Модели сетевого планирования и управления. Порядок и правила построения сетевых графиков

Поиски более эффективных способов управления сложными системами привели к созданию принципиально новых методов сетевого планирования и управления ТЭП. При этом методы СПУ основаны на моделировании процессов с помощью сетевых графиков и представляют собой совокупность расчетных мето­дов, организационных и контрольных мероприятий по планиро­ванию и управлению комплексом взаимосвязанных работ.

Так в практике планирования различных технологических процессов, связанных с эксплуатацией ракетных комплексов, большое распространение получили сетевые модели (графики), ориентированные на события (сети СРМ).

Сетевая модель представляет собой план выполнения некото­рого комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком . При этом отличительной особенностью сете­вой модели является четкое определение всех временных взаимо­связей предстоящих работ.

Главными элементами и понятиями сетевой модели являются события, работы, путь.

Термин «работа» используется в сетевых моделях в широком смысле и может иметь следующие значения:

во-первых, это действительная работа под которой понимаетсяпротяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов (например, сборка изделия, испытание прибора и т.п.);

во-вторых, это ожидание, то есть протяженный во времени процесс, не требующий затрат труда (например, процесс сушки после по­краски, твердения бетона, вентиляции и т.п.);

в-третьих, это зависимость, или фиктивная работа, логиче­ская связь между двумя или несколькими работами (событиями), не требующими затрат труда, материальных ресурсов или време­ни, но указывающая, что возможность начала одной работы непосредст­венно зависит от результатов выполнения другой.

Конечный результат любой работы важен не только как факт окончания данной работы, но и как необходимое условие для начала выполнения следующей за ней работы (операции). Очевидно, что если какая-либо работа может быть начата только после окончания некоторых других работ, то в этом случае необходимым условием для ее начала является окончание всех этих работ. Факт выполнения указанных условий принято называть термином «событие». При этом событие, в отличие от работы, не является процессом, а определяет факт получения конечных результатов всех предшествующих ему работ и готовность к началу непосредственно следующих за ним работ.

Таким образом, событие - это момент завершения какого-либо процесса, от­ражающий отдельный этап выполнения ТЭП. Событие может являться частным результатом отдельной работы или суммарным результатом нескольких работ. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие. После­дующие работы могут начаться только тогда, когда событие свер­шится. Отсюда двойственный характер события: для всех не­посредственно предшествующих ему работ оно является конеч­ным, а для всех непосредственно следующих за ним - на­чальным. При этом предполагается, что событие не имеет временной про­должительности и свершается как бы мгновенно. Поэтому каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точ­но и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат всех непосредственно предшествующих ему ра­бот.

Среди событий сетевой модели выделяют исходное и завершаю­щее события.

Исходное событие не имеет предшествующих работ и событий, относящихся к представленному в модели комплексу работ, и представляет собой формулировку условия для начала работ по выполнению данного процесса.

Завершающее событие не имеет последующих работ и со­бытий и отражает конечную цель технологического процесса.

События на сетевом графике (или, как еще говорят, на графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы - стрел­ками (ориентированными дугами), показывающими связь между работами. При этом действительные работы и работы типа «ожидание» изображаются на сетевом графике сплошными стрелками, а фиктивные работы – пунктирными. Всякая работа (стрелка) может соединять только два события и отражает процесс перехода от одного события к другому. Событие, непосредственно предшествующее данной работе, является для нее начальным событием, а следующее за ней - конечным событием (см. рис. 2).

Одним из важнейших понятий сетевого графика, которое связанно с исходным и завершающим событиями сетевой модели ТЭП, является понятие пути.

Путь - любая последовательность работ, в которой конечное собы­тие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L - любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец - с завершающим.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике на­зываетсякритическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

Критический путь имеет особое значение в системе сетевого планирования и управления, так как работы этого пути определяют общий цикл завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. Следовательно, для сокращения общей продолжительности ТЭП необходимо в пер­вую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

При построении сетевого графика (рис. 6) необходимо соблюдать ряд правил, которые позволяют корректно, точно и однозначно формализовать технологические процессы методами СПУ.

1. В сетевой модели не должно быть "тупиковых" событий, то есть событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события (рис. 6а, см. событие 4).

2. В сетевом графике не должно быть "хвостовых" событий (кроме исходного события), которым не предшествует хотя бы одна работа (см. событие 4 на рис. 6б). Обнаружив в сети такие события, необходи­мо определить исполнителей предшествующих им работ и вклю­чить эти работы в сеть.

3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, то есть путей, соединяющих некоторые события с ними же самими (см. рис. 6в, г). При возникновении контура необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава работ добиться его устранения.

4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Нарушение этого условия происходит при изображении парал­лельно выполняемых работ (рис. 6д). Невыполнение этого условия приведет к тому, что две различные работы будут иметь одно и то же обозначение (1, 2), так как обычно при­нято под (i, j ) понимать работу, связывающую i -е событие с j -м событием. В то время, как содержание этих работ, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на них ресурсов могут существенно отличаться.

Лекция 11

МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Назначение и области применения сетевого планирования и управления

Поиски более эффективных способов планирования сложных процессов привели к созданию принципиально новых методов сетевого планирования и управления (СПУ).

Система методов СПУ - система методов планирования и управления разработкой крупных народнохозяйственных ком­плексов, научными исследованиями, конструкторской и техноло­гической подготовкой производства, новых видов изделий, строи­тельством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Первые системы, использующие сетевые графики, были при­менены в США в конце 50-х годов и получили названия СРМ (английская аббревиатура, означающая метод критического пути) и PERT (метод оценки и обзора программы). Система СРМ была впервые применена при управлении строительными работами, система PERT - при разработке систем "Поларис".

В России работы по сетевому планированию начались в 60-х годах. Тогда методы СПУ нашли применение в строительстве и научных разработках. В дальнейшем сетевые методы стали широ­ко применяться и в других областях народного хозяйства.

СПУ основано на моделировании процесса с помощью сетево­го графика и представляет собой совокупность расчетных мето­дов, организационных и контрольных мероприятий по планиро­ванию и управлению комплексом работ.

Модели сетевого планирования и управления

Система СПУ позволяет:

Формировать календарный план реализации некоторого ком­плекса работ;

Выявлять и мобилизовывать резервы времени, трудовые, ма­териальные и денежные ресурсы;

Осуществлять управление комплексом работ по принципу "ведущего звена" с прогнозированием и предупреждением воз­можных срывов в ходе работ;

Повышать эффективность управления в целом при четком распределении ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ.

Диапазон применения СПУ весьма широк: от задач, касающихся деятельности отдельных лиц, до проектов, в которых участвуют сотни организаций и десятки тысяч людей (например, разработка и созда­ние крупного территориально-промышленного комплекса).

Под комплексом работ (комплексом операций, или проектом) мы будем понимать всякую задачу, для выполнения которой необхо­димо осуществить достаточно большое количество разнообразных работ. Это может быть и строительство некоторого здания, кораб­ля, самолета или любого другого сложного объекта, и разработка проекта этого сооружения, и даже процесс построения планов реализации проекта.

Для того чтобы составить план работ по осуществлению боль­ших и сложных проектов, состоящих из тысяч отдельных иссле­дований и операций, необходимо описать его с помощью некото­рой математической модели. Таким средством описания проектов (комплексов) является сетевая модель.

Сетевая модель и ее основные элементы

Сетевая модель представляет собой план выполнения некото­рого комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком. Отличительной особенностью сете­вой модели является четкое определение всех временных взаимо­связей предстоящих работ.

Главными элементами сетевой модели являются события и ра­боты.

Термин работа используется в СПУ в широком смысле. Во-первых, это действительная работа - протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов (например, сборка изделия, испытание прибора и т.п.). Каждая действительная работа должна быть конкретной, четко описанной и иметь ответственного ис­полнителя.

Во-вторых, это ожидание - протяженный во времени процесс, не требующий затрат труда (например, процесс сушки после по­краски, старения металла, твердения бетона и т.п.).

В-третьих, это зависимость, или фиктивная работа - логиче­ская связь между двумя или несколькими работами (событиями), не требующими затрат труда, материальных ресурсов или време­ни. Она указывает, что возможность одной работы непосредст­венно зависит от результатов другой. Естественно, что продолжи­тельность фиктивной работы принимается равной нулю.

Событие - это момент завершения какого-либо процесса, от­ражающий отдельный этап выполнения проекта. Событие может являться частным результатом отдельной работы или суммарным результатом нескольких работ. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие. После­дующие работы могут начаться только тогда, когда событие свер­шится. Отсюда двойственный характер события: для всех не­посредственно предшествующих ему работ оно является конеч­ным, а для всех непосредственно следующих за ним - на­чальным. При этом предполагается, что событие не имеет про­должительности и свершается как бы мгновенно. Поэтому каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точ­но и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат всех непосредственно предшествующих ему ра­бот.

Среди событий сетевой модели выделяют исходное и завершаю­щее события. Исходное событие не имеет предшествующих работ и событий, относящихся к представленному в модели комплексу работ. Завершающее событие не имеет последующих работ и со­бытий.

События на сетевом графике (или, как еще говорят, на графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы - стрел­ками (ориентированными дугами), показывающими связь между работами. Пример фрагмента сетевого графика представлен на рис.1.

На рис. 2. а приведен сетевой график задачи моделирования и построения оптимального плана некоторого экономического объекта. Чтобы решить эту задачу, необходимо провести следую­щие работы: Л - сформулировать проблему исследования; Б - построить математическую модель изучаемого объекта; В - со­брать информацию; Г - выбрать метод решения задачи; Д - построить и отладить программу для ЭВМ; Е - рассчитать оптимальный план; Ж - передать результаты расчета заказчику. Циф­рами на графике обозначены номера событий, к которым приво­дит выполнение соответствующих работ.

Из графика, например, следует, что работы В и Г можно начать выполнять независимо одна от другой только после свершения события 3, т.е. когда выполнены работы А и Б; работу Д - после свершения события 4, когда выполнены работы А, Б и Г, а работу Е можно выполнить только после наступления события 5, т.е при выполнении всех предшествующих ему работ А, Б, В, Г» Д.

В сетевой модели, представленной на рис. 2 а нет числовых оценок. Такая сеть называется структурной. Однако на практике чаще всего используются сети, в которых заданы оценки продол­жительности работ (указываемые в часах, неделях, декадах, меся­цах и т.д. над соответствующими стрелками), а также оценки других параметров, например трудоемкости, стоимости и т.п. Именно такие сети мы будем рассматривать в дальнейшем.

Прежде сделаем следующее замечание . В рассмотренных примерах сетевые графики состояли из работ и событий. Однако может быть и иной принцип построения сетей - без событий. В такой сети вершины графа (например, изображенные прямо­угольниками) означают определенные работы, а стрелки - зави­симости между этими работами, определяющие порядок их вы­полнения. В качестве примера сетевой график "события - рабо­ты" задачи моделирования и построения оптимального плана некоторого экономического объекта, приведенный на рис. 2 а, представлен в виде сети "работы - связи" на рис. 2 б. А сете­вой график "события - работы" той же задачи, но с неудачно составленным перечнем работ, представлен на рис. 2 в.

Следует отметить, что сетевой график "работы - связи" в от­личие от графика "события - работы" обладает известными пре­имуществами: не содержит фиктивных работ, имеет более про­стую технику построения и перестройки, включает только хорошо знакомое исполнителям понятие работы без менее привычного понятия события. Вместе с тем сети без событий оказываются значительно более громоздкими, так как событий обычно значи­тельно меньше, чем работ (показатель сложности сети, равный отношению числа работ к числу событий, как правило, сущест­венно больше единицы). Поэтому эти сети менее эффективны с точки зрения управления комплексом. Этим и объясняется тот факт, что (при отсутствии в целом принципиальных различий между двумя формами представления сети) в настоящее время наибольшее распространение получили сетевые графики "события - работы".

Порядок и правила построения сетевых графиков

Сетевые графики составляются на начальном этапе планирова­ния. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью оценивается длительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графи­ка рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь. Наконец, проводятся ана­лиз и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетом параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.

1. В сетевой модели не должно быть "тупиковых" событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события (рис. 3 а). Здесь либо работа (2, 3) не нужна и ее необходимо аннулировать, либо не замечена необхо­димость определенной работы, следующей за событием 3 для свершения какого-либо последующего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.

2. В сетевом графике не должно быть "Хвостовых" событий (кроме исходного}, которым не предшествует хотя бы одна работа (событие 3 - на рис. 3 б). Здесь работы, предшествующие со­бытию 3, не предусмотрены. Поэтому событие 3 не может свер­шиться, а следовательно, не может быть выполнена и следующая за ним работа (3, 5). Обнаружив в сети такие события, необходи­мо определить исполнителей предшествующих им работ и вклю­чить эти работы в сеть.

3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, т.е. путей, соединяющих некоторые события с ними же самими (рис. 3 в, г).

Представим себе, что в сетевом графике, изображенном на рис 2 а, работы Б и Д при формулировании первоначального списка работ мы объединили бы в одну работу Б 1 . Тогда получили бы сетевой график, представленный на рис 2в. Событие означает, что к работе Б", которую нельзя выполнить до выбора метода расчета (работа Г), а выбор метода расчета нельзя начинать до окончания построения модели (событие 3"). Другими словами, в сети образо­вался простейший контур: 2"->3"->2".

При возникновении контура (а в сложных сетях, т.е. в сетях с высоким показателем сложности, это встречается довольно часто и обнаруживается лишь при помощи ЭВМ) необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава работ добиться его устранения. Так, в нашем примере потребовалось бы разделе­ние работы Б" на Б и Д.

4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой.

Нарушение этого условия происходит при изображении парал­лельно выполняемых работ (рис. 3 д). Если эти работы так и оставить, то произойдет путаница из-за того, что две различные работы будут иметь одно и то же обозначение (7, 2); обычно при­нято под (i , у) понимать работу, связывающую <-е событие с j-м событием. Однако содержание этих работ, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться.

В этом случае рекомендуется ввести фиктивное событие (событие 2" на рис. 3 ё) и фиктивную работу (работа 2", 2), при этом одна из параллельных работ (7, 2) замыкается на это фик­тивное событие. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями.

5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершаю­щее событие. Если в составленной сети это не так (см рис. 3 ж), то добиться желаемого можно путем введения фик­тивных событий и работ, как это показано на рис. 3 з.

Фиктивные работы и события необходимо вводить и в ряд* других случаев. Один из них - отражение зависимости событий не связанных с реальными работами. Например, работы А и 1 (рис. 3 и) могут выполняться независимо друг от друга, но п< условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фик- тивной работы С.

Другой случай - неполная зависимость работ. Например, работа С требует для своего начала завершения работ А и Б, но работа Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. То гда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного события 3", как показано на рис. 3 к.

Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяженностью во времени.

Сетевая модель и ее характеристики.

Сетевое планирование и управление (СПУ) - это графоаналитический метод управления процессами создания (проектирования) лю­бых систем. Сетевой график - полная графическая модель комплекса работ, направленных на выполнение единого задания, в которой (мо­дели) определяются логические взаимосвязи и последовательность ра­бот.

Сетевая модель – это графическое изображение технологической последовательности работ.

Элементы сетевой модели.

Основными элементами сетевого графика являются работа (изоб­ражается стрелкой) и событие (изображается кружком).

Работа – это производственный процесс, требующий затрат времени и ресурсов, а также непроизводительного времени. (Работа - это процесс или действие, которые нужно совершить, что­бы перейти от одного события к другому). Если для перехода от одного события к другому не требуется ни затрат времени, ни затрат труда, то взаимная связь таких событий изображается пунктирной стрелкой и называется фиктивной работой. Фиктивная работа представляет собой, таким образом, логическую связь между событиями и показы­вает зависимость начала выполнения какой-либо работы от резуль­татов выполнения другой.

Фактическая работа в сетевой модели обозначается:

Фиктивная работа:

Событие - это фиксированный момент времени, который пред­ставляет собой одновременно окончание предыдущей работы, т. е. ее результат (исключение - начальное событие) и начало последующей работы (исключение - конечное событие).

Изображается:

i – индекс (номер) события.

Трi – возможно ранний срок совершения события i;

Раз событие не может произойти, пока не будут выполнены все предшествовавшие ему операции, то ранний срок свершения собы­тия определяется наибольшей из всех продолжительностей предше­ствовавших этому событию путей.

Тпi – допустимо поздний срок совершения события i;

Самое позднее свершение события не должно приводить к увели­чению продолжительности критического пути, поэтому поздний срок свершения события определяется разностью между продолжитель­ностью критического пути и наибольшей из всех продолжительностей последующих за этим событием путей.

Ri – резерв времени события .

Ri = Тпi – Трi

Любая работа соединяет только два события и отражает процесс перехода от одного события к другому.

Работа i-j

Событие, из которого выходит стрелка, называется предшествующим по отношению к данной работе. Событие, в которое стрелка входит, является последующим .

Одно и то же событие (кроме начального и конечного) одновременно является и предшествующим и последующим.

Правила построения сетевых моделей.

В сетевой модели не должно быть тупиков, т.е. событий, кроме завершающего, из которого не выходило бы ни одной работы.

В сетевой модели не должно быть событий, кроме исходного, в которое не входило бы ни одной стрелки.

В сетевой модели не должно быть замкнутых контуров, т.е. путей, соединяющих данное событие с ним же самим. Модель должна быть ориентирована слева направо, необходимо стремиться к отсутствию пересечения работ.

Каждая работа кодируется шифром двух событий.

Работа i-j – шифр работы, причем j>i

i – начальное событие для данной работы;

j – конечное событие, результат.

Виды путей сетевой модели

Путь в сетевой модели представляет собой непрерывную технологическую последовательность работ от исходного события до завершающего. Такой путь называют полным .

При этом понятие «путь» распространяется на любую последовательность работ по направлению стрелок.

Длина пути определяется суммой продолжительности лежащих на нем работ.

Путей в сетевой модели может быть несколько.

В отличие от полных путей, имеются еще и укороченные пути , которые отсчитываются от начала модели до данного события (предшествующий путь) или от конца ее до этого же события (последующий путь). В том и в другом случае эти пути представляют собой части полного пути (частичные пути).

Сравнением полных путей выявляется такой, суммарная продолжительность работ на котором имеет максимальное значение. Этот путь называется критическим .

Он определяет время, необходимое для выполнения программы всех работ, включенных в сетевую модель.

Все работы , лежащие на критическом пути, называются критическими , и от их продолжительности зависит конечный срок выполнения программы.

Сокращение или увеличение продолжительности критической работы соответственно сокращает или увеличивает общую продолжительность выполнения программы.

Кроме того, существует еще подкритический путь . Это тоже полный путь, имеющий продолжительность, близкую с продолжительности критического пути.

Ненапряженные пути – это полные пути, продолжительность которых существенно меньше продолжительности критического пути.

Характеристики работ сетевой модели.

Возможно раннее начало работы i-j:

tрнi-j = Трi

Поскольку операция не может быть начата, пока не свершится ее начальное событие, то ранний срок начала операции совпадает с ранним сроком свершения ее начального события.

Возможно раннее окончание работы i-j:

tроi-j = tрнi-j + ti-j

Допустимо позднее окончание работы i-j

Допустимо позднее начало работы i-j

tпнi-j = tпоi-j – ti-j

Выполнение операции не должно вызывать увеличения продол­жительности критического пути, а следовательно, и позднего срока свершения конечного события операции. Так как операция имеет оп­ределенную продолжительность, го позднее начало операции вы­числяется как разность между поздним сроком свершения ее ко­нечного события и продолжительностью самой операции.

Резервы времени работ в сетевой модели.

В общем случае работы сетевой модели могут обладать следующими резервами времени:

полный резерв;

свободный резерв.

Полный резерв времени у работ, не лежащих на критическом пути, определяется величиной, на которую можно сдвинуть начало данной работы, либо увеличить ее продолжительность, не изменяя при этом конечного срока сетевой модели, т.е. продолжительности ее критического пути.

Rпi-j = Тпj – Трi – ti-j

Свободный резерв времени у работ, не лежащих на критическом пути, определяется величиной, на которую можно сдвинуть начало данной работы, либо увеличить ее продолжительность, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ.

Rсвi-j = Трj – Трi – ti-j

Коэффициент напряженности работ в сетевой модели.

На стадии оперативного управления нередко приходиться решать вопрос о целесообразности того или иного перераспределения ресурсов, например, при выбытии из строя оборудования, занятого на критической работе, необходимо принять решение о переключении аналогичного оборудования с другой работы, располагающей резервами времени.

При равных резервах у работ следует рассчитывать их коэффициент напряженности.

Аналитически:

где Т’ кр(мах) – продолжительность отрезка критического пути, не совпадающего с максимальным путем, проходящим через данную работу.

Вероятностные расчеты сетевого моделирования.

После определения критического пути и его продолжительности эту продолжительность сравнивают с установленной продолжительностью работ, называемой директивным сроком – Т дир – обязательным к исполнению.

Если такое сравнение дает удовлетворительный результат (Ткр<Тдир), то определяют вероятность совершения конечного события в сроки не позднее Тдир.

где Ф – функция Лапласа (функция нормального распределения);

Среднеквадратическое отклонение работ, лежащих на критическом пути от ожидаемого времени Tож.

tmin ij – оптимистическая оценка времени выполнения работ, т.е. продолжительность выполнения работ при наиболее благоприятных условиях;

tmax ij - пессимистическая оценка времени выполнения работ, т.е. продолжительность выполнения работ при наиболее неблагоприятных условиях.

c – количество работ, лежащих на критическом пути.

Если Ркр<0,35, то вероятность выполнения работ в директивные сроки ничтожно мала. В этом случае необходима оптимизация сетевой модели по времени.

Цель оптимизации – сокращение длительности критического пути.

Ткр – время сокращения длительности критического пути при проведении оптимизации.

Ткр = Ткр – Ткр нов

Ткр нов – новая (уменьшенная) продолжительность критического пути после проведения оптимизации.

Для определения Ткр нов необходимо приравнять значения вероятности к 0,35, т.е.

Затем по таблицам нормального распределения определить значение функции, соответствующее Ркр = 0,35: Ф = 1,05 (по таблице)

→Ткр нов

0,35 <Ркр<0,65 – если вероятность лежит в этом диапазоне, то вероятность выполнения всего комплекса работ достаточна.

Вероятность выполнения работ в директивные сроки велика. В этом случае вероятней всего должна быть проведена оптимизация сетевой модели по материальным ресурсам, поскольку высокое значение вероятности или, иными словами, малое значение Ткр может быть достигнуто проще всего неоправданно высокими материальными затратами.

Если сравнение Ткр>Тдир, то необходима оптимизация модели по времени.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения параметров сетевой модели :

• ранний срок свершения события , поздний срок свершения события, ранний срок начала работы, ранний срок окончания работы, поздний срок начала работы, поздний срок окончания работы;
• резерв времени на свершение события, полный резерв времени, свободный резерв времени;
• продолжительность критического пути;

а также позволяет оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за d дней.
Инструкция . Решение в онлайн режиме осуществляется аналитически и графически. Оформляется в формате Word (см. пример). Ниже представлена видеоинструкция.

Количество вершин Нумерация вершин с №1 .

Исходные данные обычно задаются либо через матрицу расстояний , либо табличным способом .
Ввод данных Матрица расстояний Табличный способ Графический способ Количество строк
Провести анализ сетевой модели: заданы t min и t max заданы t min , t max , m опт
Оптимизация по критерию число исполнителей резервы-затраты сокращение сроков
",0);">

Пример . Описание проекта в виде перечня выполняемых операций с указанием их взаимосвязи приведено в таблице. Построить сетевой график, определить критический путь, построить календарный график.

Работа (i,j)	Количество предшествующих работ	Продолжительность t ij	Ранние сроки: начало t ij Р.Н.	Ранние сроки: окончание t ij Р.О.	Поздние сроки: начало t ij П.Н.	Поздние сроки: окончание t ij П.О.	Резервы времени: полный t ij П	Резервы времени: свободный t ij С.В.	Резервы времени: событий R j
(0,1)	0	8	0	8	0	8	0	0	0
(0,2)	0	3	0	3	1	4	1	0	1
(1,3)	1	1	8	9	8	9	0	0	0
(2,3)	1	5	3	8	4	9	1	1	0
(2,4)	1	2	3	5	13	15	10	10	0
(3,4)	2	6	9	15	9	15	0	0	0

Критический путь: (0,1)(1,3)(3,4) . Продолжительность критического пути: 15.

Независимый резерв времени работы R ij Н - часть полного резерва времени, если все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать, если окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если R ij Н ≥0, то такая возможность имеется. Если R ij Н <0 (величина отрицательна), то такая возможность отсутствует, так как предыдущая работа ещё не оканчивается, а последующая уже должна начаться (показывает время, которого не хватит у данной работы для выполнения ее к самому раннему сроку совершения ее (работы) конечного события при условии, что эта работа будет начата в самый поздний срок ее начального события). Фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Сетевые графики составляются на начальном этапе планирова­ния. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью оценивается длительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графи­ка рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь . Наконец, проводятся ана­лиз и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетом параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.

1. В сетевой модели не должно быть "тупиковых" событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.

2. В сетевом графике не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного). Обнаружив в сети такие события, необходи­мо определить исполнителей предшествующих им работ и вклю­чить эти работы в сеть. В крайнем случае такие события должны быть связаны фиктивными работами с исходным событием.

3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, т.е. путей, соединяющих некоторые события с ними же самими.

4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Нарушение этого условия происходит при изображении парал­лельно выполняемых работ, содержание которых, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться. В этом случае рекомендуется ввести фиктивное событие, при этом одна из параллельных работ замыкается на него. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями.

5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершаю­щее событие. Если в составленной сети это не так (см. Рис. 4.1 А), то добиться желаемого можно путем введения фик­тивных событий и работ, как это показано на Рис. 4.1 Б.

Рис.4.1. Преобразование недопустимых сетевых графиков.

Фиктивные работы и события необходимо вводить и в ряде других случаев. Один из них – отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (Рис. 4.1 В) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фик­тивной работы С

Другой случай - неполная зависимость работ. Например, ра­бота С требует для своего начала завершения работ А и Б, но ра­бота Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. То­гда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного собы­тия 3", как показано на Рис. 4.1 Г.

Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяженностью во времени.

Классический вид сетевого графика – это сеть, вычерченная без масштаба времени. Поэтому сетевой график, хотя и дает четкое представление о порядке следования работ, но недостаточно нагляден для определения тех работ, кото­рые должны выполняться в каждый данный момент времени.

Упорядочение сетевого графика заключается в таком располо­жении событий и работ, при котором для любой работы предшест­вующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием . Другими словами, в упорядоченном сетевом графике все работы-стрелки направле­ны слева направо: от событий с меньшими номерами к событиям с большими номерами. (Это удобнее, но не обязательно).

