Способы вычисления интегралов от простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших (элементарных) дробей

Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Здесь a, A, B, b, c - действительные числа. Уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Интегрирование дробей первых двух типов

Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов :
,
, n ≠ - 1 .

1. Интегрирование дроби первого типа

Дробь первого типа подстановкой t = x - a приводится к табличному интегралу:
.

2. Интегрирование дроби второго типа

Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x - a :

.

3. Интегрирование дроби третьего типа

Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.

3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя

Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .

Тогда:
,
где
.

3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1

Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.

Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому .

Сделаем подстановку
,
.
.

Итак,
.

Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:

,
где .

4. Интегрирование дроби четвертого типа

И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.

4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.

4.2) Вычисляем интеграл
.

4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.

4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя

Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в . Обозначим u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
.

.
Но
.

Окончательно имеем:
.

4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1

Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в .

4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения

Теперь рассмотрим интеграл
.

Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.

Выполняем преобразования и интегрируем по частям.




.

Умножим на 2(n - 1) :
.
Возвращаемся к x и I n .
,
;
;
.

Итак, для I n мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I n к I 1 .

Пример

Вычислить интеграл

Решение

1. Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;


.
Здесь
.

2. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.

.

3. Применяем формулу приведения:

для интеграла .
В нашем случае b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3 . Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3 :
;
.
Отсюда

.

Окончательно имеем:

.
Находим коэффициент при .
.

Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :

• Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Метод искусственного преобразования числителя

Пример 1

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя .

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель.

Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .

2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :

3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :

5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:

Пример 7

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата , который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков .

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь

Пример 10

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»

(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.

1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. п. 2).

Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.

3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти .

Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим

Следовательно,

Замечая, что , разложим правильную рациональную дробь

на простейшие дроби:

(см. формулу (18)). Поэтому

Таким образом, окончательно имеем

Пример 2. Найти

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу (16)), получим

ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.

Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Выясним, каким образом они интегрируются.

3) (изучен ранее).

Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Пример 1.

Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

Пример 2.

Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.

Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3. комбинированный метод.

Пример 5. Разложить дробь на простейшие.

Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

2 способ – метод неопределенных коэффициентов:

Ответ:

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример 1. Найти интеграл

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».

Г.Х.Харди

В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.

2.1.1. Дробно-рациональные функции

Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:

где и – многочлены.

Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида

где – действительные числа. Например,

– многочлен первой степени;

– многочлен четвертой степени и т.д.

Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».

Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:

а) , б) .

Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем

Таким образом, получаем

.

б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:

В результате, получаем

.

Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.

2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:

3) ,

4) ,

где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.

Начнём с интегралов вида

.

Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида

или .

Пример 2.1.2. Найти интегралы:

а) , б) .

Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

Отсюда находим

б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:

Таким образом,

.

Для нахождения интеграла

можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду

,

а второй – к рассмотренному выше.

Пример 2.1.3. Найти интегралы:

.

Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:

Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :

Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

Окончательно, получаем

2.1.3. Разложение правильной рациональный дроби
на сумму простейших дробей

Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами