Найти корень уравнения методом ньютона. Численные методы решения нелинейных уравнений

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке , причем первая и вторая производные f’(x) и f""(x) непрерывны и знакопостоянны при хÎ .

Пусть на некотором шаге уточнения корня получено (выбрано) очередное приближение к корню х n . Тогда предположим, что следующее приближение, полученное с помощью поправки h n , приводит к точному значению корня

x = х n + h n . (1.2.3-6)

Считаяh n малой величиной, представим f(х n + h n) в виде ряда Тейлора, ограничиваясь линейными слагаемыми

f(х n + h n) »f(х n) + h n f’(х n). (1.2.3-7)

Учитывая, что f(x) = f(х n + h n) = 0, получим f(х n) + h n f ’(х n) » 0.

Отсюда h n » - f(х n)/ f’(х n). Подставим значение h n в (1.2.3-6) и вместо точного значения корня x получим очередное приближение

Формула (1.2.3-8) позволяет получить последовательность приближенийх 1 ,х 2 , х 3 …, которая при определенных условиях сходится к точному значению корняx, то есть

Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем
(рис.1.2.3-6). Примем за начальное приближение x 0 правый конец отрезка b и в соответствующей точке В 0 на графике функции y = f(x) построим касательную. Точка пересечения касательной с осью абсцисс принимается за новое более точное приближение х 1 . Многократное повторение этой процедуры позволяет получить последовательность приближений х 0 , х 1 , х 2 , . . ., которая стремится к точному значению корня x.

Расчетная формула метода Ньютона (1.2.3-8) может быть получена из геометрического построения. Так в прямоугольном треугольнике х 0 В 0 х 1 катет
х 0 х 1 = х 0 В 0 /tga. Учитывая, что точка В 0 находится на графике функции f(x), а гипотенуза образована касательной к графику f(x) в точке В 0 , получим

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Эта формула совпадает с (1.2.3-8) для n-го приближения.

Из рис.1.2.3-6 видно, что выбор в качестве начального приближения точки а может привести к тому, что следующее приближение х 1 окажется вне отрезка , на котором отделен корень x . В этом случае сходимость процесса не гарантирована. В общем случае выбор начального приближения производится в соответствии со следующим правилом: за начальное приближение следует принять такую точку х 0 Î,в которой f(х 0)×f’’(х 0)>0, то есть знаки функции и ее второй производной совпадают.

Условия сходимости метода Ньютона сформулированы в следующей теореме.

Если корень уравнения отделен на отрезке , причем f’(х 0)и f’’(х) отличны от нуля и сохраняют свои знаки при хÎ , то, если выбрать в качестве начального приближения такую точку х 0 Î, что f(х 0).f¢¢(х 0)>0, то корень уравнения f(x)=0может быть вычислен с любой степенью точности.

Оценка погрешности метода Ньютона определяется следующим выражением:

(1.2.3-11)

где -- наименьшее значение при

Наибольшее значение при

Процесс вычислений прекращается, если ,

где -- заданная точность.

Кроме того, условием достижения заданной точности при уточнении корня методом Ньютона могут служить следующие выражения:

Схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 1.2.3-7.

Левая часть исходного уравнения f(x) и ее производная f’(x)в алгоритме оформлены в виде отдельных программных модулей.

Рис. 1.2.3-7. Схема алгоритма метода Ньютона

Пример 1.2.3-3.Уточнить методом Ньютона корни уравнения x-ln(x+2) = 0при условии, что корни этого уравнения отделены на отрезках x 1 Î[-1.9;-1.1] и x 2 Î [-0.9;2].

Первая производная f’(x) = 1 – 1/(x+2) сохраняет свой знак на каждом из отрезков:

f’(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 при хÎ [-0.9; 2].

Вторая производная f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 при любых х.

Таким образом, условия сходимости выполняются. Поскольку f""(x)>0на всей области допустимых значений, то для уточнения корня за начальное приближение x 1 выберем х 0 =-1,9(так какf(-1,9)×f”(-1.9)>0). Получим последовательность приближений:

Продолжая вычисления, получим следующую последовательность первых четырех приближений: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414. Значение функции f(x) в точке x=-1.8414 равно f(-1.8414)=-0.00003.

Для уточнения корня x 2 Î[-0.9;2] выберем в качестве начального приближениях 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Исходя из х 0 = 2, получим последовательность приближений: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. Значение функции f(x) в точке x=1.1461 равно f(1.1461)= -0.00006.

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, однако на каждом шаге он требует вычисления не только значения функции, но и ее производной.

Метод хорд

Геометрическая интерпретация метода хорд состоит в следующем
(рис.1.2.3-8).

Проведем отрезок прямой через точки A и B. Очередное приближение x 1 является абсциссой точки пересечения хорды с осью 0х. Построим уравнение отрезка прямой:

Положим y=0и найдем значение х=х 1 (очередное приближение):

Повторим процесс вычислений для получения очередного приближения к корню - х 2 :

В нашем случае (рис.1.2.11) и расчетная формула метода хорд будет иметь вид

Эта формула справедлива, когда за неподвижную точку принимается точка b, а в качестве начального приближения выступает точка a.

Рассмотрим другой случай (рис. 1.2.3-9), когда .

Уравнение прямой для этого случая имеет вид

Очередное приближение х 1 при y = 0

Тогда рекуррентная формула метода хорд для этого случая имеет вид

Следует отметить, что за неподвижную точку в методе хорд выбирают тот конец отрезка , для которого выполняется условие f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Таким образом, если за неподвижную точку приняли точку а, то в качестве начального приближения выступает х 0 = b, и наоборот.

Достаточные условия, которые обеспечивают вычисление корня уравнения f(x)=0 по формуле хорд, будут теми же, что и для метода касательных (метод Ньютона), только вместо начального приближения выбирается неподвижная точка. Метод хорд является модификацией метода Ньютона. Разница состоит в том, что в качестве очередного приближения в методе Ньютона выступает точка пересечения касательной с осью 0Х,а в методе хорд – точка пересечения хорды с осью 0Х – приближения сходятся к корню с разных сторон.

Оценка погрешности метода хорд определяется выражением

(1.2.3-15)

Условие окончания процесса итераций по методу хорд

(1.2.3-16)

В случае, если M 1 <2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Пример 1.2.3-4. Уточнить корень уравнения e x – 3x = 0, отделенный на отрезке с точностью 10 -4 .

Проверим условие сходимости:

Следовательно, за неподвижную точку следует выбрать а=0, а в качестве начального приближения принять х 0 =1, поскольку f(0)=1>0 и f(0)*f"(0)>0.

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат.О б анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работеAnalysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.

Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .

Рис.1 . График изменение функции

Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α (). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения . Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения . В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i -итерации производится по формуле:

Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.

Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:

где ˗ допустимая погрешность определения корня.

Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.

Математическое обоснование

Пусть дана вещественная функция , которая определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень рассматриваемой функции.

Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение приводят к эквивалентному уравнению при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции должен соответствовать экстремуму функции .

Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:

Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :

С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:

Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу

1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ).

2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае:

Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений

по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона для уравнения с одной переменной . Корень необходимо найти с точностью в качестве первого приближения .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD представлен на рисунке 3.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

Рис.2 . Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

Для обеспечения заданной точности при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Рис.3 . Листинг программы в MathCad

Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной

Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.

Упрощенный метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’(x n ) в точке x n в формуле на производную f’(x 0) в точке x 0 . В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле: Модифицированный метод Ньютона

Разностный метод Ньютона

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:

Двух шаговый метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:

где

Рис.5 . Двух шаговый метод Ньютона

Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . В методе необходимо задавать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода будет линейной.

• Назад
• Вперёд

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.

Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В основе метода Ньютона для системы уравнений (1.1) лежит использование разложения функций

, где
(2.1)

в ряд Тейлора, причём члены, содержащие вторые и более высокие порядки производных, отбрасываются. Такой подход позволяет решение одной нелинейной системы (1.1) заменить решением ряда линейных систем.

Итак, систему (1.1) будем решать методом Ньютона. В области D выберем любую точку
и назовём её нулевым приближением к точному решению исходной системы. Теперь функции (2.1) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки . Будем иметь

Т.к. левые части (2.2) должны обращаться в ноль согласно (1.1), то и правые части (2.2) тоже должны обращаться в ноль. Поэтому из (2.2) имеем

Все частные производные в (2.3) должны быть вычислены в точке .

(2.3) есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Эту систему можно решить методом Крамера, если её основной определитель будет отличен от нуля и найти величины

Теперь можно уточнить нулевое приближение , построив первое приближение с координатами

т.е.
. (2.6)

Выясним, получено ли приближение (2.6) с достаточной степенью точности. Для этого проверим условие

,
(2.7)

где наперёд заданное малое положительное число (точность, с которой должна быть решена система (1.1)). Если условие (2.7) будет выполнено, то за приближённое решение системы (1.1) выберем (2.6) и закончим вычисления. Если же условие (2.7) выполняться не будет, то выполним следующее действие. В системе (2.3) вместо
возьмём уточнённые значения

, (2.8)

т.е. выполним следующие действия

. (2.9)

После этого система (2.3) будет системой линейных алгебраических уравнений относительно величин Определив эти величины, следующее второе приближение
к решению системы (1.1) найдём по формулам

Теперь проверим условие (2.7)

Если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, приняв за приближённое решение системы (1.1) второе приближение
. Если же это условие не выполняется, то продолжаем строить следующее приближение, приняв в (2.3)
Строить приближения нужно до тех пор, пока условие на не будет выполнено.