Для этого существуют различные технологии. Например, рекомендуется разбить условно сетевой график на несколько вертикальных слоев: обвести их пунктирными линиями и обозначить римски­ми цифрами, затем в слоях размещать события, или же дополнять сетевой график линейным, в котором каждая работа изображается параллельным оси времени отрезком, длина которого пропорциональна продолжительности этой работы. По мнению автора, проще нарисовать сетевой график, в котором проекции стрелок-работ на временную ось пропорциональны их длительности, как это сделано на Рисунке 4.2. При этом автоматически определяется время наступления событий.

Одно из важнейших понятий сетевого графика – понятие пути. Путь – любая последовательность работ, в которой конечное собы­тие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике на­зывается критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

Критический путь имеет особое значение в системе СПУ, так как работы этого пути определяют время завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. Для сокращения продолжительности проекта необходимо в пер­вую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

4.4. Временные параметры сетевых графиков

В табл. 4.1 приведены основные временные параметры сете­вых графиков.

Таблица 4.1

Элемент се-ти, характе­ризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначе­ние пара метра
	Ранний срок свершения события	t p (i)
Событие i	Поздний срок свершения события	t п (i)
	Резерв времени события	R(i)
	Продолжительность работы	t(t,j)
	Ранний срок начала работы	t рн (i,j)
	Ранний срок окончания работы	t ро (i,j)
	Поздний срок начала работы	t пн (i,j)
Работа (i,j)	Поздний срок окончания работы	t по (i,j)
	Полный резерв времени работы	R n (i,j)
	Частный резерв времени работы первого вида	R l (i,j)
	Частный резерв времени работы второго вида	R c (i,j)
	или свободный резерв времени работы
	Независимый резерв времени работы	R н (i,j)
	Продолжительность пути	t(L)
Путь L	Продолжительность критического пути	tкр
	Резерв времени пути	R(L)

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий . Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок t p (i) свершения i- го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

гле L п i – любой путь, предшествующий i -му событию, т.е. путь от исходного до i -го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а сле­довательно, несколько предшествующих событий i , то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле

Задержка свершения события i по отношению к своему ранне­му сроку не отразится на сроке свершения завершающего собы­тия (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжитель­ности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i -го собы­тия равен

где l ci - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i -го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следо­вательно, несколько последующих событий j , то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени R(i) i -го события определяется как разность ме­жду поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как лю­бая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно переби­рать все полные пути сетевого графика и определять их дли­ны. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических путей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруд­нено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определе­ния критических путей рекомендуется использовать критические ра­боты.

Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжитель-ности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем R(L) , то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени R п (i, j) работы (i, j ) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при усло­вии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв R п (i, j) определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок.

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резер­ва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва. R i находится по формуле

)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc - работы (i, j ) представляет часть полного резерва време­ни, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее окончания события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположе­нии, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки . R c находится по формуле

Свободным резервом времени можно пользоваться для предот­враще-ния случайностей, которые могут возникнуть в ходе выпол­нения работ. Если планировать выполнение работ по ранним сро­кам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необ­ходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени R H работы (i, j) - часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.

В ряде работ по сетевому планированию резерв времени R H (i, j) на­зывают свободным, а резерв R С (i, j) специального названия не имеет. Использование независимого резерва времени не влияет на ве­личину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей рабо­ты произошло в поздний допустимый срок, а последующие рабо­ты хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (4.3) или (4.4), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина R H (i, j) отрицательна, то этой возможности нет, так как предыду­щая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна на­чаться. Поэтому отрицательное значение R H (i, j) не имеет реаль­ного смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Если частный резерв времени первого вида мо­жет быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени - на увеличение продолжитель­ности данной и предшествующих работ без нарушения резерва вре­мени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и крити­ческие события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i, то

Если на критическом пути лежит конечное событие у, то

Если на критическом пути лежат начальное и конечное собы­тия i и j , но сама работа не принадлежит этому пути, то

Указанные соотношения можно использовать при провер­ке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использовать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.