно свойствата на добавянето на естествени числа, ще ги напишем с букви и ще дадем обяснителни примери.

Навигация в страницата.

Комбинативно свойство на събиране на естествени числа.

Сега нека дадем пример, илюстриращ асоциативното свойство на добавяне на естествени числа.

Нека си представим ситуация: 1 ябълка падна от първото ябълково дърво, а 2 ябълки и още 4 ябълки паднаха от второто ябълково дърво. Сега разгледайте тази ситуация: 1 ябълка и още 2 ябълки паднаха от първото ябълково дърво, а 4 ябълки паднаха от второто ябълково дърво. Ясно е, че и в първия, и във втория случай ще има еднакъв брой ябълки на земята (което може да се провери преизчисляване). Тоест резултатът от събирането на числото 1 със сбора на числата 2 и 4 е равен на резултата от събирането на сбора на числата 1 и 2 с числото 4.

Разгледаният пример ни позволява да формулираме комбинаторното свойство на добавяне на естествени числа: за да добавим даден сбор от две числа към дадено число, можем да добавим първия член на дадения сбор към това число и да добавим втория член на дадена сума към получения резултат. Това свойство може да бъде написано с помощта на букви като тази: a+(b+c)=(a+b)+c, където a, b и c са произволни естествени числа.

Моля, обърнете внимание, че равенството a+(b+c)=(a+b)+c съдържа скоби “(” и “)”. Скобите се използват в изрази, за да укажат реда, в който се изпълняват действията - действията в скоби се изпълняват първи (повече за това е написано в раздела). С други думи, изрази, чиито стойности се оценяват първи, се поставят в скоби.

В заключение на този параграф отбелязваме, че асоциативното свойство на добавянето ни позволява недвусмислено да определим събиране на три, четири или повече естествени числа.

Свойство събиране на нула и естествено число, свойство събиране на нула и нула.

Знаем, че нулата НЕ е естествено число. И така, защо решихме да разгледаме свойството на събиране на нула и естествено число в тази статия? Има три причини за това. Първо: това свойство се използва, когато събиране на естествени числа в колона. Второ: това свойство се използва, когато изваждане на естествени числа. Трето: ако приемем, че нула означава липса на нещо, тогава значението на добавянето на нула и естествено число съвпада с значението на събирането на две естествени числа.

Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да формулираме свойството за събиране на нула и естествено число. Нека си представим, че в кутията няма обекти (с други думи в кутията има 0 обекта) и в нея са поставени обекти a, където a е произволно естествено число. Тоест добавихме 0 и a обекти. Ясно е, че след това действие има обекти в кутията. Следователно равенството 0+a=a е вярно.

По същия начин, ако кутия съдържа елементи и към нея са добавени 0 елемента (т.е. не са добавени никакви елементи), тогава след това действие ще има елементи в кутията. Така че a+0=a.

Сега можем да дадем формулировката на свойството за добавяне на нула и естествено число: сумата от две числа, едното от които е нула, е равна на второто число. Математически това свойство може да се запише като следното равенство: 0+a=aили а+0=а, където a е произволно естествено число.

Отделно, нека обърнем внимание на факта, че при събиране на естествено число и нула комутативността на събирането остава вярна, тоест a+0=0+a.

И накрая, нека формулираме свойството за добавяне на нула към нула (това е съвсем очевидно и не се нуждае от допълнителни коментари): сумата от две числа, всяко равно на нула, е равна на нула. Това е, 0+0=0 .

Сега е време да разберете как да го направите събиране на естествени числа.

Библиография.

• Математика. Всякакви учебници за 1, 2, 3, 4 клас на общообразователните институции.
• Математика. Всякакви учебници за 5 клас на общообразователните институции.

Темата, на която е посветен този урок, е „Свойства на събирането“. В него ще се запознаете с комутативните и асоциативните свойства на събирането, като ги разгледате с конкретни примери. Разберете в какви случаи можете да ги използвате, за да улесните процеса на изчисление. Тестовите примери ще ви помогнат да определите колко добре сте усвоили изучения материал.

Урок: Свойства на събирането

Погледнете внимателно израза:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Трябва да намерим стойността му. Хайде да го направим.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Резултатът от израза е 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Кажете ми, беше ли удобно да се изчисли? Не беше много удобно за изчисляване. Погледнете отново числата в този израз. Възможно ли е да ги размените, така че изчисленията да са по-удобни?

Ако пренаредим числата по различен начин:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Крайният резултат от израза е 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Виждаме, че резултатите от изразите са еднакви.

Членовете могат да се разменят, ако е удобно за изчисления, като стойността на сумата няма да се промени.

В математиката има закон: Комутативен закон на събиране. Той гласи, че пренареждането на членовете не променя сумата.

Чичо Фьодор и Шарик спореха. Шарик намери смисъла на израза, както беше написан, а чичо Фьодор каза, че знае друг, по-удобен начин за пресмятане. Виждате ли по-добър начин за изчисляване?

Шарик реши израза, както беше написан. И чичо Фьодор каза, че знае закона, който позволява размяна на членове, и размени числата 25 и 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Виждаме, че резултатът остава същият, но изчислението е станало много по-лесно.

Вижте следните изрази и ги прочетете.

6 + (24 + 51) = 81 (към 6 добавете сбора от 24 и 51)
Има ли удобен начин за изчисляване?
Виждаме, че ако съберем 6 и 24, получаваме кръгло число. Винаги е по-лесно да добавите нещо към кръгло число. Нека поставим сбора на числата 6 и 24 в скоби.
(6 + 24) + 51 = …
(добавете 51 към сбора на числата 6 и 24)

Нека изчислим стойността на израза и да видим дали стойността на израза се е променила?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Виждаме, че значението на израза остава същото.

Нека се упражним с още един пример.

(27 + 19) + 1 = 47 (добавете 1 към сбора на числата 27 и 19)
Какви числа е удобно да групирате, за да образувате удобен метод?
Познахте, че това са числата 19 и 1. Нека поставим сбора на числата 19 и 1 в скоби.
27 + (19 + 1) = …
(към 27 добавете сумата от числата 19 и 1)
Нека намерим значението на този израз. Помним, че първо се изпълнява действието в скобите.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значението на нашия израз остава същото.

Комбинационен закон за събиране: два съседни члена могат да бъдат заменени от тяхната сума.

Сега нека се упражним да използваме и двата закона. Трябва да изчислим стойността на израза:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Първо, нека използваме комутативното свойство на събирането, което ни позволява да разменяме събираемите. Нека разменим термини 14 и 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Сега нека използваме свойството комбинация, което ни позволява да заменим два съседни члена с тяхната сума.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Първо откриваме стойността на сбора от 38 и 2.

Сега сборът е 14 и 6.

3. Фестивал на педагогическите идеи „Открит урок“ ().

Направете го у дома

1. Изчислете сумата на членовете по различни начини:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Оценете резултатите от изразите:

а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1

3. Изчислете сумата по удобен начин:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13

Дефинирахме събиране, умножение, изваждане и деление на цели числа. Тези действия (операции) имат редица характерни резултати, които се наричат ​​свойства. В тази статия ще разгледаме основните свойства на събиране и умножение на цели числа, от които следват всички други свойства на тези действия, както и свойствата на изваждане и деление на цели числа.

Навигация в страницата.

Събирането на цели числа има няколко други много важни свойства.

Една от тях е свързана със съществуването на нула. Това свойство на събиране на цели числа гласи, че добавянето на нула към всяко цяло число не променя това число. Нека запишем това свойство на събиране с букви: a+0=a и 0+a=a (това равенство е вярно поради комутативното свойство на събирането), a е всяко цяло число. Освен това може да чуете, че цяло число нула се нарича неутрален елемент. Нека дадем няколко примера. Сумата от цялото число −78 и нулата е −78; Ако добавите положителното цяло число 999 към нула, резултатът е 999.

Сега ще дадем формулировка на друго свойство на събиране на цели числа, което е свързано със съществуването на противоположно число за всяко цяло число. Сборът на всяко цяло число с противоположното му число е нула. Нека да дадем буквалната форма на запис на това свойство: a+(−a)=0, където a и −a са противоположни цели числа. Например сумата 901+(−901) е нула; по същия начин сумата от противоположните цели числа −97 и 97 е нула.

Основни свойства на умножението на цели числа

Умножението на цели числа има всички свойства на умножението на естествени числа. Нека изброим основните от тези свойства.

