Контрольная работа: Распределение "хи-квадрат" и его применение. Сравнение двух частотных распределений

). Конкретная формулировка проверяемой гипотезы от случая к случаю будет варьировать.

В этом сообщении я опишу принцип работы критерия \(\chi^2\) на (гипотетическом) примере из иммунологии . Представим, что мы выполнили эксперимент по установлению эффективности подавления развития микробного заболевания при введении в организм соответствующих антител . Всего в эксперименте было задействовано 111 мышей, которых мы разделили на две группы, включающие 57 и 54 животных соответственно. Первой группе мышей сделали инъекции патогенных бактерий с последующим введением сыворотки крови, содержащей антитела против этих бактерий. Животные из второй группы служили контролем – им сделали только бактериальные инъекции. После некоторого времени инкубации оказалось, что 38 мышей погибли, а 73 выжили. Из погибших 13 принадлежали первой группе, а 25 – ко второй (контрольной). Проверяемую в этом эксперименте нулевую гипотезу можно сформулировать так: введение сыворотки с антителами не оказывает никакого влияния на выживаемость мышей. Иными словами, мы утверждаем, что наблюдаемые различия в выживаемости мышей (77.2% в первой группе против 53.7% во второй группе) совершенно случайны и не связаны с действием антител.

Полученные в эксперименте данные можно представить в виде таблицы:

			Всего
Бактерии + сыворотка
Только бактерии
Всего

Таблицы, подобные приведенной, называют таблицами сопряженности . В рассматриваемом примере таблица имеет размерность 2х2: есть два класса объектов («Бактерии + сыворотка» и «Только бактерии»), которые исследуются по двум признакам ("Погибло" и "Выжило"). Это простейший случай таблицы сопряженности: безусловно, и количество исследуемых классов, и количество признаков может быть бóльшим.

Для проверки сформулированной выше нулевой гипотезы нам необходимо знать, какова была бы ситуация, если бы антитела действительно не оказывали никакого действия на выживаемость мышей. Другими словами, нужно рассчитать ожидаемые частоты для соответствующих ячеек таблицы сопряженности. Как это сделать? В эксперименте всего погибло 38 мышей, что составляет 34.2% от общего числа задействованных животных. Если введение антител не влияет на выживаемость мышей, в обеих экспериментальных группах должен наблюдаться одинаковый процент смертности, а именно 34.2%. Рассчитав, сколько составляет 34.2% от 57 и 54, получим 19.5 и 18.5. Это и есть ожидаемые величины смертности в наших экспериментальных группах. Аналогичным образом рассчитываются и ожидаемые величины выживаемости: поскольку всего выжили 73 мыши, или 65.8% от общего их числа, то ожидаемые частоты выживаемости составят 37.5 и 35.5. Составим новую таблицу сопряженности, теперь уже с ожидаемыми частотами:

	Погибшие	Выжившие	Всего
Бактерии + сыворотка
Только бактерии
Всего

Как видим, ожидаемые частоты довольно сильно отличаются от наблюдаемых, т.е. введение антител, похоже, все-таки оказывает влияние на выживаемость мышей, зараженных патогенным микроорганизмом. Это впечатление мы можем выразить количественно при помощи критерия согласия Пирсона \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_{}\frac{(f_o - f_e)^2}{f_e},\]

где \(f_o\) и \(f_e\) - наблюдаемые и ожидаемые частоты соответственно. Суммирование производится по всем ячейкам таблицы. Так, для рассматриваемого примера имеем

\[\chi^2 = (13 – 19.5)^2/19.5 + (44 – 37.5)^2/37.5 + (25 – 18.5)^2/18.5 + (29 – 35.5)^2/35.5 = \]

Достаточно ли велико полученное значение \(\chi^2\), чтобы отклонить нулевую гипотезу? Для ответа на этот вопрос необходимо найти соответствующее критическое значение критерия. Число степеней свободы для \(\chi^2\) рассчитывается как \(df = (R - 1)(C - 1)\), где \(R\) и \(C\) - количество строк и столбцов в таблице сопряженности. В нашем случае \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Зная число степеней свободы, мы теперь легко можем узнать критическое значение \(\chi^2\) при помощи стандартной R-функции qchisq() :

Таким образом, при одной степени свободы только в 5% случаев величина критерия \(\chi^2\) превышает 3.841. Полученное нами значение 6.79 значительно превышает это критического значение, что дает нам право отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии связи между введением антител и выживаемостью зараженных мышей. Отвергая эту гипотезу, мы рискуем ошибиться с вероятностью менее 5%.

Следует отметить, что приведенная выше формула для критерия \(\chi^2\) дает несколько завышенные значения при работе с таблицами сопряженности размером 2х2. Причина заключается в том, что распределение самого критерия \(\chi^2\) является непрерывным, тогда как частоты бинарных признаков ("погибло" / "выжило") по определению дискретны. В связи с этим при расчете критерия принято вводить т.н. поправку на непрерывность , или поправку Йетса :

\[\chi^2_Y = \sum_{}\frac{(|f_o - f_e| - 0.5)^2}{f_e}.\]

"s Chi-squared test with Yates" continuity correction data : mice X-squared = 5.7923 , df = 1 , p-value = 0.0161

Как видим, R автоматически применяет поправку Йетса на непрерывность (Pearson"s Chi-squared test with Yates" continuity correction ). Рассчитанное программой значение \(\chi^2\) составило 5.79213. Мы можем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии эффекта антител, рискуя ошибиться с вероятностью чуть более 1% (p-value = 0.0161 ).

23. Понятие распределения хи-квадрат и Стьюдента, и графический вид

1) Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы - это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение (хи – квадрат) – распределение случайной величины (причем математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение-1)

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение. При этом число слагаемых, т.е., называется "числом степеней свободы" распределения хи-квадрат. Число хи-квадрат опредляется одни параметром-числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Тогда сумма их квадратов

является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

Здесь - гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .

Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.

Впервые χ2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).

Мат.ожид.=n; D=2n

2) Распределение Стьюдента

Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М(Z) = 0, σ(Z) = 1), и V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. При этом k называется "числом степеней свободы" распределения Стьюдента.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, "ноу-хау" в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом "Стьюдент". История Госсета – Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.

Математика

В этой статье речь будет идти о исследовании зависимости между признаками, или как больше нравится - случайными величинами, переменными. В частности, мы разберем как ввести меру зависимости между признаками, используя критерий Хи-квадрат и сравним её с коэффициентом корреляции.

Для чего это может понадобиться? К примеру, для того, чтобы понять какие признаки сильнее зависимы от целевой переменной при построении кредитного скоринга - определении вероятности дефолта клиента. Или, как в моем случае, понять какие показатели нобходимо использовать для программирования торгового робота.

Отдельно отмечу, что для анализа данных я использую язык c#. Возможно это все уже реализовано на R или Python, но использование c# для меня позволяет детально разобраться в теме, более того это мой любимый язык программирования.

Начнем с совсем простого примера, создадим в экселе четыре колонки, используя генератор случайных чисел:
X =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)
Y =X *10+20
Z =X *X
T =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)

Как видно, переменная Y линейно зависима от X ; переменная Z квадратично зависима от X ; переменные X и Т независимы. Такой выбор я сделал специально, потому что нашу меру зависимости мы будем сравнивать с коэффициентом корреляции . Как известно, между двумя случайными величинами он равен по модулю 1 если между ними самый «жесткий» вид зависимости - линейный. Между двумя независимыми случайными величинами корреляция нулевая, но из равенства коэффициента корреляции нулю не следует независимость . Далее мы это увидим на примере переменных X и Z .

Сохраняем файл как data.csv и начинаем первые прикиди. Для начала рассчитаем коэффициент корреляции между величинами. Код в статью я вставлять не стал, он есть на моем github . Получаем корреляцию по всевозможным парам:

Видно, что у линейно зависимых X и Y коэффициент корреляции равен 1. А вот у X и Z он равен 0.01, хотя зависимость мы задали явную Z =X *X . Ясно, что нам нужна мера, которая «чувствует» зависимость лучше. Но прежде, чем переходить к критерию Хи-квадрат, давайте рассмотрим что такое матрица сопряженности.

Чтобы построить матрицу сопряженности мы разобьём диапазон значений переменных на интервалы (или категорируем). Есть много способов такого разбиения, при этом какого-то универсального не существует. Некоторые из них разбивают на интервалы так, чтобы в них попадало одинаковое количество переменных, другие разбивают на равные по длине интервалы. Мне лично по духу комбинировать эти подходы. Я решил воспользоваться таким способом: из переменной я вычитаю оценку мат. ожидания, потом полученное делю на оценку стандартного отклонения. Иными словами я центрирую и нормирую случайную величину. Полученное значение умножается на коэффициент (в этом примере он равен 1), после чего все округляется до целого. На выходе получается переменная типа int, являющаяся идентификатором класса.

Итак, возьмем наши признаки X и Z , категорируем описанным выше способом, после чего посчитаем количество и вероятности появления каждого класса и вероятности появления пар признаков:

Это матрица по количеству. Здесь в строках - количества появлений классов переменной X , в столбцах - количества появлений классов переменной Z , в клетках - количества появлений пар классов одновременно. К примеру, класс 0 встретился 865 раз для переменной X , 823 раза для переменной Z и ни разу не было пары (0,0). Перейдем к вероятностям, поделив все значения на 3000 (общее число наблюдений):

Получили матрицу сопряженности, полученную после категорирования признаков. Теперь пора задуматься над критерием. По определению, случайные величины независимы, если независимы сигма-алгебры , порожденные этими случайными величинами. Независимость сигма-алгебр подразумевает попарную независимость событий из них. Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: Pij = Pi*Pj . Именно этой формулой мы будем пользоваться для построения критерия.

Нулевая гипотеза : категорированные признаки X и Z независимы. Эквивалентная ей: распределение матрицы сопряженности задается исключительно вероятностями появления классов переменных (вероятности строк и столбцов). Или так: ячейки матрицы находятся произведением соответствующих вероятностей строк и столбцов. Эту формулировку нулевой гипотезы мы будем использовать для построения решающего правила: существенное расхождение между Pij и Pi*Pj будет являться основанием для отклонения нулевой гипотезы.

Пусть - вероятность появления класса 0 у переменной X . Всего у нас n классов у X и m классов у Z . Получается, чтобы задать распределение матрицы нам нужно знать эти n и m вероятностей. Но на самом деле если мы знаем n-1 вероятность для X , то последняя находится вычитанием из 1 суммы других. Таким образом для нахождения распределения матрицы сопряженности нам надо знать l=(n-1)+(m-1) значений. Или мы имеем l -мерное параметрическое пространство, вектор из которого задает нам наше искомое распределение. Статистика Хи-квадрат будет иметь следующий вид:

и, согласно теореме Фишера, иметь распределение Хи-квадрат с n*m-l-1=(n-1)(m-1) степенями свободы.

Зададимся уровнем значимости 0.95 (или вероятность ошибки первого рода равна 0.05). Найдем квантиль распределения Хи квадрат для данного уровня значимости и степеней свободы из примера (n-1)(m-1)=4*3=12 : 21.02606982. Сама статистика Хи-квадрат для переменных X и Z равна 4088.006631. Видно, что гипотеза о независимости не принимается. Удобно рассматривать отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению - в данном случае оно равно Chi2Coeff=194.4256186 . Если это отношение меньше 1, то гипотеза о независимости принимается, если больше, то нет. Найдем это отношение для всех пар признаков:

Здесь Factor1 и Factor2 - имена признаков
src_cnt1 и src_cnt2 - количество уникальных значений исходных признаков
mod_cnt1 и mod_cnt2 - количество уникальных значений признаков после категорирования
chi2 - статистика Хи-квадрат
chi2max - пороговое значение статистики Хи-квадрат для уровня значимости 0.95
chi2Coeff - отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению
corr - коэффициент корреляции

Видно, что независимы (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X,T ), (Y,T ) и (Z,T ), что логично, так как переменная T генерируется случайно. Переменные X и Z зависимы, но менее, чем линейно зависимые X и Y , что тоже логично.

Код утилиты, рассчитывающей данные показатели я выложил на github, там же файл data.csv. Утилита принимает на вход csv-файл и высчитывает зависимости между всеми парами колонок: PtProject.Dependency.exe data.csv

В настоящей заметке χ 2 -распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия часто ты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.

Проверка с помощью критерия согласия χ 2 выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая χ 2 -статистика:

где f 0 - наблюдаемая частота, f е - теоретическая, или ожидаемая частота, k - количество категорий, оставшихся после объединения, р - количество оцениваемых параметров.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Использование χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Для расчета по этой формуле в Excel удобно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ() (рис. 1).

Для оценки параметра λ можно воспользоваться оценкой . Теоретическую частоту X успехов (Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и более), соответствующую параметру λ = 2,9 можно определить с помощью функции =ПУАССОН.РАСП(Х;;ЛОЖЬ). Умножив пуассоновскую вероятность на объем выборки n , получим теоретическую частоту f e (рис. 2).

Рис. 2. Фактические и теоретические частоты прибытий в минуту

Как следует из рис. 2, теоретическая частота девяти и более прибытий не превосходит 1,0. Для того чтобы каждая категория содержала частоту, равную 1,0 или большему числу, категорию «9 и более» следует объединить с категорией «8». То есть, остается девять категорий (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и более). Поскольку математическое ожидание распределения Пуассона определяется на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – р – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. Используя уровень значимости, равный 0,05 находим критическое значение χ 2 -статистики, имеющей 7 степеней свободы по формуле =ХИ2.ОБР(1-0,05;7) = 14,067. Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н 0 отклоняется, если χ 2 > 14,067, в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется.

Для расчета χ 2 воспользуемся формулой (1) (рис. 3).

Рис. 3. Расчет χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Так как χ 2 = 2,277 < 14,067, следует, что гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что прибытие клиентов в банк не подчиняется распределению Пуассона.

Применение χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

В предыдущих заметках при проверке гипотез о числовых переменных использовалось предположение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для проверки этого предположения можно применять графические средства, например, блочную диаграмму или график нормального распределения (подробнее см. ). При больших объемах выборок для проверки этих предположений можно использовать χ 2 -критерий согласия для нормального распределения.

Рассмотрим в качестве примера данные о 5-летней доходности 158 инвестиционных фондов (рис. 4). Предположим, требуется поверить, имеют ли эти данные нормальное распределение. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : 5-летняя доходность подчиняется нормальному распределению, Н 1 : 5-летняя доходность не подчиняется нормальному распределению. Нормальное распределение имеет два параметра - математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, которые можно оценить на основе выборочных данных. В данном случае = 10,149 и S = 4,773.

Рис. 4. Упорядоченный массив, содержащий данные о пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Данные о доходности фондов можно сгруппировать, разбив, например на классы (интервалы) шириной 5% (рис. 5).

Рис. 5. Распределение частот для пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Поскольку нормальное распределение является непрерывным, необходимо определить площадь фигур, ограниченных кривой нормального распределения и границами каждого интервала. Кроме того, поскольку нормальное распределение теоретически изменяется от –∞ до +∞, необходимо учитывать площадь фигур, выходящих за пределы классов. Итак, площадь, лежащая под нормальной кривой слева от точки –10, равна площади фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z, равной

Z = (–10 – 10,149) / 4,773 = –4,22

Площадь фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z = –4,22 определяется по формуле =НОРМ.РАСП(-10;10,149;4,773;ИСТИНА) и приближенно равна 0,00001. Для того чтобы вычислить площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, сначала необходимо вычислить площадь фигуры, лежащей слева от точки –5: =НОРМ.РАСП(-5;10,149;4,773;ИСТИНА) = 0,00075. Итак, площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, равна 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. Аналогично можно вычислить площадь фигуры, ограниченной границами каждого класса (рис. 6).

Рис. 6. Площади и ожидаемые частоты для каждого класса 5-летней доходности

Видно, что теоретические частоты в четырех крайних классах (два минимальных и два максимальных) меньше 1, поэтому проведем объединение классов, как показано на рис 7.

Рис. 7. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

Используем χ 2 -критерий согласия данных с нормальным распределением с помощью формулы (1). В нашем примере после объединения остаются шесть классов. Поскольку математическое ожидание и стандартное отклонение оцениваются на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – p – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. Используя уровень значимости, равный 0,05, находим, что критическое значение χ 2 -статистики, имеющее три степени свободы =ХИ2.ОБР(1-0,05;F3) = 7,815. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия, приведены на рис. 7.

Видно, что χ 2 -статистика = 3,964 < χ U 2 7,815, следовательно гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что 5-летняя доходность инвестиционных фондов, ориентированных на быстрый рост, не подчиняется нормальному распределению.

В нескольких последних заметках рассмотрены разные подходы к анализу категорийных данных. Описаны методы проверки гипотез о категорийных данных, полученных на основе анализа двух или нескольких независимых выборок. Кроме критериев «хи-квадрат», рассмотрены непараметрические процедуры. Описан ранговый критерий Уилкоксона, который используется в ситуациях, когда не выполняются условия применения t -критерия для поверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых групп, а также критерий Крускала-Уоллиса, который является альтернативой однофакторному дисперсионному анализу (рис. 8).

Рис. 8. Структурная схема методов проверки гипотез о категорийных данных

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 763–769

Критерий независимости хи-квадрат используется для определения связи между двумя категориальными переменными. Примерами пар категориальных переменных являются: Семейное положение vs. Уровень занятости респондента; Порода собак vs. Профессия хозяина, Уровень з/п vs. Специализация инженера и др. При вычислении критерия независимости проверяется гипотеза о том, что между переменными связи нет. Вычисления будем производить с помощью функции MS EXCEL 2010 ХИ2.ТЕСТ() и обычными формулами.

Предположим у нас есть выборка данных, представляющая результат опроса 500 человек. Людям задавалось 2 вопроса: про их семейное положение (женаты, гражданский брак, не состоят в отношениях) и их уровень занятости (полный рабочий день, частичная занятость, временно не работает, на домохозяйстве, на пенсии, учеба). Все ответы поместили в таблицу:

Данная таблица называется таблицей сопряжённости признаков (или факторной таблицей, англ. Contingency table). Элементы на пересечении строк и столбцов таблицы обычно обозначают O ij (от англ. Observed, т.е. наблюденные, фактические частоты).

Нас интересует вопрос «Влияет ли Семейное положение на Занятость?», т.е. существует ли зависимость между двумя методами классификации выборки ?

При проверке гипотез такого вида обычно принимают, что нулевая гипотеза утверждает об отсутствии зависимости способов классификации.

Рассмотрим предельные случаи. Примером полной зависимости двух категориальных переменных является вот такой результат опроса:

В этом случае семейное положение однозначно определяет занятость (см. файл примера лист Пояснение ). И наоборот, примером полной независимости является другой результат опроса:

Обратите внимание, что процент занятости в этом случае не зависит от семейного положения (одинаков для женатых и не женатых). Это как раз совпадает с формулировкой нулевой гипотезы . Если нулевая гипотеза справедлива, то результаты опроса должны были бы так распределиться в таблице, что процент занятых был бы одинаковым независимо от семейного положения. Используя это, вычислим результаты опроса, которые соответствуют нулевой гипотезе (см. файл примера лист Пример ).

Сначала вычислим оценку вероятности, того, что элемент выборки будет иметь определенную занятость (см. столбец u i):

где с – количество столбцов (columns), равное количеству уровней переменной «Семейное положение».

Затем вычислим оценку вероятности, того, что элемент выборки будет иметь определенное семейное положение (см. строку v j).

где r – количество строк (rows), равное количеству уровней переменной «Занятость».

Теоретическая частота для каждой ячейки E ij (от англ. Expected, т.е. ожидаемая частота) в случае независимости переменных вычисляется по формуле:
E ij =n* u i * v j

Известно, что статистика Х 2 0 при больших n имеет приблизительно с (r-1)(c-1) степенями свободы (df – degrees of freedom):

Если вычисленное на основе выборки значение этой статистики «слишком большое» (больше порогового), то нулевая гипотеза отвергается. Пороговое значение вычисляется на основании , например с помощью формулы =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05; df) .

Примечание : Уровень значимости обычно принимается равным 0,1; 0,05; 0,01.

При проверке гипотезы также удобно вычислять , которое мы сравниваем с уровнем значимости . p -значение рассчитывается с использованием с (r-1)*(c-1)=df степеней свободы.

Если вероятность, того что случайная величина имеющая с (r-1)(c-1) степенями свободы примет значение больше вычисленной статистики Х 2 0 , т.е. P{Х 2 (r-1)*(c-1) >Х 2 0 }, меньше уровня значимости , то нулевая гипотеза отклоняется.

В MS EXCEL p-значение можно вычислить с помощью формулы =ХИ2.РАСП.ПХ(Х 2 0 ;df) , конечно, вычислив непосредственно перед этим значение статистики Х 2 0 (это сделано в файле примера ). Однако, удобнее всего воспользоваться функцией ХИ2.ТЕСТ() . В качестве аргументов этой функции указываются ссылки на диапазоны содержащие фактические (Observed) и вычисленные теоретические частоты (Expected).

Если уровень значимости > p -значения , то означает это фактические и теоретические частоты, вычисленные из предположения справедливости нулевой гипотезы , серьезно отличаются. Поэтому, нулевую гипотезу нужно отклонить.

Использование функции ХИ2.ТЕСТ() позволяет ускорить процедуру проверки гипотез , т.к. не нужно вычислять значение статистики . Теперь достаточно сравнить результат функции ХИ2.ТЕСТ() с заданным уровнем значимости .

Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() , английское название CHISQ.TEST, появилась в MS EXCEL 2010. Ее более ранняя версия ХИ2ТЕСТ() , доступная в MS EXCEL 2007 имеет тот же функционал. Но, как и для ХИ2.ТЕСТ() , теоретические частоты нужно вычислить самостоятельно.