Математические модели простейших систем массового обслуживания. Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной д
23 октября 2013 в 14:22Squeak: Моделирование систем массового обслуживания
- Программирование ,
- ООП ,
- Параллельное программирование
На Хабре крайне мало информации о таком языке программирования как Squeak . Я попытаюсь рассказать о нем в контексте моделирования систем массового обслуживания . Покажу как написать простой класс, расскажу его структуру и использую его в программе, которая будет обслуживать заявки посредством нескольких каналов.
Пару слов о Squeak
Squeak это открытая, кросс-платформенная реализация языка программирования Smalltalk-80 c динамической типизацией и сборщиком мусора. Интерфейс довольно специфический, но вполне удобный для отладки и анализа. Squeak полностью отвечает концепции ООП. Все состоит из объектов, даже конструкции if-then-else, for, while реализованы с их помощью. Весь синтаксис сводится к посылке объекту сообщения в виде:<объект> <сообщение>Любой метод всегда возвращает объект и ему можно направить новое сообщение.
Squeak часто используется для моделирования процессов, но может использоваться и как средство для создания мультимедийных приложений и разнообразных образовательных платформ.
Системы массового обслуживания
Системы массового обслуживания (СМО) содержат один или несколько каналов которые обрабатывают заявки, поступающие от нескольких источников. Время на обслуживание каждой заявки может быть фиксированным или произвольным, как и интервалы между их поступлением. Это может быть телефонная станция, прачечная, кассиры в магазине, машинописное бюро и пр. Выглядит это примерно так:
СМО включает несколько источников которые поступают в общую очередь и направляются на обслуживание по мере освобождения каналов обработки. В зависимости от конкретных особенностей реальных систем модель может содержать различное число источников заявок и каналов обслуживания и иметь различные ограничения на длину очереди и связанную с ней возможность потери заявок (отказов).
При моделировании СМО обычно решаются задачи оценки средней и максимальной длины очереди, частоты отказов в обслуживании, средней загрузки каналов, определение их числа. В зависимости от задачи, в модель включаются программные блоки сбора, накопления и обработки необходимых статистических данных о поведении процессов. Наиболее часто используемыми моделями потоков событий при анализе СМО являются регулярные и пуассоновские. Регулярные характеризуются одинаковым временем между наступлениями событий, а пуассоновские - случайным.
Немного математики
Для пуассоновского потока число событий X , попадающих в интервал длины τ (тау), примыкающий к точке t , распределено по закону Пуассона:где a (t, τ) - среднее число событий, наступающих на интервале времени τ .
Среднее число событий, наступающих в единицу времени, равно λ(t) . Следовательно, среднее число событий на интервале времени τ , примыкающему к моменту времени t , будет равно:
Время T между двумя событиями при λ(t) = const = λ распределено по закону:
Плотность распределения случайной величины T имеет вид:
Для получения псевдослучайных пуассоновских последовательностей интервалов времени t i решают уравнение:
где r i - равномерно распределенное на интервале случайное число.
В нашем случае это дает выражение:
По генерации случайных чисел можно писать целые тома. Здесь же, для генерации равномерно распределенных на интервале целых чисел используем следующий алгоритм:
где R i - очередное случайное целое число;
Р - некоторое большое простое число (например 2311);
Q - целое число - верхняя граница интервала, например, 2 21 = 2097152;
rem - операция получения остатка от деления целых чисел.
Начальное значение R 0
обычно задают произвольно, например, используя показания таймера:
Time totalSeconds
Для получения равномерно распределенных на интервале чисел воспользуемся оператором языка:
Класс Rand
Для получения равномерно распределенных на интервале случайных чисел создаем класс - генератор вещественных чисел:Float variableWordSubclass: #Rand "имя класса"
instanceVariableNames: "" "переменные экземпляра"
classVariableNames: "R" "переменные класса"
poolDictionaries: "" "общие словари"
category: "Sample" "имя категории"
Методы:
"Инициализация"
init
R:= Time totalSeconds.next
"Следующее псевдослучайное число"
next
R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152.
^(R/2097152) asFloat
Для установки начального состояния датчика посылаем сообщение Rand init
.
Для получения очередного случайного числа посылаем Rand next
.
Программа обработки заявок
Итак, в качестве простенького примера сделаем следующее. Пусть нам необходимо промоделировать обслуживание регулярного потока заявок от одного источника со случайным интервалом времени между заявками. Имеется два канала различной производительности, позволяющих обслуживать заявки за 2 и 7 единиц времени соответственно. Необходимо зарегистрировать число заявок, обслуженных каждым каналом на интервале 100 единиц времени.Код на Squeak
"Объявление временных переменных"
| proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority queue continue r |
"Начальные установки переменных"
Rand init.
SysTime:= 0.
s1:= 0.
s2:= 0.
t1:= -1.
t2:= -1.
continue:= true.
sysPriority:= Processor activeProcess priority. "Текущий приоритет"
queue:= Semaphore new. "Модель очереди заявок"
"Создание процесса - модели канала 1"
(Process forContext:
[ proc1:= Processor activeProcess.
whileTrue: "Цикл обслуживания"
[ queue wait. "Ждать заявку"
t1:= SysTime + 2. "Следующее время активизации"
s1:= s1 + 1.
proc1 suspend. "Приостановить процесс в ожидании окончания обслуживания"
].
proc1:= nil. "Удалить ссылку на процесс 1"
] priority: (sysPriority + 1)) resume. "Новый приоритет больше фонового"
"Создание процесса - модели канала 2"
(Process forContext:
[ proc2:= Processor activeProcess..
whileTrue:
[ queue wait.
t2:= SysTime + 7.
s2:= s2 + 1.
proc2 suspend.
].
proc2:= nil.
] priority: (sysPriority + 1)) resume.
"Продолжение описания главного процесса и модели источника"
whileTrue:
[ r:= (Rand next * 10) rounded.
(r = 0) ifTrue: .
((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Послать заявку"
"Коммутатор процессов обслуживания"
(t1 = SysTime) ifTrue:
.
(t2 = SysTime) ifTrue:
.
SysTime:= SysTime + 1. "Тикает модельное время"
].
"Показать состояние счетчика заявок"
PopUpMenu inform: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString).
continue:= false.
При запуске видим, что процесс 1 успел обработать 31 заявку, а процесс 2 только 11:
Классификация, основные понятия, элементы модели, расчет основных характеристик.
При решении задач рациональной организации торговли, бытового обслуживания, складского хозяйства и т.д. весьма полезной бывает интерпретация деятельности производственной структуры как системы массового обслуживания , т.е. системы в которой, с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой - происходит постоянное удовлетворение этих запросов.
Всякая СМО включает четыре элемента : входящий поток, очередь, обслуживающее устройство, выходящий поток.
Требованием (клиентом, заявкой) в СМО называется каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.
Обслуживание - это выполнение работы по удовлетворению поступившего требования. Объект, выполняющий обслуживание требований, называется обслуживающим устройством (прибором) или каналом обслуживания.
Временем обслуживания называется период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание, т.е. период от начала обслуживания и до его завершения. Период от момента поступления требования в систему и до начала обслуживания называется временем ожидания обслуживания. Время ожидания обслуживания в совокупности с временем обслуживания составляет время пребывания требования в системе.
СМО классифицируются по разным признакам .
1. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
2. В зависимости от условий ожидания требованием начала обслуживания различают СМО с потерями (отказами) и СМО с ожиданием.
В СМО с потерями требования , поступившие в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, получают отказ, они теряются для данной системы и никакого влияния на дальнейший процесс обслуживания не оказывают. Классическим примером системы с отказами является телефонная станция - требование на соединение получает отказ, если вызываемый абонент занят.
Для системы с отказами основной характеристикой эффективности функционирования является вероятность отказа или средняя доля заявок, оставшихся необслуженными.
В СМО с ожиданием требования , поступившее в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает пока не освободится один из каналов. При освобождении очередного прибора одна из заявок, стоящих в очереди, немедленно принимается на обслуживание.
Для СМО с ожиданием основными характеристиками являются математические ожидания длины очереди и времени ожидания.
Примером системы с ожиданием может служить процесс восстановления телевизоров в ремонтной мастерской.
Встречаются системы, лежащие между указанными двумя группами (смешанные СМО ). Для них характерно наличие некоторых промежуточных условий: ограничениями могут быть ограничения по времени ожидания начала обслуживания, по длине очереди и т.п.
В качестве характеристик эффективности может применяться вероятность отказа как в системах с потерями (или характеристики времени ожидания) и в системах с ожиданием.
3. По дисциплине обслуживания СМО делятся на системы с приоритетом в обслуживании и на системы без приоритета в обслуживании.
Требования могут обслуживаться в порядке их поступления либо случайным образом, либо в зависимости от установленных приоритетов.
4. СМО могут быть однофазными и многофазными.
В однофазных системах требования обслуживаются каналами одного типа (например рабочими одной профессии) без передачи их от одного канала к другому, в многофазных системах такие передачи возможны.
5. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые (когда источник требования находится вне системы) и замкнутые (когда источник находится в самой системе).
К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми . Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и т.п. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Методы и модели исследования СМО можно условно разбить на аналитические и статистические (имитационного моделирования процессов массового обслуживания).
Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции от параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.
К сожалению, аналитическому решению поддается лишь довольно ограниченный круг задач теории массового обслуживания. Несмотря на постоянно ведущуюся разработку аналитических методов, во многих реальных случаях аналитическое решение либо невозможно получить, либо итоговые зависимости оказываются настолько сложными, что их анализ становится самостоятельной трудной задачей. Поэтому ради возможности применения аналитических методов решения приходится прибегать к различным упрощающим предположениям, что в некоторой степени компенсируется возможностью применения качественного анализа итоговых зависимостей (при этом, разумеется, необходимо, чтобы принятые допущения не искажали реальной картины процесса).
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским ).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t, равное k требований задается формулой:
где λ - параметр потока (см. ниже).
Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.
Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя несколько станков.
Стационарным называется поток , для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим через λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени Δt зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.
Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за время t + Δt.
Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не определяет того, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.
Важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон. Для этого закона функция распределения вероятностей имеет вид:
F(t) = 1 – e -μt ,
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой (1 – e -μt), где μ -параметр экспоненциального закона времени обслуживания требований в системе - величина, обратная среднему времени обслуживания, т.е. .
Рассмотрим аналитические модели СМО с ожиданием (наиболее распространенные СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие единицы заняты, становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения обслуживающих единиц).
Задачи с очередями являются типичными в производственных условиях, например при организации наладочных и ремонтных работ, при многостаночном обслуживании и т.д.
Постановка задачи в общем виде выглядит следующим образом.
Система состоит из n обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования t об является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Как отмечалось выше, СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые.
Особенности функционирования каждой из этих двух видов систем накладывают свой оттенок на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (формулы Эрланга).
Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m - число обслуживаемых объектов).
В качестве основных критериев, характеризующих качество функционирования рассматриваемой системы, выберем: 1) отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе -коэффициент простоя обслуживаемого объекта; 2) отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу - коэффициент простоя обслуживаемого канала.
Рассмотрим расчет необходимых вероятностных характеристик (показателей качества функционирования) замкнутой СМО.
1. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число не превышает числа обслуживающих аппаратов n:
P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),
где 
λ - частота (интенсивность) поступления требований в систему от одного источника;
Средняя продолжительность обслуживания одного требования;
m - наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживающей системе одновременно;
n - число обслуживающих аппаратов;
Р 0 - вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.
2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов:
P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),
где 
3. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны, определяется из условия
следовательно,
4. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):
5. Коэффициент простоя требования в ожидании обслуживания:
6. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты:
7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания):
8. Коэффициент полного простоя требований на обслуживании и в ожидании обслуживания:
9. Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание:
10. Среднее число свободных обслуживающих аппаратов:
11. Коэффициент простоя обслуживающих аппаратов:
12. Вероятность того, что число требований, ожидающих обслуживания, больше некоторого числа В (вероятность того, что в очереди на обслуживание находится более В требований):
Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Такие системы называются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО являются: банки различных типов, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы, автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания.
3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах (устройствах обслуживания) на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию её каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.
На рис 3.1 изображена схема СМО.
Основными элементами (признаками) систем массового обслуживания являются:
Обслуживающий узел (блок),
Поток заявок,
Очередь в ожидании обслуживания (дисциплина очереди).
Обслуживающий блок предназначен для осуществления действий согласно требованиям поступающих в систему заявок.
Рис. 3.1 Схема системы массового обслуживания
Вторая составляющая систем массового обслуживания - входной поток заявок. Заявки поступают в систему случайным образом. Обычно предполагают, что входной поток подчиняется некоторому вероятностному закону для длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками, причем закон распределения считается не изменяющимся в течение некоторого достаточно продолжительного времени. Источник заявок - неограничен.
Третья составляющая - дисциплина очереди . Эта характеристика описывает порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Поскольку обслуживающий блок, как правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаивает в ожидании заявок.
Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны: обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.
1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является массовый характер потребности в обслуживании.
2. Окончание обслуживания очередной заявки. Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания.
Указанные случайные события составляют систему двух потоков в СМО: входного потока заявок на обслуживание и выходного потока обслуженных заявок.
Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы.
Каждая СМО в зависимости от своих параметров характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации работы, обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей успешно справляться с потоком заявок.
Специальная область прикладной математики теория массового обслуживания (ТМО) – занимается анализом процессов в системах массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.
Цель теории массового обслуживания выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете направлены на определение такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя обслуживающего блока. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики для управления эффективностью процессов массового обслуживания.
В качестве характеристик эффективности функционирования СМО обычно выбираются три следующие основные группы (обычно средних) показателей:
Показатели эффективности использования СМО:
Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу заявок поступивших за это же время.
Средняя продолжительность периода занятости СМО.
Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течении которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.
Показатели качества обслуживания заявок:
Среднее время ожидания заявки в очереди.
Среднее время пребывания заявки в СМО.
Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.
Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.
Закон распределения времени пребывания заявки в очереди.
Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.
Среднее число заявок, пребывающих в очереди.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.
Показатели эффективности функционирования пары «СМО − потребитель», где под «потребителем» понимают всю совокупность заявок или некий их
Для СМО с отказами :
Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:
Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности , так и характеристики ожидания.
В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.
Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.
Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует . Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.
Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.
Рассмотрим примеры некоторых СМО.
2.5.1. Многоканальная СМО с отказами
Пример 2.5 . Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.
Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.
Описание состояний:
Все инспекторы свободны;
Занят один инспектор;
Заняты два инспектора;
Заняты три инспектора.
Граф состояний системы приведен на рис. 2.11 .
Рис. 2.11.
На графе: - интенсивность потока грузовых автомобилей; - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.
Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.
Решение
Искомая часть вероятности - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем , используя зависимости (2.2).
Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать относительной пропускной способностью :
Пример 2.6 . Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - . Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.
Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.
Решение
Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.
Поток донесений с интенсивностью 
можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания 
. Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.
Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.
Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:
Отношение называют приведенной интенсивностью потока заявок . Физический смысл ее следующий: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
В примере 
.
В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть . Тогда:
Так как вероятность отказа в обработке донесений составляет более 34 % (), то необходимо увеличить личный состав группы. Увеличим состав группы в два раза, то есть СМО будет иметь теперь шесть каналов, и рассчитаем :
Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.
2.5.2. Многоканальная СМО с ожиданием
Пример 2.7 . На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).
Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.
Решение
Абсолютная пропускная способность , т. е. все, что подходит к переправе, тут же практически переправляется.
Среднее число работающих переправочных средств:
Коэффициенты использования и простоя переправы:
Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.
Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: 
.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
1.2 Моделирование систем массового обслуживания
1.3 Графы состояний СМО
1.4 Случайные процессы
Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1 Уравнения Колмогорова
2.2 Процессы «рождения – гибели»
2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании
3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании
3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов
3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью
3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью
3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введение
В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.
Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.
В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.
В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.
Глава I . Постановка задач массового обслуживание
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.
Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.
Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.
Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.
Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.
Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.
Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.
Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.
Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.
Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.
Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.
В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.