Точно както нулата е неутрално цяло число по отношение на събирането, едно е неутрално цяло число по отношение на умножението с цяло число. Това е, умножаването на което и да е цяло число по едно не променя числото, което се умножава. Така че 1·a=a, където a е всяко цяло число. Последното равенство може да бъде пренаписано като a·1=a, което ни позволява да направим комутативното свойство на умножението. Нека дадем два примера. Произведението на цялото число 556 по 1 е 556; произведението на единица и цяло отрицателно число −78 е равно на −78.

Следващото свойство на умножението на цели числа е свързано с умножението по нула. Резултатът от умножаването на всяко цяло число a по нула е нула, тоест a·0=0 . Равенството 0·a=0 също е вярно поради комутативността на умножението на цели числа. В специалния случай, когато a=0, произведението от нула и нула е равно на нула.

За умножението на цели числа обратното свойство на предходното също е вярно. То твърди, че произведението на две цели числа е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. В буквална форма това свойство може да бъде записано по следния начин: a·b=0, ако или a=0, или b=0, или и двете a и b са равни на нула едновременно.

Разпределително свойство на умножение на цели числа спрямо събиране

Съвместното събиране и умножение на цели числа ни позволява да разгледаме разпределителното свойство на умножението спрямо събирането, което свързва двете посочени действия. Използването на събиране и умножение заедно отваря допълнителни възможности, които бихме пропуснали, ако разглеждаме събирането отделно от умножението.

И така, разпределителното свойство на умножението спрямо събирането гласи, че произведението на цяло число a и сумата от две цели числа a и b е равно на сумата на продуктите a b и a c, т.е. a·(b+c)=a·b+a·c. Същото свойство може да бъде написано в друга форма: (a+b)c=ac+bc .

Разпределителното свойство на умножаването на цели числа спрямо събирането, заедно с комбинаторното свойство на събирането, ни позволява да определим умножението на цяло число по сумата от три или повече цели числа и след това умножението на сумата от цели числа по сумата.

Също така имайте предвид, че всички други свойства на събиране и умножение на цели числа могат да бъдат получени от свойствата, които посочихме, тоест те са следствия от свойствата, посочени по-горе.

Свойства на изваждане на цели числа

От полученото равенство, както и от свойствата на събиране и умножение на цели числа, следват следните свойства на изваждане на цели числа (a, b и c са произволни цели числа):

• Изваждането на цели числа като цяло НЯМА свойството комутативност: a−b≠b−a.
• Разликата на равни цели числа е нула: a−a=0.
• Свойството за изваждане на сумата от две цели числа от дадено цяло число: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Свойството за изваждане на цяло число от сумата на две цели числа: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Разпределително свойство на умножението спрямо изваждането: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
• И всички други свойства на изваждане на цели числа.

Свойства на деленето на цели числа

Докато обсъждахме значението на деленето на цели числа, открихме, че деленето на цели числа е действие, обратно на умножението. Дадохме следната дефиниция: деление на цели числа означава намиране на неизвестен множител от известен продукт и известен множител. Тоест, ние наричаме цяло число c частното от деленето на цялото число a на цялото b, когато произведението c·b е равно на a.

Тази дефиниция, както и всички свойства на операциите с цели числа, обсъдени по-горе, позволяват да се установи валидността на следните свойства на разделяне на цели числа:

• Никое цяло число не може да бъде разделено на нула.
• Свойството за деление на нула на произволно цяло число a, различно от нула: 0:a=0.
• Свойство за деление на равни цели числа: a:a=1, където a е всяко цяло число, различно от нула.
• Свойството за деление на произволно цяло число a на едно: a:1=a.
• Като цяло, делението на цели числа НЕ притежава свойството комутативност: a:b≠b:a.
• Свойства на разделяне на сбора и разликата на две цели числа на цяло число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c, където a, b и c са цели числа, така че и a, и b се делят на c, а c е различно от нула.
• Свойството за деление на произведението на две цели числа a и b на цяло число c, различно от нула: (a·b):c=(a:c)·b, ако a се дели на c; (a·b):c=a·(b:c) , ако b се дели на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ако и a, и b се делят на c .
• Свойството за деление на цяло число a на произведението на две цели числа b и c (числата a , b и c са такива, че деленето на a на b c е възможно): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Всички други свойства на делението на цели числа.