Абсолютни и относителни грешки при измерване. Абсолютна грешка при измерване
Грешка в измерването- оценка на отклонението на измерената стойност на величина от истинската й стойност. Грешката на измерване е характеристика (мярка) за точност на измерване.
Тъй като е невъзможно да се определи с абсолютна точност истинската стойност на което и да е количество, е невъзможно да се посочи степента на отклонение на измерената стойност от истинската. (Това отклонение обикновено се нарича грешка при измерване. В редица източници, например във Великата съветска енциклопедия, термините грешка при измерванеИ грешка при измерванесе използват като синоними, но според RMG 29-99 терминът грешка при измерванеНе се препоръчва за употреба като по-малко успешна). Възможно е само да се оцени големината на това отклонение, например чрез използване на статистически методи. На практика вместо истинската стойност те използват действителната стойност на количеството x d, тоест стойността на физическа величина, получена експериментално и толкова близка до истинската стойност, че може да се използва вместо нея в дадената задача за измерване. Тази стойност обикновено се изчислява като средна стойност, получена от статистическа обработка на резултатите от поредица от измервания. Тази получена стойност не е точна, а само най-вероятната. Затова е необходимо в измерванията да се посочи каква е тяхната точност. За да направите това, грешката на измерването се посочва заедно с получения резултат. Например запис Т=2,8±0,1° С. означава, че истинската стойност на количеството Tсе намира в диапазона от 2.7 s.преди 2.9 s.с някаква определена вероятност
През 2004 г. на международно ниво беше приет нов документ, който диктува условията за извършване на измервания и установява нови правила за сравняване на държавни стандарти. Понятието „грешка“ е остаряло, вместо това е въведено понятието „несигурност на измерването“, но GOST R 50.2.038-2004 позволява използването на термина грешказа документи, използвани в Русия.
Разграничават се следните видове грешки:
· абсолютна грешка;
· относителна грешка;
· намалена грешка;
· основна грешка;
· допълнителна грешка;
· систематична грешка;
· случайна грешка;
· инструментална грешка;
· методическа грешка;
· лична грешка;
· статична грешка;
· динамична грешка.
Грешките при измерване се класифицират според следните критерии.
· Според метода на математическото изразяване грешките се делят на абсолютни грешки и относителни грешки.
· Според взаимодействието на промените във времето и входната стойност, грешките се разделят на статични грешки и динамични грешки.
· Въз основа на естеството на тяхното възникване грешките се делят на систематични грешки и случайни грешки.
· Според характера на зависимостта на грешката от въздействащите величини грешките се делят на основни и допълнителни.
· Въз основа на естеството на зависимостта на грешката от входната стойност, грешките се разделят на адитивни и мултипликативни.
Абсолютна грешка– това е стойност, изчислена като разликата между стойността на дадено количество, получено по време на процеса на измерване, и реалната (действителната) стойност на това количество. Абсолютната грешка се изчислява по следната формула:
AQ n = Q n /Q 0 , където AQ n е абсолютната грешка; Qn– стойността на определена величина, получена в процеса на измерване; Q 0– стойността на същото количество, взето като база за сравнение (реална стойност).
Абсолютна грешка на мярката– това е стойност, изчислена като разлика между числото, което е номиналната стойност на мярката, и реалната (действителната) стойност на количеството, възпроизвеждано от мярката.
Относителна грешкае число, което отразява степента на точност на измерването. Относителната грешка се изчислява по следната формула:
Където ∆Q е абсолютната грешка; Q 0– реална (действителна) стойност на измерваната величина. Относителната грешка се изразява в проценти.
Намалена грешкае стойност, изчислена като отношение на стойността на абсолютната грешка към нормализиращата стойност.
Стандартната стойност се определя, както следва:
· за средствата за измерване, за които е одобрена номинална стойност, тази номинална стойност се приема за стандартна стойност;
· за средствата за измерване, при които нулевата стойност се намира на ръба на скалата на измерване или извън скалата, нормализиращата стойност се приема равна на крайната стойност от диапазона на измерване. Изключение правят измервателните уреди със значително неравномерна скала на измерване;
· за измервателни уреди, чиято нулева маркировка се намира в обхвата на измерване, нормализиращата стойност се приема равна на сумата от крайните числени стойности на обхвата на измерване;
· за измервателни уреди (измервателни уреди), в които скалата е неравномерна, нормализиращата стойност се приема равна на цялата дължина на измервателната скала или дължината на тази част от нея, която съответства на обхвата на измерване. След това абсолютната грешка се изразява в единици за дължина.
Грешката при измерване включва инструментална грешка, грешка на метода и грешка при броенето. Освен това грешката при броенето възниква поради неточността при определяне на фракциите на делене на скалата за измерване.
Инструментална грешка– това е грешка, която възниква поради грешки, допуснати по време на производствения процес на функционални части на измервателни уреди.
Методическа грешкае грешка, която възниква поради следните причини:
· неточност при конструирането на модел на физическия процес, върху който се основава измервателният уред;
· неправилно използване на измервателни уреди.
Субективна грешка– това е грешка, произтичаща от ниската степен на квалификация на оператора на средството за измерване, както и поради грешката на зрителните органи на човека, т.е. причината за субективната грешка е човешкият фактор.
Грешките във взаимодействието на промените във времето и входното количество се разделят на статични и динамични грешки.
Статична грешка– това е грешка, която възниква в процеса на измерване на постоянна (непроменяща се във времето) величина.
Динамична грешкае грешка, числената стойност на която се изчислява като разликата между грешката, която възниква при измерване на непостоянна (променлива във времето) величина и статичната грешка (грешката в стойността на измерената величина в определена точка от време).
Според характера на зависимостта на грешката от въздействащите величини грешките се делят на основни и допълнителни.
Основна грешка– това е грешката, получена при нормални условия на работа на измервателния уред (при нормални стойности на въздействащите величини).
Допълнителна грешка– това е грешка, която възниква, когато стойностите на влияещите величини не съответстват на техните нормални стойности или ако влияещата величина надхвърля границите на областта на нормалните стойности.
Нормални условия– това са условия, при които всички стойности на въздействащи величини са нормални или не излизат извън границите на нормалния диапазон.
Условията на труд– това са условия, при които изменението на въздействащите величини има по-широк диапазон (въздействащите стойности не излизат извън границите на работния диапазон от стойности).
Работен диапазон на въздействащи величини– това е диапазонът от стойности, в който се нормализират стойностите на допълнителната грешка.
Въз основа на естеството на зависимостта на грешката от входната стойност грешките се разделят на адитивни и мултипликативни.
Допълнителна грешка– това е грешка, която възниква поради сумирането на числови стойности и не зависи от стойността на измереното количество, взето по модул (абсолютно).
Мултипликативно отклонениее грешка, която се променя с промени в стойностите на измерваното количество.
Трябва да се отбележи, че стойността на абсолютната адитивна грешка не е свързана със стойността на измерваната величина и чувствителността на измервателния уред. Абсолютните адитивни грешки са постоянни в целия диапазон на измерване.
Стойността на абсолютната адитивна грешка определя минималната стойност на величината, която може да бъде измерена от измервателния уред.
Стойностите на мултипликативните грешки се променят пропорционално на промените в стойностите на измереното количество. Стойностите на мултипликативните грешки също са пропорционални на чувствителността на измервателния уред.Множителната грешка възниква поради влиянието на влияещите величини върху параметричните характеристики на елементите на устройството.
Грешките, които могат да възникнат по време на процеса на измерване, се класифицират според естеството на тяхното възникване. Акцент:
· систематични грешки;
· случайни грешки.
Груби грешки и грешки също могат да възникнат по време на процеса на измерване.
Систематична грешка- това е компонент на цялата грешка на резултата от измерването, който не се променя или се променя естествено при многократни измервания на едно и също количество. Обикновено системната грешка се опитва да бъде елиминирана по възможни начини (например чрез използване на методи за измерване, които намаляват вероятността от нейното възникване), но ако системната грешка не може да бъде елиминирана, тогава тя се изчислява преди началото на измерванията и подходящо се правят корекции на резултата от измерването. В процеса на нормализиране на системната грешка се определят границите на нейните допустими стойности. Систематичната грешка определя точността на измерванията на средствата за измерване (метрологично свойство). Систематичните грешки в някои случаи могат да бъдат определени експериментално. След това резултатът от измерването може да бъде изяснен чрез въвеждане на корекция.
Методите за елиминиране на систематични грешки са разделени на четири вида:
· отстраняване на причините и източниците на грешки преди започване на измерванията;
· отстраняване на грешки в процеса на вече започнато измерване чрез заместване, компенсиране на грешки по знак, противопоставяне, симетрични наблюдения;
· коригиране на резултатите от измерванията чрез извършване на корекции (отстраняване на грешки чрез изчисления);
· определяне на границите на систематичната грешка, в случай че тя не може да бъде отстранена.
Отстраняване на причините и източниците на грешки преди започване на измерванията. Този метод е най-добрият вариант, тъй като използването му опростява по-нататъшния ход на измерванията (няма нужда да се отстраняват грешки в процеса на вече започнало измерване или да се правят корекции на получения резултат).
За отстраняване на систематични грешки в процеса на вече започнало измерване се използват различни методи
Начин на внасяне на изменениясе основава на познаване на систематичната грешка и текущите модели на нейното изменение. При използване на този метод се правят корекции на резултата от измерването, получен със систематични грешки, равни по големина на тези грешки, но противоположни по знак.
Метод на заместванесе състои в това, че измерената величина се заменя с мярка, поставена в същите условия, в които се намира обектът на измерване. Методът на замяна се използва при измерване на следните електрически параметри: съпротивление, капацитет и индуктивност.
Метод за компенсиране на грешката на знакасе състои в това, че измерванията се извършват два пъти по такъв начин, че грешка с неизвестна величина се включва в резултатите от измерването с противоположен знак.
Метод на опозициятаподобно на метода за компенсация на знака. Този метод се състои в правене на измервания два пъти, така че източникът на грешка при първото измерване да има обратен ефект върху резултата от второто измерване.
Случайна грешка- това е компонент на грешката на резултата от измерването, променящ се произволно, неравномерно при извършване на многократни измервания на едно и също количество. Появата на случайна грешка не може да бъде предвидена или предвидена. Случайната грешка не може да бъде напълно елиминирана; тя винаги до известна степен изкривява крайните резултати от измерването. Но можете да направите резултата от измерването по-точен, като правите многократни измервания. Причината за случайна грешка може да бъде например случайна промяна на външни фактори, влияещи върху процеса на измерване. Случайна грешка при извършване на многократни измервания с достатъчно висока степен на точност води до разсейване на резултатите.
Грешки и груби грешки– това са грешки, които далеч надвишават системните и случайни грешки, очаквани при дадените условия на измерване. Грешки и груби грешки могат да се появят поради груби грешки по време на процеса на измерване, техническа неизправност на измервателния уред или неочаквани промени във външните условия.
Нека някаква случайна променлива аизмерено нпъти при същите условия. Резултатите от измерването дадоха набор нразлични числа
Абсолютна грешка- размерна стойност. Между нСтойностите на абсолютната грешка са задължително както положителни, така и отрицателни.
За най-вероятната стойност на количеството Аобикновено се приема средно аритметичностойност на резултатите от измерването
.
Колкото по-голям е броят на измерванията, толкова по-близо е средната стойност до истинската стойност.
Абсолютна грешкааз
.
Относителна грешкааз-тото измерване се нарича количество
Относителната грешка е безразмерна величина. Обикновено относителната грешка се изразява като процент за това e iумножете по 100%. Големината на относителната грешка характеризира точността на измерването.
Средна абсолютна грешкасе определя така:
.
Подчертаваме необходимостта от сумиране на абсолютните стойности (модули) на величините D и аз.В противен случай резултатът ще бъде идентично нула.
Средна относителна грешкасе нарича количеството
.
За голям брой измервания.
Относителната грешка може да се разглежда като стойността на грешката за единица от измерената стойност.
Точността на измерванията се оценява чрез сравняване на грешките на резултатите от измерванията. Следователно грешките при измерване се изразяват в такава форма, че за оценка на точността е достатъчно да се сравнят само грешките на резултатите, без да се сравняват размерите на измерваните обекти или да се знаят тези размери много приблизително. От практиката е известно, че абсолютната грешка при измерване на ъгъл не зависи от стойността на ъгъла, а абсолютната грешка при измерване на дължина зависи от стойността на дължината. Колкото по-голяма е дължината, толкова по-голяма е абсолютната грешка за даден метод и условия на измерване. Следователно, абсолютната грешка на резултата може да се използва за преценка на точността на измерването на ъгъла, но точността на измерването на дължината не може да бъде преценена. Изразяването на грешката в относителна форма прави възможно сравняването на точността на ъглови и линейни измервания в известни случаи.
Основни понятия на теорията на вероятностите. Случайна грешка.
Случайна грешка наречен компонент на грешката на измерване, който се променя произволно по време на многократни измервания на едно и също количество.
Когато се извършват многократни измервания на едно и също постоянно, непроменливо количество с еднаква грижа и при едни и същи условия, ние получаваме резултати от измерването - някои от тях се различават един от друг, а някои от тях съвпадат. Такива несъответствия в резултатите от измерванията показват наличието на случайни компоненти на грешката в тях.
Случайната грешка възниква от едновременното влияние на много източници, всеки от които сам по себе си има незабележим ефект върху резултата от измерването, но общото влияние на всички източници може да бъде доста силно.
Случайните грешки са неизбежна последица от всякакви измервания и се причиняват от:
а) неточност на показанията по скалата на инструментите и инструментите;
б) неидентичност на условията за повторни измервания;
в) случайни промени във външните условия (температура, налягане, силово поле и др.), които не могат да бъдат контролирани;
г) всички други влияния върху измерванията, чиито причини са неизвестни за нас. Големината на случайната грешка може да бъде сведена до минимум чрез повтаряне на експеримента много пъти и съответна математическа обработка на получените резултати.
Случайна грешка може да приеме различни абсолютни стойности, които е невъзможно да се предвидят за дадено измерване. Тази грешка може да бъде еднакво положителна или отрицателна. В експеримента винаги присъстват случайни грешки. При липса на систематични грешки, те причиняват разсейване на повтарящите се измервания спрямо истинската стойност.
Да приемем, че периодът на трептене на махалото се измерва с помощта на хронометър и измерването се повтаря многократно. Грешки при стартиране и спиране на хронометъра, грешка в стойността на отчитане, лека неравномерност в движението на махалото - всичко това причинява разсейване на резултатите от многократните измервания и следователно може да се класифицира като случайни грешки.
Ако няма други грешки, тогава някои резултати ще бъдат донякъде надценени, докато други ще бъдат донякъде подценени. Но ако в допълнение към това часовникът изостава, тогава всички резултати ще бъдат подценени. Това вече е системна грешка.
Някои фактори могат да причинят както систематични, така и случайни грешки едновременно. И така, като включваме и изключваме хронометъра, можем да създадем малко неравномерно разминаване в началните и крайните времена на часовника спрямо движението на махалото и по този начин да въведем случайна грешка. Но ако освен това всеки път бързаме да включим хронометъра и малко закъсняваме да го изключим, тогава това ще доведе до системна грешка.
Случайните грешки се дължат на грешка на паралакса при преброяване на деленията на скалата на инструмента, разклащане на основата на сграда, влияние на леко движение на въздуха и др.
Въпреки че е невъзможно да се елиминират случайните грешки в отделните измервания, математическата теория на случайните явления ни позволява да намалим влиянието на тези грешки върху крайния резултат от измерването. По-долу ще бъде показано, че за това е необходимо да се направят не едно, а няколко измервания, като колкото по-малка стойност на грешката искаме да получим, толкова повече измервания трябва да бъдат направени.
Поради факта, че появата на случайни грешки е неизбежна и неизбежна, основната задача на всеки измервателен процес е да намали грешките до минимум.
Теорията за грешките се основава на две основни допускания, потвърдени от опита:
1. При голям брой измервания доста често възникват случайни грешки с еднаква величина, но с различни знаци, т.е. грешки в посока на увеличаване и намаляване на резултата.
2. Грешките, които са големи по абсолютна стойност, са по-рядко срещани от малките, поради което вероятността от възникване на грешка намалява с увеличаване на нейния мащаб.
Поведението на случайните променливи се описва от статистически модели, които са предмет на теорията на вероятностите. Статистическа дефиниция на вероятността w iсъбития азе отношението
Където н- общ брой експерименти, n i- броя на експериментите, в които събитието азсе случи. В този случай общият брой на експериментите трябва да бъде много голям ( н®¥). При голям брой измервания случайните грешки се подчиняват на нормално разпределение (разпределение на Гаус), основните характеристики на което са следните:
1. Колкото по-голямо е отклонението на измерената стойност от истинската, толкова по-малка е вероятността за такъв резултат.
2. Еднакво вероятни са отклонения и в двете посоки от истинската стойност.
От горните допускания следва, че за да се намали влиянието на случайните грешки, е необходимо тази стойност да се измери няколко пъти. Да предположим, че измерваме някакво количество x. Нека се произвежда низмервания: x 1, x 2, ... x n- използвайки същия метод и със същата грижа. Може да се очаква, че броят днполучени резултати, които се намират в някакъв доста тесен интервал от хпреди x + dx, трябва да е пропорционално:
Размерът на взетия интервал dx;
Общ брой измервания н.
Вероятност dw(х), че някаква стойност хсе намира в диапазона от хпреди x + dx,се определя по следния начин :
(с броя на измерванията н ®¥).
функция f(х) се нарича функция на разпределение или плътност на вероятността.
Като постулат на теорията на грешките се приема, че резултатите от преките измервания и техните случайни грешки, когато са голям брой, се подчиняват на закона за нормалното разпределение.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива, намерена от Гаус хима следната форма:
, където mis -
параметри на разпространение .
Параметърът m на нормалното разпределение е равен на средната стойност b х– случайна величина, която за произволна известна функция на разпределение се определя от интеграла
.
По този начин, стойността m е най-вероятната стойност на измереното количество x, т.е. нейната най-добра оценка.
Параметърът s 2 на нормалното разпределение е равен на дисперсията D на случайната променлива, която в общия случай се определя от следния интеграл
.
Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение на случайната променлива.
Средното отклонение (грешка) на случайната променлива ásñ се определя с помощта на функцията на разпределение, както следва
Средната грешка на измерване ásñ, изчислена от функцията на разпределение на Гаус, е свързана със стойността на стандартното отклонение s, както следва:
< с > = 0,8 s.
Параметрите s и m са свързани помежду си, както следва:
.
Този израз ви позволява да намерите стандартното отклонение s, ако има нормална крива на разпределение.
Графиката на функцията на Гаус е представена на фигурите. функция f(х) е симетричен спрямо ординатата, начертана в точката x = m; преминава през максимум в точката x = m и има инфлексия в точки m ±s. По този начин дисперсията характеризира ширината на функцията на разпределение или показва колко широко са разпръснати стойностите на случайна променлива спрямо нейната истинска стойност. Колкото по-точни са измерванията, толкова по-близо до истинската стойност са резултатите от отделните измервания, т.е. стойността s е по-малка. Фигура A показва функцията f(х) за три стойности на s .
Площ на фигура, оградена от крива f(х) и вертикални линии, начертани от точки х 1 и х 2 (фиг. B) , числено равна на вероятността резултатът от измерването да попадне в интервала D х = х 1 -х 2, което се нарича доверителна вероятност. Площ под цялата крива f(х) е равна на вероятността случайна променлива да попадне в интервала от 0 до ¥, т.е.
,
тъй като вероятността за надеждно събитие е равна на единица.
Използвайки нормалното разпределение, теорията на грешките поставя и решава два основни проблема. Първият е оценка на точността на направените измервания. Вторият е оценка на точността на средноаритметичната стойност на резултатите от измерването.5. Доверителен интервал. Студентски коефициент.
Теорията на вероятностите ни позволява да определим размера на интервала, в който, с известна вероятност wнамират се резултатите от индивидуалните измервания. Тази вероятност се нарича вероятност за довериеи съответния интервал (<х>±D х)wНаречен доверителен интервал.Вероятността за доверие също е равна на относителния дял на резултатите, които попадат в интервала на доверие.
Ако броят на измерванията не достатъчно голяма, тогава доверителната вероятност изразява съотношението на общия брой нтези измервания, при които измерената стойност е в рамките на доверителния интервал. Всяка вероятност за доверие wсъответства на неговия доверителен интервал w 2 80%. Колкото по-широк е доверителният интервал, толкова по-голяма е вероятността да получите резултат в рамките на този интервал. В теорията на вероятностите се установява количествена връзка между стойността на доверителния интервал, доверителната вероятност и броя на измерванията.
Ако изберем като доверителен интервал интервала, съответстващ на средната грешка, т.е. D а =áD Аñ, тогава за достатъчно голям брой измервания съответства на доверителната вероятност w 60%. Тъй като броят на измерванията намалява, доверителната вероятност, съответстваща на такъв доверителен интервал (á Аñ ± áD Аñ), намалява.
По този начин, за да се оцени доверителният интервал на случайна променлива, може да се използва стойността на средната грешка áD Аñ .
За да се характеризира големината на случайната грешка, е необходимо да се уточнят две числа, а именно стойността на доверителния интервал и стойността на доверителната вероятност . Посочването само на големината на грешката без съответната вероятност за доверие е до голяма степен безсмислено.
Ако средната грешка на измерване ásñ е известна, доверителният интервал, записан като (<х> ± ásñ) w, определена с доверителна вероятност w= 0,57.
Ако стандартното отклонение s е известно разпределение на резултатите от измерването, посоченият интервал има формата (<х>± t wс) w, Където t w- коефициент, зависещ от стойността на доверителната вероятност и изчислен чрез разпределението на Гаус.
Най-често използваните количества D хса дадени в таблица 1.
Страница 1
Абсолютната грешка на определяне не надвишава 0,01 μg фосфор. Използвахме този метод за определяне на фосфор в азотна, оцетна, солна и сярна киселини и ацетон с тяхното предварително изпаряване.
Абсолютната грешка на определяне е 0 2 - 0 3 mg.
Абсолютната грешка при определяне на цинк в цинк-манганови ферити по предложения метод не надвишава 0,2% отн.
Абсолютната грешка при определяне на въглеводородите С2 - С4, когато съдържанието им в газа е 0 2 - 5 0%, е съответно 0 01 - 0 2%.
Тук Ау е абсолютната грешка при определяне на r/, която произтича от грешката Да при определяне на a. Например относителната грешка на квадрата на число е два пъти по-голяма от грешката при определяне на самото число, а относителната грешка на числото под кубичния корен е просто една трета от грешката при определяне на числото.
Необходими са по-сложни съображения при избора на мярка за сравнения на абсолютни грешки при определяне на времето на началото на аварията TV - Ts, където Tv и Ts са съответно времето на реконструираната и реалната авария. По аналогия тук може да се използва средното време за пътуване на пика на замърсяване от действителното заустване до онези точки за наблюдение, които са регистрирали аварията по време на преминаването на замърсяването Tsm. Изчисляването на надеждността на определяне на мощността на авариите се основава на изчисляването на относителната грешка MV - Ms / Mv, където Mv и Ms са съответно възстановената и реалната мощност. И накрая, относителната грешка при определяне на продължителността на аварийно изпускане се характеризира със стойността rv - rs / re, където rv и rs са съответно реконструираната и реалната продължителност на авариите.
Необходими са по-сложни съображения при избора на мярка за сравнения на абсолютни грешки при определяне на времето на началото на аварията TV - Ts, където Tv и Ts са съответно времето на реконструираната и реалната авария. По аналогия тук може да се използва средното време за пътуване на пика на замърсяване от действителното заустване до онези точки за наблюдение, които са регистрирали аварията по време на преминаването на замърсяването Tsm. Изчисляването на надеждността на определяне на мощността на авариите се основава на изчисляването на относителната грешка Mv - Ms / Ms, където Mv и Ms са съответно възстановената и реалната мощност. И накрая, относителната грешка при определяне на продължителността на аварийно изпускане се характеризира със стойността rv - rs / rs, където rv и rs са съответно реконструираната и реалната продължителност на авариите.
При същата абсолютна грешка на измерване ay, абсолютната грешка при определяне на количеството ax намалява с увеличаване на чувствителността на метода.
Тъй като грешките се основават не на случайни, а на систематични грешки, крайната абсолютна грешка при определяне на вендузите може да достигне 10% от теоретично необходимото количество въздух. Само при неприемливо течащи горивни камери (A a0 25) общоприетият метод дава повече или по-малко задоволителни резултати. Това е добре известно на сервизните техници, които при балансиране на въздушния баланс на плътни горивни камери често получават отрицателни стойности на засмукване.
Анализът на грешката при определяне на стойността на pet показа, че тя се състои от 4 компонента: абсолютната грешка при определяне на масата на матрицата, капацитета на пробата, претеглянето и относителната грешка, дължаща се на колебания в масата на пробата около равновесното състояние. стойност.
Ако се спазват всички правила за избор, измерване на обеми и анализиране на газове с помощта на газов анализатор GKhP-3, общата абсолютна грешка при определяне на съдържанието на CO2 и O2 не трябва да надвишава 0 2 - 0 4% от истинската им стойност.
От масата 1 - 3 можем да заключим, че данните, които използваме за изходните вещества, взети от различни източници, имат относително малки разлики, които са в рамките на абсолютните грешки при определяне на тези количества.
Случайните грешки могат да бъдат абсолютни и относителни. Случайна грешка с размерността на измерената стойност се нарича абсолютна грешка на определяне. Средната аритметична стойност на абсолютните грешки на всички отделни измервания се нарича абсолютна грешка на аналитичния метод.
Стойността на допустимото отклонение или доверителния интервал не се задава произволно, а се изчислява от конкретни данни от измерване и характеристиките на използваните инструменти. Отклонението на резултата от отделно измерване от истинската стойност на дадено количество се нарича абсолютна грешка на определяне или просто грешка. Съотношението на абсолютната грешка към измерената стойност се нарича относителна грешка, която обикновено се изразява в проценти. Познаването на грешката на отделно измерване няма самостоятелно значение и при всеки сериозно проведен експеримент трябва да се извършат няколко паралелни измервания, от които се изчислява експерименталната грешка. Грешките в измерването, в зависимост от причините за възникването им, се делят на три вида.
Почти невъзможно е да се определи абсолютно точно истинската стойност на дадено физическо количество, т.к всяка измервателна операция е свързана с редица грешки или, с други думи, неточности. Причините за грешки могат да бъдат много различни. Появата им може да бъде свързана с неточности в производството и настройката на измервателния уред, дължащи се на физическите характеристики на обекта, който се изследва (например при измерване на диаметъра на проводник с неравномерна дебелина резултатът произволно зависи от избор на място за измерване), случайни причини и др.
Задачата на експериментатора е да намали влиянието си върху резултата, както и да посочи колко близо е полученият резултат до истинския.
Има концепции за абсолютна и относителна грешка.
Под абсолютна грешкаизмерванията ще разберат разликата между резултата от измерването и истинската стойност на измереното количество:
∆x i =x i -x и (2)
където ∆x i е абсолютната грешка на i-тото измерване, x i _ е резултатът от i-тото измерване, x и е истинската стойност на измерената стойност.
Резултатът от всяко физическо измерване обикновено се записва във формата:
където е средната аритметична стойност на измерената стойност, най-близка до истинската стойност (валидността на x и≈ ще бъде показана по-долу), е абсолютната грешка на измерване.
Равенството (3) трябва да се разбира по такъв начин, че истинската стойност на измереното количество е в интервала [ - , + ].
Абсолютната грешка е размерна величина; тя има същото измерение като измереното количество.
Абсолютната грешка не характеризира напълно точността на направените измервания. Всъщност, ако измерим сегменти с дължина 1 m и 5 mm с еднаква абсолютна грешка ± 1 mm, точността на измерванията ще бъде несравнима. Следователно наред с абсолютната грешка на измерване се изчислява и относителната грешка.
Относителна грешкаизмерванията е отношението на абсолютната грешка към самата измерена стойност:
Относителната грешка е безразмерна величина. Изразява се като процент:
В горния пример относителните грешки са 0,1% и 20%. Те се различават значително един от друг, въпреки че абсолютните стойности са еднакви. Относителната грешка дава информация за точността
Грешки при измерване
Според характера на проявата и причините за възникване на грешките те могат да бъдат разделени на следните класове: инструментални, систематични, случайни и пропуски (груби грешки).
Грешките са причинени или от неизправност на устройството, или от нарушение на методологията или условията на експеримента, или са от субективен характер. На практика те се определят като резултати, които се различават рязко от останалите. За да елиминирате появата им, е необходимо да бъдете внимателни и задълбочени при работа с устройства. Резултатите, съдържащи грешки, трябва да бъдат изключени от разглеждане (отхвърлени).
Грешки на инструмента. Ако измервателният уред е в добро работно състояние и е настроен, тогава могат да се правят измервания с него с ограничена точност, определена от вида на уреда. Обичайно е инструменталната грешка на стрелков инструмент да се счита за равна на половината от най-малкото деление на неговата скала. При уреди с цифрово отчитане грешката на уреда се приравнява към стойността на една най-малка цифра от скалата на уреда.
Систематичните грешки са грешки, чиято величина и знак са постоянни за цялата поредица от измервания, извършени по един и същи метод и с едни и същи измервателни уреди.
При извършване на измервания е важно не само да се вземат предвид систематичните грешки, но също така е необходимо да се гарантира тяхното отстраняване.
Систематичните грешки условно се разделят на четири групи:
1) грешки, чието естество е известно и тяхната величина може да се определи доста точно. Такава грешка е например изменение на измерената маса във въздуха, което зависи от температурата, влажността, атмосферното налягане и др.;
2) грешки, чието естество е известно, но величината на самата грешка е неизвестна. Такива грешки включват грешки, причинени от измервателното устройство: неизправност на самото устройство, скала, която не съответства на нулевата стойност или класа на точност на устройството;
3) грешки, за чието съществуване може да не се подозира, но тяхната величина често може да бъде значителна. Такива грешки възникват най-често при сложни измервания. Прост пример за такава грешка е измерването на плътността на някаква проба, съдържаща кухина вътре;
4) грешки, причинени от характеристиките на самия обект на измерване. Например, когато се измерва електрическата проводимост на метал, от последния се взема парче тел. Грешки могат да възникнат, ако има някакъв дефект в материала - пукнатина, удебеляване на проводника или нееднородност, която променя съпротивлението му.
Случайните грешки са грешки, които се променят произволно по знак и големина при идентични условия на повтарящи се измервания на едно и също количество.
Свързана информация.
Абсолютна грешка при измерванее величина, определена от разликата между резултата от измерването хи истинската стойност на измереното количество х 0:
Δ х = |х - х 0 |.
Стойността δ, равна на отношението на абсолютната грешка на измерване към резултата от измерването, се нарича относителна грешка:
Пример 2.1.Приблизителната стойност на π е 3,14. Тогава неговата грешка е 0,00159. Абсолютната грешка може да се счита за равна на 0,0016, а относителната грешка е равна на 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Важни фигури.Ако абсолютната грешка на стойността a не надвишава една единица от последната цифра на числото a, тогава се казва, че числото има всички правилни знаци. Трябва да се запишат приблизителни числа, като се запазят само правилните знаци. Ако например абсолютната грешка на числото 52400 е 100, то това число трябва да се запише например като 524·10 2 или 0,524·10 5. Можете да оцените грешката на приблизително число, като посочите колко правилни значещи цифри съдържа то. При броене на значими цифри нулите от лявата страна на числото не се броят.
Например числото 0,0283 има три валидни значещи цифри, а 2,5400 има пет валидни значещи цифри.
Правила за закръгляване на числата. Ако приблизителното число съдържа допълнителни (или неправилни) цифри, то трябва да бъде закръглено. При закръгляване възниква допълнителна грешка, която не надвишава половин единица от мястото на последната значима цифра ( д) закръглено число. При закръгляване се запазват само правилните цифри; допълнителните знаци се изхвърлят и ако първата изхвърлена цифра е по-голяма или равна на д/2, тогава последната съхранена цифра се увеличава с единица.
Допълнителните цифри в целите числа се заменят с нули, а в десетичните се изхвърлят (както и допълнителните нули). Например, ако грешката на измерване е 0,001 mm, тогава резултатът 1,07005 се закръгля до 1,070. Ако първата от цифрите, модифицирани с нули и изхвърлени, е по-малка от 5, останалите цифри не се променят. Например числото 148935 с точност на измерване 50 има закръглена стойност 148900. Ако първата от цифрите, заменени с нули или изхвърлени, е 5 и няма цифри или нули след нея, то се закръгля до най-близката четен брой. Например числото 123,50 се закръгля до 124. Ако първата нула или падаща цифра е по-голяма от 5 или равна на 5, но е последвана от значима цифра, тогава последната оставаща цифра се увеличава с единица. Например числото 6783,6 се закръгля до 6784.
Пример 2.2. При закръгляване на 1284 до 1300 абсолютната грешка е 1300 - 1284 = 16, а при закръгляване до 1280 абсолютната грешка е 1280 - 1284 = 4.
Пример 2.3. При закръгляване на числото 197 до 200 абсолютната грешка е 200 - 197 = 3. Относителната грешка е 3/197 ≈ 0,01523 или приблизително 3/200 ≈ 1,5%.
Пример 2.4. Продавач претегля диня на кантар. Най-малкото тегло в комплекта е 50 гр. Претеглянето даде 3600 гр. Това число е приблизително. Точното тегло на динята не е известно. Но абсолютната грешка не надвишава 50 г. Относителната грешка не надвишава 50/3600 = 1,4%.
Грешки при решаването на проблема на настолен компютър
Три вида грешки обикновено се считат за основни източници на грешки. Те се наричат грешки при отрязване, грешки при закръгляване и грешки при разпространение. Например, когато се използват итеративни методи за търсене на корените на нелинейни уравнения, резултатите са приблизителни, за разлика от директните методи, които дават точно решение.
Грешки при отрязване
Този тип грешка е свързана с грешката, присъща на самата задача. Може да се дължи на неточност при определяне на изходните данни. Например, ако в постановката на задачата са посочени някакви размери, тогава на практика за реални обекти тези размери винаги са известни с известна точност. Същото важи и за всички други физически параметри. Това включва и неточността на изчислителните формули и включените в тях числови коефициенти.
Грешки при разпространение
Този тип грешка е свързана с използването на един или друг метод за решаване на проблем. По време на изчисленията неизбежно възниква натрупване на грешки или, с други думи, разпространение. В допълнение към факта, че самите оригинални данни не са точни, възниква нова грешка, когато те се умножават, добавят и т.н. Натрупването на грешки зависи от естеството и броя на аритметичните операции, използвани при изчислението.
Грешки при закръгляване
Този тип грешка възниква, защото истинската стойност на число не винаги се съхранява точно от компютъра. Когато реално число се съхранява в паметта на компютъра, то се записва като мантиса и експонента почти по същия начин, както числото се показва на калкулатор.
