Формули за интегриране по части с примери. Комплексни интеграли

Извиква се функция F(x), диференцируема в даден интервал X първоизводна на функцията f(x) или интеграла на f(x), ако за всяко x ∈X е валидно следното равенство:

F " (x) = f(x). (8.1)

Намирането на всички първоизводни за дадена функция се нарича нейна интеграция. Неопределена интегрална функция f(x) на даден интервал X е множеството от всички първообразни функции за функцията f(x); обозначаване -

Ако F(x) е някакво първообразно на функцията f(x), тогава ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

където C е произволна константа.

Таблица на интегралите

Директно от дефиницията получаваме основните свойства на неопределения интеграл и списък от таблични интеграли:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2) ∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Списък на табличните интеграли

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = арктан x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Замяна на променливи

За да интегрирате много функции, използвайте метода за заместване на променливи или замествания,което ви позволява да намалите интегралите до таблична форма.

Ако функцията f(z) е непрекъсната върху [α,β], функцията z =g(x) има непрекъсната производна и α ≤ g(x) ≤ β, тогава

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Освен това, след интегриране от дясната страна, трябва да се направи заместването z=g(x).

За да го докажете, достатъчно е да напишете оригиналния интеграл във формата:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

Метод на интегриране по части

Нека u = f(x) и v = g(x) са функции, които имат непрекъснато . Тогава, според работата,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

За израза d(uv) антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата е валидна:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Тази формула изразява правилото интеграция по части. Това води интегрирането на израза udv=uv"dx до интегрирането на израза vdu=vu"dx.

Нека, например, искате да намерите ∫xcosx dx. Нека поставим u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от заместването на променливи. Но има цели класове интеграли, напр.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват точно с помощта на интегриране по части.

Определен интеграл

Концепцията за определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим сегмента [a,b] на нчасти по точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Извиква се сума от формата f(ξ i)Δ x i интегрална сума, а неговата граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) на апреди bи се обозначава:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируеми на интервала, се наричат ​​числата a и b долна и горна граница на интеграла.

Следните свойства са верни за определен интеграл:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.

Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент има неопределен интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, свързващ определения интеграл с неопределения интеграл:

F(b) - F(a). (8,6)

Геометрична интерпретация: определеният интеграл е площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), прави x = a и x = b и сегмент от оста вол.

Неправилни интеграли

Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат не твоя собствена. Неправилни интеграли от първи род -Това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:

(8.7)

Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен неправилен интеграл на f(x)на интервала [a,+ ∞), и се извиква функцията f(x). интегрируеми в безкраен интервал[a,+ ∞). В противен случай се казва, че интегралът е не съществува или се разминава.

Неправилните интеграли на интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:

Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f(x) е непрекъснато за всички стойности хсегмент , с изключение на точката c, в която f(x) има безкраен прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bсумата се нарича:

ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначаване:

Примери за интегрални изчисления

Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).

Решение.Нека означим t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример3.32 . Намерете ∫dx/sinx

Решение.

Пример3.33. Намирам .

Решение. = .

Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.

Решение. Нека интегрираме по части. Нека означим u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.

Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.

Решение.Нека означим u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Също така интегрираме интеграла ∫e x cosxdx по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получихме отношението ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, от което 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Пример 3.37. Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Изчислете J = .

Решение.Като се има предвид, че = d(lnx), заместваме lnx = t. Тогава J = .

Пример 3.39 . Изчислете интеграла J = .

Решение.Ние имаме: . Следователно =
=
=. въведено по този начин: sqrt(tan(x/2)).

И ако в прозореца с резултати щракнете върху Покажи стъпки в горния десен ъгъл, ще получите подробно решение.

Калкулаторът решава интеграли с ПОДРОБНО описание на действията на руски и безплатно!

Решаване на неопределени интеграли

Това е онлайн услуга в една стъпка:

Решаване на определени интеграли

Това е онлайн услуга в една стъпка:

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете долна граница за интеграла
• Въведете горна граница за интеграла

Решаване на двойни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)

Решаване на неправилни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете горната област на интеграция (или + безкрайност)
• Въведете долната област на интеграция (или - безкрайност)

Отидете на: Онлайн услуга "Собствен интеграл" →

Решаване на тройни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете долни и горни граници за първия интеграционен регион
• Въведете долната и горната граница за втория интеграционен регион
• Въведете долната и горната граница за третия регион на интеграция

Отидете на: Онлайн услуга "Троен интеграл" →

Тази услуга ви позволява да проверите вашите изчисленияза коректност

Възможности

• Поддържа всички възможни математически функции: синус, косинус, експонента, тангенс, котангенс, квадратни и кубични корени, степени, експоненциали и други.
• Има примери за въвеждане, както за неопределени интеграли, така и за неправилни и определени.
• Коригира грешките във въведените от вас изрази и предлага ваши собствени опции за въвеждане.
• Числено решение за определени и несобствени интеграли (включително двойни и тройни интеграли).
• Поддръжка на комплексни числа, както и различни параметри (можете да посочите не само променливата за интегриране, но и други променливи на параметри в израза за интегранд)

Интеграция по части- метод, използван за решаване на определени и неопределени интеграли, когато единият интегранд е лесно интегрируем, а другият е диференцируем. Доста често срещан метод за намиране на интеграли, както неопределени, така и определени. Основният знак, когато трябва да го използвате, е определена функция, състояща се от произведението на две функции, които не могат да бъдат интегрирани направо.

Формула

За да използвате успешно този метод, трябва да разберете и научите формулите.

Формула за интегриране по части в неопределен интеграл:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула за интегриране по части в определен интеграл:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Примери за решения

Нека разгледаме на практика примери за решения за интегриране по части, които често се предлагат от учителите по време на тестове. Моля, обърнете внимание, че под интегралния символ има продукт от две функции. Това е знак, че този метод е подходящ за решението.

Пример 1

Намерете интеграла $ \int xe^xdx $

Решение

Виждаме, че интеграндът се състои от две функции, едната от които при диференциране моментално се превръща в единица, а другата лесно се интегрира. За решаване на интеграла използваме метода на интегриране по части. Да приемем $ u = x \rightarrow du=dx $ и $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Заместваме намерените стойности в първата интеграционна формула и получаваме: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Пример 4

Изчислете интеграла $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Решение

По аналогия с предишните решени примери ще разберем коя функция да интегрираме без проблеми, коя да разграничим. Моля, обърнете внимание, че ако диференцираме $ (x+5) $, тогава този израз ще бъде автоматично преобразуван в единица, което ще бъде в наша полза. Така че правим това: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Сега всички неизвестни функции са намерени и могат да бъдат поставени във втората формула за интегриране по части за определен интеграл. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Отговор

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Чрез определен интеграл от непрекъсната функция f(х) на последния сегмент [ а, b] (където ) е нарастването на някои от неговите антипроизводни в този сегмент. (Като цяло разбирането ще бъде значително по-лесно, ако повторите темата за неопределения интеграл) В този случай се използва нотацията

Както може да се види на графиките по-долу (увеличаването на антипроизводната функция е обозначено с), определен интеграл може да бъде или положително, или отрицателно число(Изчислява се като разликата между стойността на антипроизводното в горната граница и нейната стойност в долната граница, т.е. като Е(b) - Е(а)).

Числа аИ bсе наричат ​​съответно долна и горна граница на интегриране, а сегментът [ а, b] – сегмент на интеграция.

По този начин, ако Е(х) – някаква антипроизводна функция за f(х), тогава според определението,

(38)

Равенството (38) се нарича Формула на Нютон-Лайбниц . Разлика Е(b) – Е(а) се записва накратко, както следва:

Следователно ще запишем формулата на Нютон-Лайбниц така:

(39)

Нека докажем, че определеният интеграл не зависи от това коя първоизводна на подинтегралната функция е взета при изчисляването му. Позволявам Е(х) и F( х) са произволни първоизводни на интегранта. Тъй като това са антипроизводни на една и съща функция, те се различават с постоянен член: Ф( х) = Е(х) + ° С. Ето защо

Това установява, че на отсечката [ а, b] увеличения на всички първоизводни на функцията f(х) съвпада.

По този начин, за да се изчисли определен интеграл, е необходимо да се намери всяка антипроизводна на интегранта, т.е. Първо трябва да намерите неопределения интеграл. Константа СЪС изключени от следващите изчисления. След това се прилага формулата на Нютон-Лайбниц: стойността на горната граница се замества в антипроизводната функция b , по-нататък - стойността на долната граница а и се изчислява разликата F(b) - F(a) . Полученото число ще бъде определен интеграл..

При а = bпо дефиниция прието

Пример 1.

Решение. Първо, нека намерим неопределения интеграл:

Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към първоизводната

(при СЪС= 0), получаваме

Въпреки това, когато изчислявате определен интеграл, е по-добре да не намирате първоизводната отделно, а веднага да напишете интеграла във формата (39).

Пример 2.Изчислете определен интеграл

Решение. Използване на формула

Свойства на определения интеграл

Теорема 2.Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на интегриращата променлива, т.е.

(40)

Позволявам Е(х) – противопроизводно за f(х). За f(T) антипроизводното е същата функция Е(T), в които независимата променлива е само обозначена по различен начин. следователно

Въз основа на формула (39) последното равенство означава равенство на интегралите

Теорема 3.Постоянният множител може да бъде изваден от знака на определения интеграл, т.е.

(41)

Теорема 4.Определеният интеграл на алгебрична сума от краен брой функции е равен на алгебричната сума на определени интеграли на тези функции, т.е.

(42)

Теорема 5.Ако сегмент от интегриране е разделен на части, тогава определеният интеграл върху целия сегмент е равен на сумата от определени интеграли върху неговите части, т.е. Ако

(43)

Теорема 6.При пренареждане на границите на интегриране абсолютната стойност на определения интеграл не се променя, а само знакът му, т.е.

(44)

Теорема 7(теорема за средната стойност). Определеният интеграл е равен на произведението от дължината на интегралния сегмент и стойността на интегралното изражение в дадена точка вътре в него, т.е.

(45)

Теорема 8.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и подинтегралната функция е неотрицателна (положителна), то определеният интеграл също е неотрицателен (положителен), т.е. Ако

Теорема 9.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и функциите и са непрекъснати, тогава неравенството

може да се интегрира термин по термин, т.е.

(46)

Свойствата на определения интеграл позволяват да се опрости директното изчисляване на интегралите.

Пример 5.Изчислете определен интеграл

Използвайки теореми 4 и 3, и при намиране на първоизводни - таблични интеграли (7) и (6), получаваме

Определен интеграл с променлива горна граница

Позволявам f(х) – непрекъснат на отсечката [ а, b] функция и Е(х) е неговата антипроизводна. Разгледайте определения интеграл

(47)

и чрез Tинтеграционната променлива е обозначена така, че да не се бърка с горната граница. Когато се промени хпроменя се и определеният интеграл (47), т.е. това е функция на горната граница на интегриране х, което означаваме с Е(х), т.е.

(48)

Нека докажем, че функцията Е(х) е противопроизводно на f(х) = f(T). Наистина, диференциране Е(х), получаваме

защото Е(х) – противопроизводно за f(х), А Е(а) е постоянна стойност.

функция Е(х) – един от безкрайния брой антипроизводни на f(х), а именно този, който х = аотива на нула. Това твърдение се получава, ако в равенството (48) поставим х = аи използвайте теорема 1 от предходния параграф.

Изчисляване на определени интеграли чрез метода на интегриране по части и метода на промяна на променлива

където по дефиниция Е(х) – противопроизводно за f(х). Ако променим променливата в интегранта

тогава, в съответствие с формула (16), можем да запишем

В този израз

антипроизводна функция за

Всъщност неговата производна, според правило за диференциране на сложни функции, е равно

Нека α и β са стойностите на променливата T, за които функцията

приема стойности съответно аИ b, т.е.

Но според формулата на Нютон-Лайбниц разликата Е(b) – Е(а) Има

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как се решават интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията е известна още в Древен Египет. Разбира се, не в съвременния му вид, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Вече имаме информация за , необходима за разбирането на интегралите, в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.

Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводни на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности:

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция?

С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат ​​граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаване на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:

Свойства на определен интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу ще разгледаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионална служба за студенти и всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.