Пределы на второй замечательный предел. Второй замечательный предел
Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы . Их можно найти на странице . Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел , Второй замечательный предел . Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений ) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела . Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях .
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю .
Примеры:
, , 
, 
Здесь , , , 
, и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел 
? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики
.
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел 
“
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы ).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел 
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов .
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела .
Справка: 
– это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности .
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений .
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель
:
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать .
Доказательство:
Докажем вначале теорему для случая последовательности 
По формуле бинома Ньютона:
Полагая получим
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины 
возрастают. Поэтому последовательность 
возрастающая, при этом (2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому 
(3)*
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): 
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность 
монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. 
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что 
. Рассмотрим два случая:
1. Пусть Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: ,где - это целая часть x. => =>
Если ,то Поэтому, согласно пределу 
Имеем
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
Из двух этих случаев вытекает, что 
для вещественного x.
Следствия:
9 .) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.
Пусть функции a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) a(x ) называется бесконечно малой более высокого порядка чем b(x ) если
Записывают: a(x ) = o(b(x )) .
2) a(x ) и b(x ) называются бесконечно малыми одного порядка , если
где С Îℝ и C ¹ 0 .
Записывают: a(x ) = O (b(x )) .
3) a(x ) и b(x ) называются эквивалентными , если
Записывают: a(x ) ~ b(x ).
4) a(x
) называется бесконечно малой порядка k относи-
тельно бесконечно малой
b(x
),
если бесконечно малые
a(x
) и
(b(x
)) k имеют один порядок, т.е. если
где С
Îℝ и C
¹ 0 .
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть a(x ), b(x ), a 1 (x ), b 1 (x ) – б.м. при x ® x 0 . Если a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ),
то
Доказательство: Пусть a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ), тогда
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 , причем b(x ) – б.м. более высокого порядка чем a(x ).
= , a так как b(x
)– более высокого порядка чем a(x
) ,то , т.е. 
из ясно, что a(x
) + b(x
) ~ a(x
)
10) Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.
1. Основные определения
Пусть f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство
Замечания .
1) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде
Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов .
2) Равенство (1) можно также записать в виде:
Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0 , то знак предела и функцию можно поменять местами».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке e-d).
Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если "e>0 $d>0 такое , что
если x ÎU(x 0 , d) (т.е. | x – x 0 | < d),
то f (x )ÎU(f (x 0), e) (т.е. | f (x ) – f (x 0) | < e).
Пусть x , x 0 Î D (f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная)
Обозначим: Dx = x – x 0 – приращение аргумента
Df (x 0) = f (x ) – f (x 0) – приращение функции в точкеx 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).
Функция f
(x
) называетсянепрерывной в точке
x
0
если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
, т.е.
Пусть функция f (x ) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + d) (на промежутке (x 0 – d; x 0 ]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f
(x
) называется непрерывной в точке
x
0 справа
(слева
), если справедливо равенство
Очевидно, что f (x ) непрерывна в точке x 0 Û f (x ) непрерывна в точке x 0 справа и слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) называется непрерывной на интервал е (a ; b ) если она непрерывна в каждой точке этого интервала .
Функция f (x ) называется непрерывной на отрезке [a ; b ] если она непрерывна на интервале (a ; b ) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).
11) Точки разрыва, их классификация
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке, то f (x ) называют разрывной в точке x 0 , а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f (x ) .
Замечания .
1) f (x ) может быть определена в неполной окрестности точки x 0 .
Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.
2) Из определения Þ точка x 0 является точкой разрыва функции f (x ) в двух случаях:
а) U(x 0 , d)ÎD (f ) , но для f (x ) не выполняется равенство
б) U * (x 0 , d)ÎD (f ) .
Для элементарных функций возможен только случай б).
Пусть x 0 – точка разрыва функции f (x ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f (x ) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа .
Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва , в противном случае – точкой скачка .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f (x ) в этой точке равен ¥ или не существует .
12) Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши
Теорема Вейерштрасса
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , тогда
1)f(x)ограничена на
2)f(x) принимает на промежутке своё наименьшее и наибольшее значение
Определение : Значение функции m=fзовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).
Значение функции m=fзовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).
Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.
f(x 3)=f(x 4)=max
Теорема Коши.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х 0 € такая, что f(x 0)= g
Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:
$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.
Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.
Формула и следствия
Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$
Из формулы вытекают следствия , которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$
Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.
Примеры решений
Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.
| Пример 1 |
| Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $ |
| Решение |
|
Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$ Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ |
| Пример 4 |
| Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $ |
| Решение |
|
Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем: |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$ |
Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.
В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.
В данной теме мы разберём те формулы, которые можно получить, используя второй замечательный предел (тема, посвящённая непосредственно второму замечательному пределу, находится ). Напомню две формулировки второго замечательного предела, которые понадобятся в этом разделе: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$ и $\lim_{x\to\ 0}\left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e$.
