Моделирующая формула распределения пуассона имеет. Распределение Пуассона (закон редких событий)

Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения Пуассоновского распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word . В случае, когда n велико, а λ = p·n > 10 формула Пуассона дает очень грубое приближение и для расчета P n (m) используют локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа .

Числовые характеристики случайной величины Х

Математическое ожидание распределения Пуассона
M[X] = λ

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание : M[X] = λ = 2
Дисперсия : D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P 200 (1).
Получаем: . Тогда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имеем: a = 1.

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P 200 (k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p - достаточно малым; положим np = a, где a - некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Вероятность появления k событий за время длительностью t можно также найти по формуле Пуассона:
где λ - интенсивность потока событий, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 < 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание : поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ(лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
два события не могут произойти одновременно;
число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что приблизительно равно (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: и .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название - POISSON.DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), но и (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы . Формулы =ПУАССОН.РАСП(2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП(2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

При значениях λ>15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ , σ 2 =λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .

Введение

Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.

Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.

Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).

Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения.

Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто–то уже сделал или сделает это за нас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

Конечно же, для каждого из "классических" распределений уже давно эта работа проделана – широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.

Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

Сегодня положение изменилось – нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам. Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.

Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знаний – таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п

Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Именно этому закону распределения и посвящена данная курсовая работа. Речь пойдет непосредственно о законе, о его математических характеристиках, особых свойствах, связи с биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.

Цель нашего реферата – выяснить сущность теорем распределения Бернулли и Пуассона.

Задача – изучить и проанализировать литературу по теме реферата.

1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Биномиальное распределение (распределение Бернулли) - распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p (0

Говорят, что СВ Х распределена по закону Бернулли с параметром p, если она принимает значения 0 и 1 с вероятностями pX(x)ºP{X=x} = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.

Биноминальное распределение возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.

Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

P(X= k) = , где k=0,1,…n 1)

Формулу (1) называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.

Испытание Бернулли – это вероятностный эксперимент с двумя исходами, которые, как правило, называют «успехом» (его принято обозначать символом 1) и «неудачей» (соответственно, обозначается 0). Вероятность успеха принято обозначать буквой p, неудачи – буквой q; конечно, q=1-p. Величину p называют параметром испытания Бернулли.

Биномиальная, геометрическая, паскалева и отрицательная биномиальная случайные величины получаются из последовательности независимых испытаний Бернулли, если эту последовательность оборвать тем или иным способом, например, после n-го испытания или x-го успеха. Принято использовать следующую терминологию:

– параметр испытания Бернулли (вероятность успеха в отдельном испытании);

– число испытаний;

– число успехов;

– число неудач.

Биномиальная случайная величина (m|n,p) – число m успехов в n испытаниях.

Геометрическая случайная величина G(m|p)– число m испытаний до первого успеха (включая первый успех).

Паскалева случайная величина C(m|x,p)– число m испытаний до x-го успеха (не включая, конечно, сам x-й успех).

Отрицательная биномиальная случайная величина Y(m|x,p) – число m неудач до x-го успеха (не включая x-й успех).

Замечание: иногда отрицательное биномиальное распределение называют паскалевым и наоборот.

Распределение Пуассона

2.1. Определение закона Пуассона

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … ; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

хm				…	m	…
Pm	e-a			…		…

2.2.Основные характеристики распределения Пуассона

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Рm равна единице.

Используем разложение функции ех в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим

следовательно

Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:

По ранее доказанному

кроме того,

2.3.Дополнительные характеристики распределения Пуассона

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины k:

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

μ1=М=0,

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

μ2=M2=a.

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим Rk:

Очевидно, вероятность Rk может быть вычислена как сумма

Однако, значительно проще определить ее из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Рис.2

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1) Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через λ.

2) Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3) Вероятность попадания на малый участок Δх двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х - число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут 0,1,2,…,m,… Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Рm того, что на отрезок попадет ровно m точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок Δх и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно λ·Δх (т.к. на единицу длины попадает в среднем λ точек). Согласно условию 3 для малого отрезка Δх можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание λ·Δх числа точек, попадающих на участок Δх, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Δх→0 можно считать вероятность того, что на участок Δх попадет одна (хотя бы одна) точка, равной λ·Δх, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-c·Δх.

Воспользуемся этим для вычисления вероятности Pm попадания на отрезок l ровно m точек. Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок Δх "пустым", если в него не попало ни одной точки, и "занятым", если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок Δх окажется "занятым", приближенно равна λ·Δх= ; вероятность того, что он окажется "пустым", равна 1- . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых "опытов", в каждом из которых отрезок может быть "занят" с вероятностью p= . Найдем вероятность того, что среди n отрезков будет ровно m "занятых". По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна

или обозначим λl=a:

При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т.к. попадание двух или больше точек на отрезок Δх имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того, чтобы найти точное значение Рm, нужно перейти к пределу при n→∞:

Учитывая, что

получаем, что искомая вероятность выражается формулой

где а=λl, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а=λl.

Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l. Величина R1 (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка: R1=1-e-a.

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой областью был отрезок l на оси абсцисс. Однако этот вывод легко можно распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью λ;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д.,

то число точек Х, попавших в любую область D (плоскую или пространственную), распределяется по закону Пуассона:

где а - среднее число точек, попадающих в область D.

Для плоского случая а=SD λ, где SD - площадь области D,

для пространственного а= VD λ, где VD - объем области D.

Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (λ=const) несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности λ на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему.

Распределение Пуассона играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т.

Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит

Заключение

В заключение хочется отметить то, что распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет.

Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности.

Однако распределение Бернулли применяется в практике экономических расчетов и в частности при анализе устойчивости исключительно редко. Это связано как с вычислительными сложностями, так и с тем, что распределение Бернулли – для дискретных величин, и с тем, что условия классической схемы (независимость, счетное число испытаний, неизменность условий, влияющих на возможность наступления события) не всегда выполняются в практических ситуациях. Дальнейшие исследования в области анализа схемы Бернулли, проводимые в XVIII-XIX вв. Лапласом, Муавром, Пуассоном и другими были направлены на создание возможности использования схемы Бернулли в случае большого, стремящегося к бесконечности количества испытаний.

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М, "Высшая школа" 1998

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, "Высшая школа" 1998

3. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В. - М, Наука 1990

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину , которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей равна единице. Имеем:

На рис. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра . В таблице 8 приложения приведены значения для различных .

Определим основные характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины , распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания

Первый член суммы (соответствующий ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начать с :

Обозначим ; тогда

. (5.9.2)

Таким образом, параметр представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины .

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины :

По ранее доказанному

кроме того,

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию .

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

Определим для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше заданного . Обозначим эту вероятность :

Очевидно, вероятность может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить её из вероятности противоположного события:

(5.9.4)

В частности, вероятность того, что величина примет положительное значение, выражается формулой

(5.9.5)

Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределяются на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через .

2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3. Вероятность попадания на малый участок двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины и рассмотрим дискретную случайную величину – число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут

Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на отрезок попадет ровно точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно (т.к. на единицу длины попадает в среднем точек). Согласно условию 3 для малого отрезка можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание числа точек, попадающих на участок , будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при можно считать вероятность того, что на участок попадет одна (хотя бы одна) точка, равной , а вероятность того, что не попадет ни одной, равной .

Воспользуемся этим для вычисления вероятности попадания на отрезок ровно точек. Разделим отрезок на равных частей длиной . Условимся называть элементарный отрезок «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок окажется «занятым», приближенно равна ; вероятность того, что он окажется «пустым», равна . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью . Найдем вероятность того, что среди отрезков будет ровно «занятых». По теореме о повторении опытов эта вероятность равна

или, обозначая ,

(5.9.7)

При достаточно большом эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок ровно точек, так как попадание двух или больше точек на отрезок имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того чтобы найти точное значение , нужно в выражении (5.9.7) перейти к пределу при :

(5.9.8)

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

(5.9.9)

Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении (5.9.9) при , очевидно, стремятся к единице. Выражение от не зависит. Числитель последней дроби можно преобразовать так:

(5.9.10)

При и выражение (5.9.10) стремится к . Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно точек в отрезок выражается формулой

где , т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром .

Отметим, что величина по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок .

Величина (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок попадет хотя бы одна точка:

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой «областью» был отрезок на оси абсцисс. Однако наш вывод легко распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д., то число точек , попадающих в любую область (плоскую или пространственную), распределяются по закону Пуассона:

где – среднее число точек, попадающих в область .

Для плоского случая

где – площадь области ; для пространственного

где - объем области .

Заметим, что для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности () несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножение плотности на длину, площадь или объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. (Подробнее об этом см. n° 19.4)

Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме – неединственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения:

, (5.9.12)

если одновременно устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность – к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение:

Действительно, это предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

. (5.9.14)

Но из условия (5.9.13) следует, что

Подставляя (5.9.15) в (5.9.14), получим равенство

, (5.9.16)

которое только что было доказано нами по другому поводу.

Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности того, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

, (5.9.17)

где - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с пуассоновским распределением, из различных областей практики.

Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.

Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:

Кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.

Решение. . По формуле (5.9.4) находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:

(Для вычисления значения показательной функции пользуемся таблицей 2 приложения).

Пример 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб. дм воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим:

Пример 8. По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (формула (5.9.17)), найти приближенно вероятность того, что в цель попадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда.

Решение. Имеем . По таблице 8 приложения находим вероятности.

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.

Краткая теория

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $\lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона . Вероятности вычисляются по следующей формуле:

$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, k=0,1,2,... $$

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания . При увеличении $\lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(\lambda, \sqrt{\lambda})$. В свою очередь, оно само является "приближенной" моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).

Примеры решенных задач

Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 4. Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $\lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 \le X \lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.

Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 7. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.

КАТЕГОРИИ