Как найти объем выборки формула пример. Определение объема выборки

Точность -- степень ошибочности результатов обследования или размер доверительного интервала.

Абсолютная точность задается определенным интервалом, в котором должно находиться оцениваемое значение.

Относительная точность определяется относительно уровня оценки параметра.

Достоверность -- степень уверенности в том, что оценка близка к истинному значению.

При определении объема выборки следует принимать во внимание некоторые качественные факторы: важность принимаемого решения, характер исследования, количество переменных, характер анализа, объемы выборки, которые использовались в подобных исследованиях, коэффициент охвата, коэффициент завершенности, а также ограниченность ресурсов. Статистически определенный объем выборки -- это чистый, или конечный, объем выборки, т.е. единицы совокупности, остающиеся после исключения потенциальных респондентов, которые не отвечают заданным критериям или не закончили интервью. В зависимости от коэффициентов охвата и завершенности может потребоваться намного больший объем исходной выборки. В коммерческих маркетинговых исследованиях недостаток времени, денег и хороших специалистов может иметь решающее значение при определении объема выборки. В проекте исследования постоянных покупателей универсального магазина объем выборки определялся именно по этим соображениям.

Метод доверительных интервалов:

Определение объема выборки методом доверительных интервалов основано на их создании вокруг выборочного среднего или выборочной доли с использованием формулы стандартной ошибки. В качестве примера предположим, что исследователь с помощью простого случайного отбора сформировал выборку из 300 семей для того, чтобы оценить ежемесячные расходы семьи на покупки в универмаге, и определил, что средний ежемесячный расход семьи в выборке равен 182 долл. Предыдущие исследования показали, что среднеквадратичное отклонение расходов в исследуемой совокупности равно 55 долл.

Мы хотим найти интервал, в который попадал бы определенный процент выборочных средних. Предположим, мы хотим определить интервал вокруг среднего значения совокупности, который включал бы 95% выборочных средних, опираясь на выборку из 300 семей; 95% выборочных средних можно разделить на две равные части, половина меньше и половина больше среднего, как показано на рис. 1. Вычисление доверительного интервала включает определение области меньше (XL) и больше (ХU) среднего значения (X) величины расходов.

Значения коэффициента z, соответствующие XL и ХU, можно рассчитать следующим образом:

Следовательно, минимальное значение X определяется как

а максимальное значение

Теперь установим 95%-ный доверительный интервал вокруг выборочного среднего, равного 182 долл. Для начала мы вычислим стандартную ошибку среднего:

Центральные 95% нормального распределения находятся в пределах?1,96 значений коэффициента z; 95%-ный доверительный интервал определяется как

Таким образом, 95%-ный доверительный интервал простирается от 175,77 до 188,23 долл. Вероятность нахождения истинного среднего значения наблюдаемой совокупности в пределах от 175,77 до 188,23 долл. составляет 95%.

Метод среднего:

Метод, использованный для создания доверительного интервала, можно модифицировать так, чтобы определить объем выборки с учетом желательного доверительного интервала. Предположим, что вы хотите рассчитать ежемесячный расход семьи на покупки в универмаге более точно -- так, чтобы полученный результат находился в пределах 5,0 долл. от истинного среднего значения исследуемой совокупности. Каким должен быть объем выборки? В таблице приведен необходимый перечень действий, которые вы должны выполнить.

• 1. Определите степень точности. Это максимально допустимое различие (D) между выборочным средним и генеральным средним. В нашем примере D = +5,0 долл.
• 2. Укажите уровень достоверности. Предположим, желательный уровень достоверности 95%.
• 3. Определите значение нормированного отклонения z, связанное с данным уровнем достоверности. При 95%-ном уровне достоверности вероятность того, что среднее значение генеральной совокупности выйдет за пределы одностороннего интервала, равна 0,025 (0,05/2). Соответствующее значение z составляет 1,96.
• 4. Определите стандартное отклонение среднего генеральной совокупности. Его можно получить из вторичных источников или рассчитать, проведя пилотное исследование. Кроме того, стандартное отклонение можно установить на основе мнения исследователя. Например, диапазон нормально распределенной переменной примерно укладывается в шесть стандартных отклонений (по три слева и справа от среднего значения).

5. Определите объем выборки, воспользовавшись формулой стандартной ошибки среднего

В нашем примере

(округленное в большую сторону до ближайшего целого числа).

Из формулы объема выборки видно, что он растет с ростом изменчивости (дисперсии) генеральной совокупности, а также с увеличением уровня достоверности и степени точности, с которой должны проводиться расчеты. Объем выборки прямо пропорционален Q2, поэтому, чем больше показатель дисперсии генеральной совокупности, тем больше объем выборки. Аналогично, более высокий уровень достоверности предполагает большее значение z и, следовательно, больший объем выборки. Переменные Q2 и z находятся в числителе. Увеличение степени точности достигается уменьшением значения D и, следовательно, увеличивает объем выборки, поскольку D находится в знаменателе.

6. Если объем выборки составляет 10% и больше от объема генеральной совокупности, то применяется окончательная коррекция совокупности (fpc). Затем необходимый объем выборки рассчитывается по формуле

7. Если среднеквадратичное отклонение совокупности о неизвестно и используется его предположительное значение, то его следует повторно рассчитать после получения выборки. Среднеквадратичное отклонение выборки s используется в качестве предположительного значения Q. Затем следует вычислить исправленный доверительный интервал, чтобы определить фактически полученную степень точности.

Предположим, что значение 55,00 использовалось в качестве предположительного значения а, потому что истинное значение было неизвестно. Получена выборка, в которой n = 465. На основе данных исследования рассчитывается среднее X, равное 180,00, и среднеквадратичное отклонение выборки s, равное 50,00. Тогда исправленный доверительный интервал составит:

Обратите внимание, что полученный доверительный интервал уже предполагаемого. Это вызвано тем, что среднеквадратичное отклонение совокупности завышено на основании выборочных характеристик.

8. Иногда точность определена в относительных, а не в абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от среднего. В этом случае объем выборки можно определить как

Объем генеральной совокупности N не влияет на объем выборки напрямую, за исключением случаев, когда применяется коэффициент окончательной коррекции совокупности. Возможно, это кажется невероятным, но если подумать, в этом утверждении есть смысл. Например, если исследуемые характеристики всех элементов совокупности идентичны, то выборки, состоящей из одного элемента, вполне достаточно, чтобы рассчитать среднее. Это также правильно, если совокупность состоит из 50, 500, 5000 или 50 000 элементов. В то же время изменчивость характеристик совокупности напрямую влияет на объем выборки. Эта изменчивость учитывается при вычислении объема выборки с помощью генеральной дисперсии Q2 или выборочной дисперсии s2.

Метод доли:

Если изучаемая статистика представлена не средним, а долей, то маркетолог определяет объем выборки аналогичным образом. Предположим, что исследователя интересует установление доли семей, владеющих кредитной карточкой универмага. Порядок действий будет следующим.

1. Укажите степень точности. Предположим, желательная степень точности такова, что допустимый интервал установлен на уровне

D = р -- л = ±0,05.

• 2. Укажите уровень достоверности. Предположим, что желателен 95%-ный уровень достоверности.
• 3. Определите значение z, связанное с данным уровнем достоверности. Как объяснялось при расчете среднего, оно составит 1,96.
• 4. Определите генеральную долю п. Как мы указывали раньше, ее можно получить из вторичных источников, в ходе экспериментального исследования или на основе мнения исследователя. Предположим, что на основе вторичных данных исследователь делает предположение, что 64% семей из изучаемой генеральной совокупности обладают кредитной карточкой универмага. Следовательно, л = 0,64.
• 5. Определите объем выборки с помощью формулы стандартной ошибки доли:

В нашем примере

• (округленное в большую сторону до целого числа).
• 6. Если конечный объем выборки составляет 10% и больше от объема совокупности, применяется окончательная коррекция совокупности (fpc). Затем необходимый объем выборки рассчитывается по формуле

где n -- объем выборки до применения окончательной коррекции; nс -- объем выборки после применения окончательной коррекции.

7. Если расчет тс был неверным, то доверительный интервал будет более или менее точным по сравнению с необходимым. Предположим, что по окончании выборки рассчитывается значение доли p, равное 0,55. Затем повторно вычисляется доверительный интервал, при этом sp используется для расчета неизвестного Qp , а именно:

В нашем примере

Доверительный интервал тогда равен 0,55 ± 1,96 (0,0264) = 0,55 + 0,052, что означает, что он шире, чем было задано. Это объясняется тем, что среднеквадратичное отклонение выборки p = 0,55 оказалось большим, чем предположительное значение среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности при л = 0,64.

Если интервал, превышающий указанный, недопустим, объем выборки можно скорректировать так, чтобы отразить максимально возможное отклонение в генеральной совокупности. Такое отклонение происходит, когда произведение л (1 -- л) достигает максимального значения, для чего л должно равняться 0,5. К этому выводу можно прийти и без расчетов. Поскольку у одной половины совокупности одно значение характеристики, а у другой -- другое, потребуется больше данных, чтобы сделать правильный вывод, нежели когда ситуация более четко определена и у большинства элементов одно значение характеристики. В нашем примере это приведет к получению объема выборки, равного

• (округлено в большую сторону до целого числа).
• 8. Иногда точность определена в относительных, а не в абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от доли совокупности. Это означает, что D =Rл. В этом случае объем выборки можно определить как

Статистика знает все. И Ильф и Е. Петров, «12 Стульев»

Представьте себе, что вы строите крупный торговый центр и желаете оценить автомобильный поток въезда на территорию парковки. Нет, давайте другой пример… они все равно этого никогда не будут делать. Вам необходимо оценить вкусовые предпочтения посетителей вашего портала, для чего необходимо провести среди них опрос. Как увязать количество данных и возможную погрешность? Ничего сложного - чем больше ваша выборка, тем меньше погрешность. Однако и здесь есть нюансы.

Теоретический минимум

Не будет лишним освежить память, эти термины нам пригодятся далее.

• Популяция – Множество всех объектов, среди которых проводится исследования.
• Выборка – Подмножество, часть объектов из всей популяции, которая непосредственно участвует в исследовании.
• Ошибка первого рода - (α) Вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, в то время как она верна.
• Ошибка второго рода - (β) Вероятность не отвергнуть нулевую гипотезу, в то время как она ложна.
• 1 - β - Статистическая мощность критерия.
• μ 0 и μ 1 - Средние значения при нулевой и альтернативной гипотезе.

Уже в самих определениях ошибки первого и второго рода имеется простор для дебатов и толкований. Как с ними определиться и какую выбрать в качестве нулевой? Если вы исследуете уровень загрязнения почвы или вод, то как сформулируете нулевую гипотезу: загрязнение присутствует, или нет загрязнения? А ведь от этого зависит объем выборки из общей популяции объектов.

Исходная популяция , также как и выборка может иметь любое распределение, однако среднее значение имеет нормальное или гауссово распределение благодаря Центральной Предельной Теореме .

Относительно параметров распределения и среднего значения в частности возможно несколько типов умозаключений. Первое из них называется доверительным интервалом . Он указывает на интервал возможных значений параметра, с указанным коэффициентом доверия . Так например 100(1-α)% доверительный интервал для μ будет таким (Ур. 1).

Второе из умозаключений - проверка гипотезы . Оно может быть примерно таким.

• H 0: μ = h
• H 1: μ > h
• H 2: μ < h

С доверительным интервалом 100(1-α) для μ можно сделать выбор в пользу H 1 и H 2:

• Если нижний предел доверительного интервала 100(1-α) < h , то тогда отвергаем H 0 в пользу H 2 .
• Если верхний предел доверительного интервала 100(1-α) > h, то тогда отвергаем H 0 в пользу H 1 .
• Если доверительного интервала 100(1-α) включает в себя h, то тогда мы не может отвергнуть H 0 и такой результат считается неопределенным .

Если нам нужно проверить значение μ для одной выборки из общей совокупности, то критерий обретет вид.

Доверительный интервал, погрешность и размер выборки

Возьмем самое первое уравнение и выразим оттуда ширину доверительного интервала (Ур. 2).

В некоторых случаях мы можем заменить t-статистику Стьюдента на z стандартного нормального распределения. Еще одним упрощением заменим половину от w на погрешность измерения E. Тогда наше уравнения примет вид (Ур. 3).

Как видим погрешность действительно уменьшается вместе с ростом количества входных данных . Откуда легко вывести искомое (Ур. 4).

Практика - считаем с R

Проверим гипотезу о том, что среднее значение данной выборки количества насекомых в ловушке равно 1.

• H 0: μ = 1
• H 1: μ > 1

Насекомые	0	1	2	3	4	5	6
Ловушки	10	9	5	5	1	2	1

> x <- read.table("/tmp/tcounts.txt") > y = unlist(x, use.names="false") > mean(z);sd(z) 1.636364 1.654883

Обратите внимание, что среднее и стандартное отклонение практически равны, что естественно для распределения Пуассона. Доверительный интервал 95% для t-статистики Стьюдента и df=32 .

> qt(.975, 32) 2.036933

и наконец получаем критический интервал для среднего значения: 1.05 - 2.22 .

> μ=mean(z) > st = qt(.975, 32) > μ + st * sd(z)/sqrt(33) 2.223159 > μ - st * sd(z)/sqrt(33) 1.049568

В итоге, следует отбраковать H 0 и принять H 1 так как с вероятностью 95%, μ > 1.

В том же самом примере, если принять, что нам известно действительное стандартное отклонение - σ , а не ее оценка полученная с помощью случайной выборки, можно рассчитать необходимое n для данной погрешности. Посчитаем для E=0.5 .

> za2 = qnorm(.975) > (za2*sd(z)/.5)^2 42.08144

Поправка на ветер

На самом деле нет никаких причин, полагать, что нам будет известна σ (дисперсия), в то время как μ (среднее) нам еще только предстоит оценить. Из-за этого уравнение 4 имеет мало практической пользы, кроме особо рафинированных примеров из области комбинаторики, а реалистичное уравнение для n несколько сложнее при неизвестной σ (Ур. 5).

Обратите внимание, что σ в последнем уравнении не с шапкой (^), а тильдой (~). Это следствие того, что в самом начале у нас нет даже оценочного стандартного отклонения случайной выборки - , и вместо нее мы используем запланированное - . Откуда же мы берем последнее? Можно сказать, что с потолка: экспертная оценка, грубые прикидки, прошлый опыт и т. д.

А что на счет второго слагаемого правой стороны 5-го уравнения, откуда оно взялось? Так как , необходима поправка Гюнтера .

Помимо уравнений 4 и 5 есть еще несколько приблизительно-оценочных формул, но это уже заслуживает отдельного поста.

На практике решение вопроса об объеме выборки является компромиссным между предположением о точности результатов обследования и возможностями их практической реализации (т.е. исходя из затрат на проведение опроса).

На практике используется несколько подходов к определению объема выборки. Обратим внимание на самые простые из них. Первый из них называется произвольным подходом и основан он на применении «правила большого пальца».

Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5 % от совокупности. Данный подход простой и доступный в исполнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством является относительная дешевизна затрат. В соответствии со вторым подходом объем выборки может быть установлен исходя из заранее оговоренных условий. Заказчик маркетингового исследования, например, знает, что при изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000 - 1200 человек, поэтому он рекомендует исследователю придерживаться данной цифры.

Третий подход означает, что в некоторых случаях главным аргументом при определении объема выборки может быть стоимость проведения опроса. Хотя при этом ценность и достоверность получаемой информации не принимается в расчет.

В случае четвертого подхода объем выборки определяется на основе статистического анализа. Данный подход предполагает определение минимального объема выборки с учетом требований к надежности и достоверности получаемых результатов.

Пятый подход считается наиболее теоретически обоснованным и правильным подходом в определении объема выборки. Он основан на расчете доверительного интервала.

Доверительный интервал - это диапазон, крайние точки которого характеризуют процент определенных ответов на какой-то вопрос. Данное понятие тесто связано с понятием «среднее квадратичное отклонение получаемого признака в генеральной совокупности». Чем оно больше, тем шире должен быть доверительный интервал, чтобы включить в свой состав, например 9,5 % ответов.

Из свойств нормальной кривой распределения вытекает, что конечные точки доверительного интервала, равного к примеру 9,5 % определяются как произведение: 1,96 (нормированное отклонение) и среднего квадратичного отклонения.

Числа 1,96 и 2,58 (для 99 % доверительного интервала) обозначаются как z.

Существуют таблицы «Значение интеграла вероятности», которые дают возможность определить величины z для различных доверительных интервалов. Доверительный интервал равный 95% или 99% является стандартным при проведении маркетинговых исследований.

Например, проведено исследование числа визитов автовладельцев в сервисные мастерские за год. Доверительный интервал для среднего числа визитов был рассчитан равным 5 - 7 визитам при 99 % уровне доверительности. Это означает, что если появится возможность, провести независимо 100 раз выборочные исследования, то для 99 выборочных исследований среднее значение числа визитов попадут в диапазон от 5 до 7 визитов, Если сказать иначе, то 99 % автовладельцев попадут в доверительный интервал.

Допустим, было проведено исследование до 50 независимых выборок. Средние оценки для этих выборок образовали нормальную кривую распределения, которое называется выборочным распределением.

Средняя оценка для совокупности в целом равна средней оценке кривой распределения. Понятие «выборочное распределение» рассматривается также в качестве одного из базовых понятий теоретической концепции, лежащее в основе определения V выборки.

Естественно ни одна компания не в состоянии сформировать 10, 20, 50 независимых выборок. Обычно используется только одна выборка.

Математическая статистика позволяет получить некую информацию о выборочном распределении, владея точными данными о вариации единственной выборки.

Индикатором степени отличия оценки, истинной для совокупности в целом, которая ожидается для типичной выборки, является средне квадратическая ошибка . К примеру, исследуется мнение потребителей о новом товаре и заказчик данного исследования указал, что его устроит точность полученных результатов, равная плюс минус 5%.

Предположим, что 30 % членов выборки высказались за новый продукт. Это означает, что диапазон возможных оценок для всей совокупности составляет 25 - 35 %. Причем, чем больше объем выборки, тем меньше ошибка. Высокое значение вариации обусловливает высокое значение ошибки и наоборот.

Определим объем выборки на основе расчета доверительного интервала. Исходной информацией, необходимой для реализации данного подхода, является:

· величина вариации, которой, как считается, обладает совокупность;

· желаемая точность;

· уровень достоверности, которому должны удовлетворять результаты проводимого обследования.

Когда на заданный вопрос существует только два варианта ответов, выраженных в процентах (используется процентная мера), объем выборки определяется по следующей формуле:

где n - объем выборки;

z - нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности (табл. 7);

р - найденная вариация для выборки;

е - допустимая ошибка.

Таблица 7

Значение нормированного отклонения оценки z от среднего значения

в зависимости от доверительной вероятности (а) полученного результата

Например, предприятием, выпускающим покрышки, проводится опрос автолюбителей, использующих радиальные покрышки.

Поэтому на вопрос: «Используете ли Вы радиальные покрышки?» возможны только 2 ответа: «Да» или «Нет». Если предположить, что совокупность автолюбителей обладает низким показателем вариации, то это означает, что почти каждый опрошенный использует радиальные покрышки. В данном случае может быть сформирована выборка достаточно малых размеров. В формуле (1) произведение pg выражает вариацию, свойственную совокупности. Например, пусть 90 % единиц совокупности используют радиальные покрышки. Это означает, что pg = 900. Если принять, что показатель вариации выше (р = 70 %), то pg = 2100. Наибольшая вариация достигается в случае, когда одна половина совокупности (50 %) использует радиальные покрышки, а другие не используют. В этом случае произведение достигает значения равного 2500.

При проведении опроса важно указывать точность полученных оценок. Например, было установлено, что 44 % респондентов используют радиальные покрышки. Результаты измерения необходимо представить в виде: процент автолюбителей, использующих радиальные покрышки, составляет 44 плюс - минус е %. Величина допустимой ошибки заранее совместно определяется заказчиком исследования и исполнителем.

Уровень достоверности при проведении маркетинговых исследований обычно оценивается с учетом двух его значений: 95% или 99%. Первому значению соответствует значение z = 1,96; второму - z = 2,58. Если выбирается уровень доверительности равный 99 %, то это говорит о следующем: мы уверены на 99 % (иными словами доверительная вероятность равна 0,99) в том, что процент членов совокупности, попавший в диапазон плюс - минус е %, равен проценту членов выборки, попавших в тот же диапазон ошибки. Принимая вариацию равной 50 %, точность равной 10 % при 95 %-м уровне доверительности рассчитаем размер выборки:

n = 1,962 (50 х 50) / 102 = 96.

При уровне доверительности равном 99 %, и е = ±3 %, n = 1067.