Рабочие формулы метода Ньютона для решения системы (1.1) можно записать в виде.

Вычислить последовательность

Здесь
являются решением системы

Сформулируем алгоритм вычислений по формулам (2.11)-(2.13).

1. Выберем нулевое приближение , принадлежащее области D.

2. В системе линейных алгебраических уравнений (2.13) положим
,а .

3. Решим систему (2.13) и найдём величины
.

4. В формулах (2.12) положим
и вычислим компоненты следующего приближения .

5. Проверим условие (2.7) на : (См. алгоритм вычисления максимума нескольких величин.)

6. Если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, выбрав за приближённое решение системы (1.1) приближение . Если же это условие не выполняется, то перейдём к п.7.

7. Положим
для всех .

8. Выполним п.3, положив
.

Геометрически этот алгоритм можно записать в виде.

Алгоритм. Вычисления максимума нескольких величин .

Пример . Рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений.

Методом Ньютона с точностью до решить следующую систему нелинейных уравнений

, (2.14)

здесь
. Выберем нулевое приближение
, принадлежащее области D. Построим систему линейных алгебраических уравнений (2.3). Она будет иметь вид

(2.15)

Обозначим

Решим систему (2.15) относительно неизвестных
, например методом Крамера. Формулы Крамера запишем в виде

(2.17)

где основной определитель системы (2.15)

(2.18)

а вспомогательные определители системы (2.15) имеют вид

.

Найденные значения подставим в (2.16) и найдём компоненты первого приближения
к решению системы (2.15).

Проверим условие

, (2.19)

если это условие выполняется, то заканчиваем вычисления, приняв за приближённое решение системы (2.15) первое приближение, т. е.
. Если условие (2.19) не выполняется, то положим
,
и построим новую систему линейных алгебраических уравнений (2.15). Решив её, найдём второе приближение
. Проверим его на . Если это условие будет выполняться, то за приближённое решение системы (2.15) выберем
. Если условие на не будет выполняться, положим
,
и построим следующую систему (2.15) для нахождения
и т. д.

Задания

Во всех заданиях требуется:

Составить программу численной реализации метода, согласно предложенному алгоритму.

Получить результаты вычислений.

Проверить полученные результаты.

Задана система двух нелинейных уравнений.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Глава 3. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Цель работы . Знакомство с некоторыми приближёнными методами решения СЛАУ и их численной реализацией на ПК.

Предварительные замечания. Все методы решения СЛАУ обычно разделяют на две большие группы. К первой группе относятся методы, которые принято называть точными. Эти методы позволяют для любых систем найти точные значения неизвестных после конечного числа арифметических операций, каждая из которых выполняется точно.

Ко второй группе относятся все методы, не являющиеся точными. Их называют итерационными, или численными, или приближёнными. Точное решение, при использовании таких методов, получается в результате бесконечного процесса приближений. Привлекательной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации на ПК.

Рассмотрим некоторые приближённые методы решения СЛАУ и построим алгоритмы их численной реализации. Приближённое решение СЛАУ будем получать с точностью до , где некоторое очень маленькое положительное число.

1. Метод итерации.

Пусть СЛАУ задана в виде

(1.1)

Эту систему можно записать в матричном виде

, (1.2)

где
- матрица коэффициентов при неизвестных в системе (1.1),
- столбец свободных членов,
- столбец неизвестных системы (1.1).

. (1.3)

Решим систему (1.1) методом итерации. Для этого выполним следующие действия.

Во-первых. Выберем нулевое приближение

(1.4)

к точному решению (1.3) системы (1.1). Компонентами нулевого приближения могут быть любые числа. Но удобнее за компоненты нулевого приближения взять либо нули
, либо свободные члены системы (1.1)

Во-вторых. Компоненты нулевого приближения подставим в правую часть системы (1.1) и вычислим

(1.5)

Величины, стоящие слева в (1.5) являются компонентами первого приближения
Действия, в результате которых получилось первое приближение, называются итерацией.

В-третьих. Проверим нулевое и первое приближения на

(1.6)

Если все условия (1.6) выполняются, то за приближённое решение системы (1.1) выберем, либо , либо всё равно, т.к. они отличаются друг от друга не больше чем на и закончим вычисления. Если хотя бы одно из условий (1.6) не будет выполнено, то перейдём к следующему действию.

