Ирина 25 правильные и неправильные дроби. Правильные и неправильные дроби

Делятся на правильные и неправильные.

Правильные дроби

Правильная дробь - это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел .

Пример. Рассмотрим дробь:

7

8

Пример:

8	= 1	1
7		7

Правила перевода и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Перевод неправильной дроби в смешанное число . Также для перевода неправильной дроби в смешанное число вы можете воспользоваться онлайн калькулятором .

Сравнение правильных и неправильных дробей

Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.

Пример:

3	>	99
2		100

Правила сравнения и дополнительные примеры можно посмотреть в теме Сравнение обыкновенных дробей . Также для сравнения дробей или проверки сравнения вы можете воспользоваться

Обыкновенные дроби делятся на \textit{правильные} и \textit{неправильные} дроби. Такое разделение основано на сравнении числителя и знаменателя.

Правильные дроби

Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель меньше знаменателя, т.е. $m

Пример 1

Например, дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{123}$, $\frac{77}{78}$, $\frac{378567}{456298}$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя, что отвечает определению правильной дроби.

Существует определение правильной дроби, которое базируется на сравнении дроби с единицей.

правильной , если она меньше единицы:

Пример 2

Например, обыкновенная дробь $\frac{6}{13}$ является правильной, т.к. выполняется условие $\frac{6}{13}

Неправильные дроби

Неправильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$, у которой числитель больше или равен знаменателю, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например, дроби $\frac{5}{5}$, $\frac{24}{3}$, $\frac{567}{113}$, $\frac{100001}{100000}$ являются неправильными, так как в каждой из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.

Дадим определение неправильной дроби, которое базируется на ее сравнении с единицей.

Обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ является неправильной , если она равна или больше единицы:

\[\frac{m}{n}\ge 1\]

Пример 4

Например, обыкновенная дробь $\frac{21}{4}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{21}{4} >1$;

обыкновенная дробь $\frac{8}{8}$ является неправильной, т.к. выполняется условие $\frac{8}{8}=1$.

Рассмотрим более подробно понятие неправильной дроби.

Возьмем для примера неправильную дробь $\frac{7}{7}$. Значение этой дроби -- взяли семь долей предмета, который поделен на семь одинаковых долей. Таким образом, из семи долей, которые есть в наличии, можно составить весь предмет. Т.е. неправильная дробь $\frac{7}{7}$ описывает целый предмет и $\frac{7}{7}=1$. Итак, неправильные дроби, у которых числитель равен знаменателю, описывают один целый предмет и такая дробь может быть заменена на натуральное число $1$.

$\frac{5}{2}$ -- достаточно очевидно, что из этих пяти вторых долей можно составить $2$ целых предмета (один целый предмет будут составлять $2$ доли, а для составления двух целых предметов нужны $2+2=4$ доли) и остается одна вторая доля. Т.е., неправильная дробь $\frac{5}{2}$ описывает $2$ предмета и $\frac{1}{2}$ долю этого предмета.

$\frac{21}{7}$ -- из двадцати одной седьмых долей можно составить $3$ целых предмета ($3$ предмета по $7$ долей в каждом). Т.е. дробь $\frac{21}{7}$ описывает $3$ целых предмета.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель нацело делится на знаменатель (например, $\frac{7}{7}=1$ и $\frac{21}{7}=3$), или суммой натурального числа и правильной дроби, если числитель нацело не делится на знаменатель (например,$\ \frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$). Поэтому такие дроби и называются неправильными .

Определение 1

Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$) называется выделением целой части из неправильной дроби .

При работе с неправильными дробями прослеживается тесная связь между ними и смешанными числами.

Неправильная дробь часто записывается в виде смешанного числа -- числа, которое состоит из целой и дробной части.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет составлять целую часть смешанного числа, остаток -- числитель дробной части, а делитель -- знаменатель дробной части.

Пример 5

Записать неправильную дробь $\frac{37}{12}$ в виде смешанного числа.

Решение.

Разделим числитель на знаменатель с остатком:

\[\frac{37}{12}=37:12=3\ (остаток\ 1)\] \[\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}\]

Ответ. $\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо знаменатель умножить на целую часть числа, к произведению, которое получилось, прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби. Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

Пример 6

Записать смешанное число $5\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Ответ. $5\frac{3}{7}=\frac{38}{7}$.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Сложение смешанного числа $a\frac{b}{c}$ и правильной дроби $\frac{d}{e}$ выполняет прибавлением к данной дроби дробной части данного смешанного числа:

Пример 7

Выполнить сложение правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$.

Решение.

Воспользуемся формулой сложения смешанного числа и правильной дроби:

\[\frac{4}{15}+3\frac{2}{5}=3+\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}\right)=3+\left(\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{4}{15}\right)=3+\frac{6+4}{15}=3+\frac{10}{15}\]

По признаку деления на число \textit{5 }можно определить, что дробь $\frac{10}{15}$ -- сократима. Выполним сокращение и найдем результат сложения:

Итак, результатом сложения правильной дроби $\frac{4}{15}$ и смешанного числа $3\frac{2}{5}$ будет $3\frac{2}{3}$.

Ответ: $3\frac{2}{3}$

Сложение смешанного числа и неправильной дроби

Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводят к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выделить целую часть из неправильной дроби.

Пример 8

Вычислить сумму смешанного числа $6\frac{2}{15}$ и неправильной дроби $\frac{13}{5}$.

Решение.

Сначала выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{13}{5}$:

Ответ: $8\frac{11}{15}$.

Разрезали пирог на 8 равных частей (рис. 122, а) и 3 части положили на тарелку.

На ней оказалось пирога (рис. 122, б). Если положить все 8 частей, то на тарелке будет пирога, то есть весь пирог (рис. 122, в).

Рис. 122

Значит, = 1.

Возьмём ещё один такой же пирог и разрежем его тоже на 8 равных частей (рис. 123, а). Если на тарелку положить, например, 11 частей, то там будет пирога (рис. 123, б).

Рис. 123

В дроби числитель меньше знаменателя. Такие дроби называют правильными. В дроби числитель равен знаменателю, а в дроби числитель больше знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Рис. 124

Например, < 1, = 1, > 1.

Вопросы для самопроверки

• Какую дробь называют правильной?
• Какую дробь называют неправильной?
• Может ли правильная дробь быть больше, чем 1?
• Всегда ли неправильная дробь больше, чем 1?
• Какая дробь больше, если одна из них правильная, а другая неправильная?

Выполните упражнения

974. Длина отрезка АВ равна 8 см. Начертите отрезок, длина которого равна:

975. Отметьте на луче точки с координатами:

За единичный отрезок примите длину 12 клеток тетради.

976. Напишите:

• а) все правильные дроби со знаменателем 6;
• б) все неправильные дроби с числителем 5.

977. При каких значениях а дробь:

978. Машина за 6 мин может вырыть канаву длиной в 1 м. Какой длины канаву выроет машина за 1 мин; 5 мин; 7 мин; 11 мин?

979. Одним килограммом краски можно покрасить 5 м 2 поверхности. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить 3 м 2 ; 6 м 2 ; 13 м 2 поверхности?

980. Бригада строителей построила ферму за 48 дней. По плану требовалось этого времени. Сколько дней отводилось на постройку фермы по плану?

981. Токарь за 3 ч выточил на токарном станке 135 деталей, выполнив дневной нормы. Сколько деталей он должен был выточить за рабочий день (8 часов) по норме? Сколько деталей он выточит за рабочий день, если будет работать с той же производительностью?

982. Токарь выточил на токарном станке 135 деталей, выполнив дневной нормы. Какова его дневная норма?

983. Концерт юных музыкантов вместо запланированных 3 ч продолжался этого времени, так как зрители просили повторить некоторые понравившиеся выступления. Сколько времени продолжался концерт? Сколько минут продолжались выступления на бис?

984. Вычислите устно:

985. Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 1 мин; 7 мин; 15 мин?

986. Во сколько раз центнер больше килограмма? Какую часть центнера составляет килограмм? На сколько центнер больше килограмма?

987. Сколько минут

988. Сложите числа 40 и числа 60. Из числа 72 вычтите числа 81.

989. Половина числа равна 18. Найдите это число. Треть числа равна 27. Найдите это число. Три четверти числа равны 60. Найдите это число.

990. Какая часть четырёхугольника ABCD (рис. 125) закрашена? Какая часть осталась незакрашенной?

Рис. 125

991. Выразите в граммах:

• а) 3 кг 400 г;
• б) 2 кг 30 г;
• в) 15 кг.

992. Расположите в порядке возрастания дроби:

Расположите эти же дроби в порядке убывания.

993. Назовите четыре дроби, которые меньше, чем

994. Назовите 5 дробей, которые больше, чем .

995. Начертите квадрат со стороной 4 см. Покажите на чертеже: квадрата, квадрата. Найдите площади этих частей квадрата и объясните полученный результат.

996. В первый день бригада собрала 5 т 400 кг картофеля, а во второй - на 1 т 200 кг меньше, чем в первый. В третий день бригада собрала в 2 раза больше картофеля, чем во второй. Сколько картофеля собрано бригадой за эти три дня?

997. Составьте задачу по уравнению:

• а) (у+ 6) - 2 = 15;
• б) 2(а - 5) = 24;
• в) 3(25 + b) + 15 = 135.

998. В первом вагоне ехали а человек, а во втором - b человек. На остановке из первого вагона вышли с человек, а из второго - d человек. Какой смысл имеют следующие выражения:

• а + Ь;
• а - с;
• с + d;
• b - d;
• (а + Ь) - (с + d);
• (а - с) + (b - d)?

Объясните, почему

(а + b) - (с + d) = (а - с) + (b - d)

при а > с, b > d.

Проверьте это равенство при а = 45, b = 39, с = 14, d = 12.

Используя полученное равенство, вычислите значение выражения:

• а) (548 + 897) - (148 + 227);
• б) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Придумайте пять дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя.

1000. При каких значениях х дробь будет неправильной?

1001. Фермер наметил собрать с поля 12 т овощей, а собрал этого количества. Сколько тонн овощей собрал фермер?

1002. Турист прошёл за первый день 18 км, что составляет пути, который он должен пройти во второй день. Сколько километров должен пройти турист за эти два дня?

1003. Из Санкт-Петербурга в Москву вышел товарный поезд со скоростью 48 км/ч, а через час после этого из Москвы в Санкт-Петербург вышел скорый поезд со скоростью 82 км/ч. Найдите расстояние между поездами:

• а) через 1 ч после выхода скорого поезда;
• б) через 3 ч после выхода товарного поезда;
• в) через 5 ч после выхода скорого поезда.

Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга 650 км.

1004. Найдите значение выражения:

• а) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• б) (2 254 175 + 94 447) : 414 - 1329;
• в) (123 - 93) : (12 - 9);
• г) (62 + З2)2.