Изучаване на точната тема: естествени числа - какво са числата, примери и свойства. Неестествени числа

В математиката има няколко различни набора от числа: реални, комплексни, цели, рационални, ирационални, ... В нашата ЕжедневиетоНай-често използваме естествени числа, тъй като ги срещаме при броене и при търсене, обозначавайки броя на обектите.

Във връзка с

Кои числа се наричат ​​естествени?

От десет цифри можете да напишете абсолютно всяка съществуваща сума от класове и рангове. За природни ценности се считат тези които се използват:

• При броене на всякакви предмети (първи, втори, трети, ... пети, ... десети).
• При посочване на броя на елементите (един, два, три...)

N стойностите винаги са цели и положителни. Няма най-голямо N, тъй като наборът от цели числа е неограничен.

внимание!Естествените числа се получават при броене на предмети или при посочване на тяхното количество.

Абсолютно всяко число може да бъде разложено и представено под формата на цифри, например: 8.346.809=8 милиона+346 хиляди+809 единици.

Комплект N

Множеството N е в множеството реални, цели и положителни. На диаграмата на множествата те биха били разположени едно в друго, тъй като множеството от естествени е част от тях.

Множеството от естествени числа се обозначава с буквата N. Това множество има начало, но няма край.

Има и разширено множество N, където е включена нула.

Най-малкото естествено число

В повечето математически училища най-малката стойност на N се счита за единица, тъй като липсата на обекти се счита за празнота.

Но в чуждите математически школи, например във френската, се смята за естествено. Наличието на нула в серията прави доказателството по-лесно някои теореми.

Серия от стойности N, която включва нула, се нарича разширена и се обозначава със символа N0 (нулев индекс).

Редица от естествени числа

N серия е поредица от всички N комплекта цифри. Тази поредица няма край.

Особеността на естествената серия е, че следващото число ще се различава с единица от предишното, тоест ще се увеличава. Но значенията не може да бъде отрицателен.

внимание!За по-лесно преброяване има класове и категории:

• Единици (1, 2, 3),
• Десетки (10, 20, 30),
• Стотици (100, 200, 300),
• Хиляди (1000, 2000, 3000),
• Десетки хиляди (30 000),
• Стотици хиляди (800 000),
• Милиони (4000000) и т.н.

Всички Н

Всички N са в множеството от реални, цели числа, неотрицателни стойности. Техни са интегрална част.

Тези стойности отиват до безкрайност, те могат да принадлежат към класовете милиони, милиарди, квинтилиони и т.н.

Например:

• Пет ябълки, три котенца,
• Десет рубли, тридесет молива,
• Сто килограма, триста книги,
• Милион звезди, три милиона души и т.н.

Последователност в N

В различни математически школи могат да се намерят два интервала, към които принадлежи редицата N:

от нула до плюс безкрайност, включително краищата, и от едно до плюс безкрайност, включително краищата, т.е. цели положителни отговори.

N набора от цифри могат да бъдат четни или нечетни. Нека разгледаме концепцията за странност.

Нечетни (всички нечетни завършват с числата 1, 3, 5, 7, 9.) с две имат остатък. Например 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Какво означава дори N?

Всички четни суми от класове завършват с числа: 0, 2, 4, 6, 8. При деление на четно N на 2 няма да има остатък, тоест резултатът е цял отговор. Например 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

важно!Цифровата поредица от N не може да се състои само от четни или нечетни стойности, тъй като те трябва да се редуват: четното число винаги е последвано от нечетно число, след това отново четно число и т.н.

Имоти N

Както всички други множества, N има свои собствени специални свойства. Нека разгледаме свойствата на серията N (неразширена).

• Стойността, която е най-малка и не следва никоя друга, е единица.
• N представлява последователност, тоест една естествена стойност следва друг(с изключение на един - той е първият).
• Когато извършваме изчислителни операции върху N суми от цифри и класове (събиране, умножение), тогава отговорът винаги се оказва естественозначение.
• Пермутацията и комбинацията могат да се използват в изчисленията.
• Всяка следваща стойност не може да бъде по-малка от предишната. Също така в серията N ще важи следният закон: ако числото A е по-малко от B, тогава в числовата серия винаги ще има C, за което е валидно равенството: A+C=B.
• Ако вземем два естествени израза, например A и B, тогава един от изразите ще бъде верен за тях: A = B, A е по-голямо от B, A е по-малко от B.
• Ако A е по-малко от B и B е по-малко от C, тогава следва, че че А е по-малко от С.
• Ако A е по-малко от B, тогава следва, че: ако добавим същия израз (C) към тях, тогава A + C е по-малко от B + C. Също така е вярно, че ако тези стойности се умножат по C, тогава AC е по-малко от AB.
• Ако B е по-голямо от A, но по-малко от C, тогава е вярно: B-A е по-малко от C-A.

внимание!Всички горни неравенства са валидни и в обратна посока.

Как се наричат ​​компонентите на умножението?

В много прости и дори сложни проблеми намирането на отговор зависи от уменията на учениците

Цели числаТе са много познати и естествени за нас. И това не е изненадващо, тъй като запознаването с тях започва от първите години от живота ни на интуитивно ниво.

Информацията в тази статия създава основно разбиране за естествените числа, разкрива тяхното предназначение и внушава умения за писане и четене на естествени числа. За по-добро разбиране на материала са предоставени необходимите примери и илюстрации.

Навигация в страницата.

Естествени числа – общо представяне.

Следното мнение не е лишено от здрава логика: появата на проблема с преброяването на обекти (първи, втори, трети обект и т.н.) и проблемът с посочване на броя на обектите (един, два, три обекта и т.н.) доведе до до създаването на инструмент за неговото решение, това беше инструментът цели числа.

От това изречение става ясно основната цел на естествените числа- носят информация за броя на артикулите или за серийния номер на даден артикул в разглеждания набор от артикули.

За да може човек да използва естествените числа, те трябва да са достъпни по някакъв начин, както за възприятие, така и за възпроизвеждане. Ако озвучите всяко естествено число, то ще се възприеме на ухо, а ако изобразите естествено число, то може да се види. Това са най-естествените начини за предаване и възприемане на естествените числа.

И така, нека започнем да придобиваме умения за изобразяване (писане) и изговаряне (четене) на естествени числа, като същевременно научаваме тяхното значение.

Десетичен запис на естествено число.

Първо трябва да решим от какво ще започнем при записването на естествените числа.

Нека си припомним изображенията на следните символи (ще ги покажем разделени със запетаи): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Показаните изображения са запис на т.нар числа. Нека веднага да се съгласим да не обръщаме, накланяме или по друг начин да изкривяваме числата при запис.

Сега нека се съгласим, че в нотацията на всяко естествено число могат да присъстват само посочените цифри и не могат да присъстват други символи. Нека се съгласим също, че цифрите в записа на естествено число са с еднаква височина, подредени са в ред една след друга (почти без отстъп) и отляво има цифра, различна от цифрата 0 .

Ето няколко примера за правилно писане на естествени числа: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (моля, обърнете внимание: отстъпите между числата не винаги са еднакви, повече за това ще бъде обсъдено при прегледа). От горните примери става ясно, че записът на естествено число не съдържа непременно всички цифри 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; някои или всички цифри, участващи в писането на естествено число, могат да се повтарят.

Публикации 014 , 0005 , 0 , 0209 не са записи на естествени числа, тъй като отляво има цифра 0 .

Извиква се писане на естествено число, направено, като се вземат предвид всички изисквания, описани в този параграф десетичен запис на естествено число.

По-нататък няма да правим разлика между естествените числа и тяхното писане. Нека обясним това: по-нататък в текста ще използваме фрази като „дадено естествено число 582 “, което ще означава, че е дадено естествено число, чийто запис има формата 582 .

Естествени числа в смисъла на броя на предметите.

Дойде време да разберем количествения смисъл, който носи изписаното естествено число. Значението на естествените числа от гледна точка на номерирането на обекти се обсъжда в статията сравнение на естествените числа.

Да започнем с естествени числа, чиито записи съвпадат с записи на цифри, тоест с числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 И 9 .

Нека си представим, че сме отворили очи и сме видели някакъв обект, например, като този. В този случай можем да запишем това, което виждаме 1 вещ. Естественото число 1 се чете като " един"(склонението на числото „един", както и други числа, ще дадем в параграф), за числото 1 е прието друго име - „ мерна единица».

Терминът „единица“ обаче е многозначен, в допълнение към естественото число 1 , наричаме нещо, разглеждано като цяло. Например всеки един елемент от многото им може да се нарече единица. Например всяка ябълка от набор от ябълки е единица, всяко стадо птици от набор от ята птици също е единица и т.н.

Сега отваряме очи и виждаме: . Тоест виждаме един обект и друг обект. В този случай можем да запишем това, което виждаме 2 предмет. Естествено число 2 , гласи " две».

По същия начин, - 3 тема (прочетете " три" предмет), - 4 (« четири") предмет, - 5 (« пет»), - 6 (« шест»), - 7 (« седем»), - 8 (« осем»), - 9 (« девет“) елементи.

И така, от разглежданата позиция, естествени числа 1 , 2 , 3 , …, 9 посочвам количествоелементи.

Число, чийто запис съвпада със записа на цифра 0 , Наречен " нула" Числото нула НЕ е естествено число, но обикновено се разглежда заедно с естествените числа. Запомнете: нула означава липса на нещо. Например нула елементи не е един елемент.

В следващите параграфи на статията ще продължим да разкриваме значението на естествените числа по отношение на посочване на количества.

Едноцифрени естествени числа.

Очевидно записът на всяко от естествените числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 се състои от един знак - една цифра.

Определение.

Едноцифрени естествени числаса естествени числа, чийто запис се състои от един знак – една цифра.

Нека изброим всички едноцифрени естествени числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Има девет едноцифрени естествени числа.

Двуцифрени и трицифрени естествени числа.

Първо, даваме дефиниция на двуцифрени естествени числа.

Определение.

Двуцифрени естествени числа- това са естествени числа, чийто запис е два знака - две цифри (различни или еднакви).

Например естествено число 45 – двуцифрени числа 10 , 77 , 82 също двуцифрен, и 5 490 , 832 , 90 037 – не двуцифрен.

Нека да разберем какво значение носят двуцифрените числа, докато ние ще започнем от количественото значение на вече познатите ни едноцифрени естествени числа.

Като начало, нека представим концепцията десет.

Представете си такава ситуация - отворихме очи и видяхме комплект, състоящ се от девет предмета и още един предмет. В този случай те говорят за 1 десет (една дузина) предмета. Ако една десетка и друга десетка се разглеждат заедно, тогава те говорят за 2 десетки (две дузини). Ако добавим още една десетица към две десетици, ще имаме три десетици. Продължавайки този процес, ще получим четири десетици, пет десетици, шест десетици, седем десетици, осем десетици и накрая девет десетици.

Сега можем да преминем към същността на двуцифрените естествени числа.

За да направите това, разгледайте едно двуцифрено число като две едноцифрени числа - едното е отляво в записа на двуцифрено число, другото е отдясно. Числото отляво показва броя на десетиците, а числото отдясно показва броя на единиците. Освен това, ако има цифра от дясната страна на двуцифрено число 0 , тогава това означава липса на единици. Това е целият смисъл на двуцифрените естествени числа по отношение на посочване на сумата.

Например двуцифрено естествено число 72 отговаря 7 десетки и 2 единици (т.е. 72 ябълки е набор от седем дузини ябълки и още две ябълки) и числото 30 отговори 3 десетки и 0 няма единици, тоест единици, които не са комбинирани в десетици.

Нека отговорим на въпроса: „Колко двуцифрени естествени числа има?“ Отговори им 90 .

Да преминем към дефиницията на трицифрените естествени числа.

Определение.

Естествени числа, чийто запис се състои от 3 знаци – 3 извикват се числа (различни или повтарящи се). трицифрен.

Примери за естествени трицифрени числа са 372 , 990 , 717 , 222 . Цели числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 не са трицифрени.

За да разберем значението, присъщо на трицифрените естествени числа, се нуждаем от концепцията стотици.

Наборът от десет десетици е 1 сто (сто). Сто и сто е 2 стотици. Двеста и друга сто са триста. И така нататък, имаме четиристотин, петстотин, шестстотин, седемстотин, осемстотин и накрая деветстотин.

Сега нека разгледаме едно трицифрено естествено число като три едноцифрени естествени числа, следващи едно след друго отдясно наляво в записа на трицифрено естествено число. Числото отдясно показва броя на единиците, следващото число показва броя на десетиците, а следващото число показва броя на стотиците. Числа 0 писмено трицифрено число означава липса на десетки и (или) единици.

По този начин, трицифрено естествено число 812 отговаря 8 стотици, 1 десет и 2 единици; номер 305 - триста ( 0 десетки, тоест няма десетки, които да не са комбинирани в стотици) и 5 единици; номер 470 – четиристотици и седем десетици (няма единици, необединени в десетици); номер 500 – пет стотици (няма десетици, необединени в стотици, и няма единици, необединени в десетици).

По същия начин може да се дефинират четирицифрени, петцифрени, шестцифрени и т.н. естествени числа.

Многоцифрени естествени числа.

И така, нека да преминем към дефиницията на многозначните естествени числа.

Определение.

Многоцифрени естествени числа- това са естествени числа, чийто запис се състои от две или три или четири и т.н. знаци. С други думи, многоцифрените естествени числа са двуцифрени, трицифрени, четирицифрени и т.н. числа.

Нека кажем веднага, че комплект, състоящ се от десет стотин е хиляда, хиляда хиляди е един милион, хиляда милиона е един милиард, хиляда милиарда е един трилион. Хиляда трилиона, хиляда хиляди трилиона и така нататък също могат да получат собствени имена, но няма особена нужда от това.

И така, какво е значението зад многоцифрените естествени числа?

Нека разгледаме едно многоцифрено естествено число като едноцифрени естествени числа, следващи едно след друго отдясно наляво. Числото вдясно показва броя на единиците, следващото число е числото на десетиците, следващото е числото на стотиците, след това числото на хилядите, след това числото на десетките хиляди, след това на стотиците хиляди, след това числото милиони, след това числото десетки милиони, след това стотици милиони, след това – числото милиарди, след това – числото десетки милиарди, след това – стотици милиарди, след това – трилиони, след това – десетки трилиони, след това – стотици трилиони и така нататък.

Например многоцифрено естествено число 7 580 521 отговаря 1 мерна единица, 2 десетки, 5 стотици, 0 хиляди, 8 десетки хиляди, 5 стотици хиляди и 7 милиони.

Така се научихме да групираме единици в десетици, десетици в стотици, стотици в хиляди, хиляди в десетки хиляди и т.н. и установихме, че числата в записа на многоцифрено естествено число показват съответния номер на по-горе групи.

Четене на естествени числа, кл.

Вече споменахме как се четат едноцифрени естествени числа. Нека научим наизуст съдържанието на следващите таблици.

Как се четат останалите двуцифрени числа?

Нека обясним с пример. Нека прочетем естественото число 74 . Както разбрахме по-горе, това число съответства на 7 десетки и 4 единици, т.е. 70 И 4 . Обръщаме се към таблиците, които току-що записахме, и числото 74 четем го като: „Седемдесет и четири” (не произнасяме съюза „и”). Ако трябва да прочетете число 74 в изречението: „Не 74 ябълки" (родителен падеж), тогава ще звучи така: "Няма седемдесет и четири ябълки." Друг пример. Номер 88 - Това 80 И 8 , следователно четем: „Осемдесет и осем“. И ето пример за изречение: „Той мисли за осемдесет и осем рубли.“

Да преминем към четене на трицифрени естествени числа.

За целта ще трябва да научим още няколко нови думи.

Остава да покажем как се четат останалите трицифрени естествени числа. В този случай ще използваме придобитите вече умения за четене на едноцифрени и двуцифрени числа.

Нека разгледаме един пример. Да прочетем числото 107 . Този номер съответства 1 сто и 7 единици, т.е. 100 И 7 . Обръщайки се към таблиците, четем: „Сто и седем“. Сега да кажем числото 217 . Този номер е 200 И 17 , следователно четем: „Двеста и седемнадесет“. по същия начин, 888 - Това 800 (осемстотин) и 88 (осемдесет и осем), четем: „Осемстотин осемдесет и осем“.

Да преминем към четене на многоцифрени числа.

За четене записът на многоцифрено естествено число се разделя, започвайки отдясно, на групи от три цифри, като в най-лявата такава група може да има или 1 , или 2 , или 3 числа. Тези групи се наричат класове. Класът отдясно се извиква клас единици. Извиква се класът след него (от дясно на ляво). хиляден клас, следващ клас - милион клас, следващия - милиард клас, следва трилион клас. Можете да дадете имената на следните класове, но естествени числа, нотацията на които се състои от 16 , 17 , 18 и т.н. знаците обикновено не се четат, тъй като са много трудни за възприемане на ухо.

Вижте примери за разделяне на многоцифрени числа на класове (за по-голяма яснота класовете са разделени един от друг с малък отстъп): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Нека поставим записаните естествени числа в таблица, която улеснява усвояването им.

За да прочетем естествено число, извикваме съставните му числа по клас отляво надясно и добавяме името на класа. В същото време не произнасяме името на класа единици и пропускаме тези класове, които съставляват три цифри 0 . Ако записът на класа има цифра отляво 0 или две цифри 0 , тогава пренебрегваме тези числа 0 и прочетете числото, получено чрез изхвърляне на тези цифри 0 . напр. 002 четете като „две“ и 025 - като в "двадесет и пет".

Да прочетем числото 489 002 според дадените правила.

Четем отляво надясно,

• прочетете номера 489 , представляващ класа на хилядите, е „четиристотин осемдесет и девет”;
• добавете името на класа, получаваме "четиристотин осемдесет и девет хиляди";
• по-нататък в класа единици, които виждаме 002 , има нули отляво, затова ги игнорираме 002 чете се като "две";
• няма нужда да добавяте името на класа единица;
• в крайна сметка имаме 489 002 - "четиристотин осемдесет и девет хиляди две."

Нека започнем да четем числото 10 000 501 .

• Отляво в класа милиони виждаме числото 10 , прочетете „десет“;
• добавете името на класа, имаме „десет милиона“;
• тогава виждаме записа 000 в класа на хилядите, тъй като и трите цифри са цифри 0 , тогава прескачаме този клас и преминаваме към следващия;
• клас единици представлява число 501 , което четем “петстотин и едно”;
• По този начин, 10 000 501 - десет милиона петстотин и едно.

Нека го направим без подробни обяснения: 1 789 090 221 214 - "един трилион седемстотин осемдесет и девет милиарда деветдесет милиона двеста двадесет и една хиляди двеста четиринадесет."

И така, в основата на умението за четене на многоцифрени естествени числа е способността да се разделят многоцифрените числа на класове, познаването на имената на класовете и способността да се четат трицифрени числа.

Цифрите на естествено число, стойността на цифрата.

При записване на естествено число стойността на всяка цифра зависи от нейната позиция. Например естествено число 539 отговаря 5 стотици, 3 десетки и 9 единици, оттук и фигурата 5 като напишете номера 539 определя броя на стотиците, цифра 3 е броят на десетиците и цифрата 9 - брой единици. Говори се, че броят 9 разходи в единици цифраи номер 9 е единица цифрена стойност, номер 3 разходи в десетки мястои номер 3 е стойност на десетките места, и фигурата 5 - В стотици мястои номер 5 е стотици място стойност.

По този начин, освобождаване от отговорност- това е, от една страна, позицията на цифрата в нотацията на естествено число, а от друга страна, стойността на тази цифра, определена от нейната позиция.

На категориите се дават имена. Ако погледнете числата в записа на естествено число отдясно наляво, тогава ще им съответстват следните цифри: единици, десетки, стотици, хиляди, десетки хиляди, стотици хиляди, милиони, десетки милиони и скоро.

Удобно е да запомните имената на категориите, когато са представени в таблична форма. Нека напишем таблица, съдържаща имената на 15 категории.

Обърнете внимание, че броят на цифрите на дадено естествено число е равен на броя знаци, включени в записа на това число. Така записаната таблица съдържа имената на цифрите на всички естествени числа, чийто запис съдържа до 15 знака. Следните рангове също имат свои имена, но те се използват много рядко, така че няма смисъл да ги споменаваме.

С помощта на таблица с цифри е удобно да се определят цифрите на дадено естествено число. За да направите това, трябва да запишете това естествено число в тази таблица, така че във всяка цифра да има една цифра, а най-дясната цифра да е в цифрата на единиците.

Да дадем пример. Нека запишем едно естествено число 67 922 003 942 в таблицата, докато цифрите и стойностите на тези цифри ще станат ясно видими.

Числото в това число е 2 стои на мястото на единиците, цифра 4 - в десетиците, цифра 9 – на стотното място и др. Обърнете внимание на числата 0 , които са в цифри от десетки хиляди и стотици хиляди. Числа 0 в тези цифри означава липсата на единици от тези цифри.

Заслужава да се спомене и така наречената най-ниска (младша) и най-висока (най-значима) цифра на многоцифрено естествено число. Най-нисък (младши) рангвсяко многозначно естествено число е цифрата на единиците. Най-високата (най-високата) цифра на естествено числое цифрата, съответстваща на най-дясната цифра в записа на това число. Например, младшата цифра на естественото число 23 004 е цифрата на единиците, а най-високата цифра е цифрата на десетките хиляди. Ако в записа на естествено число се движим с цифри отляво надясно, то всяка следваща цифра по-нисък (по-млад)предишното. Например, рангът на хилядите е по-нисък от ранга на десетките хиляди и още повече, че рангът на хилядите е по-нисък от ранга на стотици хиляди, милиони, десетки милиони и т.н. Ако в записа на естествено число се движим с цифри отдясно наляво, то всяка следваща цифра по-висок (по-стар)предишното. Например, цифрата на стотиците е по-стара от цифрата на десетиците и дори по-стара от цифрата на единиците.

В някои случаи (например при събиране или изваждане) не се използва самото естествено число, а сумата от цифровите членове на това естествено число.

Накратко за десетичната бройна система.

И така, ние се запознахме с естествените числа, тяхното значение и начина на записване на естествени числа с десет цифри.

Като цяло се нарича методът за писане на числа с помощта на знаци бройна система. Стойността на цифра в запис на число може или не може да зависи от нейната позиция. Наричат ​​се бройни системи, в които стойността на цифрата в числов запис зависи от нейната позиция позиционен.

По този начин естествените числа, които разгледахме, и методът на записването им показват, че използваме позиционна бройна система. Трябва да се отбележи, че номерът има специално място в тази бройна система 10 . Наистина резултатът се поддържа в десетки: десет единици се комбинират в десетка, десет десетки се комбинират в сто, десет стотици в хиляда и т.н. Номер 10 Наречен базададена бройна система, а самата бройна система се нарича десетичен знак.

Освен десетичната бройна система има и други, например в информатиката се използва двоично-позиционната бройна система, а при измерване на времето срещаме шестдесетичната система.

Библиография.

• Математика. Всякакви учебници за 5 класа на учебни заведения.

Цели числа– числа, които се използват за броене на обекти . Всяко естествено число може да се запише с десет числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Този тип числа се наричат десетичен знак

Редицата от всички естествени числа се нарича естествено до .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Повечето малъкестественото число е едно (1). В естествения ред всяко следващо число е с 1 по-голямо от предходното. Естествена серия безкраен,в него няма най-голямо число.

Значението на една цифра зависи от нейното място в записа на числото. Например числото 4 означава: 4 единици, ако е на последно място в числовия запис (в единици място); 4 десет,ако е на предпоследно място (на мястото на десетиците); 4 стотици,ако е на трето място от края (В стотици място).

Числото 0 означава липса на единици от тази категорияв десетичния запис на число. Той също така служи за обозначаване на числото " нула" Това число означава "няма". Резултат 0:3 във футболен мач означава, че първият отбор не е вкарал нито един гол срещу противника.

Нула не включваткъм естествени числа. И наистина, броенето на обекти никога не започва от нулата.

Ако записът на естествено число се състои от един знак – една цифра, тогава се нарича недвусмислен.Тези. недвусмисленестествено число– естествено число, чийто запис се състои от един знак – една цифра. Например числата 1, 6, 8 са едноцифрени.

Двуцифренестествено число– естествено число, чийто запис се състои от два знака – две цифри.

Например числата 12, 47, 24, 99 са двуцифрени числа.

Също така, въз основа на броя знаци в дадено число, те дават имена на други числа:

числа 326, 532, 893 - трицифрен;

числа 1126, 4268, 9999 - четирицифрени т.н.

Двуцифрени, трицифрени, четирицифрени, петцифрени и т.н. номера се наричат многоцифрени числа .

За да се четат многоцифрени числа, те се разделят, започвайки отдясно, на групи от по три цифри (най-лявата група може да се състои от една или две цифри). Тези групи се наричат класове.

Милион– това е хиляда хиляди (1000 хиляди), пише се 1 милион или 1 000 000.

Милиард- това са 1000 милиона. Пише се като 1 милиард или 1 000 000 000.

Първите три цифри вдясно съставят класа единици, следващите три – класа хиляди, след това идват класовете милиони, милиарди и т.н. (Фиг. 1).

Ориз. 1. Клас милиони, клас хиляди и клас единици (отляво надясно)

В битовата мрежа (фиг. 2) е записано числото 15389000286.

Ориз. 2. Битова мрежа: число 15 милиарда 389 милиона 286

Това число има 286 единици в класа на единиците, нула единици в класа на хилядите, 389 единици в класа на милионите и 15 единици в класа на милиардите.

Определение

Естествените числа са числа, предназначени за броене на обекти. За записване на естествени числа се използват 10 арабски цифри (0–9), които са в основата на десетичната бройна система, общоприета за математически изчисления.

Редица от естествени числа

Естествените числа образуват редица, започваща от 1 и покриваща множеството от всички положителни цели числа. Тази редица се състои от числата 1,2,3,.... Това означава, че в естествената серия:

1. Има най-малко число и няма най-голямо.
2. Всяко следващо число е по-голямо от предходното с 1 (с изключение на самата единица).
3. Тъй като числата клонят към безкрайност, те растат неограничено.

Понякога в поредица от естествени числа се въвежда 0. Това е приемливо и тогава се говори за разширенаестествени серии.

Класове естествени числа

Всяка цифра от естествено число изразява определена цифра. Последният винаги е броят на единиците в числото, предходният преди него е броят на десетиците, третият от края е броят на стотиците, четвъртият е броят на хилядите и т.н.

• в число 276: 2 стотици, 7 десетици, 6 единици
• в числото 1098: 1 хиляда, 9 десетици, 8 единици; Стотното място липсва тук, защото е изразено като нула.

За големи и много големи числа можете да видите стабилна тенденция (ако разгледате числото от дясно на ляво, т.е. от последната цифра до първата):

• последните три цифри в числото са единици, десетици и стотици;
• предходните три са единици, десетици и стотици хиляди;
• трите пред тях (т.е. 7-ма, 8-ма и 9-та цифра на числото, като се брои от края) са единици, десетки и стотици милиони и т.н.

Тоест, всеки път, когато имаме работа с три цифри, което означава единици, десетки и стотици от по-голямо име. Такива групи образуват класове. И ако трябва да се справяте с първите три класа в ежедневието повече или по-рядко, тогава останалите трябва да бъдат изброени, защото не всеки помни имената им наизуст.

• Четвъртият клас, следващ класа на милионите и представляващ числа от 10-12 цифри, се нарича милиард (или милиард);
• 5 клас – трилион;
• 6 клас – квадрилион;
• 7 клас – квинтилион;
• 8 клас – секстилион;
• 9 клас – септилион.

Събиране на естествени числа

Събирането на естествени числа е аритметична операция, която ви позволява да получите число, което съдържа същия брой единици, както има в числата, които се събират заедно.

Знакът за добавяне е знакът "+". Събраните числа се наричат ​​събираеми, а полученият резултат се нарича сума.

Малките числа се добавят (сумират) устно; писмено такива действия се записват на ред.

Многоцифрените числа, които е трудно да добавите наум, обикновено се добавят в колона. За целта числата се записват едно под друго, подравнени по последната цифра, т.е. записват се единиците под мястото на единиците, стотиците под мястото на стотните и т.н. След това трябва да добавите цифрите по двойки. Ако добавянето на цифри става с преход през десетка, тогава тази десетка се фиксира като единица над цифрата отляво (т.е. следващата) и се сумира заедно с цифрите на тази цифра.

Ако в една колона се добавят не 2, а повече числа, тогава при сумиране на цифрите на мястото не 1 десетка, а няколко може да се окажат излишни. В този случай броят на тези десетки се прехвърля към следващата цифра.

Изваждане на естествени числа

Изваждането е аритметична операция, обратна на добавянето, която се свежда до факта, че използвайки наличната сума и един от членовете, трябва да намерите друг - неизвестен член. Числото, от което се изважда, се нарича умалено; числото, което се изважда е изваждаемо. Резултатът от изваждането се нарича разлика. Знакът, използван за означаване на действието изваждане, е „–“.

При преминаване към събиране изваждаемото и разликата се превръщат в събираеми, а умаляваното се превръща в сбор. Събирането обикновено се използва за проверка на правилността на изваждането и обратно.

Тук 74 е умаляваното, 18 е изважданото, 56 е разликата.

Предпоставка за изваждане на естествени числа е следното: умаляваното трябва да е по-голямо от изважданото. Само в този случай получената разлика също ще бъде естествено число. Ако действието на изваждане се извършва за разширен естествен ред, тогава е позволено умаляваното да е равно на изважданото. И резултатът от изваждането в този случай ще бъде 0.

Забележка: ако изваждането е равно на нула, тогава операцията за изваждане не променя стойността на умаляваното.

Изваждането на многоцифрени числа обикновено се извършва в колона. Числата се записват по същия начин, както при събирането. Изваждането се извършва за съответните цифри. Ако се окаже, че умаляваното е по-малко от изваждаемото, тогава те вземат единица от предходната (намираща се вляво) цифра, която след прехвърлянето естествено се превръща в 10. Тази десетица се сумира с номера на дадената цифра се копае и след това се извършва изваждането. След това, когато изваждате следващата цифра, не забравяйте да вземете предвид, че намаляваната е станала с 1 по-малко.

Произведение на естествени числа

Произведението (или умножението) на естествени числа е аритметична операция, която представлява намиране на сумата от произволен брой еднакви членове. За да напишете действието за умножение, използвайте знака „·“ (понякога „×“ или „*“). Например: 3·5=15.

Действието умножение е незаменимо, когато е необходимо да се добавят голям брой членове. Например, ако трябва да добавите числото 4 7 пъти, тогава умножаването на 4 по 7 е по-лесно, отколкото извършването на следното събиране: 4+4+4+4+4+4+4.

Числата, които се умножават, се наричат ​​множители, резултатът от умножението се нарича продукт. Съответно терминът „продукт“ може, в зависимост от контекста, да изразява както процеса на умножение, така и неговия резултат.

Многоцифрените числа се умножават в колона. За това числата се записват по същия начин, както при събиране и изваждане. Препоръчително е първо да запишете най-дългото от 2 числа (по-горе). В този случай процесът на умножение ще бъде по-прост и следователно по-рационален.

При умножение в колона цифрите на всяка от цифрите на второто число се умножават последователно по цифрите на 1-вото число, като се започне от неговия край. След като намерите първия такъв продукт, запишете цифрата на единиците и запомнете цифрата на десетиците. При умножаване на цифрата на 2-рото число по следващата цифра на 1-вото число към произведението се добавя цифрата, която се има предвид. И отново запишете числото на единиците на получения резултат и запомнете числото на десетиците. При умножаване по последната цифра на 1-вото число, полученото по този начин число се записва изцяло.

Резултатите от умножаването на цифрата на 2-ра цифра на второто число се записват във втория ред, като се изместват с 1 клетка надясно. И така нататък. В резултат на това ще се получи „стълба“. Всички получени редове от числа трябва да бъдат добавени (съгласно правилото за събиране на колони). Празните клетки трябва да се считат за пълни с нули. Получената сума е крайният продукт.

Забележка

1. Произведението на всяко естествено число по 1 (или 1 по число) е равно на самото число. Например: 376·1=376; 1·86=86.
2. Когато един от множителите или и двата множителя са равни на 0, тогава произведението е равно на 0. Например: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Деление на естествени числа

Делението е аритметично действие, с помощта на което по известно произведение и един от множителите може да се намери друг – неизвестен – множител. Делението е обратното на умножението и се използва за проверка дали умножението е извършено правилно (и обратно).