В-четвёртых. Выполним следующую итерацию, т.е. в правую часть системы (1.1) подставим компоненты первого приближения и вычислим компоненты второго приближения
, где

В-пятых. Проверим
и на , т.е. проверим условие (1.6) для этих приближений. Если все условия (1.6) будут выполнены, то за приближённое решение системы (1.1) выберем, либо , либо всё равно, т.к. они отличаются друг от друга не больше чем на . В противном случае будем строить следующую итерацию, подставив компоненты второго приближения в правую часть системы (1.1).

Итерации нужно строить до тех пор, пока два соседних приближения
и будут отличаться друг от друга не больше, чем на .

Рабочую формулу метода итерации решения системы (1.1) можно записать в виде

Алгоритм численной реализации формулы (1.7) может быть таким.

Достаточные условия сходимости метода итерации для системы (1.1) имеют вид

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Метод простой итерации.

Пусть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) задана в виде

(2.1)

Чтобы систему (2.1) решить методом простой итерации, её сначала надо привести к виду

(2.2)

В системе (2.2) -ое уравнение представляет собой -ое уравнение системы (2.1), разрешённое относительно –ой неизвестной (
).

Метод решения системы (2.1), состоящий в сведении её к системе (2.2) с последующим решением системы (2.2) методом итерации, называется методом простой итерации для системы (2.1).

Таким образом, рабочие формулы метода простой итерации решения системы (2.1) будут иметь вид

(2.3)

Формулы (2.3) можно записать в виде

Алгоритм численной реализации метода простой итерации для системы (2.1) по формулам (2.4) может быть таким.

Этот алгоритм можно записать геометрически.

Достаточные условия сходимости метода простой итерации для системы (2.1) имеют вид

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Стационарный метод Зейделя.

Метод Зейделя решения СЛАУ отличается от метода итерации тем, что найдя какое-то приближение для -той компоненты, мы сразу же используем его для отыскания следующих
,
, …, -ой компонент. Такой подход позволяет обеспечить более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом итерации.

Пусть СЛАУ задана в виде

(3.1)

Пусть
- нулевое приближение к точному решению
системы (3.1). И пусть найдено -ое приближение
. Определим компоненты
-ого приближения по формулам

(3.2)

Формулы (3.2) можно записать в компактном виде

,
,
(3.3)

Алгоритм численной реализации метода Зейделя решения системы (3.1) по формулам (3.3) может быть таким.

1. Выберем , например,
,

2. Положим .

3. Для всех вычислим .

4. Для всех проверим условия
.

5. Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближенное решение системы (3.1) выберем либо , либо и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдем к п.6.

6. Положим и перейдем к п.3.

Этот алгоритм можно записать геометрически.

Достаточное условие сходимости метода Зейделя для системы (3.1) имеет вид
, .

4. Нестационарный метод Зейделя.

Этот метод решения СЛАУ (3.1) обеспечивает еще более высокую скорость сходимости метода Зейделя.

Пусть каким-либо образом для системы (3.1) найдены компоненты -ого приближения и -ого приближения .

Вычислим вектор поправки

Подсчитаем величины

, (4.2)

Расположим величины
, в порядке их убывания.

В таком же порядке перепишем уравнения в системе (3.1) и неизвестные в этой системе., : Линейная алгебра и нелинейные ... Руководство для лабораторных работ по ... методические указания для практических работ по для студентов ...

Учебная литература (естественные науки и технические) 2000-2011 цикл опд – 10лет цикл сд – 5 лет

Литература

... Естественные науки в целом 1. Астрономия [Текст] : пособие для ... Численные методы : Линейная алгебра и нелинейные ... Руководство для лабораторных работ по ... методические указания для практических работ по дисциплине "Экономика транспорта" для студентов ...

- естественные науки (1)

Учебное пособие

... руководство для студентов и преподавателей, предназначенное для использования не только при изучении методов работы ... выработке практических навыков с использованием реальных данных. Методические рекомендации по выполнению зачетной работы по данному...

- естественные науки - физико-математические науки - химические науки - науки о земле (геодезические геофизические геологические и географические науки)

Документ

... для студентов естественно - ... работ по дисциплине "Генетика и селекция", посвященных актуальным проблемам этой науки . Систематизирована самостоятельная работа студентов по теоретическому и практическому ... линейного , нелинейного , динамического. Все методы ...

- естественные науки - физико-математические науки - химические науки - науки о земле (геодезические геофизические геологические и географические науки) (7)

Список учебников

Определитель Еремина в линейной и нелинейной алгебре : линейное и нелинейное программирование: новый метод / Еремин, Михаил... Для студентов и преподавателей геологических специальностей вузов. кх-1 1794549 99. Д3 П 693 Практическое руководство по ...