Обычно формулы я привожу без доказательств, но для данной страницы, полагаю, сделаю исключение. Дело в том, что доказательство следствий из второго замечательного предела содержит некоторые приёмы, которые бывают полезны при непосредственном решении задач. Ну, и, вообще говоря, желательно знать, как доказывается та или иная формула. Это позволяет лучше понимать её внутреннюю структуру, а также границы применимости. Но так как доказательства могут быть интересны не всем читателям, то скрою их под примечания, расположенные после каждого следствия.
Следствие №1
\begin{equation} \lim_{x\to\ 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1\end{equation}Доказательство следствия №1: показать\скрыть
Так как при $x\to 0$ имеем $\ln(1+x)\to 0$, то в рассматриваемом пределе наличествует неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределённости представим выражение $\frac{\ln(1+x)}{x}$ в таком виде: $\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)$. Теперь внесём множитель $\frac{1}{x}$ в степень выражения $(1+x)$ и применим второй замечательный предел:
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|= \lim_{x\to\ 0} \left(\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_{x\to\ 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1. $$
Вновь имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Будем опираться на уже доказанную нами формулу . Так как $\log_a t=\frac{\ln t}{\ln a}$, то $\log_a (1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln a}$.
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{\log_a (1+x)}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{ x \ln a}=\frac{1}{\ln a}\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{ x}=\frac{1}{\ln a}\cdot 1=\frac{1}{\ln a}. $$
Следствие №2
\begin{equation} \lim_{x\to\ 0} \frac{e^x-1}{x}=1\end{equation}Доказательство следствия №2: показать\скрыть
Так как при $x\to 0$ имеем $e^x-1\to 0$, то в рассматриваемом пределе наличествует неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределённости осуществим замену переменной, обозначив $t=e^x-1$. Так как $x\to 0$, то $t\to 0$. Далее, из формулы $t=e^x-1$ получим: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{e^x-1}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\left | \begin{aligned} & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end {aligned} \right|= \lim_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}}=\frac{1}{1}=1. $$
Вновь имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Будем опираться на уже доказанную нами формулу . Так как $a^x=e^{x\ln a}$, то:
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\cdot \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x \ln a}=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Следствие №3
\begin{equation} \lim_{x\to\ 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha \end{equation}Доказательство следствия №3: показать\скрыть
Вновь мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Так как $(1+x)^\alpha=e^{\alpha\ln(1+x)}$, то получим:
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}= \left| \frac{0}{0} \right|= \lim_{x\to\ 0}\frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{x}= \lim_{x\to\ 0}\left(\frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)}\cdot \frac{\alpha\ln(1+x)}{x} \right)=\\ =\alpha\lim_{x\to\ 0} \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)}\cdot \lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\ 0} \frac{e^{9x}-1}{\sin 5x}$.
Имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределённости будем использовать формулу . Чтобы подогнать наш предел под данную формулу следует иметь в виду, что выражения в степени числа $e$ и в знаменателе должны совпадать. Иными словами, синусу в знаменателе не место. В знаменателе должно быть $9x$. Кроме того, при решении этого примера будет использован первый замечательный предел .
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{e^{9x}-1}{\sin 5x}=\left|\frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to\ 0} \left(\frac{e^{9x}-1}{9x}\cdot\frac{9x}{\sin 5x} \right) =\frac{9}{5}\cdot\lim_{x\to\ 0} \left(\frac{e^{9x}-1}{9x}\cdot\frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x}} \right)=\frac{9}{5}\cdot 1 \cdot 1=\frac{9}{5}. $$
Ответ : $\lim_{x\to\ 0} \frac{e^{9x}-1}{\sin 5x}=\frac{9}{5}$.
Пример №2
Вычислить предел $\lim_{x\to\ 0} \frac{\ln\cos x}{x^2}$.
Имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$ (напомню, что $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Для раскрытия этой неопределённости будем использовать формулу . Для начала учтём, что $\cos x=1-2\sin^2 \frac{x}{2}$ (см. распечатку по тригонометрическим функциям). Теперь $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2}\right)$, поэтому в знаменателе следует получить выражение $-2\sin^2 \frac{x}{2}$ (чтобы подогнать наш пример под формулу ). В дальнейшем решении будет использован первый замечательный предел .
$$ \lim_{x\to\ 0} \frac{\ln\cos x}{x^2}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to\ 0} \frac{\ln\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2}\right)}{x^2}= \lim_{x\to\ 0} \left(\frac{\ln\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2}\right)}{-2\sin^2 \frac{x}{2}}\cdot\frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \right)=\\ =-\frac{1}{2}\lim_{x\to\ 0} \left(\frac{\ln\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2}\right)}{-2\sin^2 \frac{x}{2}}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \right)=-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1^2=-\frac{1}{2}. $$
Ответ : $\lim_{x\to\ 0} \frac{\ln\cos x}{x^2}=-\frac{1}{2}$.