При определении показателя вариации для конкретной совокупности целесообразно проводить предварительно качественный анализ исследуемой совокупности и установить схожесть единиц совокупности в демографическом, социальном и других отношениях, представляющих интерес для исследователя. Возможно определение объема выборки на основе использования средних значений, а не процентных величин. Предположим, что выбран уровень достоверности равный 95 % (z = 1.96,), среднеквадратическое отклонение (S) рассчитано и равно 100, и желаемая точность (погрешность) составляет ±10. Тогда объем выборки составит

Реально на практике, если выборка формируется заново и схожие опросы не проводились, S неизвестно.

В этом случае целесообразно задавать погрешность е в долях от среднеквадратического отклонения. Расчетная формула преобразуется и приобретает следующий вид:

Мы в основном говорили о совокупности очень больших размеров, характерных для рынков потребительских товаров. Но в отдельных случаях совокупности не являются столь большим, и например на рынках отдельных видов продукции производственного назначения.

Обычно, если выборка составляет менее 5 % совокупности, то совокупность считается большой, и расчеты проводятся по вышеприведенным правилам.

Если же V выборки превышает 5 % совокупности, то последняя считается малой, и в вышеприведенные формулы вводится поправочный коэффициент. Объем выборки в данном случае определяется следующим образом:

где n1 - объем выборки для малой совокупности,

n - объем выборки (или для процентных мер или для средних), рассчитанный по приведенным выше формулам,

N - объем генеральной совокупности.

Например, изучается мнение членов совокупности, состоящей из 1000 компаний, относительно строительства химического комбината в границах города Томска. Вследствие отсутствия информации о вариации принимается наихудший случай: 50:50. Исследователь вынес решение использовать уровень доверительности равный 95 %. Заказчик исследования указал, что его устроит точность результатов плюс минус 5 %. В этом случае используется следующая формула для процентной меры:

Данный подход к формированию V выборки с определенными оговорками может быть использован и при расчете численности панели и экспертной группы.

Приведенные формулы расчета выборки основаны на предположении, что все правила формирования выборки были соблюдены, и единственной ошибкой является ошибка, обусловленная ее объемом.

Ф. Котлер Маркетинг-менеджмент /Пер. с англ. - 9-е Международное изд-е. - СПб: Питер Ком., 1998. - С.174

Ф. Котлер и другие. Основы маркетинга. -М;СПб., 1999. С - 370.

Один из главных компонентов тщательно продуманного исследования – определение выборки и что такое репрезентативная выборка. Это как в примере с тортом. Ведь не обязательно съедать весь десерт, чтобы понять его вкус? Достаточно небольшой части.

Так вот, торт – это генеральная совокупность (то есть все респонденты, которые подходят для опроса). Она может быть выражена территориально, например, лишь жители Московской области. Гендерно – только женщины. Или иметь ограничения по возрасту – россияне старше 65 лет.

Высчитать генеральную совокупность сложно: нужно иметь данные переписи населения или предварительных оценочных опросов. Поэтому обычно генеральную совокупность «прикидывают», а из полученного числа высчитывают выборочную совокупность или выборку .

Что такое репрезентативная выборка?

Выборка – это чётко определенное количество респондентов. Её структура должна максимально совпадать со структурой генеральной совокупности по основным характеристикам отбора.

Например, если потенциальные респонденты – всё население России, где 54% — это женщины, а 46% — мужчины, то выборка должна содержать точно такое же процентное соотношение. Если совпадение параметров происходит, то выборку можно назвать репрезентативной. Это значит, что неточности и ошибки в исследовании сводятся к минимуму.

Объем выборки определяется с учётом требований точности и экономичности. Эти требования обратно пропорциональны друг другу: чем больше объем выборки, тем точнее результат. При этом чем выше точность, тем соответственно больше затрат необходимо на проведение исследования. И наоборот, чем меньше выборка, тем меньше на неё затрат, тем менее точно и более случайно воспроизводятся свойства генеральной совокупности.

Поэтому для вычисления объема выбора социологами была изобретена формула и создан специальный калькулятор :

Доверительная вероятность и доверительная погрешность

Что означают термины «доверительная вероятность » и «доверительная погрешность »? Доверительная вероятность – это показатель точности измерений. А доверительная погрешность – это возможная ошибка результатов исследования. К примеру, при генеральной совокупности более 500 00 человек (допустим, проживающие в Новокузнецке) выборка будет равняться 384 человека при доверительной вероятности 95% и погрешности 5% ИЛИ (при доверительном интервале 95±5%).

Что из этого следует? При проведении 100 исследований с такой выборкой (384 человека) в 95 процентов случаев получаемые ответы по законам статистики будут находиться в пределах ±5% от исходного. И мы получим репрезентативную выборку с минимальной вероятностью статистической ошибки.

После того, как подсчет объема выборки выполнен, можно посмотреть есть ли достаточное число респондентов в демо-версии Панели Анкетолога . А как провести панельный опрос можно подробнее узнать .

В процессе решения задач легко убедиться, что довери­тельный интервал оценки средней и оценки доли зависит от объема выборки. Чем больше выборка, тем уже будет ин­тервал, тем точнее оценка генеральных статистик. В самом деле, во всех формулах расчета ошибки выборки объем выборки стоит в знаменателе, значит, между объемом выбор­ки и ошибкой существует обратная связь. Самая большая выборка - это вся генеральная совокупность, и тогда оценка вообще будет точечной. При этом, конечно же, не будет соблюдаться экономичность исследования, которая и явля­ется целью выборочного метода. Поэтому следует найти такой оптимальный размер выборки, который будет удов­летворять всем требованиям.

Определение 13.8. Минимальный объем выборки, при котором ее можно назвать репрезентативной называется оптимальным объемом.

Объем выборки не должен быть меньше оптимального объема. Для различных способов отбора существуют свои формулы предельной ошибки Δ = t · μ и формулы средних ошибок выборки, определяются формулы необходимой чис­ленности выборки.

Так, для определения доверительного интервала оценки средней в генеральной совокупности минимальный объем ре­презентативной выборки рассчитывается по формулам:

При повторном отборе:

(13.14)

При бесповторном отборе:

(13.15)

где σ 2 - выборочная дисперсия значений признака,

п - объем выборки;

N

t

Минимальный объем репрезентативной выборки для оцен­ки генеральной доли рассчитывается по формулам:

При повторном отборе:

(13.16)

При бесповторном отборе:

(13.17)

где ω ·(1 - ω) - выборочная дисперсия доли значений признака;

п - объем выборки;

N - объем генеральной совокупности;

ω - доля обследованной совокупности;

t - аргумент функции Лапласа, зависящий от надежно­сти интервальной оценки средней,

Δ - предельная ошибка выборки.

При расчете объема выборки надо учитывать, что опти­мальное количество элементов в выборке - целое число, поэтому оно будет определяться с округлением до наиболь­шего целого. Например, если п, вычисленный по формуле, равен 58,013, то это число определяет минимальный объем репрезентативной выборки, поэтому округлять надо до большего целого, до 59.

Вопросы для самоконтроля

1. Поясните сущность выборочного метода. Какие теоре­мы теории вероятностей служат обоснованием выбо­рочного метода?

2. Определите характеристики выборки, которые называ­ются выборочными статистиками. Как они рассчиты­ваются?

3. С какой целью используются выборочные данные?

4. От чего зависит качество точечных оценок параметров генеральной совокупности?

5. Какие величины являются точечными оценками для ге­неральной средней, генеральной доли?

6. Какие точечные оценки используются для генеральной дисперсии? Какие условия должны выполняться, чтобы статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности?

7. Как определяется интервальная оценка генеральной средней?

8. Что представляет собой доверительный интервал для оценки генеральной доли? Поясните сущность парамет­ров, определяющих его размер.

9. Какие величины определяют размер предельной ошиб­ки выборки?

10. Как заданная вероятность влияет на величину довери­тельного интервала для оценки генеральных параметров?

11. По каким формулам определяется средняя ошибка вы­борки в зависимости от способа отбора выборки?

12. От чего зависит ошибка выборки для оценки средней в генеральной совокупности?

13. Какие формулы используются для оценки генеральной доли в повторной и бесповторной выборке?

14. От чего зависит оптимальный объем представительной выборки?

15. Какая зависимость существует между размером дове­рительного интервала оценки генеральных параметров и объемом выборки?

16. Каким требованиям должен удовлетворять оптимальный размер выборки при оценке генеральных параметров?

17. По каким формулам рассчитывается минимальный объем репрезентативной выборки для оценки генераль­ной средней и генеральной доли?