Линеаризация нелинейных мм. Методы линеаризации нелинейных сау

25. Методы линеаризации нелинейных САУ.

С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .

НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.

Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:

можно свести к:

ЛЧ

ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.

НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.

Методы линеаризации нелинейных САУ.

метод гармонической линеаризации

статическая линеаризация

совместная стат и гармон линеаризация

вибролинеаризация

Метод гармонической линеаризации.

Сущность метода гарм-ой линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложение сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и замены вых сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива если сис или ЛЧ явл-ся фильтром низкой частоты, т.е. подавляет высшие гармоники.

В рез-те линеаризации нелин стат хар-ку заменяют эквивалентным линейным звеном с коэффициентами

И для гистерезисных хар-ик (петлевых) значение k / Г всегда получается отрицательным, т.е. в ур-ие вводят производную с отриц знаком и эта производная дает запаздывание в работе звена. Такую линеар-ю наз-т гармонической т.к. она связана с разложением нелин колебаний на гармонич-ие составляющие.

k / Г и k Г – гарм-ие коэф-ты усиления нелин звена.

Отличия гарм-ой линеар-ии от обычной:

При гарм-ой линеаризации нелин хар-ку заменят прямой, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала.

Гарм-ая линеаризация позволяет вместо нелин звена получить линейное, к-т усиления которого зависит от а.

Гарм-ая линеар-ия дает возможность опредилить св-ва нелин САУ методами линейной теории автом-х сис-м.

Статическая линеаризация.

Этот метод приближенного исследования точности нелин сис в стационарных случ реж-ах.

В качестве примера возьмем нелин звено со стат хар-ой типа насыщение.

Пусть на входе стационарный случ. Сигнал.

X (t )= m x + x 0 (t )

Y(t)=m y +y 0 (t)

Задача стат лин-ии закл-ся в том чтобы найти линейное звено дающее при том же вх сигнале x (t ) вых сигнал = эквивалентному вых сигналу нелин звена при этом надо чтобы эквив-й сигнал максимально приближался к y (t ).

Точность линеариз зависит от того, какой критерий выбран для сравнения y экв и y .

Сущ 2 критерия сравнения y экв и y :

1. по первому способу линеаризация осущ-ся исходя из след условий

при выполнении первого условия линейное звено будет полностью эквивалентно исх-му нелин звену в отношении пропускания заданной детерменированной составляющей вх сигнала. Второе условие означает эквивалентность в отношении пропускания центрированной случ составляющей вх сигнала. В связи с тем что дисперсия не определяет полностью закона распределения случ величины выбор ур-ия эквивалентного линейного звена только по дисперсии определяет погрешность данной стат линеаризации.

2. основан на линеаризации разности

К-ты стат линеар-ии:

Совместная статическая и гармоническая линеаризация.

Случай когда в сис присутствуют автоколебания и на вх сис подаются случ воздействия:

f(t)=m f +f 0 (t)

x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t

Из-за неприменимости принципа суперпозиции необходимо учитывать наличие всех 3-х составляющих для этого надо осущ-ть совместную стат и гарм линеа-ию, в рез-те этого сигнал на выходе:

в случ симметр-ой нелин стат хар-ки пост состав-ую

m y = y 0 = k сг0 m x

эти 4 к-та опред-ся по фор-ам для гарм-ой и стат линеар-ии. Эти к-ты уже будут зависеть от 4-х составляющих ( m x , s x , a , w a )

При исследовании сис m x , s x , a , w a - определяются совместным решением ур-ий для колебательной составляющей и для случ состав-ей.

Применяя совместно стат и гармонич линеаризацию можно решать две задачи:

можно исследовать влияние внешних случ воздействий на параметры возможных автоколебаний.

можно исследовать точность сис в случ режимах при наличии сис гармонических колебаний.

Вибролинеаризация.

Испол-ся для исключения эффекта наличия нелин-х хар-к (люфт и зона нечувст-ти).

При виб-ой лин-ии на вх нелин звена на постоянный или медленно изменяющиюся сигнал накладывается высокочастотная состав-ая и в рез-те этого нелин звено пропускает пост сост-ую как пропорциональное звено.

Рассмотрим метод виб-ой лин-ии на примере релейной сис:

зависимость y 0 = f (x 0 ) ,где y 0 зависит от x 0 и от формы нелин-ой стат хар-ки, т.о. при наличии переменного воздействия, этот элемент пропускает пост воздействие x 0 как звено непрерывного действия.

Сам процесс виб-й лин-ии можно трактовать как процесс модуляции, в данном примере реле явл-ся модулятором высокочас-ое воздействие - сигнал несущей частоты, а НЧ вх сигнал x 0 явл-ся модулирующим сигналом. В данном случае осущ-ся ШИМ и ф-ей модулир-го сигнала явл-ся ширина вых имп-са и условие неискаженной передачи НЧ-составляющей явл-ся f ВЧ / f НЧ >=3

Когда реле работает в составе САУ обычно НЧ сигнал x 0 представляет собой сигнал управления и изменения во времени x 0 и есть перех-ой процесс в сис.

ВЧ воздействие осущ виб-ой лин-ей м.б. получено 3-я способами:

С пом внешнего генератора, создающего вынужд-е колебания на вх нелин элемента.

Путем создания автоколебаний в самой САУ.

Путем создания скользящего режима.

Я должен был выложить эту статью вчера вечером, как и обещал, но этому мне помешала советская виниловая техника, которая требует полного разбора независимо от серьезности поломки.

Продолжу делаться секретами ТАУ. На этот раз вопрос коснется линеаризации. Очень часто два параметра связаны между собой нелинейной зависимостью. Гиперболической, параболической, логарифмической и т. п. Это очень неудобно при ведении расчетов. К примеру, у нас имеется энкодер на выходе которого серия импульсов. Частота вращения энкодера обратно-пропорциональна периоду следования импульсов. Общая задача - получить обратную связь по скорости. Вся шкала от 0 до 100% должна получиться относительно линейной, дабы впоследствии обеспечить стабилизацию скорости.
По катом графики из Calca, много воды и капелька теории:

В openOffice Calc построим нашу кривую по исходной зависимости:

Зависимость частоты вращения энкодера в процентах от периода следования импульсов в тиках таймера.

Как видите, для нахождения частоты вращения придется делить. Это ресурсозатратно. Более того, это у нас гипербола, а где-то может быть логарифм. Это еще хуже. Нужно упрощать. Нужно линеаризовать. В чем заключается линеаризация? Тут может быть два подхода.

Возьмем, к примеру, кривую насыщения стали:


Если работать в диапазоне 0-а, то можно считать, что данный элемент линеен. Смысл такой задачи -ограничить себя в рабочем диапазоне. Где-то это подходит. Где-то нет.

В нашем случае правильным решением будет другой способ - мы разобьем нашу кривую на интервалы. К примеру кривую насыщения можно разбить на участки 0-а, а-б, б-… Внутри этого участка зависимость между напряженностью магнитного поля и намагниченностью грубо говоря прямо пропорциональна.

Разобьем наш график на два участка. Вот так:


Грубовато выглядит, согласен. Лучшим вариантом бы было разбить кривую на три участка. Но в нашем случае и этого достаточно.
Воспользуемся формулой отрезка:

Из графика определим координаты:

И вычислим наши функции:
Для участка малых скоростей:

Для участка больших скоростей:

Посмотрим что у нас получилось:


Да, вполне сойдет. Как раз на больших скоростях малая погрешность. Теперь посмотрим как выглядит зависимость между абсолютной и относительной скоростями:


Ну, в области малых скоростей все выглядит не самым лучшим образом, но на глаз мы там толком ничего и не увидим, а вот в области больших скоростей относительно линейно. Лично меня вполне устраивает подобный результат.
Теперь все что нужно - по приходу очередного импульса от энкодера использовать следующий код:
//у меня этот код вызывается таймером, отвечающим за ШИМ привода. tic++; if (Encoder.Impulse){ if (tic>130)//частота вращения больше 22% speed=-0,016*tic+24; else //частота вращения меньше 22% speed=-0,76*tic+121; tic=0; } else{//на нулевой скорости период следования импульсов равен бесконечности if (tic>2000){//поэтому если мы превысили некоторую мыслимую величину speed=0;//то считаем что энкодер неподвижен. tic-=1000;//тики приравнивать к нулю при этом нельзя -если следующим тиком придет импульс, то привод насчитает огромную скорость. } }

Описанный здесь метод не претендует на звание единственного и повторимого. Основной смысл данной статьи - рекомендация моделировать и рассчитывать подобные вещи.
В следующие разы мы рассмотрим цифровые реализации типовых звеньев и постепенно создадим библиотеку компонентов.

Линеаризация является наиболее распространенным способом понижения уровня сложности ММ и служит основой применения линейной теории.

Суть любой линеаризации состоит в приближенной замене исходной нелинейной зависимости (нелинейности) некоторой линейной зависимостью в соответствии с определенным условием (критерием) эквивалентности. Среди возможных методов чаще всего применяют метод касательных (линеаризация в малой окрестности заданной точки). Этот метод не зависит от вида преобразуемых сигналов и может одинаково успешно использоваться для разных типов нелинейностей, которые могут быть одномерными и многомерными; безынерционными (статическими) и динамическими.

Безынерционные нелинейности устанавливают функциональную зависимость между значениями входа u (t ) и выхода y (t ) в один и тот же текущий момент времени t и могут задаваться либо явно (формулами, графиками, таблицами), либо неявно (алгебраическими уравнениями). На структурных схемах им соответствуют безынерционные (без памяти) нелинейные звенья .

Динамические нелинейности описываются математически нелинейными дифференциальными уравнениями и на структурных схемах им соответствуют нелинейные динамические звенья . При этом значения выхода y (t ) в текущий момент времени t зависят не только от значений входа в этот же момент времени, но и от производных, интегралов или каких либо других значений.

Математической основой метода касательных является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в малой окрестности некоторой «точки линеаризации» с последующим отбрасыванием нелинейных слагаемых, содержащих степени отклонений переменных (приращений) выше первой.

Суть метода рассмотрим на частных случаях с последующими обобщениями.

1) Пусть y = F (u ) - явно заданная одномерная безынерционная нелинейность, гладкая и непрерывная в окрестности некоторой точки u =u *. Полагая, u =u *+Du ; y =y *+Dy , где y *=F (u *), запишем ряд Тейлора для этой функции в виде:

Отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости, и оставляя только слагаемые, содержащие Du в первой степени, получим приближенное равенство

. (2)

Это выражение приближенно описывает взаимосвязь малых приращений Dy и Du в виде линейной зависимости и является результатом линеаризации в рассматриваемом случае. Здесь К имеет геометрический смысл углового коэффициента наклона касательной к графику функции в точке с координатой u =u *.

В случае многомерной нелинейности y =F (u ), когда y ={y i }, F ={F i } иu ={u j }– векторы, аналогично получим, что Dy =K Du . ЗдесьK ={K ij }- матричный коэффициент, элементы которого K ij определяются как значения частных производных функций F i по переменным u j , вычисленных в «точке» u =u* .

2. Пусть безынерционная нелинейность задана неявно с помощью алгебраического уравнения F (y ,u )=0 . Необходимо линеаризовать эту нелинейность в малой окрестности некоторого известного частного решения (u *, y *) в предположении того, что все нелинейные функции F i в составе F непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности. Выполнив разложение этой вектор-функции в ряд Тейлора и, отбросив слагаемые второго и выше порядков малости, получим линейное уравнение первого приближения:

, (3)

где Dy =y –y *; Du =u –u *; - матрицы частных производных, вычисленные в точке линеаризации.

3. Пусть одномерная динамическая нелинейность задана дифференциальным уравнением «вход-выход» n -го порядка:

F (y , y (1) , …, y ( n ) , u , u (1) , …u ( m ))=0. (4)

Линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения этого уравнения y *(t ), соответствующего заданному входу u *(t ). Производные по времени соответствующих порядков от y *(t ) и u *(t ) также предполагаются известными.

Предполагая функцию F непрерывно-дифференцируемой по всем своим аргументам и следуя рассмотренной выше общей методике (разложение в ряд и учет только линейных относительно приращений аргументов слагаемых), запишем линейное уравнение первого приближения для нелинейного уравнения:

(5)

Здесь символ (*) означает, что частные производные определены при значениях переменных и их производных, соответствующих частному решению (y *(t ), u *(t )). В общем случае их значения (коэффициенты уравнения) будут зависеть от времени и линеаризованная модель будет нестационарной . Но если частное решение соответствует статическому режиму , то эти коэффициенты будут постоянными .

Для удобства и краткости записи, введем следующие обозначения:

= a i ; = -b i ; Dy (i ) =D i Dy ; Du (i ) =D i Du ; D =d /dt .

Тогда линеаризованное уравнение (5) запишется в краткой операторной форме:

A (D )Dy (t )=B (D )Du (t ),

где A (D ) – полином степени n относительно оператора дифференцирования D ;

B (D ) – аналогичный операторный полином m -ой степени.

4. Пусть многомерная динамическая нелинейность задана нелинейными уравнениями состояния вида

(6)

Аналогично предыдущим случаям, линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения (x* , y* ), соответствующего заданному входу u* (t ). При этом уравнения первого приближения будут иметь следующий вид:

(7)

где - матрицы соответствующих размеров. Их элементы в общем случае будут функциями времени, но если частное решение соответствует статическому режиму, то они будут постоянны.

Сделаем заключительные замечания о применении метода касательных при линеаризации ММ всей САР, представляющей собой совокупность описаний взаимодействующих между собой конструктивных блоков.

1) «опорный режим» (*), относительно которого выполняется линеаризация, рассчитывается для всей системы по ее полной (нелинейной) ММ. Для расчета могут использоваться как графические, так и численные (компьютерные) методы. При этом коэффициенты всех линеаризованных уравнений и функциональных зависимостей будут зависеть от выбранных точек линеаризации;

2) все нелинейные зависимости ММ должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми (гладкими) в малой окрестности режима (*);

3) отклонения переменных от их значений в опорном режиме должны быть достаточно малыми; для САР и У это требование вполне согласуется с целью управления – регулированием значений управляемых переменных в соответствии с предписанными законами их изменения;

4) для линейных уравнений в составе ММ линеаризация состоит в формальной замене всех переменных на их отклонения (приращения);

5) для получения линеаризованной ММ всей системы в стандартном виде, например в форме уравнений состояния, следует сначала проводить линеаризацию каждого из уравнений в составе ММ. Это будет намного проще и быстрее, чем попытка получения нелинейной ММ системы в стандартном виде с последующей ее линеаризацией;

6) при соблюдении всех условий применения метода касательных, свойства линеаризованной ММ дают объективное представление о локальных свойствах нелинейной ММ в малой окрестности опорного режима. Этот факт имеет строгое математическое обоснование в виде теорем Ляпунова (первый метод) и является теоретической базой для практического применения линейной теории управления.

Гармоническая линеаризация.

Назначение метода гармонической линеаризации .

Идея метода гармонической линеаризации была предложена в 1934г. Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Применительно к системам автоматического управления этот метод разработан Л. С. Гольдфарбом и Е. П. Поповым. Другие названия этого ме­тода и его модификаций - метод гармонического баланса, метод описывающих функций, метод эквивалентной линеаризации.

Метод гармонической линеаризации - это метод исследова­ния автоколебаний. Он позволяет определять условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных си­стемах.

Знание параметров автоколебаний позволяет представить картину возможных процессов в системе и, в частности, определить условия устойчивости. Предположим, например, что в результате исследования автоколебаний в некоторой нелинейной системе мы получили зависимость амплитуды этих автоколебаний А от коэффициента передачи k линейной части системы, показанную на рис.12.1, и знаем, что автоколебания устойчивы.

Из графика следует, что при большом значении коэффициента передачи k, когда k > k кр, в системе существуют автоколебания. Их амплитуда уменьшается до нуля при уменьшении коэффициента передачи k до k кр. На рис.12.1 стрелками условно показан характер переходных процессов при разных значениях k : при k > k кр переходный процесс, вызванный начальным отклонением, стягивается к автоколебаниям. Из рисунка видно, что при k < k кр, система оказывается устойчивой. Таким образом, k кр – это критическое по условию устойчивости значение коэффициента передачи. Его превышение приводит к тому, что исходный режим системы становится неустойчивым и в ней возникают автоколебания. Следовательно, знание условий существования автоколебаний в системе позволяет определить и условия устойчивости.

Идея гармонической линеаризации.

Рассмотрим нелинейную систему, схема которой представлена на рис.12.2, а. Система состоит из линейной части с передаточной функцией W л (s ) и нелинейного звена НЛ с конкретно заданной характеристикой . Звено с коэффициентом - 1 показывает, что обратная связь в системе отрицательна. Полагаем, что в системе существуют автоколебания, амплитуду и частоту которых мы хотим найти. В рассматриваемом режиме входная величина Х нелинейного звена и выходная Y являются периодическими функциями времени.

Метод гармонической линеаризации основан на nредnоложении, что колебания на входе нелинейного звена являются синусоидальны.ми ,т. е. что

, (12.1)

где А – амплитуда и - частота этих автоколебаний, а - возможная в общем случае постоянная составляющая, когда автоколебания несимметричны.

В действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны вследствие искажения их формы нели­нейным звеном. Поэтому указанное исходное предположение озна­чает, что метод гармонической линеаризации является принципиально приближенным и область его применения ограничена случаями, когда автоколебания на входе нели­нейного звена достаточно близки к синусоидальным. Для того чтобы это имело место, линейная часть системы должна не пропу­скать высших гармоник автоколебаний, т. е. являться фильтром нижних частот . Последнее иллюстрируется рис. 12.2, б. Если, например, частота автоколебаний равна , то линейная часть с показанной на рис. 12.2, б АЧХ будет играть роль фильтра нижних частот для этих колебаний, так как уже вторая гармоника, частота которой равна 2 , практически не пройдет на вход нелинейного звена. Следовательно, в этом случае метод гармонической линеаризации применим.

Если частота автоколебаний равна , линейная часть будет свободно пропускать вторую, третью и другие гармоники автоколебаний. В этом случае нельзя утверждать, что колебания на входе нелинейного звена будут достаточно близки к синусоидальным, т.е. необходимая для применения метода гармонической линеаризации предпосылка не выполняется.

Для того чтобы установить, является ли линейная часть си­стемы фильтром нижних частот и тем самым определить примени­мость метода гармонической линеаризации, необходимо знать частоту автоколебаний. Однако ее можно узнать только в резуль­тате использования этого метода. Таким образом, пpимeнимocть метода гармонической лuнеарuзацuu прuходuтся определять уже в конце uсследованuя в порядке проверки.

Заметим при этом, что если в результате этой проверки гипо­теза о том, что линейная часть системы играет роль фильтра ниж­них частот, не подтверждается, это не означает еще неверности полученных результатов, хотя, разумеется, ставит их под сом­нение и требует дополнительной проверки каким-либо другим методом.

Итак, предположив, что линейная часть системы есть фильтр нижних частот, считаем, что автоколебания на входе нелинейного звена синусоидальны, т.е имеют вид (12.1). Колебания на выходе этого звена будут при этом уже несинусоидальными вследствие их искажения нелинейностью. В качестве примера на рис. 12.3 построена кривая на выходе нелинейного звена для определенной амплитуды входного чисто синусоидального сигнала по характеристике звена, приведенной там же.

Рис.12.3. Прохождение гармонического колебания через нелинейное звено.

Однако, поскольку мы считаем, что линейная часть системы пропускает только основную гармонику автоколебаний, имеет смысл интересоваться только этой гармоникой на выходе нелинейного звена. Поэтому разложим выходные колебания в ряд Фурье и отбросим высшие гармоники. В результате получим:

;

; (12.3)

;

.

Перепишем выражение (12.2) в более удобном для последующего использования виде, подставив в него получающиеся из (12.1) следующие выражения для и :

Подставив эти выражения в (12.2), будем иметь:

(12.4)

. (12.5)

Здесь введены обозначения:

. (12.6)

Дифференциальное уравнение (12.5) справедливо для синусоидального входного сигнала (12.1) и определяет выходной сигнал нелинейного звена без учета высших гармоник.

Коэффициенты в соответствии с выражениями (12.3) для коэффициентов Фурье являются функциями постоянной составляющей , амплитуды А и частоты автоколебаний на входе нелинейного звена. При фиксированных А , и уравнение (12.5) является линейным. Таким образом, если отбросить высшие гармоники, то для фиксированного гармонического сигнала исходное нелинейное звено может быть заменено эквивалентным линейным, описываемым уравнением (12.5). Эта замена и называется гармонической линеаризацией .

На рис. 12.4 условно изображена схема этого звена, состоящая из двух параллельных звеньев.

Рис. 12.4. Эквивалентное линейное звено, полученное в результате гармонической линеаризации.

Одно звено () пропускает постоянную составляющую, а другое – только синусоидальную составляющую автоколебаний.

Коэффициенты называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами передачи : - коэффициент передачи постоянной составляющей, а - два коэффициента передачи синусоидальной составляющей автоколебаний. Эти коэффициенты определяются нелинейностью и значениями и по формулам (12.3). Существуют определенные по этим формулам готовые выра­жения для для ряда типовых нелинейных звеньев. Для этих и вообще всех безынерционных нелинейных звеньев вели­чины не зависят от и являются функциями только амплитуды А и .

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь зна­чения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также .

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

где введены следующие обозначения

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

И т.д. (2.7)

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т1 и Т2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или px2) отличается от размерности х2 на секунду в минус первой степени (). Поэтому коэффициенты Т1 и Т2 называют постоянными времени .

Коэффициент k1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии . Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена , то линеаризация дает или . Коэффициент передачи k1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х1 и х2.

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k1 = tg c учетом масштабов чертежа и размерности x2. Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

Размерность коэффициента k2 равна размерности коэффициента передачи k1, умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде

где – постоянная времени.

Постоянные времени Т1, Т2 и Т3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).

Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:

Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.

В этих формулах RВ и RЯ – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; ІВ и ІЯ – токи в этих цепях; UВ и UЯ – напряжения, приложенные к этим цепям; wВ – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил; J – приведенный момент инерции двигателя; СЕ и
СМ – коэффициенты пропорциональности.

Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:

Если теперь напряжение возбуждения получит приращение UВ = UВ0 + ΔUВ, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: ІВ = ІВ0 + ΔІВ; Ф = Ф0 + ΔФ; IЯ = IЯ0 + ΔІЯ; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:

Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:

В этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).

Совместное решение системы (2.13) даёт

где коэффициент передачи, ,

электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,

где LB = a wB – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,

Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.

Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме UB0 = 0; ІB0 = 0; Ф0 = 0 и Ω0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид

В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя и приращение напряжения в цепи возбуждения.

Контрольные вопросы

1. Опишите линейные и нелинейные САР.

2. Дайте понятие линеаризации и объясните ее необходимость.

3. Изложите общий метод линеаризации.

4. Какова стандартная форма записи дифференциальных уравнений?