Добавить в избранное

Расчет и анализ сетевых графиков. Ранний срок наступления события

Основные параметры сетевого графика

К основным параметрам сетевого графика относятся:

Критический путь

Резервы времени свершения событий

Резервы времени для выполнения работ

Путь – последовательность работ, в которой конечное событие одной работы, совпадает с начальным событием другой.

Полный путь – путь, началом которого является исходное событие, а концом завершающее.

Продолжительность, длина пути, равна сумме продолжительностей работ. Его составляющих.

Критический путь – полный путь. наибольший по продолжительности из всех путей сетевого графика от исходного события (I) до завершающего (С).

Длина критического пути определяет общую продолжительность выполнения всего комплекса работ. Критический путь позволяет найти срок наступления завершающего события.

Полные пути могут проходить вне критического или частично совпадать с ним. Эти меньшие по продолжительности пути называются ненапряженными. Особенности их в том. Что они имеют резервы времени. А критический путь – нет. Для каждого i-го события определяется:

t pi – ранний срок наступления – минимальный из возможных сроков наступления данного события при заданной продолжительности работ.

t п i – поздний срок наступления – максимальный из сроков наступления данного события, при которых еще возможно выполнение всех следующих работ, с соблюдением установленного срока наступления события.

R i – резерв времени для события – промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения срока разработки планируемого комплекса в целом. Определяется как разность между поздним (t п i ) и ранним (t р i ) сроками свершения данного события.

Резервы событии критического пути равны нулю, так как на нём t п i =t р i

Для каждой работы (t ij ) определяется:

ранний срок начала (t р.н. ij) – минимальный из возможных сроков начала данной работы.

ранний срок окончания (t р.о. ij) – минимальный из возможных сроков окончания данной работы, при заданной продолжительности работ

поздний срок начала (t п.н. ij) – максимальный из допустимых сроков начала данной работы

поздний срок окончания (t п.о. ij) – максимальный из допустимых сроков окончания данной работы, при которых еще возможно выполнения следующих работ с соблюдением установленного срока наступления завершающего события.

Очевидно, ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления ее начального события, а ранний срок окончания превышает его на продолжительность работы:

t р.н. ij = t р i

t р.о. ij = t р i + t ij

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком ее конечного события, а поздний срок начала работы меньше на время выполнения работы:

t п.о. ij = t п j

t п.н. ij = t п j – t ij

Полный резерв времени для выполнения работы R nij – максимальный период времени, на который можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя установленный срок наступления завершающего события.

Свободный резерв времени для выполнения работы , являющийся частью полного резерва – максимальный период времени, на который можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ.

Работы, лежащие на критическом пути, резервов не имеют, так как все резервы создаются за счёт разностей продолжительностей критического и рассматриваемого путей.

Относительным показателем, характеризующим резерв времени для выполнения работ, является коэффициент их напряженности, который равен отношению продолжительности отрезков пути между одними и теми же событиями, причем, один отрезок является частью пути максимальной продолжительности из всех путей, проходящих через данную работу, а другой отрезок – частью критического пути.

3.Расчет сетевых моделей

Параметры сети для сетевого графиков рассчитываются графическим и табличным методом, а для сложных математическим методом.

Графически метод расчёта осуществляется непосредственно на графике и применяется в тех случаях, когда число событий невелико. Для этого каждый кружочек делится на 4 сектора.

Верхний сектор – резерв времени наступления события R i

левый сектор – ранний срок наступления события t pi

правый сектор – поздний срок наступления события t п i

внизу – номер события

Методика расчёта параметров

1) Ранние сроки свершения событий . Ранний срок свершения исходного (первого или нулевого) события принимается равным нулю. Ранние сроки свершения всех остальных событий определяется в строгой последовательности по возрастающим номерам событий. Для определения раннего срока свершения любого события j рассматриваются все работы входящие в это событие, по каждой работе определяется ранний срок свершения конечного события как сумма раннего срока свершения начального события работы и продолжительности этой работы t ij , из полученных значений выбирается максимальное время раннего срока свершения j-го события

t pj = (t pi +t ij) max и записывается на график (левый сектор события)

2) Поздние сроки свершения событий . Поздний срок свершения завершающего события принимается равным его раннему сроку. Расчет поздних сроков свершения всех остальных событий ведется в обратной последовательности, по убывающим номерам событий. Для определения позднего срока свершения предыдущего события i рассматриваются все работы выходящие из i-го события. По каждой работе ведется расчет позднего срока свершения начального события t п i , как разность между поздним сроком свершения конечного события этой работы t п j и продолжительностью данной работы t ij .Из полученного значения выбирают минимальное время позднего срока свершения i-го события: t п i = (t п j - t ij)min и записывается в правый сектор.

3) Продолжительность критического пути равен раннему сроку наступления завершающего события.

4) Резервы времени событий . При определении резервов времени для событий следует вычесть из числа, записанного в правом секторе данного события, число, записанное в левом секторе и поставить его в верхний сектор.

5) При определении полного резерва времени для работы следует вычесть из числа, записанного в правом секторе конечного события, число, записанное в левом секторе начального события, и продолжительность самой работы.

6) При определении свободного резерва для работы следует вычесть из числа, записанного в левом секторе конечного события, число, записанное в левом секторе начального события, и продолжительность самой работы.

Исходные данные:

Табличный метод

Коды работ в таблице записываются по возрастанию индекса i.

Столбцы 2 и 3 заполняются вспомогательными данными: кодами предшествующих и последующих работ. Эти данные будут необходимы для расчетов. Если работы начальные, то есть предшествующих им работ нет, или конечные, то есть последующих работ нет, то в соответствующих графах ставятся прочерки. Предшествующих и последующих работ может быть несколько в соответствии с количеством векторов, кончающихся или начинающихся в данном событии./

В столбце 4 размешают значения продолжительности работ.

Со столбца 5 начинаются расчетные данные. Расчет производится в два прохода по строкам таблицы. Первый проход по строкам сверху вниз, при котором рассчитываются ранние сроки работ, а второй проход по строкам снизу вверх, при котором рассчитываются поздние сроки работ.

Раннее начало работ, не имеющих предшествующих (в графе 2 – прочерк), может быть принято за 0, если не задано какое-либо другое значение. Раннее окончание работы определяется согласно формуле t р.о. ij = t рн ij + t ij и записывается в графу 6.

Раннее начало остальных можно определить как, если рассматривается, например работа 2,5, у которой начальное событие 2, то время ее раннего начала равно времени раннего окончания работы 12, так как у нее конечное событие 2. Значение из графы 6 переписывается в графу 5. Коды предшествующих работ указаны в графе 2. Раннее окончание также определяется по формуле t р.о. ij = t рн ij + t ij

Если, в графе 2 указано, что некой работе предшествует более, чем одна работа (работе 5,6 предшествуют работы 2,5 и 3,5), то необходимо выбрать значение раннего начала из нескольких вариантов значения (9 – по времени окончания работы 2,5 или 13 – по времени окончания работы 3,5). Правило выбора соответствует формуле t p .н. ij = (t pi +t ij) max , то есть выбирается максимальное значение (в примере – 16). Ранние окончания определяются как указывалось выше.

Максимальное значение раннего окончания в графе 6 соответствует значению продолжительности критического пути (16).

Второй проход вдоль строк таблицы от работы, записанной в последней строке, к работе, записанной в первой строке, позволяет определить значения поздних показателей работ. Для работ, у которых нет последующих работ (в графе 3 – прочерк, в примере работы 46, 5,6) в графу позднего окончания (8) записывается значение критического пути. Для этих работ значение позднего начала вычисляется по формуле t п.н. ij t по ij - t ij

Позднее окончание остальных можно определить как, если рассматривается, например работа 3,5, у которой конечное событие 5, то время ее позднего окончания равно времени позднего начала работы 5,6, так как у нее конечное событие 5. Значение из графы 7 переписывается в графу 8. Коды последующих работ указаны в графе 3. Позднее начало также определяется по формуле t п.н. ij t по ij - t ij .

Если, в графе 3 указано, что некой работе следует более, чем одна работа (работе 0,1 следуют работы 1,2 и 1,3), то необходимо выбрать значение позднего окончания из нескольких вариантов значения (3 – по времени начала работы 1,3 или 7 – по времени начала работы 1,2), выбирается минимальное значение (в примере – 3). Позднее начало определяются как указывалось выше по формуле t п.н. ij t по ij - t ij .

Значение полного резерва времени (столбец 9) рассчитывается по формуле

R nij = t по ij - t рн ij - t ij .

Значение свободного резерва времени (столбец 10) рассчитывается по формуле

R с ij = t ро ij - t рн ij - t ij

Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .

Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.

Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.

Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.

Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.

Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.

Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.

Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.

Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .

Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:

X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .

Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий

Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : .

Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:

или

Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.

Поздним сроком совершения события называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей :

Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : . Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.

Так как сумма определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .

При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : .

Для вычисления раннего срока свершения событий: , применяем формулу , рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.

Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле , начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.

Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.

Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.

Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :

Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).

Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:

Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:

Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.

Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.

Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.

Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .

Ранний срок окончания работы равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: или .

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .

Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:

Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.

Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .

Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.

Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .

Расчёт сетевого графика табличным способом производится по формулам, ранее изложенным в разделе 4 (1-10). При определении параметров сетевых моделей аналитическим способом расчёт выполняется в форме таблицы. Рассмотрим особенности расчёта сетевых моделей данным способом (приожениие 1) на примере расчёта параметров сетевого графика, изображенного в задании к данной курсовой работе (вариант 15).

На начальном этапе необходимо описать исходную сетевую модель. При этом в первую графу таблицы заносятся шифры всех работ и зависимостей, начиная с работы, выходящей из первого события. Шифры работ должны быть включены в таблицу последовательно, произвольный порядок включения работ и зависимостей в таблицу недопустим. Во вторую графу таблицы вносятся продолжительности всех работ и зависимостей.

Расчёт сетевого графика начинается с определения значений ранних параметров работ. Раннее начало работы 1-2 равно нулю (формула 1), а её раннее окончание по формуле 2.

Раннее начало работ 2-6 и 2-7 (в соответствии с формулой 3) равно раннему окончанию работы 1-2.

Максимальное значение раннего окончания работы 19-21, равное 36, определяет продолжительность критического пути и, следовательно, общую продолжительность выполнения всех работ по исходной сетевой модели. Полученное значение раннего окончания данной работы 19-21 = 36 переносится в графу позднего окончания завершающей работы 20-21.

Позднее начало работы 20-21 определяется в соответствии с формулой 5 (= 34)

Позднее начало работы 20-21 является поздним окончанием предшествующей ей работы 15-20 (=).

Далее расчёт поздних параметров выполняется аналогично, за исключением случаев, когда у работы имеется несколько последующих работ (например, у работы 6-9 имеется две последующих - 9-10 и 9-14). В этом случае, в соответствии с формулой 4, позднее окончание работы 6-9 равно минимальному значению поздних начал последующих работ 9-10 и 9-14.

Для нахождения положения критического пути необходимо определить значения общего и частного резервов времени для каждой работы и зависимости сетевого графика и занести их значения соответственно в 7 и 8 графы расчётной таблицы.

Общий резерв времени работ, согласно формулам 8-9, определяется как разность позднего и раннего окончания либо как разность позднего и раннего начал соответствующих работ. Полезно определить значение общего резерва времени обоими способами, совпадение полученных значений может рассматриваться как дополнительная проверка. Например, для работы 6-7:

Частный резерв времени работы, согласно формуле 10, определяется как разность значения раннего начала последующей работы и значения раннего окончания для данной работы. Например, для работы 6-7:

Критический путь характеризуется равенством нулю резервов времени. Сопоставление параметров сетевой модели, полученных секторным и табличным способами должно выявить их полную идентичность, наличие расхождений свидетельствует об ошибочности расчётов.

Графический метод расчета сетевых графиков

Расчёт сетевого графика графическим способом ведется аналогично табличному методу (формулы 1-10) , однако графический или секторный способ расчёта параметров сетевого графика предполагает их запись непосредственно на модели (приложение 2). При этом каждое событие (кружок) делится на четыре сектора. Обозначение секторов приведено на следующем рисунке:

Для работ критического пути значения общего и частного резерва времени равны нулю, он выделяется на сетевом графике двойной линией.

Для проверки правильности выполненных расчётов следует убедиться в том, что:

* выявлен непрерывный критический путь;
* рассчитанные резервы времени имеют неотрицательное значение;
* значение частного резерва времени для всех работ меньше или равно значению общего резерва времени для данных работ;
* хотя бы одно значение позднего начала работ (работы), выходящих из первого события, равно нулю.

Известны два метода расчета параметров сетевого графа". вычисление непосредственно на сетевом графе; аналитический (табличный).

Расчет основных показателей сетевой модели может произвести следующим образом.

1. Расчет ранних сроков:
- ? ранний срок начала работ определяется продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начала выполнения данной работы,
- ? ранние сроки окончания работ - это наиболее ранний срок из возможных сроков окончания работы. Ранний срок времени окончания работ равен сумме раннего срока начала работы и продолжительности самой работы.
2.Расчет критического пути. Его продолжительность определяется как суммарное время работ, лежащих на критическом пути, т.е. время завершения всего комплекса работ при наибольшем запараллеливании всех работ. Это время равно наибольшему из времен ранних окончаний завершающих работ сетевого графа. Критический путь проходит через события, не имеющие резервов времени (через критические работы).
3.Расчет поздних сроков начала и окончания работ определяются из возможностей предельного сдвига вправо по числовой оси сроков выполнения работ так, чтобы не было изменено время критического пути. Поэтому логично расчеты вести от последнего события к первому и определять сначала время позднего окончания работ, а затем рассчитывать время позднего начала работ:
- ?поздний срок начала работ (ij ) определяется как разница между поздним сроком окончания работ и продолжительностью самой работы,
- ? поздний срок окончания работ определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события, и рассчитывается как разность критического пути и максимальной продолжительности работы от завершающего события сетевого графика до конечного события данной работы.
4. Расчет резервов времени".

я полный резерв времени работы определяется как разность между поздним началом и ранним началом или между поздним окончанием или ранним окончанием работы. Необходимо отметить, что полные резервы времени работ, лежащих на критическом пути, равны нулю,

? частные (свободные) резервы времени".
1)частный резерв времени первого вида определяется возможностью изменить позднее начало работы (ij) на более ранние сроки без изменения поздних сроков окончания непосредственно предшествующих работ,
2) частный резерв времени второго вида определяется возможностью изменить раннее окончание работы (ij) на более поздние сроки без изменения ранних сроков начала непосредственно последующих работ; определяется разностью между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы.

Рассмотрим порядок расчета параметров на примере. Сетевой график представлен на рис. 7.5.

Рис. 7.5.

Для расчета параметров воспользуемся табличным методом, и с целью упрощения восприятия сведем все в одну табл. 7.1.

Правила применения резервов времени в сетевом планировании.

1. Для того чтобы полный и частные резервы работы (у) были равны, необходимо и достаточно, чтобы конечное событие У рассматриваемой работы являлось событием критического пути.
2. Если полный резерв (Я и]1) некоторой работы равен нулю, то и частный резерв второго вида (г"ф) также равен нулю. Между этими резервами всегда имеет место соотношение R(IJ} > r" ijy Полный и частные резервы времени всегда больше или равны нулю.
3. Для того чтобы частный резерв времени работы (у) был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы эта работа лежала на пути максимальной длины от первого события до события у.
4. Если продолжительность работы (у) увеличить на величину р, т.е. р то ранний срок начала последующей работы увеличится на величину р - г" (" уу
5. Если продолжительность работы (у) увеличить на величину полного резерва времени этой работы, то образуется новый критический путь, продолжительность которого равна продолжительности старого.
6. Полный резерв времени работы (у) равен сумме частного резерва времени второго вида этой работы и минимального из совокупности полных резервов всех непосредственно последующих работ.

Результаты расчета параметров сетевого графика

Таблица 7.1

Продолжительность	Ранние	сроки, ч	Поздние сроки, ч		Резервы времени, ч
работ, ч	Начала	Окончания	Начала	Окончания	Полные	Свободные












Критический путь, ч		(работы 1-3

7. Если продолжительность работы (г/) увеличить на величину р то появится новый критический путь, продолжительность которого превысит продолжительность старого критического пути на величину р -

После того как сетевой график построен и рассчитаны его основные показатели, приступают к его оптимизации.

1. Выделить критический путь и найти его длину;
2. Определить резервы времени каждого события;
3. Определить резервы времени всех работ и коэффициент напряженности работы предпоследней работы

Решение

Для решения задачи применим следующие обозначения.

Элемент сети	Наименование параметра	Условное обозначение параметра
Событие i	Ранний срок свершения события
Поздний срок свершения события
Резерв времени события
Работа (i, j)	Продолжительность работы
Ранний срок начала работы
Ранний срок окончания работы
Поздний срок начала работы
Поздний срок окончания работы
Полный резерв времени работы
	Продолжительность пути
Продолжительность критического пути
Резерв времени пути

Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние t p и наиболее поздние t п сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

t p (i) = max(t(L ni)) (1)

где L ni - любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

t p (j) = max (2)

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i-ого события равен:

t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)

где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

t п (i) = min

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R(i) = t п (i) - t p (i)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).

Расчет сроков свершения событий.

Для i=0 (начального события), очевидно tp(0)=0.

i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.

i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.

i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.

i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.

i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.

i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.

i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.

i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5;28 + 4) = 32.

i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.

i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2;32 + 0) = 32.

i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11: t kp =tp(11)=44

При определении поздних сроков свершения событий t п (i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).

Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t п (11)= t р (11)=44

i=10: t п (10) = t п (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.

i=9: t п (9) = t п (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 8.

i=8: t п (8) = t п (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 7.

i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) = 28.

i=6: min(t п (7) - t(6,7);t п (8) - t(6,8)) = min(28 - 9;32 - 5) = 19.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.

i=5: min(t п (6) - t(5,6);t п (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.

i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) = 14.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.

i=3: t п (3) = t п (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.

i=2: min(t п (4) - t(2,4);t п (8) - t(2,8)) = min(14 - 6;32 - 18) = 8.

i=1: min(t п (2) - t(1,2);t п (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.

(0,1): 0 - 0 = 0;

Таблица 1 - Расчет резерва событий

Номер события	Сроки свершения события: ранний tp(i)	Сроки свершения события: поздний tп(i)	Резерв времени, R(i)

Заполнение таблицы 2.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 0, затем с номера 1 и т.д.

Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Так, для работы (1,2) в графу 1 поставим число 1, т.к. на номер 1 оканчиваются 1 работы: (0,1).

Графу 4 получаем из таблицы 1 (t p (i)). Графу 7 получаем из таблицы 1 (t п (i)).

Значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.

В графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);

Содержимое графы 8 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической

Таблица 2 - Анализ сетевой модели по времени

Работа (i,j)	Количество предшествующих работ	Продолжительность tij	Ранние сроки: начало tijР.Н.	Ранние сроки: окончание tijР.О.	Поздние сроки: начало tijП.Н.	Поздние сроки: окончание tijП.О.	Резервы времени: полный RijП	Независимый резерв времени RijН	Частный резерв I рода, Rij1	Частный резерв II рода, RijC

Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R 1 - часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R 1 находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(i)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(j)

Значение свободного резерва времени работы указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.

Независимый резерв времени Rн работы (i,j) - часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:

R(i,j)= Rп(i,j)- R(i) - R(j)

Критический путь : (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)

Продолжительность критического пути: 44

Найдем коэффициент напряженности работы предпоследней работы. Так как длина критического пути 44, максимальный путь, проходящий через работу (1,10) равен 32, тогда

К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.

4. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 акзаов в час. Если свобдных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки:

с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5

Интенсивность нагрузки с=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p 1 = с 1 /1! p 0 = 2.5 1 /1! * 0.0857 = 0.214

заняты 2 канала:

p 2 = с 2 /2! p 0 = 2.5 2 /2! * 0.0857 = 0.268

заняты 3 канала:

p 3 = с 3 /3! p 0 = 2.5 3 /3! * 0.0857 = 0.223

заняты 4 канала:

p 4 = с 4 /4! p 0 = 2.5 4 /4! * 0.0857 = 0.139

заняты 5 канала:

p 5 = с 5 /5! p 0 = 2.5 5 /5! * 0.0857 = 0.0697

Вероятность отказа- это доля заявок, получивших отказ: