Какво е експоненциално уравнение и как да го решим. Методи за решаване на експоненциални уравнения

На етапа на подготовка за финалния тест учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „Експоненциални уравнения“. Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва да овладеят напълно теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. След като са се научили да се справят с този тип проблеми, завършилите могат да разчитат на високи резултати при полагане на Единния държавен изпит по математика.

Пригответе се за изпитно тестване с Школково!

Когато преглеждат материалите, които са покрили, много ученици се сблъскват с проблема да намерят формулите, необходими за решаване на уравнения. Училищният учебник не винаги е под ръка и изборът на необходимата информация по дадена тема в Интернет отнема много време.

Образователният портал Школково кани учениците да използват нашата база от знания. Внедряваме изцяло нов метод за подготовка за финалния тест. Като изучавате на нашия уебсайт, ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание на онези задачи, които причиняват най-много трудности.

Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха целия материал, необходим за успешното полагане на Единния държавен изпит в най-простата и достъпна форма.

Основните дефиниции и формули са представени в раздела „Теоретична основа”.

За да разберете по-добре материала, ви препоръчваме да се упражнявате да изпълнявате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете да изпълнявате задачи в раздела „Директории“. Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.

Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към „Любими“. По този начин можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с вашия учител.

За да преминете успешно Единния държавен изпит, учете на портала Школково всеки ден!

Експоненциалните уравнения са тези, в които неизвестното се съдържа в степента. Най-простото експоненциално уравнение има формата: a x = a b, където a> 0, a 1, x е неизвестно.

Основните свойства на степените, чрез които се преобразуват експоненциалните уравнения: a>0, b>0.

При решаване на експоненциални уравнения се използват и следните свойства на експоненциалната функция: y = a x, a > 0, a1:

За да представите число като степен, използвайте основната логаритмична идентичност: b = , a > 0, a1, b > 0.

Задачи и тестове по темата "Експоненциални уравнения"

• Експоненциални уравнения

  Уроци: 4 Задачи: 21 Тестове: 1

• Експоненциални уравнения - Важни теми за преглед на Единния държавен изпит по математика

  Задачи: 14

• Системи експоненциални и логаритмични уравнения - Експоненциални и логаритмични функции 11 клас

  Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1

• §2.1. Решаване на експоненциални уравнения

  Уроци: 1 Задачи: 27

• §7 Показателни и логаритмични уравнения и неравенства - Раздел 5. Показателни и логаритмични функции, 10 клас

  Уроци: 1 Задачи: 17

За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете основните свойства на степените, свойствата на експоненциалната функция и основната логаритмична идентичност.

При решаване на експоненциални уравнения се използват два основни метода:

1. преход от уравнението a f(x) = a g(x) към уравнението f(x) = g(x);
2. въвеждане на нови линии.

Примери.

1. Уравнения, сведени до най-простите. Те се решават чрез намаляване на двете страни на уравнението до степен с една и съща основа.

3 x = 9 x – 2.

Решение:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
х = 4.

Отговор: 4.

2. Уравнения, решени чрез изваждане на общия множител извън скоби.

Решение:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
х = 3.

Отговор: 3.

3. Уравнения, решени чрез промяна на променлива.

Решение:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Означаваме 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
а) 2 x = - 4. Уравнението няма решения, т.к 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Отговор:дневник 2 3.

4. Уравнения, съдържащи степени с две различни (несводими една към друга) основи.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3 × 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
х = 2.

Отговор: 2.

5. Уравнения, които са еднородни по отношение на a x и b x.

Обща форма: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Решение:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Нека означим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Отговор:лог 3/2 2; - дневник 3/2 2.

Решаване на експоненциални уравнения. Примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Какво стана експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което присъстват неизвестните (x) и изразите с тях показателинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 х 2 х = 8 х+3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само числа. IN показателистепени (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с X. Ако внезапно X се появи в уравнението някъде извън индикатор, например:

това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаването им. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се занимаваме с решаване на експоненциални уравненияв най-чист вид.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги се решават ясно. Но има определени видове експоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Това са видовете, които ще разгледаме.

Решаване на прости експоненциални уравнения.

Първо, нека решим нещо много основно. Например:

Дори и без никакви теории, чрез проста селекция е ясно, че x = 2. Нищо повече, нали!? Никоя друга стойност на X не работи. Сега нека да разгледаме решението на това сложно експоненциално уравнение:

какво направихме Ние всъщност просто изхвърлихме същите бази (тройки). Напълно изхвърлен. И добрата новина е, че ударихме гвоздея на главата!

Наистина, ако в едно експоненциално уравнение има ляво и дясно същоточисла във всякакви степени, тези числа могат да бъдат премахнати и показателите могат да бъдат изравнени. Математиката позволява. Остава да решим много по-просто уравнение. Страхотно, нали?)

Нека обаче твърдо запомним: Можете да премахнете бази само когато базовите числа отляво и отдясно са в прекрасна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x+1 = 2 3, или

двойки не могат да бъдат премахнати!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от зли експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Такива са времената! - ти каза. „Кой би дал такъв примитивен урок на контролни и изпити!?“

Трябва да се съглася. Никой няма. Но сега знаете накъде да се стремите, когато решавате трудни примери. Трябва да се доведе до формата, където отляво и отдясно е едно и също базово число. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класика на математиката. Взимаме оригиналния пример и го трансформираме в желания насум. Според правилата на математиката, разбира се.

Нека да разгледаме примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги сведем до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Решаване на прости експоненциални уравнения. Примери.

При решаване на експоненциални уравнения основните правила са действия със степени.Без познаване на тези действия нищо няма да работи.

Към действията със степени трябва да се добави лично наблюдение и изобретателност. Имаме ли нужда от еднакви базови числа? Така че ние ги търсим в примера в изрична или криптирана форма.

Да видим как това се прави на практика?

Нека ни бъде даден пример:

2 2x - 8 x+1 = 0

Първият проницателен поглед е към основания.Те... Те са различни! Две и осем. Но е твърде рано да се обезсърчавате. Време е да си припомним това

Две и осем са роднини по степен.) Напълно възможно е да напишете:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ако си припомним формулата от операции със степени:

(a n) m = a nm,

това работи страхотно:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Оригиналният пример започна да изглежда така:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ние прехвърляме 2 3 (x+1)надясно (никой не е отменил елементарните математически операции!), получаваме:

2 2x = 2 3(x+1)

Това е на практика всичко. Премахване на основите:

Разрешаваме това чудовище и получаваме

Това е правилният отговор.

В този пример познаването на правомощията на две ни помогна. Ние идентифициранив осем има криптирана двойка. Тази техника (кодиране на общи основи под различни числа) е много популярна техника в експоненциалните уравнения! Да, и в логаритми също. Трябва да можете да разпознавате степени на други числа в числата. Това е изключително важно за решаване на експоненциални уравнения.

Факт е, че повишаването на произволно число на произволна степен не е проблем. Умножете дори на хартия и това е. Например всеки може да повдигне 3 на пета степен. 243 ще се получи, ако знаете таблицата за умножение.) Но в експоненциалните уравнения много по-често не е необходимо да се повдига на степен, а обратното... Разберете какво число до каква степенсе крие зад числото 243, или, да речем, 343... Никой калкулатор няма да ви помогне тук.

Трябва да знаете степента на някои числа по поглед, нали... Да се ​​упражняваме?

Определете на какви степени и какви числа са числата:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Отговори (в бъркотия, разбира се!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ако се вгледате внимателно, можете да видите странен факт. Има значително повече отговори, отколкото задачи! Е, случва се... Например 2 6, 4 3, 8 2 - това е всичко 64.

Да приемем, че сте взели под внимание информацията за познаването на числата.) Позволете ми също да ви напомня, че за решаване на експоненциални уравнения използваме всичкозапас от математически знания. Включително и от младши и среден клас. Не си отишъл направо в гимназията, нали?)

Например, когато решавате експоненциални уравнения, поставянето на общия множител извън скоби често помага (здравейте на 7 клас!). Да разгледаме един пример:

3 2x+4 -11 9 x = 210

И отново, първият поглед е към основите! Основите на степените са различни... Три и девет. Но ние искаме да са същите. Е, в този случай желанието е напълно изпълнено!) Защото:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Използване на същите правила за работа със степени:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Това е страхотно, можете да го запишете:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Дадохме пример по същите причини. И така, какво следва!? Не можете да изхвърляте тройки... Задънена улица?

Въобще не. Запомнете най-универсалното и силно правило за вземане на решения всекизадачи по математика:

Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете!

Вижте, всичко ще се получи).

Какво има в това експоненциално уравнение Могаправя? Да, от лявата страна просто моли да бъде извадено от скоби! Общият множител от 3 2x ясно подсказва това. Нека опитаме и тогава ще видим:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Примерът става все по-добър и по-добър!

Спомняме си, че за да елиминираме основания, се нуждаем от чиста степен, без никакви коефициенти. Числото 70 ни притеснява. Така че разделяме двете страни на уравнението на 70, получаваме:

Опа! Всичко се оправи!

Това е окончателният отговор.

Случва се обаче да се постигне рулиране на същата база, но премахването им да не е възможно. Това се случва в други видове експоненциални уравнения. Нека овладеем този тип.

Замяна на променлива при решаване на експоненциални уравнения. Примери.

Нека решим уравнението:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Първо - както обикновено. Да преминем към една база. До двойка.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Получаваме уравнението:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

И това е мястото, където се мотаем. Предишните техники няма да работят, както и да го погледнете. Ще трябва да извадим друг мощен и универсален метод от нашия арсенал. Нарича се променлива замяна.

Същността на метода е изненадващо проста. Вместо една сложна икона (в нашия случай - 2 x) пишем друга, по-проста (например - t). Такава на пръв поглед безсмислена замяна води до невероятни резултати!) Всичко става ясно и разбираемо!

Така че нека

Тогава 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

В нашето уравнение заместваме всички степени с x с t:

Е, светна ли ти?) Забравихте ли вече квадратните уравнения? Решавайки чрез дискриминанта, получаваме:

Основното тук е да не спираме, както се случва... Това все още не е отговорът, имаме нужда от x, а не от t. Да се ​​върнем на Х-овете, т.е. правим обратна замяна. Първо за t 1:

Това е,

Намерен е един корен. Търсим втория от t 2:

Хм... 2 х отляво, 1 отдясно... Проблем? Въобще не! Достатъчно е да запомните (от операции със степени, да...), че единица е всякаквичисло на нулева степен. Всякакви. Каквото е необходимо ние ще го монтираме. Имаме нужда от две. означава:

Това е сега. Имаме 2 корена:

Това е отговорът.

При решаване на експоненциални уравнениянакрая понякога завършвате с някакъв вид неловко изражение. Тип:

Седем не може да се преобразува в две чрез обикновена степен. Те не са роднини... Как да сме? Някой може да е объркан ... Но човекът, който е прочел в този сайт темата "Какво е логаритъм?" , само се усмихва пестеливо и записва със твърда ръка абсолютно верния отговор:

В задачи „Б” на Единния държавен изпит не може да има такъв отговор. Там се изисква конкретен номер. Но в задачи „C“ е лесно.

Този урок предоставя примери за решаване на най-често срещаните експоненциални уравнения. Нека подчертаем основните точки.

Практически съвети:

1. На първо място, разглеждаме основаниястепени. Чудим се дали е възможно да ги направим идентичен.Нека се опитаме да направим това чрез активно използване действия със степени.Не забравяйте, че числата без х също могат да се преобразуват в степени!

2. Опитваме се да доведем експоненциалното уравнение до вида, когато отляво и отдясно има същоточисла във всякакви степени. Ние използваме действия със степениИ факторизация.Това, което може да се преброи в числа, ние го броим.

3. Ако вторият съвет не работи, опитайте да използвате замяна на променливи. Резултатът може да бъде уравнение, което може лесно да бъде решено. Най-често - квадрат. Или дробно, което също се свежда до квадрат.

4. За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете степените на някои числа нагледно.

Както обикновено, в края на урока вие сте поканени да решите малко.) Сами. От просто към сложно.

Решете експоненциални уравнения:

По-трудно:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Намерете произведението на корените:

2 3 + 2 x = 9

Се случи?

Е, тогава един много сложен пример (въпреки че може да бъде решен в ума...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Какво по-интересно? Тогава ето ви лош пример. Доста изкушаващо за повишена трудност. Нека намекна, че в този пример това, което ви спасява, е изобретателността и най-универсалното правило за решаване на всички математически задачи.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

По-прост пример, за релакс):

9 2 x - 4 3 x = 0

И за десерт. Намерете сумата от корените на уравнението:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Да да! Това е уравнение от смесен тип! Което не разгледахме в този урок. Защо да ги обмисляте, те трябва да бъдат решени!) Този урок е напълно достатъчен за решаване на уравнението. Е, находчивост трябва... И дано ти помогне седми клас (това е подсказка!).

Отговори (в безпорядък, разделени с точка и запетая):

1; 2; 3; 4; няма решения; 2; -2; -5; 4; 0.

Всичко успешно ли е? Страхотен.

Има проблем? Няма проблем! Специален раздел 555 решава всички тези експоненциални уравнения с подробни обяснения. Какво, защо и защо. И, разбира се, има допълнителна ценна информация за работа с всякакви експоненциални уравнения. Не само тези.)

Един последен забавен въпрос за разглеждане. В този урок работихме с експоненциални уравнения. Защо не казах нито дума за ODZ тук?В уравненията това е много важно нещо, между другото...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.