Числото, което е разделено, се нарича дивидент; числото, на което се дели, е делител; резултатът от делението се нарича частно. Знакът за разделяне е “:” (понякога, по-рядко, “÷”).

Тук 48 е дивидентът, 6 е делителят, 8 е частното.

Не всички естествени числа могат да бъдат разделени помежду си. В този случай разделете с остатък. Състои се в това, че за делителя се избира такъв фактор, че произведението му от делителя да бъде число, което е възможно най-близко по стойност до дивидента, но по-малко от него. Делителят се умножава по този коефициент и се изважда от дивидента. Разликата ще бъде остатъкът от делението. Произведението на делител и множител се нарича непълно частно. Внимание: балансът трябва да е по-малък от избрания множител! Ако остатъкът е по-голям, това означава, че множителят е избран неправилно и трябва да се увеличи.

Избираме множител за 7. В този случай това е числото 5. Намираме непълното частно: 7·5=35. Изчисляваме остатъка: 38-35=3. От 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Многоцифрените числа са разделени в колона. За да направите това, дивидентът и делителят се изписват един до друг, разделяйки делителя с вертикална и хоризонтална линия. В дивидента първата цифра или първите няколко цифри (вдясно) са изолирани, които трябва да представляват число, което е минимално достатъчно за разделяне на делителя (т.е. това число трябва да е по-голямо от делителя). За това число е избрано непълно частно, както е описано в правилото за деление с остатък. Цифрата на множителя, използвана за намиране на частичното частно, е записана под делителя. Непълното частно се записва под числото, което се разделя, подравнено вдясно. Намерете тяхната разлика. Запишете следващата цифра на дивидента, като я напишете до тази разлика. За полученото число отново се намира частичното частно, като се записва цифрата на избрания множител до предишния под делителя. И така нататък. Такива действия се извършват до изчерпване на числата на дивидента. След това делбата се счита за завършена. Ако дивидентът и делителят са разделени на цяло (без остатък), тогава последната разлика ще даде нула. В противен случай ще бъде върнат остатъкът.

степенуване

Степенуването е математическа операция, която включва умножаване на произволен брой еднакви числа. Например: 2·2·2·2.

Такива изрази се записват като: a x,

Където ае число, умножено по себе си хе броят на тези фактори.

Прости и съставни естествени числа

Всяко естествено число, с изключение на 1, може да се раздели на поне 2 числа - единица и себе си. Въз основа на този критерий естествените числа се делят на прости и съставни.

Простите числа са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Числата, които се делят на повече от тези 2 числа, се наричат ​​съставни числа. Единица, делима само на себе си, не е нито проста, нито съставна.

Простите числа са: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.н. Примери за съставни числа: 4 (делимо на 1,2,4), 6 (делимо на 1,2,3,6), 20 (делимо на 1,2,4,5,10,20).

Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. Под прости множители разбираме неговите делители, които са прости числа.

Пример за разлагане на прости фактори:

Делители на естествени числа

Делителят е число, на което дадено число може да бъде разделено без остатък.

В съответствие с тази дефиниция простите естествени числа имат 2 делителя, съставните числа имат повече от 2 делителя.

Много числа имат общи множители. Общ делител е число, което дели дадените числа, без да оставя остатък.

• Числата 12 и 15 имат общ делител 3
• Числата 20 и 30 имат общи делители 2,5,10

От особено значение е най-големият общ делител (НОД). По-специално, това число е полезно да можете да намерите за намаляване на дроби. За да го намерите, трябва да разложите дадените числа на прости множители и да ги представите като произведение на техните общи прости множители, взети в най-малките им степени.

Трябва да намерите gcd на числата 36 и 48.

Делимост на естествените числа

Не винаги е възможно да се определи на око дали едно число се дели на друго без остатък. В такива случаи се оказва полезен съответният тест за делимост, тоест правило, чрез което за секунди можете да определите дали числата могат да се разделят без остатък. Знакът “” се използва за обозначаване на делимост.

Най-малко общо кратно

Това количество (означено като LOC) е най-малкото число, което се дели на всяко от дадените. LCM може да се намери за произволен набор от естествени числа.

NOC, подобно на GCD, има значително практическо значение. И така, трябва да се намери LCM чрез привеждане на обикновените дроби към общ знаменател.

LCM се определя чрез разлагане на дадени числа на прости множители. За да го образувате, вземете продукт, състоящ се от всеки от срещащите се (поне за 1 число) прости множители, представени в максимална степен.

Трябва да намерите LCM на числата 14 и 24.

Средно аритметично

Средната аритметична стойност на произволен (но краен) брой естествени числа е сумата от всички тези числа, разделена на броя на членовете:

Средната аритметична стойност е някаква средна стойност за числова съвкупност.

Дадените числа са 2,84,53,176,17,28. Трябва да намерите тяхното средно аритметично.