Вычислить предел используя правило лопиталя примеры решений. Вычисление пределов функций онлайн
Инструкция
Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например . Для ее устранения поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.
Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов .
Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения типа . Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их перемножаются. Соответствующий приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).
Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы . Метод позволяет существенно упростить процесс , сделав его более прозрачным.
Источники:
- Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.
Функция является одним из фундаментальных математических понятий. Ее предел – это такое значение, при котором аргумент стремится к определ енной величине. Вычислить его можно, используя некоторые приемы, например, правило Бернулли-Лопиталя.
Инструкция
Чтобы вычислить предел в заданной точке x0, следует подставить это значение аргумента в выражение функции, стоящее под знаком lim. Вовсе не обязательно, чтобы эта принадлежала области определ ения функции. Если предел определ ен и равен однозначному числу, то говорят, что функция сходится. Если же он не может быть определ ен, или бесконечен в конкретной точке, то расхождение.
Решение.Подставьте в выражение значение х = -2:lim (х² – 6 х - 14)/(2 х² + 3 х - 6) = -1/2.
Не всегда решение является настолько очевидным и простым, особенно если выражение слишком громоздкое. В этом случае сначала следует упростить его сокращения, группировки или замены переменной:lim_(х→-8) (10 х - 1)/(2 х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10 у³ - 1)/(2 у³ + у) = 9/2.
Часто ситуации невозможности определ ения предел а, особенно если аргумент стремится к бесконечности или нулю. Подстановка не приносит ожидаемого результата, приводя к неопредел енности вида или [∞/∞]. Тогда применимо Лопиталя-Бернулли, которое предполагает нахождение первой производной. Например, вычислите предел lim (х² – 5 х -14)/(2 х²+ х - 6) при х→-2.
Решение.lim (х² – 5 х -14)/(2 х² + х - 6) = .
Найдите производную:lim (2 х - 5)/(4 х + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 при x → 0, верно и обратное: lim (x/sinx) = 1; x → 0.Аргумент может быть любой конструкцией, главное, чтобы ее значение стремилось к нулю:lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.
Видео по теме
Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.
Инструкция
Чтобы вычислить предел, необходимо , чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо , выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.
Как и любое математическое , предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).
Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = .Продифференцируйте выражение функции:lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.
Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.
Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число , первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.
Инструкция
π - иррациональное число . Это , что его невозможно представить в виде дроби с целым и знаменателем. Более того, π - трансцендентное число , то есть оно не может служить никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.
Древнейшие , которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.
С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент - степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится , равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число
π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
Обратите внимание
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Полезный совет
Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Источники:
- История числа Пи
Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.
Инструкция
Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, и деления, а также сложных функций вида u(g(х)): u’ = С’ = 0 – производная константы; u’ = х’ = 1 – простейшая одного аргумента; u’ = (х^а)’ = а х^(а-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – показательная функция;
Арифметические операции пары функций u(х) и g(х): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².
Довольно трудно вторую производную сложной функции. Для этого методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2 u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2 h) + 16 u(х + h) – 30 u(х) + 16 u(х - h) – u(х – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Стрилинга.
В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
Метод вычисления второй производной применяется при полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х d²х + ∂u’/∂y d²у + ∂u’/∂z d²z.
Пример: найдите вторую производную функции u = 2 х sin х – 7 х³ + х^5/tg х.
Решениеu’ = 2 sin x + 2 х соs х – 21 х² + 5 х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4 соs х – 2 х sin х – 42 х + 20 х³/tg х – 5 х^4/sin² х – 2 х/sin² х + 2 х² соs х/sin³ х.
Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную , чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.
Инструкция
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.
Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
Видео по теме
Источники:
- вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя в 2019
Инструкция
Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.
У есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой . Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;
Предел постоянной величины равен величине этой постоянной;
Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;
Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y
Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;
Предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.
В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен несложного предела:
lim 3n +1 /n+1
n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите :
lim 3+1/n/1+1/n=3
При решении на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8
Видео по теме
Расчет пределов функций - фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
Правило говорит, что если функции f (x ) и g (x ) обладают следующим набором условий:
тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», .
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f (a ) = g (a ) = 0 . Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши . По этой теореме получим:
,но f (a ) = g (a ) = 0 , поэтому .
Src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> для конечного предела и src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d4d1be40366d4.png" border="0"> для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A . Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α , где α - (1). Запишем это условие:
.Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :
, что можно привести к следующему виду: .Для x , достаточно близких к a , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f (t ) и g (t ) - константы , а f (x ) и g (x ) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β , где β - бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α :
.Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α) , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A .
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
(x)}{g"(x)}>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.
В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x , достаточно близких к a , а тогда src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0 ; или к ; или к .)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Лопиталя правило" в других словарях:
Исторически неправильное наименование одного из основных правил раскрытия неопределённостей. Л. п. было найдено И. Бернулли и сообщено им Г. Лопиталю (См. Лопиталь), опубликовавшему это правило в 1696. См. Неопределённые выражения … Большая советская энциклопедия
Раскрытие неопределенностей вида сведением предела отношения функций к пределу отношения производных рассматриваемых функций. Так, для случая, когда действительные функции f и gопределены в проколотой правосторонней окрестности точки ачисловой… … Математическая энциклопедия
Правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия